سوال من در حقیقت در خصوص صورت مساله بود، نه روش حل. آیا مولفه سرعت برف روبیده شده در راستای مسیر، از دید ناظر روی چهارچرخه صفر هست یا از دید ناظر ساکن روی زمین؟
Printable View
سوال من در حقیقت در خصوص صورت مساله بود، نه روش حل. آیا مولفه سرعت برف روبیده شده در راستای مسیر، از دید ناظر روی چهارچرخه صفر هست یا از دید ناظر ساکن روی زمین؟
سلام
این که مشخصه. فرد تنبل زودتر به مقصد می رسه چون ارابه را تکان نمی ده
ببینید من هم متوجه سوالتون هستم برای همین بهتون گفتم با هرکدوم که راحتترید کار کنید. توجه کنید که دستگاه‌های مرجع می‌تونن نالَخت باشند. باز هم جواب من مثل قبل هست. خودتون در این رابطه با بصیرت انتخاب کنید.
فرد تنبل یا فرد فعال هر کدوم مدنظرتون هست باید با تحلیل بگید کدوم‌یک خوشبختانه اینجا سوال تستی طرح نمی‌کنیم.نقل قول:
مسئله گفته دو ارابه با سرعت v0 پرتاب می شوند یعنی یک تکانه در ابتدای کار داریم.
در ابتدای کار با سرعت v0 و جرم اولیه ی m0 ارابه حرکت می کند.(تکانه ی اولیه)
منتها فرد فعال، برای اینکه قصد جاروی ارابه را دارد. مدام ارابه را تکان می دهد و این تکانه تغییر پیدا می کند.
اما فرد تنبل چون می خوابه و اصلا هیچ تکانی به ارابه نمی ده به جرم ارابه اضافه می شه و با این فرض که دیگه تکانه نداریم:
پس از مدت زمان t جرم ارابه اضافه می شه یعنی:
m(t)= m0 + [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] t
فرمول بالا یعنی جرم اولیه + جرم جدید برف = جرم ارابه در زمان T
خب توضیح دادم که تکانه ی اولیه هم این بود:
m0v0
پس فقط یه جایگذاری ساده داریم.
m(0)v(0 )= m(t) v(t) = m (0) + [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] t v(t) p
فرمول بالا یعنی:
تکانه اولیه با تکانه هر واحد از زمان برابره و همون "جرم قبل + جرم جدید" هستش
خب پس اگر فرمول بالا را ساده کنیم این بدست میاد:
v(t) = v(0) / 1 +( [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] t / m(0) ) p
خب رفتگر پر کار برف ها را در جهت عمود داره جارو می کنه یعنی داره برف ها را روی چرخ ها می ریزه! این از سرعت ارابه کم می کنه. برفها مانع از این می شن که چرخ ها به خوبی بچرخند پس سرعت ارابه کم می شه.
این سوال را استاد فیزیکمون توی کلاس مطرح کرده بود:n02:
برای رفتگر فعال سرعت در زمان t می شه:
v(t) = v(0) e ^ -( [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] /m(0) ) t
با مقایسه دوتا سرعت می فهمیم که سرعت ارابه ی فرد تنبل بیشتر بوده.
استاد ما نگفته بود تنبل و فعال. گفته بود بدشانس و خوش شانس
پ ن : اینجا نمیشه فرمول نوشت اگر لازم باشه تمام فرمولها را از جزوه ام اسکن کنم
پس در دو حالت حل می کنم. فرض می کنم برف هم از دید ناظر روی زمین عمودی میباره و مسیر هم افقیست.
برای تنبلوف داریم
(1) [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
که vw و mw به ترتیب سرعت و جرم چهارچرخه و vs و ms به ترتیب سرعت و جرم برف پارو شده یا انباشته شده روی واگنند.
برای فعالوف واگن و برفی که پارو میشه رو یه سیستم فرض می کنیم.
