مقالات علمي رياضي

تاریخچه ریاضیات


انسان اولیه نسبت به اعداد بیگانه بود و شمارش اشیاء اطراف خود را به حسب غریزه یعنی همانطور كه مثلاً مرغ خانگی تعداد جوجه هایش را می داند انجام می داد اما به زودی مجبور شد وسیله شمارش دقیق تری بوجود آورد لذا به كمك انگشتان دست دستگاه شماری پدید آورد كه مبنای آن ۶۰ بود.
این دستگاه شمار كه بسیار پیچیده می باشد قدیمی ترین دستگاه شماری است كه آثاری از آن در كهن ترین مدارك موجود یعنی نوشته های سومری مشاهده می شود. سومریها كه تمدنشان مربوط به حدود هزار سال قبل از میلاد مسیح است در جنوب بین النهرین یعنی ناحیه بین دو رود دجله و فرات ساكن بودند. آنها در حدود ۲۵۰۰ سال قبل از میلاد با امپراطوری سامی عكاد متحد شدند و امپراطوری و تمدن آشوری را پدید آوردند.
نخستین دانشمند معروف یونانی طالس ملطلی (۶۳۹- ۵۴۸ ق. م.) است كه در پیدایش علوم نقش مهمی به عهده داشت و می توان وی را موجد علوم فیزیك، نجوم و هندسه دانست. در اوایل قرن ششم ق. م. فیثاغورث (۵۷۲-۵۰۰ ق. م.) از اهالی ساموس یونان كم كم ریاضیات را بر پایه و اساسی قرار داد و به ایجاد مكتب فلسفی خویش همت گماشت. پس از فیثاغورث باید از زنون فیلسوف و ریاضیدان یونانی كه در ۴۹۰ ق. م. در ایلیا متولد شده است نام ببریم. در اوایل نیمه دوم قرن پنجم بقراط از اهالی كیوس قضایای متفرق آن زمان را گردآوری كرد و در حقیقت همین قضایا است كه مبانی هندسه جدید ما را تشكیل می دهند.
در قرن چهارم قبل از میلاد افلاطون در باغ آكادموس در آتن مكتبی ایجاد كرد كه نه قرن بعد از او نیز همچنان برپا ماند. این فیلسوف بزرگ به تكمیل منطق كه ركن اساسی ریاضیات است همت گماشت و چندی بعد منجم و ریاضی دان معاصر وی ادوكس با ایجاد تئوری نسبتها نشان داد كه كمیات اندازه نگرفتنی كه تا آن زمان در مسیر علوم ریاضی گودالی حفر كرده بود هیچ چیز غیرعادی ندارد و می توان مانند سایر اعداد قواعد حساب را در مورد آنها به كار برد.
در قرن دوم ق. م. نام تنها ریاضی دانی كه بیش از همه تجلی داشت ابرخس یا هیپارك بود. این ریاضیدان و منجم بزرگ گامهای بلند و استادانه ای در علم نجوم برداشت و مثلثات را نیز اختراع كرد. بطلمیوس كه به احتمال قوی با امپراطوران بطالسه هیچگونه ارتباطی ندارد در تعقیب افكار هیپارك بسیار كوشید. در سال ۶۲۲ م. كه حضرت محمد (ص) از مكه هجرت نمود در واقع آغاز شكفتگی تمدن اسلام بود.
در زمان مأمون خلیفه عباسی تمدن اسلام به حد اعتلای خود رسید به طوری كه از اواسط قرن هشتم تا اواخر قرن یازدهم زبان عربی زبان علمی بین المللی شد. از ریاضیدانان بزرگ اسلامی این دوره یكی خوارزمی می باشد كه در سال ۸۲۰ به هنگام خلافت مأمون در بغداد كتاب مشهور الجبر و المقابله را نوشت.
دیگر ابوالوفا (۹۹۸-۹۳۸) است كه جداول مثلثاتی ذیقیمتی پدید آورد و بالاخره محمد بن هیثم (۱۰۳۹-۹۶۵) معروف به الحسن را باید نام برد كه صاحب تألیفات بسیاری در ریاضیات و نجوم است. قرون وسطی از قرن پنجم تا قرن دوازدهم یكی از دردناكترین ادوار تاریخی اروپاست. عامه مردم در منتهای فلاكت و بدبختی به سر می بردند. برجسته ترین نامهایی كه در این دوره ملاحظه می نماییم در مرحله اول لئونارد بوناكسی (۱۲۲۰-۱۱۷۰) ریاضیدان ایتالیایی است. دیگر نیكلاارسم فرانسوی می باشد كه باید او را پیش قدم هندسه تحلیلی دانست.
در قرون پانزدهم و شانزدهم دانشمندان ایتالیایی و شاگردان آلمانی آنها در حساب عددی جبر و مكانیك ترقیات شایان نمودند. در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه شخصی به نام فرانسوا ویت (۱۶۰۳-۱۵۴۰م) به پیشرفت علوم ریاضی خدمات ارزنده‌ای نمود. وی یكی از واضعین بزرگ علم جبر و مقابله جدید و در عین حال هندسه دان قابلی بود.
▪ كوپرنیك (۱۵۴۳-۱۴۷۳) منجم بزرگ لهستانی در اواسط قرن شانزدهم دركتاب مشهور خود به نام درباره دوران اجسام آسمانی منظومه شمسی را این چنین ارائه داد:
۱) مركز منظومه شمسی خورشید است نه زمین.
۲) در حالیكه ماه به گرد زمین می چرخد سیارات دیگر همراه با خود زمین به گرد خورشید می چرخند.
۳) زمین در هر ۲۴ ساعت یكبار حول محور خود می چرخد، نه كره ستاره های ثابت.
پس از مرگ كوپرنیك مردی به نام تیكوبراهه در كشور دانمارك متولد شد. وی نشان داد كه حركت سیارات كاملاً با نمایش و تصویر دایره های هم مركز وفق نمی دهد. تجزیه و تحلیل نتایج نظریه تیكوبراهه به یوهان كپلر كه در سال آخر زندگی براهه دستیار وی بود محول گشت. پس از سالها كار وی به نخستین كشف مهم خود رسید و چنین یافت كه سیارات در حركت خود به گرد خورشید یك مدار كاملاً دایره شكل را نمی پیمایند بلكه همه آنها بر روی مدار بیضی شكل حركت می كنند كه خورشید نیز در یكی از دو كانون آنها قرار دارد. قرن هفدهم در تاریخ ریاضیات قرنی عجیب و معجزه آساست.
از فعالترین دانشمندان این قرن كشیشی پاریسی به نام مارن مرسن كه می توان وی را گرانبها ترین قاصد علمی جهان دانست. در سال ۱۶۰۹ گالیله ریاضیات و نجوم را در دانشگاه پادوا در ایتالیا تدریس می كرد. وی یكی از واضعین مكتب تجربی است. وی قانون سقوط اجسام را به دست آورد و مفهوم شتاب را تعریف كرد. در همان اوقات كه گالیله نخستین دوربین نجومی خود را به سوی آسمان متوجه كرد در ۳۱ مارس ۱۵۹۶ در تورن فرانسه رنه دكارت به دنیا آمد. نام ریاضیدان بزرگ سوئیسی «پوب گولدن» را نیز باید با نهایت افتخار ذكر كرد.

[بزرگ‌نمایی تصویر]
شهرت وی بواسطه قضایای مربوط به اجسام دوار است كه نام او را دارا می باشد و در كتابی به نام مركزثقل ذكر شده. دیگر از دانشمندان برجسته قرن هفدهم پی یر دوفرما ریاضیدان بزرگ فرانسوی است كه یكی از برجسته ترین آثار او تئوری اعداد است كه وی كاملاً بوجود آورنده آن می باشد. ریاضیدان بزرگ دیگری كه در این قرن به خوبی درخشید ژیرارد زارك فرانسوی است كه بیشتر به واسطه كارهای درخشانش در هنر معماری شهرت یافت و بالاخره ریاضی دان دیگر فرانسوی یعنی روبروال كه بواسطه ترازوی مشهوری كه نام او را همراه دارد همه جا معروف است.
در اواسط قرن هفدهم كم كم مقدمات اولیه آنالیز عناصر بی نهایت كوچك در تاریكی و ابهام به وجود آمد و رفته رفته سر و صدای آن به گوش مردم رسید. بدون شك پاسكال همراه با دكارت و فرما یكی از سه ریاضیدان بزرگ نیمه اول قرن هفدهم بود و نیز می توان ارزش او را در علم فیزیك برابر گالیله دانست.
در نیمه دوم قرن هفدهم ریاضی بطور دقیق دنبال شد. سه نابغه فنا ناپذیر این دوره یعنی نیوتن انگلیسی، لایب نیتس آلمانی و هویگنس هلندی جهان علم را روشن كرده بودند. لایب نیتس در سال ۱۶۸۴ با انتشار مقاله ای درباره حساب عناصر بی نهایت كوچك انقلابی برپا كرد. هوگنس نیز در تكمیل دینامیك و مكانیك استدلالی با نیوتن همكاری كرد و عملیات مختلف آنها باعث شد كه ارزش واقعی حساب انتگرال در توسعه علوم دقیقه روشن شود.
در قرن هجدهم دیگر تمام طوفانهای قرن هفدهم فرو نشست و تحولات این قرن عجیب به یك دوره آرامش مبدل گردید. دالامبر فرانسوی آنالیز ریاضی را در مكانیك به كار برد و از روشهای آن استفاده كرد. كلرو رقیب او در ۱۸ سالگی كتابی به نام تفحصات درباره منحنی های دو انحنایی انتشار داد و در مدت شانزده سال رساله ای تهیه و به آكادمی علوم تقدیم نمود كه شامل مطالب قابل توجهی مخصوصاً در مورد مكانیك آسمانی و هندسه بی نهایت كوچكها بود. دیگر لئونارد اویلر ریاضیدان بزرگ سوئیسی است كه در ۱۵ آوریل ۱۷۰۷ م. در شهر بال متولد شد و در ۱۷ سپتامبر ۱۷۸۳ م. در روسیه درگذشت.
لاگرانژ از جمله بزرگترین ریاضیدانان تمام ادوار تاریخ بشر است. مكانیك تحلیلی او كه در سال ۱۷۸۸ . عمومیت یافت بزرگترین شاهكار وی به شمار می رود. لاپلاس كه در تدریس ریاضی دانشسرای عالی پاریس معاون لاگرانژ بود كتابی تحت عنوان مكانیك آسمانی در پنج جلد انتشار داد. گاسپار مونژ این نابغه دانشمند وقتی كه هنوز بیست سال نداشت شاخه جدید علم هندسه به نام هندسه ترسیمی را بوجود آورد.
ژان باتیست فوریه در مسأله انتشار حرارت روش بدیع و جالبی اختراع كرد كه یكی از مهمترین مباحث آنالیز ریاضی گردید. از دیگر دانشمندان بزرگ این قرن سیمون دنی پوآسون (۱۸۴۰-۱۷۸۱) فرانسوی و شاگرد لاپلاس می باشد كه اكتشافات مهمی در ریاضیات نمود گائوس ریاضیدان شهیر آلمانی تئوری كامل مغناطیس را بوجود آورد. مطالعات او درباره انحناء و ترسیم نقشه ها و نمایش سطوح بر صفحات اصلی و اساسی می باشد.
كوشی فرانسوی كه در سراسر نیمه اول قرن پانزدهم بر دیگر هموطنان برتری داشت با منطق دقیق خود تئوری های زیادی از حساب انتگرال را توسعه داد. آبل در سال ۱۸۲۴ ثابت نمود كه صرفنظر از معادلات درجه اول تا درجه چهارم هیچ دستور جبری كه بتواند معادله درجه پنجم را به نتیجه برساند وجود ندارد. گالوا كه در ۲۶ اكتبر ۱۸۱۱ م. در پاریس متولد شد تئوری گروهها را كه قبلاً بوسیله كوشی و لاگرانژ مطالعه شده بود در معادلات جبری به كار برد و گروه جانشینی هر معادله را مشخص كرد.
دیگر از دانشمندان بزرگ این قرن ژنرال پونسله فرانسوی می باشد كه آثاری همچون «موارد استعمال آنالیز در ریاضی» و «خواص تصویری اشكال» دارد همچنین لازار كانو فرانسوی كه اكتشافات هندسی او دارای اهمیت فوق العاده می باشد. میشل شال هندسه مطلق را با بالاترین درجه استادی به بالاترین حد ممكن ترقی داد. در نیمه اول قرن نوزدهم ریاضیدان روسی نیكلاس ایوانویچ لوباچوشكی نخستین كشف خود را درباره هندسه غیراقلیدسی به جامعه ریاضیات و فیزیك قازان تقدیم كرد.
ادوارد كومرنیز در نتیجه اختراع نوعی از اعداد به نام اعداد ایده آل جایزه ریاضیات آكادمی علوم پاریس را از آن خود كرد. در اینجا ذكر نام دانشمندانی نظیر شارل وایرشتراس و شارل هرمیت كه در مورد توابع بیضوی كشفیات مهمی نمودند ضروری است. ژرژ كانتور ریاضیدان آلمانی مكه در روسیه تولد یافته بود در ربع آخر قرن نوزدهم با وضع فرضیه مجموعه ها اساس هندسه اقلیدسی را در هم كوفت.
▪ كانتور مجموعه را به دو صورت زیر تعریف كرد:
۱) اجتماع اشیایی كه دارای صفت ممیزه مشترك باشند هر یك از آن اشیاء را عنصر مجموعه می گویند.
۲) اجتماع اشیایی مشخص و متمایز
ولی ابتكاری و تصوری هنری پوانكاره یا غول فكر ریاضی آخرین دانشمند جهانی است كه به همه علوم واقف بود. وی در بیست و هفت سالگی بزرگترین اكتشاف خود یعنی توابع فوشین را به دنیای دانش تقدیم نمود. بعد از پوانكاره ریاضیدان سوئدی متیاگ لفلر كارهای او را ادامه داد و سپس ریاضیدان نامی فرانسوی امیل پیكارد در این راه قدم نهاد. در اواخر قرن نوزدهم علم فیزیك ریاضی به منتها درجه تكامل خود رسید و دانش نجوم مكانیك آسمانی تكمیل گردید. امروزه ریاضیات بیش از پیش در حریم سایر علوم نفوذ كرده و نه فقط علوم نجوم و فیزیك و شیمی تحت انضباط آن درآمده اند بلكه اصولاً ریاضیات دانش مطلق و روح علم شده است.
منبع:سازمان آموزش و پرورش استان خراسان

تابع
مفهوم تابع یا پردازه، در سراسر ریاضیات نوین و دیگر دانش‌ها و در همهٔ سطوح از ارزش بسزایی برخوردار است. این مفهوم در ابتدا در حساب دیفرانسیل و انتگرال که بیش‌تر به مطالعه توابع حقیقی و بررسی حد و مشتق و انتگرال آنها می‌پردازد شکوفا شد. شاید آنچه را که واژهٔ تابع در ابتدا در پندار خوانندهٔ کم و بیش آشنا با این مفهوم ایجاد کند، گزاره ای چون f(x)=x2+sinx و سایر گزاره‌های جبری باشد(به شرط تابع بودن) که بیش‌تر اعداد حقیقی و یا مختلط برای این مورد به‌کار برده می‌شود. ولی این مفهوم بسیار گسترده تر از این است و این تنها بخش کوچکی از مفهوم تابع است. در آغاز مفهوم تابع چندان فراگیر نبود ولی در ادامهٔ تلاش‌ها برای پیش‌نهادن(ارائه) تعریف و مفهومی کلی از تابع و گسترش نظریه مجموعه‌ها، پنداره‌ای(مفهومی) ساده و فراگیر از تابع ارائه شد. این کلیت به قدری است که مثلاً برای مطالعه حساب دیفرانسیل و انتگرال باید شرایطی اضافی را بر تابع(مانند پیوستگی و مشتق پذیری) اعمال کرد تا رده خاصی از توابع مورد نظر برای مطالعه حاصل شود. در بیشتر زمینه‌های ریاضی، اصطلاحات تبدیل و نگاشت نیز بیش‌تر با تابع هم معنی پنداشته می‌شوند. به هر روی شاید که در برخی زمینه‌ها ویژگی‌های دیگری داشته باشند. برای نمونه در هندسه، یک نگاشت گاهی یک تابع پیوسته تعریف می‌شود.

