سلام
تعداد n عدد طبيعي كوچكتر از هزار داريم،به طوريكه كوچكترين مضرب مشترك هر دوتايي از آنها از 1000 بزرگتر است،نشان دهيد مجموع معكوسات اين اعداد از 2 كمتر است.
Printable View
سلام
تعداد n عدد طبيعي كوچكتر از هزار داريم،به طوريكه كوچكترين مضرب مشترك هر دوتايي از آنها از 1000 بزرگتر است،نشان دهيد مجموع معكوسات اين اعداد از 2 كمتر است.
با تشكر از دوست عزيز 1233445566 كه در اينجانقل قول:
مسأله را به خوبي حل كرده‌اند.کد:http://forum.p30world.com/showpost.php?p=5389041&postcount=467
ـــــــــــــــــــــــــ
31 شهريور 1389
نشان دهيد براي هر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] عدد زير بر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بخش‌پذير است.
ـــــــــــــــــــــــــ
31 شهريور 1389
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]نقل قول:
از هر پنج عدد صحیح متوالی:
1- دستکم دو تا بر 2 بخش پذیرند که دستکم یکی از آنها بر 4 بخش پذیر می باشد، در نتیجه A بخش پذیر بر 8 است.
2- یکی بر 5 بخش پذیر است، در نتیجه A بخش پذیر بر 5 است.
3- از دو حالت زیر خارج نیست:
الف- یکی از آنها بر 3 بخش پذیر است، که در اینصورت آن عدد وسطی می باشد.
ب- دو تا از آنها بر 3 بخش پذیر است.
که در هر دو حالت، A بخش پذیر بر 9 است.
پس A بر 9*5*8 = 360 بخش پذیر است.
------------------------------------------------------
از آنجا که اینجانب به حل مسائل در حالت کلی علاقه مندم! :31:
بزرگترین عددی که حاصلضرب n عدد صحیح متوالی همواره بر آن بخش پذیر است، به روشی مشابه بدست می آید:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
در اینجا p_j ، نشان دهنده j امین عدد اول است.
حل مسئله شنبه سی و نهم
نقل قول:
دوست عزیز، 12233445566 مسئله را به درستی در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] حل کرده اند. خدا به ایشان خیر دهد.
حداقل مقدار پولی را پیدا کنید که اگر با [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] i درصد در بانک پس انداز شود، می توان در انتهای سال اول، دوم، سوم و ... به ترتیب 1، 4، 9 و ... (یعنی مجذور عدد سال) دلار تا ابد برداشت کنیم.
پاسخ باید تابعی از i باشد.
به عنوان مثال برای نرخ بهره 10%، حداقل میزان پول 2310 دلار است.
فرض کنیم مقدار پول اولیه A_0 و مقدار پول بعد از n سال A_n باشد.نقل قول:
با استقراء ریاضی، به کمک رابطه بازگشتی زیر:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
ثابت می شود که:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
برای اینکه شرط مسئله برقرار باشد، لازم و کافی است که به ازای هر n، مقدار A_n مثبت باشد.
می توان محاسبه کرد که:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
در نتیجه حداقل مقدار A_0 (پول اولیه) برابر است با:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سلامنقل قول:
دقت کنید که هیچ دوتایی مضرب مشترک کوچکتر از هزار ندارند،پس مضارب کوچکتر از هزار این اعداد متمایزند.
این n عدد را [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بنامید.بوضوح تعداد این اعداد از هزار کمتر است.
تعداد مضارب کوچکتر از هزار [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برابر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است.پس داریم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
همه عددهای حقیقی k را بیابید که برای آنها تابع پیوسته و یک به یک [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجود باشد که برای هر عدد حقیقی x داشته باشیم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
قضیه: اگر تابع f یک به یک و پیوسته باشد، آنگاه یا اکیدا صعودی است یا اکیدا نزولی.نقل قول:
بطور خلاصه برای اثبات، می توان مجموعه همه سه تایی های (x1,x2,x3) که در آن x1<x2<x3 و عضو دامنه تابع هستند را در نظر گرفت.
در این صورت یا (f(x1)<f(x2)<f(x3 یا (f(x1)>f(x2)>f(x3 .