همچنین فرض می کنیم برف پارو شده به یک دره با عمق بی نهایت میریزه که با این فرض برف پارو شده سرعت طولیشو (در صورت وجود) حفظ می کنه و هیچ نیروی طولی از سوی زمین به سیستم وارد نمیشه. (اینکه برف پارو شده کجا بریزه تاثیری بر سرعت چهارچرخه نداره و فقط برای ساده سازی فرمولاسیون این فرضو کردم)
در حالتیکه سرعت برف پارو شده از دید ناظر خارجی عمود بر مسیر هست:
از اونجاکه هیچ نیروی طولی به سیستم وارد نمیشه، بر اساس قانون پایستگی اندازه حرکت داریم
(2) [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
در حالتیکه سرعت برف پارو شده از دید فعالوف عمود بر مسیر هست:
(3) [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
حالا اگر مسیر هم افقی نباشه، با توجه له اینکه پستی و بلندیها یکسانند، روابط بطور یکسان تغییر می کنند.
در حالتیکه سرعت برف پارو شده از دید ناظر خارجی عمود بر مسیر هست با توجه به رابطه 1 و 2 میشه نتیجه گرفت که برنده فعالوف هست.
در حالتیکه سرعت برف پارو شده از دید فعالوف عمود بر مسیر هست با توجه به رابطه 1 و 3 میشه نتیجه گرفت که برنده تنبلوف هست. در حقیقت فعالوف فقط داره وزن واگن رو کم نگه می داره بدون اینکه هیچ نیروی طولی به واگن وارد کنه و بالطبع وزن کمتر مقاومت کمتری هم در برابر کاهش سرعت نشون می ده.
در هر دو حالت میشه به بازنده میشه توصیه کرد که برف رو رو به عقب پارو کنند تا حداکثر نیروی رو به جلو وارد بشه.
راستی در روابط بالا v همون vw هست.
ویرایش شد:
۱. دوستان هیچ دره‌ای با عمق بینهایت در اطراف ریل‌ها وجود نداره. ما در صورت سوال چنین چیزی نگفتیم.
۲. لطفا ازین به بعد پاسخ کامل و نهائی رو تا حد امکان مستدل بگین.
در ضمن ببینید برف روی ارابه میشینه و این به معنی عمود نشتسن هست (قبلا راجع به روبیدن سوال شده بود)
البته باز سیاست من دادن آزادی لازم به شما هست مثلا وقتی جناب Iron صحبت از دره‌ی عمیقی به عمق بینهایت (که البته لازم نیست) میکنه این از طرفی نشون از اشراف مناسب ایشون به مسئله داره و این خیلی خوبه اما ما در صورت سوال اشاره‌ای به همچین دره‌ی مهم و خطرناکی نکرده بودیم.[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
برای قرار دادن فرمولها هم می‌تونید از این سایت استفاده کنید:
فرمولها رو اونجا بنویسید و بعد لینک عکس رو که در زیر کادر تولید میشه در اینجا با استفاده از گزینه‌ی مربوطه توی پستتون قرار بدید. اگر هم با فرمول‌نویسی LaTeX آشنائی داشته باشید که کارتون خیلی سریع پیش میره ولی می‌تونید از منوها استفاده کنید. برای راحتی بیشتر می‌تونید این دستورات ساده رو یاد بگیرید:
---------------------
A_B
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
----------------------
A^B
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
----------------------
\frac{A}{B}
به خاطر مشکل راست به چپ خوب نمایش داده نمیشه اولی یک بک‌اسلش، بعد کلیدواژه‌ی frac به معنی کسر و بعد دو آکلاد باز و بسته که در اولی صورت و در دومی مخرج رو میگذارید
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
-----------------
mu\
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
-----------------
int\_{0}^{1}f(x)dx
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
این چندتار رو که بلد باشید خیلی سریع هر فرمولی رو که واسه‌ی این مسئله لازمه رو بلدید که سریع تایپ کنید اگر هم اینا سخت بود که چرا در مسابقه‌ی علمی شرکت می‌کنید:n02: البته می‌تونید از منوها به کمک موس استفاده کنید.