آشنایی با مفهوم
دو گزاره(عبارت) (y2=x (1 و (2) y=x2 را در نظر بگیرید که در آن x متغیری از اعداد حقیقی است.
در گزاره (1) اگر متغیر x را در گزاره بگذاریم دو اندازه(مقدار) برای y بدست می‌آید که عبارت اند از ، اما در گزارهٔ دوم با گذاشتن مقدار x مقداری یگانه برای y یعنی x2 بدست می‌آید. برای نمونه در گزاره (1) اگر x=2 آنگاه ولی اگر در گزاره (2) بگذاریم x=2 تنها یک جواب y=4 را بدست می‌آوریم. اگر متغییر x را ورودی و y که مقدار بدست‌آمده از گذاشتن متغیر x در گزاره است را خروجی بنامیم و هر یک از گزاره‌ها را به عنوان هنجاری(قاعده‌ای) بگیریم که هر ورودی x را طبق قانونی ویژه به خروجی y تبدیل می‌کند، می‌توان تفاوت بین دو گزاره را اینگونه گفت که در گزاره (1) برای هر ورودی x، هنجار مربوطه دو خروجی y را می‌دهد، در صورتی که در (2) برای هر ورودی x هنجار مربوط به آن دقیقاً یک خروجی y می‌دهد. در هر مورد هنجار را می‌توان یک روش ویژه برای تناظر هر ورودی x به خروجی خودش دانست. رده ویژه‌ای از هنجارهای(قواعد) تناظر وجود دارند که به هر وروی خود یک و فقط یک خروجی نسبت می‌دهند. این گونه هنجارها از اهمیت ویژه‌ای برخوردارند چرا که برای هر ورودی، خروجی آنها یکتا و صریحاً قابل محاسبه و بازگو(بیان) است. چنین هنجاری(قاعده‌ای) را در اصطلاح تابع می‌گوییم. پس بنابر آنچه تا اینجا بازگو شد یک تابع هنجاری(قاعده‌ای) است که هر متغیر دریافتی خود را فقط به یک خروجی نسبت می‌دهد.

شکل(1) نمونه‌ای از یک تناظر که تابع نیست

شکل(2) نمونه‌ای از یک تابع
برای نمونه تناظر شکل(1) نمایش دهنده یک تابع نمی‌باشد چراکه عضو 3 به دو عضو متناظر شده است. اما شکل(2) نشان دهنده یک تابع است هر چند که دو عضو گوناگون به یک عضو نسبت داده شده‌اند. حال تلاش می‌کنیم تعریفی ریزبینانه و قابل پذیرش از دیدگاه ریاضی برای این مفهوم پیدا کنیم. در این راه درآغاز نمادگذاری ویژه‌ای را می‌شناسانیم.
برای نمایش بهتر، تابع که خود یک هنجار(قاعده) برای تناظر است را با f نشان می‌دهیم و ورودی یا شناسه این تابع (هنجار) را با x نشان می‌دهیم که ممکن است عدد هم نباشد. یگانه مقدار خروجی که هنجار f به ورودی x نسبت می‌دهد را بجای y این‌بار با (f(x نشان می‌دهیم و آن را مقدار تابع f در x یا تصویر x تحت تابع f می‌گوییم. همچنین از این پس به هنجاری(قاعده‌ای) که هر x را به (y=f(x نسبت می‌دهد ضابطه تابع می‌گوییم. برای نمونه گزاره f(x) = x۲ نشان دهنده ضابطه یک تابع است، که در آن f شناسه x را دریافت می‌کند و آن را به x۲ نسبت می‌دهد. در این صورت برای ورودی ۳ مقدار f(3)=9 به دست می‌آید. نکته قابل توجه این است که نباید تابع را با ضابطه آن اشتباه کرد. به عنوان مثال در مثال فوق f معرف خود تابع و گزاره (f(x معرف ضابطه تابع است. همانطور که در ابتدا بیان شد، در یک تابع لزومی ندارد که حتماً بر روی اعداد علمیاتی انجام گیرد. به عنوان مثال تناظری که بین هر فرد و شماره شناسنامه آن وجود دارد نیز نمونه‌ای از توابع است. در ادامه نمونه های بیشتری را از این نوع توابع در ریاضیات خواهید دید. تا کنون مفهومی جالب توجه به نام تابع پیدا کردیم و به توصیف اجمالی آن پرداختیم. حال با در دست داشتن این مفهوم باید سعی در تعریف دقیق و قابل قبول آن از نظر ریاضی بکنیم. تابع را به عنوان یک هنجار تناظر تعریف کردیم که به هر عضو ورودی خود یک عضو یگانه را متناظر می‌کند. حال می‌توان همه عناصری را که به عنوان ورودی تابع قرار می‌گیرند در یک مجموعه قرار داد. در اختیار داشتن چنین مجموعه‌ای مفید است و باعث می‌شود متغیرهایی که به عنوان ورودی تابع در نظر گرفته می‌شوند را تعیین کنیم و عناصر اضافه را حذف کنیم. چنین مجموعه‌ای را دامنه تابع می‌گوییم. دامنه تابع f را با domf نشان می‌دهیم. به همین صورت می‌توان مجموعه همه خروجی‌های تابع که تصویر عناصر دامنه هستند را هم در نظر گرفت که به آن برد تابع گفته می‌شود و آن را با ranf یا Imf نشان می‌دهیم. (در خصوص این مفاهیم در ادامه دقیق‌تر بحث خواهد شد.) حال تابع را می‌توان به عنوان هنجاری خاص برای تناظر بین اعضای دو مجموعه دامنه و برد تعریف کرد. به بیان دقیق تر، اگر A و B دو مجموعه باشند، یک تابع از مجموعه A به مجموعه B را می‌توان هنجاری تعریف کرد که به هر عضو مجموعه A چون a یک و فقط یک عضو از مجموعه B را چون (f(a نسبت می‌‌دهد. تابع f از مجموعه A به مجموعه B را با نشان می‌دهیم. اگر f تابعی از مجموعه A به مجموعه B باشد، A را دامنه f می‌گوییم. اما مجموعه B می‌تواند مجموعه ای بیش از برد تابع باشد. f به هر عضو A یک عضو یکتا از B را نسبت می‌دهد اما تضمینی وجود ندارد که هر عضو مجموعه B الزاماً تصویر یک عضو از A تحت f باشد. پس در حالت کلی برد تابع f زیرمجموعه‌ای از مجموعه B است. مجموعه B را که برد تابع زیرمجموعه‌ای از آن است را همدامنه تابع f می‌گوییم و آن را با codomf نشان می‌دهیم. طبق آنچه بیان شد، برد تابع زیرمجموعه‌ای از همدانه‌اش است. می‌توان دید که برد یک تابع یکتا است ولی همدامنه آن چنین نیست. به عنوان مثال تابع را با ضابطه f(x)=x2 در نظر بگیرید. دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی است اما آیا برد آن نیز همان مجموعه اعداد حقیقی R است؟ پاسخ آشکارا منفی است چون اعداد حقیقی منفی، چون 1- تصویر هیچ عدد حقیقی تحت f نمی‌باشند. برد این تابع مجموعه اعداد حقیقی نامنفی است که زیرمجموعه‌ای از اعداد حقیقی است. به نظر می‌رسد بیشتر قسمت‌های تعریف اولیه‌ای که از تابع ارائه دادیم را دقیق نمودیم و آنها را بر پایه مجموعه ها تعریف کردیم. اما نکته‌ای که هنوز در تعریف فعلی ما از یک تابع از مجموعه A به مجموعه B، به عنوان: «هنجاری که به هر عضو مجموعه A یک و فقط یک عضو از مجموعه B را تناظر دهد.» آزار دهنده و نادقیق است عباراتی چون «هنجار» یا «تناظر» است که از نظر ریاضی نادقیق هستند. چگونه می‌توان این هنجار و بعد از آن تناظری که این هنجار معرف آن است را به طور دقیق فرمول بندی کرد.
فرض کنید f:A→B یک تابع باشد. در این صورت تابع f با انتخاب یک عضو a€A آن را طبق ضابطه خود به عضو یکتای f(a)€B متناظر می‌کند. می‌توان هر عضو a را به‌وسیله زوج مرتب ((a,f(a) به (f(a نسبت دهیم. به این ترتیب، ممکن است معنی دقیق تناظر را ندانیم ولی به نظر طبیعی می‌‌رسد که تناظری که تابع f بین اعضای A و B ایجاد می‌کند را به‌وسیله زوج های مرتب ((a,f(a) برای هر a€A تعریف کنیم. حال تابع f به عنوان هنجار این تناظر، چیزی بجر توصیف نحوه تناظر اعضای A به B نیست که به طور کامل به‌وسیله همه زوج‌های مرتب ((a,f(a) برای هر a€A مشخص می‌شود پس تابع f را می‌توان به عنوان مجموعه همه این زوجهای مرتب، یعنی مجموعه همه زوج‌های مرتبی که مولفه اول آنها عضو A بوده و مولفه دوم آنها تصویر مولفه اول تحت تابع f است، تعریف کرد. شرط تابع بودن تضمین می‌کند که هیچ دو زوج متمایزی در تابع f دارای مولفه اول یکسان نخواهند بود.همچنین از اینجا بنا به تعریف حاصل ضرب کارتی دو مجموعه A و B چون a€A و f(a)€B می‌توان نوشت a,f(a))€A×B).
پس تابع f را می‌توان به عنوان زیرمجموعه‌ای از ضرب دکارتی دو مجموعه A و B در نظر گرفت. به عبارت دقیق تر تابع f را می‌توان به عنوان رابطه‌ای دو تایی از A به مجموعه B در نظر گرفت. در این صورت در تابع f:A→B برای هر a€A گزاره a,b)€f) را به صورت (b=f(a نشان می‌دهیم. حال همه چیز برای ارائه تعریفی دقیق از تابع آماده است.
تعریف دقیق تابع
تعریف
یک تابع از مجموعه X به مجموعه Y رابطه‌ای چون f از مجموعه X به مجموعه Y است که دارای شرایط زیر باشد:
1. دامنه f مجموعه X باشد، یعنی domf=X.
2. برای هر x∈X عنصر یگانه y∈Y موجود باشد که x,y)∈f) یا به عبارتی هیچ دو زوج مرتب متمایزی متعلق به f دارای مولفه اول یکسان نباشند. شرط یگانگی را به طور صریح می‌توان یه این صورت فرمول بندی کرد که اگر x,y)∈f) و x,z)∈f) آنگاه y=z.
رابطه‌ای را که دارای چنین شرایطی باشد، تابع خوش تعریف می‌گوییم.
برای هر x∈X یگانه عضو y در Y که به ازای آن x,y)∈f) را با (f(x نشان می‌دهیم. در مورد تابع این علامت گذاری، سایر علامت گذاری‌هایی را که در مورد روابط کلی تر استفاده می‌شوند چون x,y)∈f) یا xfy را متروک ساخته است. از این پس اگر f یک تابع باشد، بجای x,y)∈f) یا xfy می‌نویسیم (y=f(x. عضو y را مقدار تابع به ازای متغیر یا شناسه x، یا تصویر x تحت f می‌گوییم و نیز x را پیش نگاره y می‌گوییم. کلمات نگاشت، تبدیل، تناظر و یا عملگر نیز برخی از انبوه کلماتی هستند که ممکن است در منابع مختلف بجای تابع بکار بروند اما این عبارات عموماً در برخی حوزه‌ها، بر حالت‌های خاصی از توابع دلالت دارند. اگر f تابعی از مجموعه X به(در یا به توی) مجموعه Y باشد، این مطلب را به صورت سه تایی (f,X,Y) یا به طور معمول تر برای توابع با f:X→Y نشان می‌دهیم.
مشخص کردن تابع
برای مشخص کردن یک تابع باید دامنه و ضابطه آن را بشناسیم. منظور از ضابطه یک تابع f:X→Y، فرمول و یا دستوری است که برطبق آن برای هر x∈X، مقدار تابع f در x یعنی (f(x تعیین می‌شود. ضابطه تابع را می‌توان به صورت یک گزاره جبری، مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب یا یک رابطه بازگشتی مشخص کرد.به این ترتیب برای مشخص کردن یک تابع از مجموعه X به مجموعه Y می‌نویسیم f:X→Y و سپس ضابطه آن را ذکر می‌کنیم. البته گاهی در مواقعی که بیم ابهام نرود دامنه تابع را ذکر نمی‌کنند و به ذکر ضابطه تابع بسنده می‌کنند. مثلاً عرف بر این است که در حساب دیفرانسیل و انتگرال دامنه توابع در صورت ذکر نشدن اعداد حقیقی یا بازه‌ای از اعداد حقیقی باشد.
دامنه و برد تابع
یک تابع f از مجموعه X به توی مجموعه Y را به عنوان نوعی رابطه از مجموعه X به Y تعریف کردیم. مفاهیم دامنه و برد همانگونه که برای روابط در حالت کلی قابل تعریف‌اند، به طریق اولی برای تابع f نیز قابل تعریف خواهند بود. بنا به تعریف دامنه تابع f که با domf نموده می‌شود، همان مجموعه X است. برد تابع f نیز مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند. برد تابع f را با ranf یا Imf نشان می‌دهیم. بنابه تعریف داریم:

