حل مجموعه مسائل هفته ی بیست و یکم - سال دوم
نقل قول:
با سلام
سطح A
درمربع زیر، وسط اضلاع را به ضلع مقابل وصل کرده ایم. ثابت کنید مساحت چهارضلعی وسط، یک پنجم مساحت مربع است:
سطح B
در یک مرسم قرعه کشی، درون کیسه ای 52 مهره که شماره های 1 تا 52 روی آنها نوشته اند، ریخته شده است و هر نفر سه مهره بیرون می آورد. اگر شماره ی هیچ یک از این سه مهره بالاتر از 40 نباشد، شخص مورد نظر برنده است. آیا حاضرید در این قرعه کشی شرکت کنید؟!
=================================
سطح C
فرض کنید p و q اعداد حقیقی باشند به گونه ای که سه جمله ای x^2+px+q دارای ریشه نباشد. ثابت کنید اگر n عددی طبیعی و فرد باشد، برای هر ماتریس مربعی X از مرتبه ی n، ماتریس X^2+pX+qI_n مخالف صفر است. (I_n ماتریس واحد مرتبه ی n است.)
=================================
سطح ِD
فرض کنید f تابعی مثبت باشد که روی [a,b] پیوسته و روی (a,b) مشتق پذیر باشد. ثابت کنید در (a,b) عددی مانند c وجود دارد به طوری که
موفق باشید.
18 آذر 1386
با سلام
سطح A
از sherlockholmz بابت حل مساله در پست 190 تشکر می کنم. برای دیدن این راه حل به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه شود. راه حل کوتاه تری خدمتتان تقدیم می کنم.
چهار ضلعی 'A'B'C'D مربع است. A'B'=B'B و نیز 'MB نصف 'AA است. نیز مثلثهای MBC و AQB و ADP و DCN برابرند. بنابر این
نیز مساحت مثلث 'MBB یک چهارم مربع 'A'B'C'D است. پس مساحت ABCD چهار برابر مساحت MBC است. همچنین مساحت MBC پنج برابر مساحت 'MBB است. که مطلب را نتیجه می دهد.
سطح B
از sherlockholmz بابت حل این سوال نیز متشکرم. برای دیدن راه حل ایشان به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه کنید. (دقت کنید که بالاخره احتمال باختن بیشتر از بردن است. تصمیم هم با خودتان!! بنده دخالتی نمی کنم!)
سطح C
فرض کنیم چنین نباشد. پس می توان نوشت:
از طرفین دترمینان بگیرید. با توجه به فرد بودن n و منفی بودن دلتای عبارت درجه ی 2 به راحتی به تناقض می رسیم.
سطح D
از sherlockholmz که این مساله را هم حل کردند،متشکرم. به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه فرمایید.
موفق باشید.
23 آذر 1386
مجموعه مسائل هفته ی بیست و دوم - سال دوم
با سلام
سطح A
معادله ی زیر را حل کنید:
سطح B
برد تابع زیر را حساب کنید که [x] جزءصحیح x است:
سطح C
فرض کنید دنباله ی x_n به صورت بازگشتی با ضابطه ی زیر تعریف شود:
ثابت کنید این دنباله همگراست و سپس حد آنرا به دست آورید.
=================================
سطح ِD
ثابت کنید گروهی مانند G موجود نیست به طوری که 'G (زیر گروه مشتق G) با S_3 (گروه متقارن روی 3 حرف) یکریخت باشد.
موفق باشید.
24 آذر 1386