پاسخ:
تنبلوف مسافت بیشتری را طی می‌کند. ابتدا وضعیت وی را در نظر می‌گیریم. تنها تغییر اینست که جرم برف به جرم رفتگر تنبل و چهارچرخه‌ی او اضافه می‌شود. از آنجا که هیچ‌گونه برهم کنشی با نیروهای خارجی افقی وجود ندارد، طبق قانون دوم نیوتن، تکانه‌ی کل در جهت افقی پایسته می‌ماند. اگر m_0 جرم اولیه‌ی چهارچرخه به همراه تنبلوف باشه اونوقت حل بخش اول جواب Sara_program درسته و در نهایت سرعت تنبلوف برحسب زمان تابع زیر خواهد بود:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
حالا میایم وضعیت فعالوف رو بررسی می‌کنیم. هنگامی که دانه‌های برف روی ارابه میشینن دانه‌های برف سرعت ارابه رو کسب می‌کنند و در نتیجه مقداری تکانه بدست میارن. ازونجائی که فعالوف به محض بارش برف اونا رو از روی ارابه به اطراف پارو میکنه وی عملا مقداری از تکانه‌ی دستگاه رو دور میندازه در نتیجه دستگاه ارابه‌ی فعالوفاز میحط پیرامون مجزا نیست.پس قاون پایستگی تکانه دیگر نمی‌تونه به کار گرفته بشه. ازونجائي که به برف امکان جمع شدن روی ارابه داده نمیشه جرم مقدار ثابتی هست و تغییر اندازه حرکت فعالوف و ارابه صرفا به تغییر سرعت چهارچرخه بستگی داره:[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
جرم برفِ در حال بارش در بازه ی زمانی dt برابر[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]هست. از آنجا که هر دانه‌ی برف سرعت V ارابه را کسب میکنه، تکانه‌ای که برف به هنگام برخورد با ارابه به دست میاره برابر با[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]هست. این تکانه زمانی که فالوف برف رو از روی ارابه پارو میکنه از دست میره یعنی:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
با ترکیب کردن دو معادله‌ی بالا:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اگر معادلات دیفرانسی بلد نیستید چه تابعی در همچین معادله‌ای صدق میکنه که مشتقش از جنس خودش هست و فقط در یک ضریب تفاوت داره؟ خب تابع نمائی. شرایط اولیه برای بدست آوردن مجهولات هم:[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]هست که نتیجه می‌گیریم جواب نهائي:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
خب از ریاضی میدونیم که تابع نمائی کوژی یا تحدب بیشتری نسبت به هر تابع دیگری دارد یعنی افت سرعت بیشتر هست و اگر هم این دو نمودار رو رسم کنیم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
به این نتیجه میرسیم که تنبلوف همواره از سرعت بیشتری برخوردار است بنابراین زودتر میرسد.خب حل کیس تنبلوف با در نظر گرفتن قاون پایستگی تکانه حل میشد. اما کیس فعالوف دیگه ایزوله نبود و قانون پایستگی تکانه برقرار نبود. به همین خاطر باید در حالت عمومی حل می‌کردیم که جناب Iron هردو رو در این حالت عمومی حل کردند و البته به عدم پایستگی قانون تکانه اشاره‌ای نکردند. همنیطور sara_program هم به این قانون مهم اشاره‌ای نکردند.
راجع به توصیه هم همونطوری که جناب Iron گفتن فعالوف باید در راستای خلاف جهت حرکت برفها رو جاروب می‌کرد نه عمود بر اون.