اما همانطور که در گذشته نیز اشاره شد و از تعریف فوق نیز قابل برداشت است، برد f در حالت کلی لزوماً برابر مجموعه Y نمی‌باشد بلکه زیرمجموعه‌ای از آن است. برای تمایز بین مجموعه Y و برد تابع f به مجموعه Y همدامنه تابع f می‌گویند و آن را با codomf نشان می‌دهیم و بنا بر آنچه گفته شد، برد تابع زیرمجموعه‌ای از همدامنه‌اش هست.به عنوان مثال فرض کنید {X={1,2,3 و {Y={a,b,c,d و تابع f:X→Y به صورت {(f={(1,a),(2,b),(3,c تعریف شده باشد. وضوحاً دامنه این تابع مجموعه X است(می‌توان برای تعیین آن مجموعه همه مولفه‌های اول زوج‌های مرتب f را در نظر گرفت) ولی برد آن بنابه تعریف مجموعه {a,b,c} است که آشکارا زیرمجموعه حقیقی Y است.(یعنی زیرمجموعه آن است ولی با آن برابر نمی‌باشد) در حقیقت برد تابع f مجموعه همه مولفه‌های دوم زوج مرتب‌های f است. مجموعه همه عناصری از Y که به ازای یکx∈X داشته باشیم (y=f(x.
تساوی دو تابع
فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند. در این صورت تساوی دو تابع f و g را چگونه می‌توان تعریف کرد؟ وضوحاً تساوی f=g، تساوی بین دو مجموعه است و لذا f=g اگر و فقط اگر اعضای f و g یکسان باشند. این مطلب بسیار موجز است و می‌توان تفسیر زیبایی برای آن انجام داد. این مطلب در درجه اول ایجاب می‌کند که دامنه دو تابع f و g برابر باشند یعنی X=Z. چرا که برای هر x∈X ،x اگر و فقط اگر x,f(x))∈f) و چون f=g اگر و فقط اگر x,f(x))∈g) و این اگر و فقط اگر x∈Z پس X=Z. پس اولین شرط لازم برای تساوی دو تابع تساوی دامنه آنها است. حال دو تابع f:X→Y و g:X→Z باهم برابرند، یعنی f=g اگر و فقط اگر برای هر x∈X داشته باشیم(f(x)=g(x. به عبارت دیگر اگر f=g در این صورت برای هر x∈X دلخواه و از این پس ثابت، داریم x,f(x))∈f) و چون f=g پس x,f(x))∈g) و این یعنی (f(x)=g(x. بلعکس فرض می‌کنیم برای هر x∈X داشته باشیم(f(x)=g(x در این صورت، برای هر (x,y)∈f ،(x,y) اگر وفقط اگر (y=f(x و این اگر و فقط اگر (y=g(x پس x,y)∈g) و این یعنی f=g. بنابر آنچه گفته شد دو تابع f,g باهم برابرند اگر وفقط اگر دامنه‌شان با هم برابر باشد و برای هر x از دامنه مشترکشان، (f(x)=g(x. به عنوان مثال دو تابع و g(x) = | x | با دامنه اعداد حقیقی باهم برابرند. چرا که اولاً دامنه هر دو آنها اعداد حقیقی R است و برای هر x∈R داریم:
تحدید و توسیع
فرض کنید f:X→Y یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد. در این صورت یک روش برای ساختن تابعی چون g از مجموعه A به مجموعه Y این است که برای هر g(x)،x∈A را مساوی (f(x تعریف کنیم. یعنی تابع g:A→Y با ضابطه (g(x)=f(x. بر خواننده است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. ممکن است راه دیگری نیز برای بیان این مطلب بیابیم و آن این است که دامنه تابع f را به زیرمجموعه A از X تقلیل دهیم. در این صورت تابعی خواهیم داشت که این بار نه بر روی همه اعضای X بلکه فقط بر روی عناصر زیرمجموعه خاصی از X یعنی A اثر می‌کند و لذا دامنه آن از X به A تغییر می‌یابد. چنین تابعی را که همان g است تحدید تابع f به مجموعه A می‌گوییم و آن را با f|A یا f|A نشان می‌دهیم. با این نمادگذاری داریم g=f|A. همچنین تابع f را توسیع تابع g به مجموعه X می‌گوییم. بنابراین مفاهیم تحدید و توسیع دو مفهوم متقابل به هم می‌باشند. تحدید یک تابع به زیرمجموعه‌ای از دامنه خود همواره یک تابع است اما توسیع دامنه یک تابع به یک مجموعه جدید که دامنه تابع قبل زیرمجموعه‌ای از آن است همواره تابع نمی‌باشد ولذا در مورد توسیع توابع احتیاط بیشتری لازم است. به طور کلی اگر f:A→Y یک تابع باشد توسیع تابع f به مجموعه X تابعی چون g با دامنه X است، به طوری که تحدید g به مجموعه A برابر تابع f باشد یعنی g|A=f. هچنین می‌توان همدامنه یک تابع را نیز تحدید کرد البته در این کار احتیاط لازم است، چراکه نباید اعضایی را که متعلق به برد تابع است را حذف نمود. اما اگر f:X→Y یک تابع باشد، با تحدید Y به (f(X که همان برد تابع f است می‌توان تابع (f:X→f(X را تشکیل داد که خواهید دید پوشا نیز هست.
تصویر و تصویر معکوس
اگر f:X→Y یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد، ممکن است بخواهیم مجوعه‌ای را در نظر بگیریم که عناصر آن تصویر عناصر A تحت f می‌باشند. یعنی مجموعه‌ای که از تأثیر تابع f روی هر عضو مجموعه A حاصل می‌شود. چنین مجموعه‌ای را تصویر یا نگاره A تحت تابع f می‌گوییم و آن را با (f(A نشان می‌دهیم و به این صورت تعریف می‌کنیم:

بنابر این (y∈f(A اگر وفقط اگر به ازای y= f(x)،x∈A یا به بیان نمادین:

به عنوان مثال اگر {X={1,2,3,4,5 و {Y={a,b,c,d,e و f:X→Y به صورت:
{(f={(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,d
تعریف شود و زیرمجموعه A از X به صورت {A={1,3,4 در نظر گرفته شود در این صورت:
{f(A)={f(1),f(3),f(4)}={a,c,d
حال چون X نیز یک زیرمجموعه‌ای از خودش است می‌توان (f(X را نیز تشکیل داد، که در این صورت بنا به تعریف داریم:

که عبارت است از مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند که بنابه تعریف همان برد تابع f یعنی ranf است. به این ترتیب برد f را می‌توان تصویر X تحت تابع f تعریف کرد.
قضیه
اگر f:X→Y یک تابع باشد آنگاه:
1.
2.
3. اگر آنگاه
قضایای فوق به سادگی از تعاریف قابل اثبات می‌باشند. همچنین فرض کنید خانواده‌ای از زیرمجوعه‌های X باشد. در این صورت:
1.
2.
حال فرض کنید f:X→Y یک تابع باشد و B زیرمجموعه‌ای از مجموعه Y باشد. ممکن است بخواهیم مجموعه همه اعضایی از X را تعیین کنیم که تصویر آنها تحت f عضوی از B باشد.(به شباهت این مطلب با تصویرها توجه کنید) چنین مجموعه ای را با (B) نشان می‌دهیم و آن را تصویر معکوس یا پیشنگاره B تحت تابع f می‌گوییم. و بنابه تعریف داریم:

پس:

به عنوان مثال اگر {X={1,2,3,4,5 و {Y={a,b,c,d,e و f:X→Y به صورت:
{(f={(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,d
تعریف شود و زیرمجموعه B از Y به صورت {A={a,c,e در نظر گرفته شود در این صورت:
= {1,3} (B) مشاهده می‌کنید که برای عضو e از B عضوی از X وجود ندارد که تصویر آن تحت f برابر e باشد. در حقیقت می‌توان دید که تصویر معکوس B همواره ناتهی نیست، و تنها زمانی ناتهی است که اشتراک B با برد تابع f یعنی (f(X ناتهی باشد.همچنین وضوحاً Y نیز زیرمجموعه‌ای از خودش است، اگر (y) را بیابیم خواهیم داشت:

که وضوحاً از تعریف تابع این مجموعه برابر X است. پس همواره= x (y) .
قضیه
اگر f:X→Y یک تابع باشد آنگاه:
1.
2. اگر آنگاه
3. اگر B,C زیرمجموعه‌هایی از Y باشند آنگاه:
f − 1(C − B) = f − 1(C) − f − 1(B)
همچنین فرض کنید خانواده ای زیرمجوعه‌های Y باشند. در این صورت:
1.
2.

اجتماع توابع-توابع چند ضابطه‌ای
بسیار اتفاق می‌افتند که مقدار یک تابع در سراسر دامنه‌اش با یک ضابطه مشخص نمی‌شود مثلاً ممکن است دامنه تابع f که آن را X می‌نامیم را به n مجموعه X1,X2,X3,...,Xn افراز کنیم و تابع f با دامنه X را برای هر x∈Xi به صورت (f(x)=fi(x تعریف کنیم که در آن fi تابعی با دامنه Xi است. همچنین در این صورت می‌توان تابع f را برای هر x از دامنه به صورت زیر نوشت:

در این صورت f را تابعی با n ضابطه می‌گوییم.n در مثالی دیگر فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند که برای هر x متعلق به اشتراک X و Y (اشتراک دامنه f,g) داشته باشیم (f(x)=g(x. در این صورت تابع اجتماع دو تابع f,g را به صورت زیر تعریف می کنیم:


برخواننده است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. این مفهوم را می‌توان گسترش داد یعنی اگر خانواده‌ای از مجموعه‌های دو به دو جدا از هم باشد و برای هر fi,i∈I تابعی با دامنه Ai باشد، می‌توان تابع f، اجتماع توابع fi برای هر i∈I را با دامنه را به صورت برای هر x از دامنه به صورت (x) f(x)=fi اگر x∈Ai تعریف کرد. در ادامه نمونه‌هایی از توابع چند ضابطه‌ای را خواهید دید.
نمودار تابع
منظور از نمودار یک تابع f:X→Y به تصویر کشیدن تناظری است که f بین دو مجوعه X و Y ایجاد می‌کند. برای این کار برای همه وابط و بلاخص توابع عموماً از نمودار پیکانی استفاده می‌شود. برای رسم نمودار پیکانی تابع f:X→Y، دو منحنی بسته، نظیر آنچه در نمودار ون استفاده می‌شود را برای نمایش مجموعه X و Y انتخاب می‌کنیم و عناصر هر یک را به‌وسیله نقاطی در آنها مشخص می‌کنیم. سپس بین هر عضو x∈X و (f(x یک پیکان از x به (f(x به نشانه تناظر بین آن دو رسم می‌کنیم. به عنوان مثال اگر {X={1,2,3,4,5 و {Y={a,b,c,d,e و f:X→Y به صورت {(f={(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,d تعریف شده باشد نمودار پیکانی آن به صورت مقابل است.

شکل(3) نمودار پیکانی یک تابع

شکل (4) نمونه‌ای از نمودار یک تابع حقیقی در دستگاه مختصات دکارتی
این روش گرچه مناسب است ولی برای نمایش همه توابع بویژه توابعی با دامنه اعداد حقیقی(و به طور کلی توابعی که عددی هستند) چندان کاربرد ندارد. اگر f تابعی با دامنه اعداد حقیقی R باشد آن را تابع حقیقی می‌گوییم و برای نمایش نمودار آن از دستگاه مختصات دکارتی استفاده می‌کنیم و روش کار به این صورت است که برای هر x € R زوج مرتب ((x,f(x) که نماینده نقطه‌ای در صفحه دکارتی است را رسم می‌کنیم و به این ترتیب نمودار تابع f حاصل می‌شود. رسم نمودار تابع، باعث می‌شود دیدی کلی نسبت به آن تابع پیدا کنیم و همچنین بسیاری از خواص مربوط به توابع بویژه توابع حقیقی مانند پیوستگی، مشتق پذیری، نقاط بحرانی و عطف، صعودی یا نزولی بودن و... از روی نمودار آنها قابل تعیین است. به عنوان مثال با بررسی شکل(4) می‌توان گفت این تابع در چه بازه‌هایی صعودی و در چه بازه‌هایی نزولی است، این تابع در سراسر دامنه خود پیوسته و مشتق پذیر است، دارای دو نقطه بحرانی و یک نقطه عطف است و ... .

شکل(6)
همچنین از روی نمودار یک رابطه می‌توان تابع بودن آن را بررسی کرد. به عنوان مثال نمودار شکل(1) معرف یک تابع نمی‌باشد چون عضو 3 به دو مقدار متناظر شده است. همچنین در نمودار رسم شده در دستگاه دکارتی در شکل مقابل، وضوحاً برای هر عدد حقیقی مثبت x تابع دارای دو مقدار است. به طور کلی یک نمودار در دستگاه مختصات دکارتی یک تابع است اگر هر خط عمودی مرسوم بر محور x ها نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.
تابع یک به یک و پوشا
فرض کنید f:X→Y یک تابع باشد. در اینصورت برای تناظری که بین اعضای X و Y به‌وسیله تابع f برقرار می‌شود حالات مختلفی را می‌توان تصور کرد.