زیرا در غیر اینصورت می توان نشان داد مقداری مانند k وجود دارد که بنا به قضیه مقدار میانی، معادله f(x)=k یک ریشه در بازه (x1,x2)
و یک ریشه در بازه (x2,x3) داشته باشد، که این با یک به یک بودن تابع در تناقض است.
در نتیجه f یا اکیدا صعودی است یا اکیدا نزولی.
(نمی دانم اثبات بهتری هم هست یا نه)
اگر f اکیدا صعودی باشد، fof هم اکیدا صعودی خواهد بود:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اگر f اکیدا نزولی باشد، fof باز هم اکیدا صعودی خواهد بود:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
در نتیجه k≤0 نیست.
برای k>0 ، تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجود است که در شرایط مسئله صدق می کند.
در نتیجه جواب مسئله، k>0 است.
می توان نشان داد که n حداکثر 500 است و در نتیجه عدد 1.5 را به عنوان یک کران بالای بهتر بدست آورد.نقل قول:
اگر m تا از این اعداد در [1,499] باشند، هر کدام حداقل یک مضرب متمایز در [500,999] دارند، در نتیجه
حداقل m عدد از [500,999] را از دست می دهیم. بنابراین حداکثر مقدار n برابر است با m + (500-m) = 500
یک پرسش دشوار، پیدا کردن ماکزیمم مجموع معکوسات است.
نقل قول:
دوست گرامي 1233445566 اين سوال رو در اينجا
حل كردن. با تشكر فراوان از ايشان.کد:http://forum.p30world.com/showpost.php?p=5442443&postcount=484
ـــــــــــــــــــــ
7 مهر 1389
فرض كنيد [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تابعي پيوسته باشد به طوري كه براي هر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] داشته باشيم
نشان دهيد [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تابعي ثابت است.
ـــــــــــــــــــــ
7 مهر 1389
دنباله زیر را:نقل قول:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
که در آن:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
در نظر بگیرید.
با استقراء ریاضی نشان می دهیم که برای هر n طبیعی داریم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
برای n=1 برقرار است:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اگر برای n برقرار باشد، برای n+1 هم برقرار است:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
پس به سادگی به دست می آید که:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
که x_0 عددی حقیقی است.
فرض کنیم f(0) = k، در نتیجه:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
در نتیجه:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
از طرفی چون f در هر نقطه x_0 پیوسته است، می توان نوشت:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
در نتیجه برای هر x_0 عضو دامنه f داریم f(x_0) = k و این یعنی f تابع ثابت f(x) = k است.
حل مسئله شنبه چهلم
نقل قول:
دوست عزیز 1233445566 مسئله را در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به خوبی حل کرده اند. شاید نحوه محاسبه مجموع برای عده ای مبهم باشد که در سوال بعدی مطرح می شود.
مجموع زیر را محاسبه کنید:
سلام من در امار مشکلاتی دارم شما میتونید کمکم کنید؟سال دوم رشته ی اقتصاد بهشتی کتاب امار 2 دکتر محمد نوفرستی هم میخونم میتونید
برای عدد صحیح m ، با فرض 1 > |x| ، تعریف می کنیم:نقل قول:
می دانیم که:
نشان می دهیم برای هر m صحیح داریم:
اثبات:
در نتیجه:
برای آشنایی با تابع Polylogarithm -که تقریبا مشابه تابع f بحث ماست- میتوانید لینک زیر را ببینید:
کد:http://en.wikipedia.org/wiki/Polylogarithm
با تشکر از دوست عزیز 1233445566 مساله رو به درستی حل کردند، راه حلشونو در ادامه می بینین،دقت کنید که شرط یک به ی بودن هم شرطی اضافه است،یعنی اگر در مساله قید نشده بود که f یک به یک است،با توجه به رابطه ای که f در ان صدق می کند،نتیجه می شد f یک به یک است.
