مجموعه مسائل هفته ی هفدهم - سال دوم
با سلام
سطح A
همه ی جوابهای حقیقی معادله ی زیر را بیابید:
سطح B
روی یکی از اضلاع مربع، یک مثلث قائم الزاویه بسازید به گونه ای که ضلع مربع وتر آن باشد. از راس قائمه ی این مثلث ( که آنرا A می نامیم) به مرکز مربع وصل کنید. ثابت کنید این پاره خط، نیمساز زاویه ی A است.
=================================
سطح C
فرض کنید G یک گراف همبند با k یال باشد. ثابت کنید می توان یالهای G را با اعداد 1 و 2 و 3 و ... و k طوری نامگذاری کرد که در هر راس که از آن دو یال یا بیشتر از دو یال می گذرد، بزرگترین مقسوم علیه مشترک تمام اعداد وابسته به این یالها برابر 1 باشد.
=================================
سطح ِD
نشان دهید اگر G یک گراف ساده ی تسطیح پذیر (planar) با p>2 راس و q ضلع باشد آنگاه q کمتر یا مساوی 3p-6 است. نتیجه بگیرید که K_5 (گراف کامل با 5 راس) تسطیح پذیر نیست.
موفق باشید.
5 آبان 1386
حل مجموعه مسائل هفته ی هفدهم - سال دوم
نقل قول:
با سلام
سطح A
همه ی جوابهای حقیقی معادله ی زیر را بیابید:
سطح B
روی یکی از اضلاع مربع، یک مثلث قائم الزاویه بسازید به گونه ای که ضلع مربع وتر آن باشد. از راس قائمه ی این مثلث ( که آنرا A می نامیم) به مرکز مربع وصل کنید. ثابت کنید این پاره خط، نیمساز زاویه ی A است.
=================================
سطح C
فرض کنید G یک گراف همبند با k یال باشد. ثابت کنید می توان یالهای G را با اعداد 1 و 2 و 3 و ... و k طوری نامگذاری کرد که در هر راس که از آن دو یال یا بیشتر از دو یال می گذرد، بزرگترین مقسوم علیه مشترک تمام اعداد وابسته به این یالها برابر 1 باشد.
=================================
سطح ِD
نشان دهید اگر G یک گراف ساده ی تسطیح پذیر (planar) با p>2 راس و q ضلع باشد آنگاه q کمتر یا مساوی 3p-6 است. نتیجه بگیرید که K_5 (گراف کامل با 5 راس) تسطیح پذیر نیست.
موفق باشید.
5 آبان 1386
با سلام
سطح A
آقا امیر در
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
جوابها را معین کرده اند اما نگفته اند چرا جوابها فقط همینها هستند و جواب دیگری وجود ندارد. برای اثبات این مطلب می توان نوشت:
سطح B
راه حل آقا امیر در
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
درست است. با تشکر از ایشان.
سطح C
از راسی مانند v_0 شروع می کنیم. در طول یالهای متمایز حرکت کرده، آنها را با 1و2و...طوری شماره گذاری می کنیم که از روی تمام آنها عبور کرده باشیم و امکان جلو رفتن روی شکل میسر نباشد مگر آنکه از یک یال دو بار عبور کنیم. اگر هنوز یالهایی وجود داشته باشند که شماره گذاری نشده اند، یکی از آنها راسی دارد که از آن عبور کرده ایم، چون در غیر این صورت G نمی تواند همبند باشد. از این راس شروع می کنیم و حرکت را روی یالهایی که به کار نرفته اند ادامه می دهیم؛ شماره گذاری را از قسمتهایی که جا افتاده باشند از سر می گیریم و سرانجام متوقف می شویم. این عمل را همان گونه که توضیح داده شد تکرار می کنیم تا تمام یالها شماره گذاری شود.
فرض کنیم v راسی باشد که از آن d یال گذشته است (d>1). اگر v=v_0 آنگاه v روی شماره ی 1 است و بنابر این بزرگترین مقسوم علیه مشترک در v برابر 1 است. اگر v همان v_0 نباشد فرض کنیم اولین دفعه که به راس v می رسیم پس از یال شماره ی r باشد. در این صورت d-1 یال به کار نرفته وجود دارد که با v متقاطعند و لذا یکی از آنها با r+1 شماره گذاری شده است. بزرگترین مقسوم علیه مشترک هر همجموعه شامل r و r+1 برابر 1 است.
سطح D
بنابر فرمول اویلر p-q+r=2 ، نیز 3r کمتر یا مساوی 2q است و در نتیجه 3*(2+q-p) کمتر یا مساوی 2q است که نتیجه را به دست می دهد. برای K_5 می توان نوشت: 3p-6=9<10=q.
موفق باشید.
13 آبان 1386
مجموعه مسائل هفته ی هجدهم - سال دوم
با سلام
سطح A
ثابت کنید خطوطی که وسطهای اضلاع هر مثلث را به وسطهای ارتفاعهای متناظر وصل می کنند، یکدیگر را در یک نقطه قطع می کنند(همرسند).
=================================
سطح B
فرض کنید n عددی طبیعی و x عددی حقیقی باشد. اگر [x] جزء صحیح x باشد عبارت زیر را ثایت کنید:
سطح C
معادله ی همه خطوطی در فضا را بیابید که در این خاصیت صدق کنند: اگر (x,y,z) روی خط باشد آنگاه z=xy
=================================
سطح ِD
کوچکترین عدد طبیعی n را بیابید به طوری که میانگین مجموع مربعات اعداد 1 تا n، مربع کامل باشد.
موفق باشید.
13 آبان 1386