شکل(7)
اولین حالت اینکه ممکن است به ازای هر y متعلق به برد تابع f، تنها یک x در دامنه موجود باشد که (y=f(x. این شرط را می‌توان چنین فرمول بندی کرد که اگر به ازایX x1,x2€داشته باشیم f(x2) =( f(x1آنگاه 2x =1x یا:


چنین تابعی را با این ویژگی یک تابع یک به یک(تک گزین) یا انژکتیو می‌گوییم. یک به یک بودن تابع f را گاهی برای اختصار با نماد 1-1 نشان می‌دهند. در چنین حالتی ضمن اینکه بدلیل تابع بودن f هیچ دو زوج مرتبی از f دارای مولفه اول یکسان نمی‌باشند، به دلیل یک به یک بودن هیچ دو زوج مرتبی از f دارای مولفه دوم یکسان نیز نمی‌باشند. به عنوان مثال R→ f: Rبه ضابطه 2f(x)=x یک به یک نمی‌باشد چرا که اگر f(x2)=( f(x1در این صورت اما الزاماً این نتیجه نمی‌دهد 2x =1x پس تابع یک به یک نمی‌باشد.
یک به یک بودن یک تابع از روی نمودار تابع نیز قابل بررسی است. در نمودار پیکانی تابع یک به یک f، وضوحاً به هر عضو از همدامنه f انتهای حداکثر یک پیکان وارد شده است. به این ترتیب نمودار پیکانی شکل(2) نمایش گر یک تابع غیر یک به یک است. همچنین نمودار یک تابع حقیقی یک به یک به گونه‌ای است که هر خط موازی محور x ها، نمودار آن را حداکثر در یک نقطه قطع می‌کند. به این ترتیب نمودار شکل(4) مربوط به تابعی غیر یک به یک است.
همانطور که در گذشته نیز اشاره شد در تابع f:X→Y برد f ممکن است دقیقاً برابر مجموعه Y نباشد، ولی همواره زیرمجموعه‌ای از Y است.حال اگر برد تابع f برابر مجموعه Y باشد یعنیran f=y در این صورت هر عضو Y تصویر یک عضو مجموعه X تحت f خواهد بود. یعنی برای هر y∈Y، عضوی چون x∈X وجود دارد که (y=f(x. در این حالت تابع f:X→Y را تابع پوشا(برو) یا سوژکتیو می‌گویند و به اصطلاح می‌گویند f مجموعه X را بروی Y می‌نگارد.
این نکته بسیار حایز اهمیت است، چرا که در مورد نماد f:X→Y دو گزاره f تابعی از X به توی Y است و f تابعی از X به روی Y است با هم تفاوت دارند و گزاره دوم چیزی بیش از گزاره اول یعنی پوشا بودن تابع f را نیز بیان می‌کند.
پس تابع f:X→Y یک تابع پوشا(برو) است هرگاه:

اگر f:X→Y یک تابع غیر پوشا باشد، یک راه برای پوشا کردن تابع f تحدید همدامنه آن به برد f است. به عبارت دیگر می‌توان اعضایی از مجموعه Y(همدامنه) که تصویر هیچ عضوی از X نمی‌باشند(یعنی متعلق به برد تابع نمی‌باشند) را حذف نمود در این صورت تابع f از X به مجموعه تقلیل داده شده تابعی پوشا خواهد بود. مجموعه‌ای که می‌توان Yرا به آن تحدید نمود و تابعی پوشا بدست آور تصویر X تحت f با همان (f(X است که همانطور که در بالا نیز اشاره شد، این مجموعه همان برد تابع است.
بنابر این اگر f:X→Y یک تابع باشد تابع (f:X→f(X تابعی پوشا است و این از تعریف (f(X قابل اثبات است. به عنوان مثال R→ f: R ه ضابطه 2f(x)=x یک تابع پوشا نمی‌باشد. چرا که اعداد حقیقی منفی در همدامنه f(همان مجموعه R) تصویر هیچ عضوی از دامنه خود نمی‌باشند، چرا که مربع هیچ عدد حقیقی منفی نیست. اما تابع R→ f: R یک تابع پوشا است چون برای هر y € R می‌توان قرار داد و داریم و لذا f پوشا است.

شکل(8) نمونه‌ای از یک تابع دوسویی
حال که با مفاهیم یک به یک بودن و پوشا بودن آشنا شدیم وضوحاً یک تابع نسبت به دارای بودن این خواص می‌تواند چهار حالت مختلف باشد. یک حالت جالب توجه و بسیار مهم زمانی است که یک تابع هم یک به یک و هم پوشا باشد. چنین تابعی را تناظر یک به یک یا دو سویی یا بیژکتیو می‌گوییم. به عنوان مثال تابع 3f(x)=x بر مجموعه اعداد حقیقی یک تناظر یک به یک است. از نمودار پیکانی مقابل می‌توانید ببینید که چنین تابعی دارای چه ویژگی خاصی است. وجود چنین تابعی بین دو مجموعه متناهی ایجاب می‌کند تعداد اعضای آنها با هم برابر باشد. این مطلب در حالت کلی نیز درست است. یعنی اگر تابعی دوسویی بین دو مجموعه(خواه متناهی یا غیرمتناهی) برقرار باشد عدد اصلی آن دو مجموعه با هم برابر است. از توابع دوسویی برای بسیاری از تعاریف در نظریه مجموعه‌ها مثلاً تشابه مجموعه‌های خوشترتیب یا تعریف همتوانی دو مجموعه استفاده می‌شود.
مجموعه توابع
اگر X و Y دو مجوعه باشند مجموعه همه توابع از مجموعه X به مجموعه Y را با YX نشان می‌دهیم و بنابه تعریف داریم:

عدد اصلی این مجموعه را نیز می‌توان به صورت زیر بدست آورد(برای اثبات به مقاله حساب اعداد اصلی رجوع کنید.):
card(YX) = (cardY)cardX
از رابطه فوق نتیجه می‌شود اگر X مجوعه‌ای n عضوی و Y مجموعه‌ای m عضوی باشد تعداد توابع قابل تعریف از مجوعه X به مجموعه Y برابر است با mn که البته برای اثبات این مسئله خاص راه حل ترکیباتی هم وجود دارد. توضیح اینکه اگر بخواهیم تابع f:X→Y را تعریف کنیم هر عضو از n عضو مجموعه X چون x∈X، را می‌توان به m طریق به یک عضو از مجموعه Y نسبت داد. پس بنا بر اصل شمارش تعریف چنین تابعی به mn طریق ممکن خواهد بود.
حال فرض کنید f:X→Y یک تابع باشد و X مجموعه‌ای n عضوی و Y مجموعه‌ای m عضوی باشند.
در این صورت اگر m≥n می‌توان f را به صورت تابعی یک به یک بین دو مجموعه X و Y تعریف کرد. برای این کار کافی است n عضو را از بین m عضو مجموعه Y انتخاب کنیم و بیاد داشته باشید که ترتیب انتخاب اعضا نیز مهم است و لذا تعداد توابع یک به یک قابل تعریف برابر است با جایگشت n شی از m شی که برابر است با:

همچنین اگر n≥m، می‌توان f را به صورت تابعی پوشا نیز تعریف کرد که تعداد توابع پوشا از مجموعه X به مجموعه Y برابر است با:

که البته اثبات آن به‌وسیله اصل شمول و عدم شمول انجام پذیر است و بدلیل طولانی بودن از ارائه برهان آن خودداری می‌کنیم. همچنین تعداد توابع دوسویی روی مجوعه n عضوی X برابر است با !n.
ترکیب توابع
فرض کنید g:X→Y و f:Y→Z دو تابع باشند. در این صورت برای هر x∈X، داریم g(x)∈Y و لذا (g(x در دامنه تابع f قرار می‌گیرد و لذا
f(g(x))∈Z. کاری که انجام دادیم این بود که ابتدا x∈X را توسط تابع g به عضوی از مجموعه Y متناظر کردیم و عضو حاصله در Y را به‌وسیله تابع f به عضوی از مجموعه Z متناظر کردیم. به این ترتیب می‌توان گفت عضو x را توسط دو تابع g,f به عضوی از مجموعه Z متناظر کردیم. این کار را می‌توان به طور مستقیم نیز انجام داد.

شکل(9) نمودار ترکیب دو تابع
برای این منظور تابع h:X→Z را برای هر x متعلق به مجموعه X، به صورت ((h(x)=f(g(x تعریف می‌کنیم. چنین تابعی را ترکیب تابع g و f می‌گوییم و آن را با fog (بخوانید f اُ g) نشان می‌دهیم.
با توجه به آنچه بیان شد تابع fog را می‌توان به صورت زیر نیز تعریف کرد:

توجه داشته باشید که در حالت کلی ترکیب توابع جابجایی نمی‌باشد یعنی همواره رابطه fog=gof برقرار نمی‌باشد.
به عنوان مثال اگر f:R→R با ضابطه f(x)=x3 و g:R→R باضابطه g(x)=lnx باشد در این صورت، داریم:
(fog)(x) = f(g(x)) = f(lnx) = (lnx)3
(gof)(x) = g(f(x)) = g(x3) = ln(x)3 = 3lnx
قضیه
ترکیب توابع شرکت پذیر است، یعنی اگر f:A→B,g:B→C,h:C→D سه تابع باشند آنگاه ho(gof)=(hog)of.
برای اثبات توجه می‌کنیم که هر دوی ho(gof),(hog)of توابعی از مجموعه A به توی مجموعه D می‌باشند و برای هر x∈A داریم:
(((ho(gof))(x)=h(g(f(x)
و
(((hog)of)(x)=h(g(f(x))
که این تساوی را توجیه می‌کند.
معکوس تابع
یادآور می‌شویم که اگر R یک رابطه از مجموعه X به مجموعه Y باشد، آنگاه معکوس رابطه R را با R-1 نشان می‌دهیم که عبارت است از:

و این یک رابطه از مجموعه Y به مجموعه X است. حال تابع f:X→Y نیز یک رابطه است و لذا به معکوس آن را نیز می‌‌توان تعریف کرد که آن را با f-1 نشان می‌دهیم و حداقل یک رابطه از Y به X است.

حال این سوال مطح می‌شود که آیا f-1 نیز یک تابع خواهد بود و یا چه هنگامی f-1 یک تابع است؟
وضوحاً برای اینکه f-1:Y→X تابع باشد، باید در شرایط تابع بودن(که در گذشته بیان شد) صدق کند یعنی در درجه اول دامنه‌اش همان مجموعه Y باشد و نیز هر عضو Y را به عضوی یگانه از X تصویر کند.
اما برای اینکه دامنه f-1 برابر مجموعه Y باشد، برد تابع f باید برابر مجموعه Y باشد و این یعنی تابع f باید پوشا باشد.
برای اینکه f-1 هر عضو از دامنه خود Y را به یک عضو یگانه از مجموعه X تصویر کند، باید برای هر x1,x2∈X داشته باشیم اگر (f(x1)=f(x2 آنگاه x1=x2 و این یعنی f باید تابعی یک به یک باشد.
بنابراین معکوس تابع f:X→Y یعنی f-1 تابعی از Y به X خواهد بود اگر وفقط اگر f:X→Y یک دوسویی باشد. در این حالت f-1:Y→X را تابع معکوس تابع f می‌گوییم.
اگر f-1 معکوس تابع f:X→Y باشد رابطه زیر را بین دامنه و برد f و f-1 داریم:
1. domf − 1 = ranf
2. ranf − 1 = domf
همچنین اگر (y=f(x پس x,y)∈f) ولذا y,x)∈f-1) پس (x=f-1(y و بلعکس.
رابطه بین یک تابع و معکوسش را می‌توان به این صورت توصیف کرد که تابع f-1 معکوس تابع f، دقیقاً عکس تناظری که تابع f بیانگر آن است را توصیف می‌کند. به همین دلیل و بنابه تعریف تابع معکوس نمودار پیکانی تابع f-1 معکوس تابع f:X→Y با معکوس کردن جهت فلش‌ها بدست می‌آید.
همچنین اگر f تابعی حقیقی باشد، برای اینکه نمودار معکوس f را تعیین کنیم کافی است قرینه نمودار تابع f را نسبت به نیمساز ربع اول و سوم یعنی f(x)=x رسم کنیم و چون انعکاس نسبت به نیمساز ربع اول و سوم موجب جابجایی مولفه‌های اول و دوم زوج‌های مرتب تابع f می‌شود و این در حقیقت همان هدف ماست.
حال اگر f:X→Y تابعی یک به یک و پوشا با معکوس f-1:Y→X باشد، برای هر x∈X داریم:
(fof − 1)(x) = f(f − 1)(x) = x
(f − 1of)(x) = f − 1(f(x)) = x
و این یعنی ترکیب هر تابع با معکوس خودش برابر با تابع همانی است.


بررسی چند تابع خاص
تابع ثابت
فرض کنید X و Y دو مجموعه ناتهی و b∈Y عضوی ثابت و لخواه باشد. در این صورت می‌توان تابع f:X→Y را با ضابطه برای هر f(x)=b,x∈X تعریف کرد که به آن تابع ثابت می‌گوییم. وجه تسمیه این تابع نیز واضح است، چرا که به هر عضو دلخواه مجموعه X عضو ثابت b از مجموعه Y را نسبت می‌دهد. این تابع را معمولاً با Cb نشان می‌دهیم و می‌توان به آن را صورت زیر نیز نشان داد:

نمودار یک تابع ثابت روی اعداد حقیقی یک خط موازی محور Xها خواهد بود.
تابع همانی
فرض کنید X یک مجموعه ناتهی باشد. در این صورت بدیهی‌ترین رابطه‌ای که ممکن است روی مجموعه X تعریف کنیم رابطه همانی با انعکاسی است. اگر این رابطه را با I نشان دهیم داریم:


شکل(10) نمودار تابع همانی روی مجموعه اعداد حقیقی
به سادگی می‌توان دید رابطه همانی روی مجموعه X یک تابع از X به روی خودش است که به آن تابع همانی می‌گوییم. به گزاره دیگر I:X→X با ضابطه برای هر I(x)=x،x∈X تابع همانی است. اگر مجموعه X را مجموعه اعداد حقیقی R در نظر بگیریم، تابع همانی از مجموعه R به روی مجموعه R تابع f(x)=x است که همان نیمساز ربع اول و سوم دستگاه مختصات دکارتی است. به سادگی می‌توان تحقیق کرد این تابع در مجموعه اعداد حقیقی دوسویی است. حال مجموعه ناتهی X و زیرمجموعه A از آن را در نظر بگیرید. در این صورت بنابه آنچه از قبل گفته شد می‌توان دامنه تابع همانی روی X یعنی I:X→X را مجموعه A تحدید نمود و حاصل تابع I|A:A→X است با ضابطه برای هر I(x)=x،x∈A، این تابع را که زیرمجموعه A از X را به توی X می‌نگارد را تعمیمی بر تابع همانی می‌توان دانست که به آن تابع احتوا یا شمول می‌گویند.
تابع قدر مطلق
قدر مطلق اعداد حقیقی را می‌توان به عنوان یک تابع در نظر گرفت. این تابع را می‌توان به صورت f:R→R تعریف کرد:

قدر مطلق x را معمولاً با |x| نشان می‌دهیم. وضوحاً این تابع یک تابع از مجموعه اعداد حقیقی به روی مجموعه اعداد حقیقی نامنفی است.
تابع علامت
تابع sgn:R→R را با ضابطه:

تابع علامت می‌گویم. نماد sgn کوتاه نوشتی برای sign به معنی علامت است. وجه تسمیه این تابع نیز واضح است، چرا که اعداد را بر حسب علامتشان جدا می‌کند. این تابع نمونه‌ای از توابع چند ضابطه‌ای است.
تابع انتخاب
برای مطالعه بیشتر به مقالات تابع انتخاب و اصل انتخاب مراجعه کنید.
در نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها اصلی موضوعی موسوم به اصل موضوع انتخاب بیان می‌کند برای هر دسته ناتهی از مجموعه‌های ناتهی، تابعی چون وجود دارد که بری هر داریم این تابع را تابع انتخاب می‌گوییم.
اجمالاً تابع انتخاب، انتخاب‌های هم‌زمان از اعضای دسته انجام می‌دهد و اعضای انتخاب شده را در برد خود قرار می‌دهد.
نکته‌ای که جالب و جنجال بر انگیز است این است که تنها وجود این تابع به‌وسیله اصل موضوع انتخاب تضمین می‌شود حتی اگر تعداد مجموعه‌های دسته مفروض نامتناهی باشد، و هیچ روشی برای نحوه این انتخاب ارائه نمی‌کند به عبارت دیگر برای این تابع ضابطه‌ای در نظر نمی‌گیرد. این تابع به ما امکان انتخاب‌های نامتناهی را هم می‌دهد که این امر برای اثبات بسیاری از قضایای نظریه مجموعه‌‌ها، خصوصاً قضیه خوشترتیبی و لم زرن لازم است.
تابع مشخصه
فرض کنید X مجموعه‌ای ناتهی و A زیرمجموعه‌ای از X باشد. در این صورت تابع مشخصه A در X، یعنی (بخوانید خی A) را برای هر x∈X به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

البته انتخاب مجموعه {0,1} هر چند معمول‌تر است ولی الزامی نیست و می‌توان هر مجموعه دو عضوی دیگر را نیز انتخاب کرد. این تابع به هر عضو مجموعه A عدد یک و به هر عضو X-A یعنی عناصری که متعلق به X هستند ولی به A تعلق ندارند مقدار صفر رانسبت می‌دهد. وجه تسمیه این تابع این است که عناصری زیرمجموعه A از X را از سایر عناصری که در A قرار ندارند جدا می‌کند.