همه عددهای حقیقی k را بیابید که برای آنها تابع پیوسته و یک به یک [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجود باشد که برای هر عدد حقیقی x داشته باشیم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
نقل قول:
سلام
آیا می توان صد کره (نه لزوما هم اندازه) را طوری در فضا قرار داد که هیچ دوتایی متقاطع نباشند،و هر کره بر حداقل یک سوم بقیه کره ها مماس باشد؟
سلام.نقل قول:
ببخشید، اگه فرض کنیم دایره های شکل زیر هر کدوم کره باشند، اینطوری مماس بشن هم قبوله؟
سلام،شما بايد ببخشين!من صورت مساله رو خيلي بد نوشتم.منظورم از غير متقاطع اينه كه كره هاي تو پر هيچ حجم مشتركي نداشته باشن!نقل قول:
پس اينطوري مماس باشن قبول نيست.
خب اینطوری که معلومه نمیشه. چون فرض میکنیم که کره اول رو در فضای سه بعدی قرار دادیم و 33 تا کره دیگه رو هم دورتادورش باهاش مماس کردیم. همین طور کره های باقی مونده رو برای 33 کره ای که به کره ی اول مماس کردیم مماس میکنیم و کل شکل به صورت لایه لایه بزرگتر میشه. واضحه که در لایه ی آخر دیگه نمیشه 33 تا کره ی مماس داشت. یعنی منظورم اینه که بالاخره یه لایه ی آخری وجود داره.نقل قول:
سلامنقل قول:
ما مجبور نیستیم کره ها را لزوما لایه لایه قراربدیم،مثلا ممکنه اول بیایم 33 کره به کره مرکزی مماس کنیم،و بعد کره های بعدی می تونن طوری مماس بشن که هم به بعضی ازین 33 تا کره مماس باشن،هم به کره اولی...
دوست عزیز 1233445566 در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مسئله را به درستی حل کرده اند. آفریننقل قول:
برای هر عدد صحیح و مثبت n فرض کنید t_n نشان دهنده تعداد مقسوم علیه های n باشد که شامل 1 و n هم می شود. نشان دهید ( [] یعنی جزء صحیح )
سلامنقل قول:
از دوست عزیز davy jones که به حل مساله پرداختند تشکر می کنیم.
حل مساله:
فرض کنید صد کره را طوری در فضا قرار داده ایم که هیچ دوتایی متقاطع نیستند(هیچ حجم مشترکی ندارند)و هریک بر حداقل یک سوم بقیه کره ها مماس است.حال کوچکترین کره را در نظر بگیرید،پس حداقل 34 کره به آن مماس است که شعاعشان بزرگتر مساوی این کره هست.اما ثابت می کنیم چنین چیزی غیر ممکن است.
فرض کنید به یک کره به شعاع R بتوان n کره با شعاع بزرگتر مساوی R مماس کردکه هر دوتایی غیر متغاطع باشند،پس به وضوح به این کره می توان nکره به شعاع R نیز مماس کرد کردکه هر دوتایی غیر متغاطع باشند.
حال یک کره به شعاع سه برابر R به مرکز کره اولیه در نظر بگیرید،به وضوح هر n+1 کره ما داخل این کره قرار دارند و هیچ حجم مشترکی ندارند پس داریم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
پس نمی توان چنین کاری کرد.البته صد را در صورت مساله می توان با اعداد بهتری نیز جایگزین کرد،مثلا با همین راه حل نتیجه میشه که 76 تا کره هم نمیشه.ویا طبق یک مساله معروف می دانیم (این مساله به مساله سیزده کره معروفه،و در "کتاب اثبات " با راه حلش اومده)که به یک کره حداکثر سیزده کره می توان مماس کرد،پس میشه صدو با چهل نیز جایگزین کرد!
البته ما در اینجا فقط از یک عامل محدود کننده استفاده کردیم،یعنی تعداد کره هایی که به کوچکترین کره مماس میشن و اگه با روشی بتونیم از اینکه همه کره ها باید به یک سوم کره ها مماس باشن استفاده کنیم(مثل ایده دوستمون davy jones ) احتمالا چهلو هم بشه کوچکتر کرد.
