مجموعه مسائل هفته ی سیزدهم - سال دوم
با سلام
سطح A
تساویهای زیر را در نظر بگیرید:
قانونی کلی برای مثالهای بالا به دست آورید.
=================================
سطح B
از تساوی زیر تابع f را بیابید:
=================================
سطح C
ثابت کنید تابع زیر دقیقاً دو بار محور x ها را قطع می کند:
=================================
سطح ِD
فرض کنید a و b دو عدد حقیقی باشند. تابع زیررا در نظر بگیرید:
فرض کنید مشتق اول و دوم f روی دامنه ی f وجود داشته باشند و مقدار مشتق اول f روی a و b صفر باشد. ثابت کنید عدد c بین a و b چنان موجود است که
موفق باشید.
24 شهریور 1386
حل مجموعه مسائل هفته ی سیزدهم - سال دوم
نقل قول:
با سلام
سطح A
تساویهای زیر را در نظر بگیرید:
قانونی کلی برای مثالهای بالا به دست آورید.
=================================
سطح B
از تساوی زیر تابع f را بیابید:
=================================
سطح C
ثابت کنید تابع زیر دقیقاً دو بار محور x ها را قطع می کند:
=================================
سطح ِD
فرض کنید a و b دو عدد حقیقی باشند. تابع زیررا در نظر بگیرید:
فرض کنید مشتق اول و دوم f روی دامنه ی f وجود داشته باشند و مقدار مشتق اول f روی a و b صفر باشد. ثابت کنید عدد c بین a و b چنان موجود است که
موفق باشید.
24 شهریور 1386
با سلام
سطح A
قانون کلی تساوی های مذکور در سطح A:
سطح B
در مرحله ی اول، عبارت کسری در داخل اولین پرانتز در سمت راست را y فرض کنید و x را بر حسب y حساب کنید و دو پرانتز دیگر را نیز بر حسب y تغییر دهید.
در مرحله ی دوم، عبارت کسری در داخل پرانتز وسط را y فرض کنید و x را بر حسب y حساب کنید و دو پرانتز دیگر را نیز بر حسب y تغییر دهید.
در مرحله ی سوم، عبارت کسری در داخل سومین پرانتز را y فرض کنید و x را بر حسب y حساب کنید و دو پرانتز دیگر را نیز بر حسب y تغییر دهید.
سه تساوی به دست آمده در سه مرحله ی قبل را با هم جمع کنید و با استفاده از تساوی اصلی مساله، جواب زیر را به دست آورید:
سطح C
از yugioh و پاکر به خاطر پستهایشان تشکر می کنم. yugioh باید توجه کنید که توابع سینوس و کسینوس در بی نهایت دارای حد نیستند. روش آقا پاکر نیز تقریبا درست است اما روش نوشتن ایشان در این مساله کمی غیر استاندارد است. فکر می کنم روش مناسب به صورت زیر باشد:
تابع پیوسته ی f در 90- درجه، مثبت، در صفر درجه، منفی و در 90 درجه مثبت است. بنابر قضیه مقدار میانی، f حداقل دارای دو صفر است. اگر f بیش از دو صفر داشته باشد بنابر قضیه ی مقدار میانگین باید مشتق آن حداقل دارای دو صفر باشد. اما با گرفتن مشتق از f مشخص می شود که مشتق f فقط یک ریشه دارد.
سطح D
برای مطالعه ی راه حل این مساله ی زیبا به لینک زیر مراجعه فرمایید:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
موفق باشید.
30 شهریور1386
مجموعه مسائل هفته ی چهاردهم - سال دوم
با سلام
سطح A
بین y، x یا z چه ارتباطی باید باشد تا تساوی زیر برقرار باشد:
سطح B
در دایره ی زیر O مرکز دایره است و در شکل، سه زاویه ی مساوی وجود دارد که با آلفا مشخص شده اند. آلفا را محاسبه کنید.
=================================
سطح C
فرض کنید g_n تعداد زیر مجموعه هایی از {A={1,2,...,n باشد که حاوی هیچ دو عدد متوالی نیستند. به طور مثال g_2=3. ثابت کنید
که F_n نمایش دنباله ی فیبوناتچی است.
=================================
سطح ِD
فرض کنید G یک گروه متناهی، N زیرگروه نرمال آن و P یک p -زیرگروه سیلوی G باشد به طوری که N زیرگروه نرمالگر P در G است. ثابت کنید اگر p -زیرگروه سیلوی G/N نرمال باشد، P نیز در G نرمال است.
موفق باشید.
31 شهریور 1386