شکل(11) نمودار پیکانی تابع مشخصه A در X
نمونه‌ای از یک تابع مشخصه معروف تابع دیریکله است که همان تابع مشخصه Q(اعداد گویا) در R(اعداد حقیقی) است که آن را با D نشان می‌دهیم و به این صورت تعریف می‌کنیم:

به سادگی می‌توان نشان داد این تابع هر هیچ نقطه از دامنه خود پیوسته نمی‌باشد.
توابع دو (یا چند) متغیره
عباراتی چون f(x,y) = sin(xy) یا + y2 + z2 f(x,y,z)= x2را در نظر بگیرید. هر یک از آنها دو یا بیش از دو متغییر از دامنه می‌پذیرند و یک مقدار یگانه را به همه آنها نسبت می‌دهند. گاهی ممکن است تابع بجای یک شناسه دو یا چند شناسه را به بپذیر و آنها را به یک عضو از برد خود نسبت دهد، در این صورت تابع را دو یا چند متغیره می‌گوییم. چنین توابعی رابطه‌ای بین بیش از دو مجموعه هستند. به عنوان مثال تابع اول را می‌‌توان تابعی به صورتR →R×R f(x) توصیف کرد که در این صورت تابع زوج (x,y) را به عنوان شناسه خود می‌پذیرد و آن را به عضوی از R نسبت می‌دهد که در این صورت اعضای تابع f را می‌توان به صورت سه تایی ((x,y,f(x,y) نشان داد.
پیشینه تابع
«تابع»، به عنوان تعریفی در ریاضیات، توسط گاتفرید لایبنیز در سال ۱۶۹۴، با هدف توصیف یک کمیت در رابطه با یک منحنی به وجود آمد، مانند شیب یک نمودار در یک نقطه خاص. امروزه به توابعی که توسط لایبنیز تعریف شدند، توابع مشتق‌پذیر می‌گوییم، اغلب افراد در هنگام آموختن ریاضی با این گونه توابع برمی‌خورند. در این گونه توابع افراد می‌توانند در مورد حد و مشتق صحبت کنند. چنین توابعی پایه حساب دیفرانسیل و انتگرال را می‌سازند.
واژه تابع بعدها توسط لئونارد اویلر در قرن هجدهم، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند =sin(x) + x3(x)f
در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرمول بندی تمام شاخه‌های ریاضی براساس نظریه مجموعه‌ها کردند. وایراشتراس بیشتر خواهان به وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.
در ابتدا، ایده تابع ترجیحاً محدود شد. ژوزف فوریه مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی می‌کنند در حالی که امروزه هیچ ریاضی‌دانی این مطلب را قبول ندارد. با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعه «عجایب» در ریاضی بپردازند از جمله تابعی که به‌وسیله وایراشتراس معرفی شد که در سراسر دامنه خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیر نبود. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به توابع پیوسته و مشتق‌پذیر محدود نشوند.
تا انتهای قرن نوزدهم ریاضی‌دانان سعی کردند که مباحث ریاضی را با استفاده از نظریه مجموعه‌ها فرمول‌بندی کنند و آنها در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساسنظریه مجموعه‌ها و نتایج آن باشد. دیریکله و لوباچوسکی هر یک به طور مستقل و تصادفاً هم زمان تعریف «رسمی» از تابع ارائه دادند.
در این تعریف، یک تابع حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویه منحصر به فرد وجود دارد.
تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به طور گسترده‌تر در منطق و علم تئوری رایانه مطالعه می‌شود.

هندسه دوجيني و موسيقي





نُت يا نوت :

در موسيقي به دو معني بكار مي‌رود :

1- به معني واحد صدايي با فركانس ثابت كه نامي بر آن گذاشته شده كه در متون كهن فارسي به آن نغمه مي‌گويند .

2- به معني نمايش يا نشانه نوشتاري هر يك از اين صداهاست .

در معني اول نت‌ها هفت نام براي نوشتن اصوات موسيقي هستند . در ايران به پيروي از فرانسه و ايتاليا نت‌ها به اين صورت نام گذاري مي‌شوند : دو - ر - مي - فا -سُل - لا - سي ( do , re , mi , fa , sol , la , si ) . در روش نام‌گذاري الفبايي كه در كشورهاي انگليسي و آلماني زبان رايج بوده است ، نت‌ها به ترتيب "A , B , C , D , E , F , G" نام مي‌گيرند ، كه نت A در اين روش برابر با نت « لا » ( la ) در روش قبلي است .

در معني دوم ، براي مكتوب كردن اصوات موسيقي ، اين صداها را طبق قواعد خاصي بين يا روي پنج خط افقي مي‌نويسند كه به نام خطوط حامل شناخته مي‌شوند . خطوط حامل از پايين به بالا شمرده مي‌شوند ، به اين معني كه نتي كه روي خط پايين‌تر نوشته شود ، صدايي بم‌تر از نتي دارد كه بر روي خط بالاتر نوشته شده است . به اين ترتيب نام نوت از روي جايي كه روي خط‌هاي حامل قراردارد مشخص مي‌شود . ديگر مشخصات نوت مانند طول آن ( مدت زمان امتداد يافتن آن صدا ) و غيره را نيز با شكل‌هاي قراردادي كه براي نوت طرح شده نمايش مي‌دهند . نت‌هاي متوالي را از چپ به راست مي‌نويسند . دانشي كه به قواعد نوشتن نت‌هاي موسيقي و مقولات مرتبط با آن مي‌پردازد ، تئوري موسيقي نام دارد .





اُكتاو :

( به انگليسي Octave ، گاه به اختصار به صورت 8ve و P8 نيز نوشته مي‌شود ) در زبان لاتين يعني عدد هشت . اكتاو در موسيقي نشان دهنده ۷ نت پايه‌اي موسيقي : Do , Re , Mi , Fa , Sol , La , Si و نت هشتم كه تكرار نت Do اول با فاصله ۷ نت است مي‌باشد . هر ساز داراي دامنه خاصي از لحاظ تكرار اين نت‌ها مي‌باشد و دامنه سازها را اغلب با شمارش مجموع اين هشت نت كه برابر با يك اكتاو مي‌باشد مي‌سنجند . بديهي است كه سازهاي مختلف داراي تعداد اكتاوهاي مختلف مي‌باشند .

در واقع بازه اصوات موسيقي به زير بازه‌هايي به نام اكتاو بخش مي‌شود . يك اكتاو بازه فركانسي را شامل مي‌شود كه فركانس انتهاي آن دو برابر فركانس ابتداي آن است . پس فركانس هر نت دو برابر فركانس نت همنام خود در اكتاو قبلي است ( براي نمونه لا در اكتاو ۳ فركانس ۴۳۷ هرتز ، و لاي اكتاو ۴ فركانسي برابر ۸۷۴ هرتز دارد ) . فركانس نت‌هايي كه با فاصله يكسان از نظر موسيقي به ترتيب دنبال هم قرار مي‌گيرند ، تشكيل تصاعد هندسي مي‌دهند .

در سيستم كلاسيك يك اكتاو را به دوازده فاصله برابر تقسيم مي‌كنيم . كه به هر يك از اين فواصل يك نيم پرده مي‌گوييم . به طبع دو برابر نيم پرده ، يك پرده ‌است .

اگر بخواهيم اين اصطلاح را دقيق‌تر تعريف كنيم ، بايد به اين نكته توجه داشته باشيم كه در تقسيم بندي سيستم كلاسيك موسيقي ، فركانس نت‌هاي موسيقي رشته‌اي با تصاعد هندسي است . در اين صورت پرده واحدي براي معرفي فاصله دو صدا يا به بيان صحيح‌تر نسبت فركانس آن دو است . در اين سيستم هر اكتاو معادل شش پرده ( دوازده نيم پرده ) است . از آنجا كه فركانس هر نت دو برابر فركانس نت معادل آن در اكتاو پايين‌تر مي‌باشد ، مي‌توان قدر نسبت اين تصاعد هندسي ( نسبت فركانس هر نت نسبت به نت نيم پرده پايين تر ) را به دست آورد :

q = 2(1 / 12)


نكته مهم اين است كه مغز در تشخيص موسيقي اصوات اين بازه از راه شناختن نسبت هندسي بين بسامد نت‌ها اقدام مي‌كند . در تنظيم نوت‌هاي موسيقي فركانس صوت اصلي يعني do را 440 هرتز در نظر مي‌گيرند . گام موسيقي ، مجموعه‌اي از چند نوت است كه فاصله آنها براي گوش خوشايند است . گام‌هاي متفاوتي در موسيقي وجود دارد . اكنون به توصيف گام طبيعي ( زارلن ) مي‌پردازيم .

گام طبيعي از هشت نوت : دو 1 ، ر ، مي ، فا ، سل ، لا ، سي ، دو 2 تشكيل شده است كه فاصله آنها از يك نوت مبنا دو 1 ( 440 هرتز ) كه كمترين بسامد را دارد ، به صورت زير است .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]






موزيك و دنباله فيبوناچي :



چنين به نظر ميرسد كه فركانس نت‌ها در اكتاوها بر پايه تناسبات ( تقسيمات ) اعداد فيبوناچي استوار شده است .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



كيبورد ( صفحه كليد ) پيانو شامل دو گروه كليد ( كلاويه ) سفيد و مشكي ميشود . در هر اكتاو 8 كليد سفيد و 5 كليد مشكي وجود دارد كه كليدهاي مشكي به دو گروه دوتايي و سه تايي تقسيم ميشوند .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

کد:

---

http://goldennumber.net/music.htm

---

جدول فوق توسط وب سايت

کد:

---

http://goldennumber.net

---

ارايه شده كه تناسبات ( تقسيمات ) اعداد فيبوناچي و رابطه آنها با فركانس نتهاي موسيقي مشخص و معرفي شده است .

گام يا فواصل خوش‌آيند صدا در موسيقي ، براي موجودات مختلف ، بسيار گوناگون و متنوع است ، براي اينكه موجودات در ساختار ژنتيكي ، حس و توان شنوايي ( محدوده اصوات ) و همچنين سيستم عصبي تنوع دارند . با توجه به سابقه طولاني موسيقي در ميان انسانها ، چنين به نظر ميرسد كه موسيقي حاصل كشف يا سازماندهي انسانها نباشد ، بلكه توسط موجودات هوشمندتري به انسانها آموخته و منتقل شده است . و دليل آن اينكه ساختار دوجيني در آن كاملا مشخص است و مربوط ميشود به سيستم شمارش بر پايه دوازده كه مورد استفاده انسان قرار نمي‌گيرد و مربوط ميشود به موجودات 12 انگشتي و يا موجوداتي كه اين سيستم را ترجيح داده‌اند .





گام موسيقي در ستاره داوود توسعه يافته :



همانطور كه در مبحث فاصله از مركز مدارها در شكل توسعه يافته ستاره داوود توضيح داده شد ، شعاع مدارها با استفاده از روابط مثلثاتي چنين بدست مي‌آيد :


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


نكته قابل توجه اينكه شعاع مدار هشتم درست دو برابر شعاع مدار اول است . پس ميتوان به وسيله مقدار عددي بدست آمده در محاسبات 8 فركانس ( يك اكتاو ) به منزله 8 نت موسيقي را مشخص نمود كه از قرار زير هستند :



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



با توجه به اختلاف جزيي در نت‌هاي 5 و 6 ميتوان اين دو نت را در هم ادغام و به شش نت اصلي رسيد .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



عكس فوق مربوط به ساخته دست سرنشينان يوفو است ( اشياء بدست آمده از سقوط بشقاب پرنده در واقعه روزول ) . اشياء فوق ميتواند مربوط به يك ابزار چند كاره ( چند منظوره ) باشد ، منجمله نوعي ساز دستي يا ابزار هدايت و ناوبري خود سامانه پرواز ( بشقاب پرنده ) و ...........