همه عددهای حقیقی p را بیابید که دستگاه معادلات زیر دارای در مجموعه اعداد حقیقی جواب داشته باشد:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سلام بر مهندسين عزيز من يك سوال در مورد مجموعه ها داشتم
مجموعه هائي كه نامتناهي ولي شمارش پذير هستند آيا مجموعه تواني آنه هم شمارش پذير است يا نه ؟ با تشكر
سلام.نقل قول:
سوالتون رو در اینجا مطرح بفرمایید:
کد:http://www.forum.p30world.ir/showthread.php?t=41864&page=304
محتوای مخفی: همکار انجمن ها
موفق باشین.
89/7/21
نقل قول:
جناب 1233445566 به زيبايي اين مسأله رو در
حل كردن. از راه حل زيباي ايشان تشكر مي‌كنم.کد:http://forum.p30world.com/showpost.php?p=5471432&postcount=494
ــــــــــــــــــــ
21 مهر 1389
دو دنباله‌ي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به صورت زير تعريف شده‌اند
نشان دهيد [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] براي هر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] .
ــــــــــــــــــــ
21 مهر 1389
دنباله [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را برای اعداد طبیعی i و j چنین تعریف می کنیم:نقل قول:
مقدارش برابر با 1 است اگر i بر j بخش پذیر باشد و 0 است اگر نباشد.
در اینصورت دو نتیجه بدست می آید:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
دومی، تعداد مضارب j در میان اعداد نابزرگتر از n می باشد.
همچنین چون [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به ازای j > i برابر با صفر است، برای اولی می توان نوشت:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
از طرف چپ تساوی شروع می کنیم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
که بنا به خواص [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] می توان نوشت:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
که این، طرف راست تساوی می باشد.
یک معادله درجه 3 در حالت کلی، دارای 3 ریشه (مختلط) می باشد. یک معادله درجه 3 با ریشه های r1 و r2 و r3 را در نظر بگیرید، در اینصورت:نقل قول:
بنابراین، ریشه های معادله زیر، در دستگاه مورد نظر صدق می کنند و برعکس:
جواب مسئله برابر است با مقادیر حقیقی p که به ازای آن، هر سه ریشه معادله بالا حقیقی باشند.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
برای این منظور، p باید بین ماکزیمم و مینیمم نسبی تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد، یعنی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] .
از اتحادهای مثلثاتی می دانیم:نقل قول:
قرار می دهیم:
بطور مشابه:
در نتیجه:
با سلام و عذر تقصیر به علت تأخیر زیادنقل قول:
از 1233445566 که در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مساله را حل کردند، تشکر می کنم. البته استدلال ساده تر از این هم وجود دارد: یک مثلث قائم الزاویه با دو ضلع غیر وتر x و 1 در نظر بگیرید؛ x و معکوس x را بر حسب تانژانت دو زاویه ی غیر قائم بنویسید. حال اگر این دو زاویه را بر حسب تانژانت معکوس x و معکوس x دوباره نویسی کنید، مطلب با جمع طرفین به دست می آید.
آموزش حل مساله:
«استدلالات» هندسی برای قضایای مثلثاتی.
موفق باشید.
23 مهر 1389
با سلام
سه مرد گرسنه در حالی که کیسه ای سیب به همراه داشتند، در جایی به خواب رفتند. در نیمه های شب یکی از مردها بیدار شد و یک سوم سیب ها را خورد و خوابید. کمی بعد دومی بیدار شد و یک سوم باقی مانده ی سیب ها را خورد و خوابید. بالاخره مرد سوم بیدار شد و یک سوم باقی مانده ی سیب ها را خورد. وقتی خوردن او تمام شد، 8 سیب در کیسه باقی مانده بود. در ابتدا چند سیب در کیسه بوده است؟
توضیح:
مساله را فقط به روش جبری حل نکنید؛ راه حل های زیبا و خوش ساخت نیز وجود دارند.
موفق باشید.
23 مهر 1389
سلامنقل قول:
با تشکر از دوست عزیز 1233445566 که مساله رو به زیبایی حل کردند.
راه حلشونو دراینجا می ببنید:
کد:http://forum.p30world.com/showpost.php?p=5515954&postcount=514
مجموع معکوسات همه اعداد طبیعی را بدست آورید که فقط عوامل اول کوچکتر از ده دارند.