==========================
خب سول دو قسمت داشت ۱) کدوم سریعتر میرسن و چرا ۲) توصیه برای برنده‌شدن فعالوف
قسمت ۱، پنج امتیاز داشت (تنبلوف ۲ امتیاز و فعالوف ۳ امتیاز) و قسمت ۲ یک امتیاز
sara_program از قسمت اول سوال ۱ امتیاز می‌گیرند. حل ایشون در رابطه با سرعت تنبلوف درست هست اما اشاره‌ی غلط به دلیل کم‌شدن سرعت ارابه باعث میشه حلشون هم تحت تاثیر قرار بگیره چون حل ریاضی قاعدتا باید روشنگر باشه و مسئله رو واضحتر و واقع‌بینانه‌تر کنه.
نقل قول:
خب رفتگر پر کار برف ها را در جهت عمود داره جارو می کنه یعنی داره برف ها را روی چرخ ها می ریزه! این از سرعت ارابه کم می کنه. برفها مانع از این می شن که چرخ ها به خوبی بچرخند پس سرعت ارابه کم می شه.
Iron:
از قسمت اول سوال بابت بخش دوم امتیاز کامل می گیرند.ایشون جواب بخش دوم سوال رو هم که توصیه برای فعالوف بود رو هم درست جواب دادند. البته شاید بهتر می‌بود به دلیل تحلیلی این امر اشاره می‌کردند اما با توجه به حل ایشون امتیاز کامل رو در این بخش می‌گیرند.
در رابطه به با بخش اول سوال، ایشان به معادله‌ی دیفرانسیل مناسب رسیده بودند ولی معادلات را حل نکردند و جواب آخر رو نگذاشتند بنابراین به شکل دقیق اشاره‌ای نکردند که چرا فعالوف دیرتر به مقصد میرسه.
از طرفی فرض وجود دره بینهایت (که از نظر من نیازی نبود) توسط ایشان باعث شد که تلاش کنند به هر شکل قانون پایستگی تکانه به هم نخوره (ایزوله شدن دستگاه). بعدا اشاره کردید که به این فرض نیازی نیست ولی عدم نیاز به این فرض مهم که ما هم در صورت سوال قرار نداده بودیم و صحبتی از همچین دره‌ای نبود به خاطر شیوه‌ی حل عمومی ایشان بود نه مفهوم پایستگی/عدم‌پایستگی تکانه. با فرض کردن dp یعنی تغییرات دیفرانسیلی تکانه (به جای p که تکانه‌ی کلی هست) حل درست هست. البته به جزئیات این موارد به هر دلیل اشاره‌ای نشد.
به همین خاطر ایشان به خاطر به دست آوردن معادله‌ی دیفرانسیل سرعت فعالوف از ۳ امتیاز، ۲.۵ امتیاز آنرا کسب می‌کنند.
نقل قول:
همچنین فرض می کنیم برف پارو شده به یک دره با عمق بی نهایت میریزه که با این فرض برف پارو شده سرعت طولیشو (در صورت وجود) حفظ می کنه و هیچ نیروی طولی از سوی زمین به سیستم وارد نمیشه. (اینکه برف پارو شده کجا بریزه تاثیری بر سرعت چهارچرخه نداره و فقط برای ساده سازی فرمولاسیون این فرضو کردم)
در مجموع:
sara_program: یک امتیاز
Iron: سه و نیم امتیاز
البته برقراری یا عدم برقراری قانون پایستگی اندازه حرکت بستگی به این داره به اینکه رابطه رو برای چه سیستمی بنویسیم (یا بعبارتی control volum چی باشه). در سیستمی که بنده در نظر گرفتم (با فرض دره که فکر می کنم واضحه که این فرض بر سرعت واگن، که همون پاسخ مسالهست، اثری نداره) قانون پایستگی اندازه حرکت برقرار هست.نقل قول:
خب حل کیس تنبلوف با در نظر گرفتن قاون پایستگی تکانه حل میشد. اما کیس فعالوف دیگه ایزوله نبود و قانون پایستگی تکانه برقرار نبود. به همین خاطر باید در حالت عمومی حل می‌کردیم که جناب Iron هردو رو در این حالت عمومی حل کردند و البته به عدم پایستگی قانون تکانه اشاره‌ای نکردند.