تاریخچه احتمال و خوان اول


پیدایش رسمی احتمال از قرن هفدهم به عنوان متدی برای محاسبه شانس در بازیهای قمار بوده است. اگر چه ایده های احتمال شانس و تصادفی بودن از تاریخ باستان در رابطه با افسونگری و بخت آزمایی و بازیهای شانسی و حتی در تقسیم کار بین راهبان در مراسم مذهبی وجود داشته است و به علاوه شواهدی از بکارگیری این ایده ها در مسایل حقوق٫ بیمه٫ پزشکی و نجوم نیز یافت میشود٫ اما بسیار عجیب است که حتی یونانیان اثری از خود در رابطه با استفاده از تقارنی که در هندسه بکار می برده اند در زمینه احتمال یا اصولی که حاکم بر مسایل شانس باشد بجا نگذاشته اند.
● ارسطو پیشامدها را به سه دسته تقسیم می نمود:
۱) پیشامدهای قطعی که لزومآ اتفاق می افتادند.
۲) پیشامدهای احتمالی که در بیشتر موارد اتفاق می افتادند.
۳) پیشامدهای غیر قابل پیش بینی و غیر قابل شناسایی که فقط با شانس محض رخ میدهند.
اما ارسطو به تعبیرهای مختلف احتمال اعتقاد نداشته و فقط احتمال شخصی که مربوط به درجه اعتقاد افراد نسبت به وقوع پیشامدهاست را معتبر می دانسته است.
پاسکال و فرما اولی کسانی هستند که در اوایل قرن هفدهم مسایل مربوط به بازیهای شانسی را مورد مطالعه قرار دادند و این دو نفر به عنوان بنیانگزاران تیوری ریاضی احتمال لقب گرفته اند. دانشمندانی از قبیل هی گنز کارهای آنها را ادامه داده و ویت و هلی این مسایل را در آمارهای اجتماعی بکار گرفتند. این علم جدید نخستین نقطه اوج خود را در اثر مشهوری از ژاکوب برنولی بدست آورد. در این اثر علاوه بر تعریف کلاسیک احتمال ریاضی٫ اساس خاصی از قانون اعداد بزرگ و کاربردهای احتمال در آمارهای اجتماعی نیز مطرح شده است.
در قرن هجدهم متفکران بزرگی چون دی مور٫ دانیل برنولی٫ آلمبرت٫ اویلر٫ لاگرانژ٫ بیز٫ لاپلاس و گاوس قسمتی از وقت خود را به این علم جدید اختصاص دادند. بیز در سال ۱۷۶۳ قانون معروف بیز را ارایه می دهد و لاپلاس در نوشته ای تمام موضوع علم احتمال را جمع آوری می کند. مهمترین قضایای حدی که در محاسبات احتمالی بکار می رفته و تاثیر احتمال در ریاضی٫ فیزیک٫ علوم طبیعی٫ آمار٫ فلسفه و جامعه شناسی در این اثر جمع آوری شده است.
با مرگ لاپلاس در سال ۱۸۷۲ اوج پیشرفت این علم به اتمام رسید و علی رغم برخی تلاشهای فردی که ماحصل آنها کشف قضایایی چون قضیه اعداد بزرگ پواسون و یا نظریه خطاهای گاوس بود٫ بطور کلی احتمال کلاسیک ارتباط خود را با مسایل تجربی و علمی از دست میدهد. اما جریانهای متقابل ظاهر می شوند. به موازات پیشرفت نظریه ریاضی یک نظریه آمار به عنوان کاربردهایی از احتمال بوجود می آید. این نظریه در رابطه با مسایل مهم اجتماعی از قبیل اداره داده های آماری٫ مطالعه جمعیت و مسایل بیمه بکار می رفته است. اساس کار توسط افرادی چون کوتلت و لکسیز ریخته شده و توسط دانشمندانی چون فشنر(روانشناس)٫ تیله و برانز(منجمان)٫ گالتون و پیرسون(زیست شناسان) پیشرفت نموده است. این کارها در اواخر قرن نوزدهم در جریان بوده و در انگلستان و برخی دیگر از کشورها حرفه حسابگری٫ به مفهوم آماردانی که از اقتصاد و ریاضی هم اطلاعاتی دارد و در جمعیت شناسی و بیمه خبره می شود٫ رونق می یابد. از طرف دیگر فرمولهای کلاسیک ایده های احتمال میز مسیر پیشرفت و کاربردی خود را ادامه میدادند. در این قرن در تلاش برای روشن سازی پایه منطقی کاربردهای احتمال٫ وان میزز یک فرمولبندی جدید برای محاسبات احتمالی ارایه میدهد که نه تنها از نظر منطقی سازگار بوده بلکه نظریه ریاضی و تجربی پدیده های آماری در علوم فیزیکی و اجتماعی را پایه گذاری می نماید.
مدل کلاسیک احتمال توسط برنولی و لاپلاس معرفی شد. این مدل به دلیل فرض همطرازی و عدم امکان تکرار در شرایط یکسان و دلایل دیگر با اشکالاتی روبروست که بسیاری از پدیده های طبیعی بر آن منطبق نیست.
ایده های اساسی نظریه تجربی احتمال که قرار دادن فراوانی نسبی بجای احتمال است در سال ۱۸۷۳ توسط پواسون ارایه گردید.
بسیاری از مسایل احتمال حتی قبل از بیان اصول آن توسط کلموگرف در سال ٫۱۹۳۳ با ابزارهای تجربی و حتی نظری توسط دانشمندان مطرح شده است. ولی کلموگرف با بیان اصول احتمال پایه این علم و ارتباط دقیق آنرا با مباحث ریاضی مستحکم می نماید.
در این زمان احتمال به عنوان یکی از شاخه های ریاضی٫ نه تنها کلیه ابزارهای ریاضی را جهت پیشرفت خود بکار می گیرد٫ بلکه توانسته کاربردهایی را در حل برخی از مسایل ریاضی داشته باشد. نظریه احتمالی اعداد٫ نظریه احتمالی ترکیبیاتی و کاربردهای شاخص احتمال در برخی از مسایل آنالیز٫ بعضی از کاربردهای احتمال در ریاضی هستند.
از طرف دیگر احتمال به عنوان زیربنای ساختاری و اصول ریاضی علم آمار٫ در جهت پیشرفت این علم و قوام بخشی به دستورات آن نقشی اساسی دارد.
مسایل جالب احتمال هندسی و نظریه احتمالی اعداد٫ شمه ای از زیبایی های احتمال است که همه اینها با هم زیبایی٫ کارآیی و توان علم احتمال را نشان می دهند.
● خوان اول از کنفرانس ابرساختارهای جبری:
ابرساختارها چیزی نیستند جز تعمیم ایده های کلاسیک به سطحی بالاتر. به عنوان مثال تعریف عملگر از مجموعه ای به پاورست آن مجموعه (پاورست همان مجموعه تمام زیر مجموعه های یک مجموعه است.)

اشكال مرموز كشتزارهاي گندم (3)



اشكال مرموز كشتزارهاي گندم و هندسه دوجيني



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



يكي از شگفتي‌هاي اعداد مرموز اين است كه اگر عمليات هندسي را براي يك دايره با تقسيمات 10 انجام دهيم به دو پنج ضلعي منتظم و يك ستاره پنج پر مي‌رسيم كه در آن تركيب تناسبت طلايي يا فيبوناچي آشكار ميشود .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



در رسم فوق يك دايره را به پنج قسمت مساوي تقسيم مي‌كنيم . اگر اين نقاط را به نقاط مجاور خود وصل كنيم ، مسلما يك پنج ضلعي منتظم خواهيم داشت . اينك اگر نقاط را دو به دو به هم متصل كنيم يك ستاره پنج پر كه در داخل آن يك پنج ضلعي منتظم ديگر قرار دارد ، حاصل ميشود . در اين وضعيت پاره خط قرمز به همراه پاره خط بنفش يك تناسب طلايي را نشان مي‌دهند و به اين دليل مهم ستاره پنج پر براي چشم بيننده ، شكل هندسي خوش‌آيند و جذابي است كه بيانگر اين موضوع ميباشد كه نسبت طلايي در ساير سيستم‌هاي شمارش اعداد نيز آشكار ميشود و اين ساختار مربوط به اعداد مرموز ( 2 ، 4 ، 6 ) ميشود .




[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




آلبوم تصاوير



در ميان سرنشينان بشقاب پرنده‌هاي سقوط كرده موجودات ده انگشتي نيز شناسايي شده است ولي اين اشكال بيشتر از اينكه به سيستم شمارش ده دهي مربوط شوند با اعداد مرموز در ارتباط هستند ، يعني همان 2 و 4 و 6 كه مربوط به مراحل زماني خلقت سياره زمين ، روزي آن و هفت آسمانها ميشود .



اين رسم ميتواند مربوط به موجودات 10 انگشتي غير انساني شود ولي به احتمال خيلي زياد آنها نيز با سيستم شمارش دوجيني آشنايي كامل داشته و از آن استفاده مي‌كنند .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



عكس فوق نمونه يك رسم ناقص و يا تقلبي ايجاد شده توسط انسانهاست .




[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




اشكال فوق عدد هفت را به نمايش مي‌گذارند و كاملا مشخص است كه دين و مذهب موضوع مهمي براي سرنشينان يوفو ميباشد . در واقع آنها به مسئله دين و مذهب گرايش دارند ، براي اينكه عدد هفت يك عدد ديني و اشاره به آسمان هفتم يعني جايگاه خداوند بالاي عرش دارد .





پيام ديجيتالي موجودات هوشمند براي بشريت :



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



اين موجود هوشمند عكس خود را با استفاده از دو نقطه سايه و روش بر روي مزرعه تصوير نموده و پيام خود را نيز مكتوب كرده است . اين موجود هوشمند از تكنولوژي ديجيتال انسانها كاملا آگاه و با خبر است . در رايانه‌هاي دسك تاپ از هارد ديسك استفاده ميشود و اطلاعات به صورت صفر و يك در مبناي دودويي رمز و بر روي هارد ديسك ذخيره ميشوند . اين موجود هوشمند از بوته ايستاده به عنوان يك و از بوته خوابيده به عنوان صفر استفاده نموده است . سي دي و دي وي دي‌ها نيز از روش مشابهي برخوردارند و اين موجود هوشمند از همين تكنيك كه به زبان بشر امروزي است پيام خود را فرستاده است .

تاريخ نگارش تصوير گندم‌زار 2002-08-15 ، كشور United Kingdom ، منطقه Hampshire ، مكان Sparsholt

کد:

---

http://www.temporarytemples.co.uk

---

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



شگفتي اين ديسك در اين است كه در كنار يك دكل مخابراتي تصوير شده و كاملا مشخص است كه ميبايست حاوي يك پيام مهم باشد .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



متن پيام به زبان انگليسي چنين است :

BEWARE THE BEARERS OF FALSE GIFTS AND THEIR BROKEN PROMISES . MUCH PAIN , BUT STILL TIME . BELIEVE THERE IS GOOD OUT THERE WE OPPOSE DECEPTION .



ترجمه :

اخطار به حمالان ( بردگان یا بندگان ) هدایای غلط ( كارهای بیهوده - گمراهان ) و پیمان شكنان . درد فراوانیست ، اما هنوز وقت هست . اعتقاد بر این است كه خوبی خارج از اینجاست . ما با فریب مقابله میكنیم .



پيام فوق ثابت و مشخص مي‌كند كه سرنشينان يوفو ( طايفه جنيان ) در نهايت به دين و ايمان درست روي آورده‌اند و با مسلمانان واقعي يعني موحدين بيشتر تفاهم و همزيستي خواهند داشت تا كساني كه به خدا و دين اعتقاد و باوري ندارند و يا حتي با مشركين و منافقين .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



شكل فوق ميتواند بيانگر الگوي پراش الكترون يا اشعه ايكس مربوط به كريستال خاصي باشد .

اشكال مرموز كشتزارهاي گندم (2)


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]





عكسهاي فوق دوتا از زيباترين اشكال هندسي است كه در آنها ، تركيب تناسبت طلايي ( دنباله فيبوناچي ) به دقت مراعات شده است . تجزيه و تحليل بعضي از اين اشكال نياز به چند روز كار مداوم دارد .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



شكل فوق دو ذره الكتريكي يا دو قطب مغناطيسي هم بار يا هم نام را نشان ميدهد كه ميادين الكتريكي يا مغناطيسي يكديگر را دفع مي‌كنند .


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



شكل فوق يك اتم هيدروژن را نشان مي‌دهد . يك پروتون متشكل از سه كوارك و يك الكترون متشكل از پوزيترون و نوترينو ، نوترينو گرايش به طرف هسته مثبت دارد .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




دو رسم فوق اشاره به اسپيرال لگاريتمي ( مارپيچ طلايي يا فيبوناچي ) دارد . يعني رسم زير :



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]







[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



اشكال فوق اشاره به مثلث‌هاي موجود در ستاره داوود دارند .


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




اشكال فوق اشاره به ساعت يا ستاره داوود توسعه يافته دارند يعني رسم زير :



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




اشكال فوق اشاره به نظريه حبابهاي سطحي و شالوده هندسه دوجيني دارند كه قبلا به آن اشاره شده است .





در واقع آنها با رسم اين اشكال در صدد شناساندن و معرفي خود و همچنين علم و رياضيات خود به ديگران هستند كه تا به امروز كسي نتوانسته است متوجه مفهوم و منظور اين اشكال شود كه پي بردن به آنها كار آساني ميباشد ، همچنين تماس و گفتگو با آنها و در نهايت ايجاد يك رابطه و همزيستي مصالحت آميز ، كاري كه دير يا زود ميبايست عملي شود ، منتها كسي به آن اهميت نمي‌دهد ، هرچند كه موضوع بسيار مهمي ميباشد .

رسم و نقاشي در گندم‌زارها علي‌رغم نياز به ابزار و تكنيك خاص خود با دو محدوديت كلي روبروست 1- رنگ 2- حجم . در واقع در مورد رنگ ميتوان از دو رنگ كلي سبز تيره ( بوته گندم ايستاده ) و سبز روشن ( بوته گندم خوابيده ) استفاده نمود و به علت مسطح بودن مزرعه ، اشكال و يا ترسيمات دو بعدي و در نهايت سايه روشن خواهند بود .

با توجه به اين محدوديت‌ها ، فقط ترسيمات هندسي جذاب و هنري به نظر خواهند رسيد كه البته ميبايست مبتني بر اصول و قواعد رياضي شكل گرفته باشند . همانطور كه ميدانيم طراحي و رسم اشكال هندسي وابسته به رياضيات و قواعد خود هندسه است و ريشه و مبناي اينها مربوط ميشود و وابسته است به سيستم‌هاي شمارش اعداد . با برسي اشكال فوق پي به ساختار دوجيني آنها ميبريم كه كار موجوداتي است كه از اين سيستم شمارش بهره ميجويند . يعني آفريننده اين اشكال هندسي ميبايست 12 انگشتي بوده و يا اينكه از كليات علم كتاب قرآن مطلع بوده باشد كه به يقين ميتوان گفت كه اين موجودات همان سرنشينان يوفو هستند و خود اين اشكال و رسم آنها هيچ ربطي به انسانهاي فعلي ساكن سياره زمين ندارد .

در هنگام فرود و يا برخاستن بشقاب پرنده‌ها به علت پديدار شدن ميدانهاي ضد جاذبه ، الكتروگراويتي ، الكترومغناطيسي قوي از هر نوع و ... ظهور اشكال دايره‌اي شكل در ميان بوته‌ها ، علف زارها و مزارع گندم و .... اجتناب ناپذير است :


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




كه ظهور اين پديده فيزيكي ، آغازي بوده است براي ايجاد اين اشكال هندسي ، كه ميتواند براي آنها جنبه علمي ، هنري ، سرگرمي و حتي تفريحي داشته باشد .


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اشكال مرموز كشتزارهاي گندم (1)


اشكال مرموز كشتزارهاي گندم و هندسه دوجيني





دواير مرموز :



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



حدودا بيست سال است كه هر چند يك بار در يكي از كشورهاي اروپايي واقعه عجيبي اتفاق مي‌افتد . داستان هم اين است كه شب مي‌خوابند و صبح كه بيدار ميشوند مي‌بينند كه در مزارع گندم دايره‌هاي بزرگي ايجاد شده است . اين اتفاق نمي‌تواند عادي و يا شوخي و جعلي باشد . گذشته از اين يك شبه نمي‌شود چنين اشكالي را با آن دقت در مزارع ايجاد كرد . در اين بين بحران دايره‌هاي گندمزاري متوقف نشده است ، بلكه توسعه نيز يافته و جالب است كه اشكال هندسي ، سال به سال هندسي‌تر ، پيچيده‌تر و پركارتر شده‌اند .

ژاپني‌ها موضوع را آنقدر جدي تلقي كرده‌اند كه هيات‌هايي را براي بازديد از اين دايره‌ها به اروپا و آمريكا فرستادند . نظر نهايي اينست كه اين اشكال ثمره هنرنمايي موجودات فضايي باهوشي است كه سوار بر بشقاب پرنده به زمين مي‌آيند و بوسيله اشكال مرموز براي ما پيغام مي‌گذارند و دوباره به سياره خود بر مي‌گردند .

آزمايشها و بررسي‌هاي شبانه با كمك دوربينهاي مادون قرمز و ميكروفن‌ها ثابت كرده‌اند كه اين اشكال عجيب و غريب و شايد در باطن پر معني ، شب هنگام و در كوتاه‌ترين زمان و بدون ايجاد كمترين سر و صدايي يا تظاهرات عيني و گويي كه بطور صد در صد نامريي بوجود آمده‌اند .

اين اشكال در طول ۲۰ سال گذشته هندسي‌تر ، هنري‌تر ، پيچيده‌تر و پر طرح‌تر شده‌اند . مثلا دايره‌ها بزرگتر شده‌اند . گاهي دايره‌ها مانند حلقه‌هاي سمبل المپيك تو در تو هستند و در يك مورد هم يك مثلث نيز به آنها اضافه شده است . اشكالي هم شبيه حشرات و ماهي‌ها عينا مانند آثار نقاشي ماقبل تاريخ كه در غارها كشف شده‌ ديده شده‌اند . در كل كسي كه اين اشكال را ايجاد كرده است در نوعي خط تصويري نظير خط هيروگليف مهارت داشته و خواسته است كه با زبان بي زباني به ما چيزهايي بگويد .

برخي از محققيني كه ماجرا را مورد بررسي قرار داده‌اند ، مي‌گويند كه اين اشكال از فضا و با كمك نوعي اشعه شبيه اشعه ليزر دايره‌وار سوزانده مي‌شوند و بعيد نيست كه در حين عمل ، صداي خش و خش مانندي نيز بلند شده باشد . ولي در كل از روي شكل‌هاي اين مزارع بايد نتيجه گرفت كه فاعل هر كسي كه باشد ، روحيه اعتدالي دارد و از هندسه و هنر چيزهايي سرش مي‌شود و در ضمن با طبيعت هم سر و كار دارد . بطور كلي مي‌توان گفت كه آنها موجودات بي آزار و صلح جويي هستند و مي‌خواهند ، خود را به نحوي از انحا با طبيعت زمين تطبيق دهند و به ما حالي كنند كه ما هم هستيم .

نيرويي كه بتواند ساقه‌هاي گندم را خم كند ، الزاما بايد ويژگيهاي خاصي نيز داشته باشد . چون در بعضي از گندمزارها ساقه‌هاي گندم در اين اشكال بريده و يا سوزانده نشده‌اند ، بلكه خيلي تميز و پاكيزه با زاويه ۹۰ درجه خم و خوابانده شده‌اند . يعني به بوته گندم امكان داده شده است كه به رشد خود ادامه دهد ولي نه بصورت قائم ، بلكه بصورت افقي .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




مسئله كشف و تشخيص آثار راديواكتيو در اين اشكال ، موضوع را پيچيده تر كرده است . در تمام اشكال ، آثار تشعشعات راديو اكتيو بتا و گاما ( البته با شدت ضعفهاي متفاوت ) تشخيص داده شده است و آزمايشگاه‌ها نظر داده‌اند كه در بعضي از مزارع ، مقدار اشعه بتا و گاما زياد و در برخي كم است .

تشكيلات موسوم به حلقه‌هاي كشتزار ، اغلب در مزارع غلات پديد مي‌آيند و طي فرآيندي كه به پيدايش آنها مي‌انجامد ، گياهان به نحوي اسرار آميز بر روي زمين مي‌خوابند . بدين صورت الگو‌هايي پديد مي‌آيد كه يك باره و بي آنكه در روشنايي روز پيش از آن ، كسي آنها را ديده باشد ، توجه مردم را به خود جلب مي‌كنند .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



شواهد موجود نشان مي‌دهند كه وقوع اين پديده‌ها ، از اوايل قرن بيستم به بعد ، سال به سال افزايش يافته است ، به طوري كه در دهه ۱۹۶۰ به رويدادي آشنا تبديل شده و از دهه ۱۹۷۰ به بعد توجه اذهان عمومي را به خود جلب نموده است . از سال ۱۹۷۲به بعد ( يعني سال مشاهده عيني صحنه وقوع توسط باند و شاتل وود ) تاكنون در حدود ده هزار گزارش از پيدايش مستند حلقه‌هاي كشتزار با اشكال گوناگون ، در نقاط مختلف جهان ارائه شده است . قطر بعضي از اين حلقه‌ها به يك كيلومتر مي‌رسد و برخي ديگر از آنها مساحتي بالغ بر ۱۹ هزار متر مربع را مي پوشانند .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



در اين تصوير ، صورت يك موجود نقش بسته است !



نكته جالب و شگفت انگيز ديگري كه در اين باره وجود دارد ، مسئله تحول و تكامل تدريجي اين طرح‌ها ميباشد . امروزه شاهد پديدار شدن نگاره‌هاي هندسي بغرنجي هستيم كه از روابط رياضي پيچيده‌اي پيروي مي‌كنند و جالب آنكه در برخي موارد ، اين نگاره‌ها ، نمايانگر نقوش و طرح‌هاي مقدس اقوام و ملل مختلفي از سراسر جهان هستند .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



نكته قابل ذكر ديگر ، نحوه خميده شدن ساقه‌ها و ارتباط آن با ساختمان آنهاست . ساقه گياهان علفي ، بندها يا گره‌هايي دارند كه از وظايف آنها ، ايجاد استحكام در گياه است . اين بندها ، مجهز به روزنه‌هايي براي ايجاد امكان خروج بخار آب هستند . تجمع آب در محل بندها و فشار آن ، موجب راست ايستادن ساقه و در نتيجه ، موجب سر پا ماندن گياه مي‌شود . در صورتي كه دما افزايش يابد ، آب به بخار تبديل مي‌شود و منافذ موجود در بندها ، راه را براي خروج بخار مي‌گشايند . اين ساز و كار ، راهي براي تنظيم دما و خنك نگه داشتن گياه است ، كه البته به از دست رفتن عامل استحكام و خميده شدن ساقه گياه مي‌انجامد .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



بررسي‌هاي ميكروسكوپي نشان داده است كه به هنگام پيدايش حلقه‌هاي كشتزار ، دقيقا همين عامل است كه به خوابيدن رستني‌ها بر روي زمين مي‌انجامد . در واقع ، چنين به نظر مي‌رسد كه نوعي عامل خارجي باعث مي‌شود در ناحيه بندها ، دما افزايش يابد . البته اين خوابيدن براي رستني‌هاي خشك شده و آماده درو نيز گزارش شده است .

نكته شگفت انگيز ديگر اينكه اثر اين عامل خارجي ، انتخابي است . يعني بندهايي كه تحت تاثير قرار مي‌گيرند و جهت و ميزان خميدگي آنها ، بسته به طرحي كه پياده مي‌شوند ، در بخش‌هاي مختلف تغيير مي‌كند . مثلا ممكن است در يك سمت الگو ، نخستين بندهاي بالاتر از سطح زمين ، آب از دست بدهند و در سمت ديگر ، دومين بندها . به اين ترتيب ، به راحتي مي‌توان آثار تقلبي را از نمونه‌هاي اصلي تشخيص داد . خم كردن ساقه‌ها با دست يا هر وسيله مكانيكي ديگري ، علاوه بر ايجاد آسيب در گياه ، منجر به بروز خميدگي‌هايي مي‌شود كه عمدتا در ميان فواصل بندها و نه در خود آنها به وجود مي‌آيند .

ساز و كار فوق نشان مي‌دهد كه احتمالا تابش امواجي نظير مايكروويو كه به صورت منفرد بر برخي از بندها اثر مي‌كند ، عامل پيدايش الگوي خميدگي هاست . با توجه به پيچيدگي هندسي طرح‌ها ، چنين مي‌نمايد كه نوعي وسيله هدايت كننده اصلي ( نظير يك رايانه ) فرمان‌هاي مقدماتي را به يك دستگاه عمل كننده نهايي ( نظير دستگاه مولد پرتوها ) مي‌فرستد و اين دستگاه دوم ، اثر قابل مشاهده را بر بندهاي ساقه اعمال مي‌كند .

بررسي خاك مزارع در بخش داخلي طرح‌هاي مربوط به حلقه‌هاي كشتزار ، توسط دانشمندي به نام كالين اندروز ، نشان داده است كه ميزان تشعشع الكترومغناطيسي آن ، تا ۱۰۰ ٪ بيشتر از حد عادي است و گزارش‌هاي ارائه شده ، مشخص كرده‌اند كه در سالهاي متعاقب اين رويداد ، منطقه تحت تاثير ، تا ۴۰ ٪ با افزايش محصول رو به رو شده است .

همچنين ، اندازه‌گيري‌هاي مربوط به گسيل انرژي ، آشكار ساخته‌اند كه تا چندين روز پس از پيدايش حلقه‌ها ، نوعي انرژي در محدوده فركانس ۵ كيلو هرتز ، از منطقه ساطع مي‌شود كه برخي از افراد حساس ، آن را در قالب صدايي لرزان مي‌شنوند .

بسياري از كساني كه از اين حلقه‌ها بازديد مي‌كنند ، دچار واكنش‌هاي جسمي خاصي مي‌شوند كه از آن جمله مي‌توان به حالت تهوع ، سردرد ، گيجي ، احساس قلقلك و دردهاي گوناگون اشاره كرد . نظير اين نشانگان را مي توان در ناخوشي‌هاي حاصل از تاثير پرتو راديو اكتيو نيز مشاهده كرد .

گفته مي‌شود كه ساعت‌ها ، تلفن‌هاي همراه ، دوربين‌هاي عكاسي و به ويژه دستگاههاي الكترونيكي كه براي بررسي وارد منطقه مي‌شوند ، دچار اختلال مي‌شوند و نيز ادعا مي‌شود كه قطب نماي هواپيماها ، در بالاي اين مناطق ، به صورت ديوانه وار به چرخش در‌مي‌آيد .

اشخاصي كه شاهد پيدايش حلقه‌هاي كشتزار بوده‌اند ، متوجه تابش سرخ رنگي بر سطح زمين شده‌اند . خميده شدن گياهان در ۵ دقيقه اتفاق مي‌افتد و در اين مدت ، هيچ كس ، شخص يا وسيله‌اي را كه بتوان اين رويداد را به آن نسبت داد ، نديده است .

در برخي موارد ، پيدايش اشكال پيچيده اين حلقه‌ها با برخي حوادث عجيب همراه بوده است . مثلا ديده شده است كه سگ‌هاي مجاور يك منطقه در فاصله ساعت ۲ تا ۴ بامداد پارس كرده‌اند و صبح روز بعد ، پيدايش حلقه‌اي در آن منطقه گزارش شده است ، و يا ديده‌اند كه احشام ، پس از ورود به محوطه حلقه‌ها بيمار شده‌اند . در دامنه تپه‌ها ، متوجه وزش بادهاي عجيب شده‌اند و همچنين مشاهده گوي‌هاي نارنجي نوراني ، شنيدن صداهاي خش خش مانند عجيب و ظهور مكرر اشياء پرنده ناشناس ، از ديگر وقايع پس از ظهور حلقه‌ها بوده‌اند .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



اين تصوير عينا بر روي پلاك همسر توت ان خامون فرعون مصر نقش بسته بود و موجب تعجب دانشمندان گرديده است ! اين تصوير عينا در اهرام مصر باستان وجود دارد ! اين تصاوير و اشكال هندسي دليلي بر اثبات وجود رابطه‌اي مابين فراعنه مصر و سرنشينان يوفو ميباشد .


مشهورترين تصوير قديمي مستندي كه وقوع پديده حلقه‌هاي كشتزار را نشان ميدهد ، يك گراور يا حكاكي چوبي ، متعلق به سال ۱۶۷۸ ميلادي در انگلستان است . در اين اثر ، موجودي شيطاني به تصوير در آمده است كه با داسي بلند ، مشغول دروي مزرعه غلات در قالب الگويي عجيب و خاص است .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




اين تصوير در سال ۱۹۹۲ ايجاد شده است . اگر دقت كنيد عين همين تصوير در آثار باستاني اينكاها در امريكا ديده مي‌شود . واقعا باور نكردني است ! طول اين تصوير ۱۳۰متر و عرض آن ۴۰ متر است ! مكان در گراسدورف آلمان ميباشد . اين تصاوير و اشكال هندسي دليلي بر اثبات وجود رابطه‌اي مابين سرخ پوستان امريكا و سرنشينان يوفو ميباشد .





توجيه اشكال هندسي در گندم‌زارها :



همانطور كه در مورد رياضيات مختص فيزيك توضيح داده شد ، مقوله رياضيات براي انسان ، از شمارش موجودات هستي شروع شده و سيستم شمارش اعداد به تعداد انگشتان دو دست بوده است ( يعني مبناي دهدهي ) ، در واقع راهبرد انسان در رياضيات مقايسه تعداد اشيا با تعداد انگشتان دو دست است . يعني يك حرفه دستي كه امروزه مكانيزه و ماشيني شده است . در طول تاريخ ثبت شده كه پيشرفت جامعه‌هاي متمدن با توسعه سيستم شمارش اعداد و نوشتار متن گفتار ( كتابت و كتاب نويسي ) همراه بوده كه چنين به‌نظر ميرسد كه همگي ريشه در وحي كتب آسماني و تاريخ اديان داشته است . نشانه‌هايي از سيستم‌هايي از اعداد بر پايه سه ، چهار ، پنج ، شش ، هشت و بيست در ميان سرخ پوستان آمريكاي شمالي پيدا شده است . بعضي شواهد از سيستم اعداد بر پايه دوازده را ميتوان در مثال اينكه هر فوت دوازده اينچ است يا هر شيلينگ انگليسي دوازده پنس و يا اينكه هر سال دوازده ماه است و يا شبانه روز دو تا 12 ساعت است و ... ، ملاحظه كرد . اما در جوامع امروزي به‌نظر می‌رسد كه سيستم اعداد بر پايه ده برنده شده است . البته نه به‌علت وجود مزاياي ذاتي ، بلكه به نظر می‌رسد كه به سبب وجود ده انگشت دو دست می‌باشد . اما با تحقيق و مطالعه متوجه اين موضوع ميشويم كه سيستم شمارش اعداد بر مبناي 12 بر عالم حاكم شده است و اين مسئله مربوط به خلقت خداوند ميشود كه دليل آن در دو مبحث نظريه حبابهاي سطحي و شالوده هندسه دوجيني ، نظريه ذرات حجمي و ترديد در تئوري نيروي هسته‌اي قوي توضيح داده شد . سيستم دوجيني از بعضي جهات راحت‌تر از سيستم دهدهي است . راحتي فوق اصولا از اين حقيقت ناشي ميشود كه تعداد مقسوم عليه‌هاي دوازده از تعداد مقسوم عليه‌هاي ده بيشتر ميباشد . دوازده بر يك ، دو ، سه ، چهار ، شش و دوازده بخش‌پذير است . بنابراين بسياري از محاسبات دستي در سيستم دوجيني تا حدودي ساده‌تر از سيستم دهدهي هستند ، بعضي از كسرهاي معمولي كه در مبناي دهدهي به صورت عددهاي كسري متناوب در می‌آيند در مبناي دوجيني چنين نيستند . براي نمونه كسر 3/1 كه همان 12/4 ميباشد در مبناي دوجيني به صورت 0.4 است و ..... كه در صورت علاقمندي مراجعه نماييد به مبحث رياضيات مختص فيزيك چيست ؟

چنين به‌نظر ميرسد ، موجودات هوشمند منجمله انسان و UFO و USO كه توانايي انجام دادن عمليات و محاسبات رياضي را دارند به‌طور ذاتي از سيستم‌هاي شمارش بر مبناي ده‌تايي و دوازده‌تايي بهره ميجويند . به عكسهاي زير توجه نماييد .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



دو عكس فوق مربوط به دو موجود دريايي است كه در ميان گذشتگان ما به پري دريايي شهرت يافته است اما نه به آن زيبايي كه در داستانهاي كودكانه ما آمده است . همانطور كه مشخص است تعداد انگشتان آنها در دو دست ، همانند انسان ده عدد ميباشد .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



عكس فوق مربوط به جنازه يك سرنشين بشقاب پرنده است ( يوفو ) . همانطور كه مشخص است تعداد انگشتان او در دو دست ، همانند انسان 10 عدد ميباشد .


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



عكس فوق مربوط به ساخته دست يوفوها است ( اشياء بدست آمده از سقوط بشقاب پرنده در واقعه روزول ) . همانطور كه مشخص ميباشد تعداد انگشتان سازنده آن 12 تا بوده است كه بعضي از انسانها نيز به‌طور مادرزادي 12 انگشتي به دنيا مي‌آيند . لازم به توضيح است كه شواهد بسياري دال بر وجود رابطه نزديك مابين يوفوها و سرخ پوستان آمريكاي شمالي ، حتي فراعنه مصر در دست است و با توجه به اينكه انسانها تاكنون از سيستم‌هاي شمارش متعددي غير از ده استفاده نموده‌اند ، پيش بيني ميشود كه موجودات باشعوري با تعداد انگشتان متفاوتي نيز وجود داشته باشند ، منجمله عكس زير .


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



عكسهاي زير مربوط به ترسيم‌هايي ميشود كه در قاره آمريكا روي زمين آنهم در ابعاد بزرگ كشف شده است و حاكي از مبناهاي متعدد اعداد رايج در ميان سرخ پوستان بوده است .


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


به هر حال تعداد انگشتان يك موجود هوشمند تاثير زيادي در اندوخته‌هاي فكري و دانش او از عالم پيرامون دارد و چنين به‌نظر ميرسد كه موجودات 12 انگشتي باشعورترين ، موفق‌ترين و تكامل يافته‌ترين موجودات در عرصه علم و دانش منجمله رياضيات و فيزيك باشند . و مسلما موجودات باهوش‌تري هم يافت ميشوند كه اين سيستم شمارش اعداد را علي‌رغم مغايرت با تعداد انگشتان خود ، برگزيده‌اند چرا كه نشانه‌هايي از آن سيستم در ميان ما انسانها يافت ميشود كه دال بر وجود يك نوع رابطه علمي آنها با گذشتگان ما در روي سياره زمين بوده است و شايد آنها با گذشتگان ما نوعي همزيستي داشته‌اند .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



عكس فوق مربوط به جنازه يك موجود 12 انگشتي است كه در كنار بشقاب پرنده سقوط كرده در نيومكزيكو ( واقعه روزول ) يافت شده است . اينك به رابطه اين اشكال با سيستم شمارش دوجيني يا هندسه دوجيني ميپردازيم و به چند نمونه از اين اشكال گندم‌زار اشاره ميكنيم .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



اشكال شش ضلعي برگرفته از ستاره داوود يعني نماي ايزومتريك مكعب كاملا مشهود است . اين اشكال ثابت مي‌كند كه سيستم شمارش اعداد و هندسه طراحان آن بر مبناي دوجيني است ، يعني به تعداد انگشتان دو دستشان .

فاصله از مركز


فاصله از مركز مدارها در شكل توسعه يافته ستاره داوود




مدار اول


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



در دايره مثلثاتي فوق كمان AC برابر است با 2*(12/360) يا 6/360 يعني 60 درجه ، با توجه به اينكه در مثلث قائم‌الزاويه OAB زاويه BOA برابر 60 درجه است ، ضلع OB برابر خواهد بود با OAcos60° يا r/2 يعني 0.5=2/1 .






مدار دوم



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



در مثلث قائم‌الزاويه OAB زاويه AOB=15° ميباشد براي اينكه پاره خط AO نيمساز زاويه COD بوده و كمان CD برابر 30 درجه ميباشد و همچنين OB=r/2 ميباشد . با توجه به اينكه OB=OAcos15° پس



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]






مدار سوم



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



با توجه به اينكه كمان CD برابر 60 درجه ميباشد ، زاويه CBD برابر با نصف CD يعني 30 درجه خواهد بود . در اين صورت زاويه OEB برابر 120 درجه و زاويه BEA برابر 60 درجه و زاويه EBA نيز برابر 60 درجه ميباشد . در اين وضعيت مثلث EBA متساوي‌الاضلاع بوده و AB=EB ميباشد و با در نظر گرفتن اينكه مثلث OEB متساوي‌الساقين است EB=EO بوده و EO=AB خواهد شد و چون AB برابر r*tan30° ميباشد در نتيجه OE يا شعاع مدار سوم نيز برابر r*tan30° يا r√3)/3) و 3/3√ خواهد شد .






مدار چهارم



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



در مثلث قائم‌الزاويه OAB دو ضلع OB و BA مساوي يكديگر بوده و اندازه هر دو برابر r/2 ميباشد .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]






مدار پنجم



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



در مثلث قائم‌الزاويه OAB اندازه ضلع OB برابر است با OAcos30° يعني r√3/2 يا 2/3√ .







مدار ششم



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



در مثلث قائم‌الزاويه ABC زاويه BAC روبروي كمان DE برابر 30 درجه ميباشد .


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]







مدار هفتم



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



در مثلث قائم‌الزاويه OAB ضلع OB برابر است با r√3/2



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]







مدار هشتم



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



در كليه محاسبات فوق مقدار r را يك واحد در نظر گرفته‌ايم .


لازم به توضيح است ، همانطور كه از برآورد اندازه‌هاي فوق بر مي‌آيد ، اعداد 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 9 ، 12 ،18 ، 36 ، 48 كاربرد داشته‌اند و اين اعداد مربوط به سيستم شمارش اعداد بر مبناي دوازده‌تايي يا حساب دوجيني مي‌باشد براي اينكه :



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




و همچنين زاويه‌هاي 30 ، 60 ، 90 و 15 درجه كاربرد داشته‌اند و همانطور كه ميدانيم اندازه گيري ابعاد در هندسه و مثلثات با استفاده از اين زاويه‌ها بسيار سهل و آسان و كار آمد بوده و مربوط به تقسيمات دوجيني دايره ميشود و نسبتهاي مثلثاتي اين زاويه‌ها به راحتي از رابطه فيثاغورس محاسبه ميشوند . در واقع اشكال و اعداد و ارقام فوق اشاره به نوعي هندسه دارد كه ميتوان نام آن را هندسه دوجيني ناميد كه تا به امروز موفقيتهاي بسياري را در زمينه رياضيات و ساير علوم به همراه داشته است ، البته اين در حالي است كه از اين زوايا در مبناي ده‌تايي استفاده شده است .




جدول فاصله از مركز مدارها در شكل توسعه يافته ستاره داوود :




[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

توالي فيبوناچي


تركيب تناسب طلايی يا توالی فيبوناچي در ستاره‌ داوود توسعه يافته

هنرمندان قديمی برای اضافه نمودن حس توازن و شكوه به يك صحنه ، مجسمه يا بنا مدتها از تركيب تناسب طلايی استفاده كرده‌اند . تركيب مزبور يك تناسب رياضی بر اساس نسبت 1.618/1 بوده و در اغلب مواقع در طبيعت ، مثلا در صدف‌های دريايی و الگوی دانه‌های گل آفتاب‌گردان و يا ساختار هندسي بازوهای ميله‌ای كهكشانهای مارپيچي موجود در كيهان يافت می‌شود . امروزه سرنخ‌هايي از اين نسبت طلايي در نانو ذرات ( شاخه نانو تكنولوژي ) بدست آمده است . در واقع هم در عالم خرد و هم در عالم كلان اين تناسب بخوبي قابل شناسايي است . به هر حال به كار بردن اين نسبت در طراحی‌هاي دستي و رشته‌هاي هنري كار راحتی نمی‌باشد ، براي اينكه هرگز نمی‌توان به مركز دوران مارپيچ رسيد و اين نقطه ، مركزی نامعلوم و غير قابل دسترس است و تا بي‌نهايت ادامه مي‌يابد . به علت سهولت در ترسيم‌ها و كارهاي عملي ، نسبت 1.6/1 در نظر گرفته می‌شود .
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



عكس‌هاي فوق مربوط به صدف‌هاي دريايي ، حلزون شنوايي گوش ، يك گردباد و يك كهكشان است .
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



در گل آفتاب‌گردان ، امتداد مسير دوران مارپيچ طلايي يا فيبوناچي در هر دو جهت ساعت گرد و پاد ساعت گرد مشاهده ميشود .


مستطيل طلايی ويژه

دنباله فيبوناچي و عدد طلايي چيست ؟


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

لئوناردو فيبوناچي ايتاليايي تبار اهل پيزا حدود سال 1200 ميلادي مساله‌اي طرح كرد : فرض كنيد كه يك جفت خرگوش نر و ماده در پايان هر ماه يك جفت خرگوش نر و ماده جديد به دنيا بياورند ... اگر هيچ خرگوشي از بين نرود ، در پايان يك سال چند جفت خرگوش وجود خواهد داشت ؟ البته در اين مسئله مي‌بايست قواعد و اصول فرضي و قراردادي زير مراعات شوند !
" شما یك جفت خرگوش نر و ماده دارید كه همین الآن متولد شده‌اند .
خرگوشها پس از یك ماه بالغ می‌شوند .
دوران بارداری خرگوشها یك ماه است .
هنگامی كه خرگوش ماده به سن بلوغ می‌رسد حتما باردار می‌شود .
در هر بار بارداری خرگوش ماده یك خرگوش نر و یك ماده مي‌زايد .
خرگوش‌ها تا پايان سال نمی‌میرند . "
او براي حل اين مسئله به يك سري از اعداد يا بهتر است بگوييم به يك دنباله رسيد كه عبارت بود از ... ,0،1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 كه در اين دنباله هر عددي ( به غير از صفر و يك اول ) حاصل جمع دو عدد قبلي خودش مي‌باشد ، به طور مثال 3+5=8 يا 1+2=3 و .....
علت بر اينكه در پايان ماه اول ، جفت اول به بلوغ مي‌رسد و در پايان ماه دوم بعد از سپري كردن يك ماه بارداري ، يك جفت خرگوش متولد ميشود كه جمعا دو جفت خرگوش خواهيم داشت ، در پايان ماه سوم جفت اول يك جفت ديگر به دنيا مي‌آورد ولي جفت دوم به پايان دوران بلوغ خود ميرسد كه در كل سه جفت خواهيم داشت در پايان ماه چهارم جفت اول و جفت دوم وضع حمل مي‌كنند و تبديل به چهار جفت ميشوند و جفت سوم به بلوغ مي‌رسد و در كل پنج جفت خواهيم داشت و الي آخر كه در پايان ماه دوازدهم تعداد 233 جفت خرگوش خواهيم داشت .
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




توسعه هندسي اين دنباله يا سري از اعداد :

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اين مستطيل را ، مستطيل فيبوناچي نيز مي‌نامند .
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]





[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
براي رسم مارپيچ طلايي يا فيبوناچي از راس ( گوشه ) هر مربع يك كمان به شعاعي برابر ضلع آن مربع رسم مي‌كنيم . به اين مارپيچ بدست آمده ، اسپيرال لگاريتمي هم گفته ميشود .


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
در رسم فوق دنباله را از عدد 20 شروع كرده‌ايم يعني سري اعداد 20،20،40،60،100 ، در واقع نسبت عرض مستطيل به طول آن را 1.6/1 در نظر گرفته‌ايم . رسم فوق توسط نرم‌افزار اتوكد رسم و با دقت 100.000.000/1 اندازه گذاري شده است و طريقه رسم به حد كافي واضح و روشن مي‌باشد و نكته جالب توجه اينكه براي رسم مارپيچ به اين روش ، مي‌بايست هفت كمان رسم شود كه عدد صحيح 12 براي شعاع كمان پنجم بدست مي‌آيد . مركز هر كمان با علامت جمع مشخص شده است .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
به‌طور خلاصه با در نظر گرفتن تقاطع‌هايي كه خطوط با زاويه قائمه يكديگر را قطع كرده‌اند ، ميتوان مستطيل و مارپيچ طلايي فيبوناچي را در رسم توسعه يافته ستاره داوود رسم نمود . همانطور كه مشخص است اختلاف بسيار جزيي اين رسم با رسم قبلي مشاهده ميشود آنهم در كمانهاي 5 ، 6 ، 7 به علت تغيير جزيي در قطرهاي آبي رنگ و در تناسبات هندسي اختلافي وجود ندارد ، كه دال بر اين موضوع است كه تناسب طلايي در رسم ستاره داوود توسعه يافته جاري مي‌باشد و در مباحث بعدي توضيح خواهيم داد كه كليه موجوداتي كه در آنها تناسبات طلايي ديده ميشود ، تناسب خود را مديون اين ترسيم‌ها و ساختارهاي هندسي در ستاره داوود توسعه يافته هستند .


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

در رسم فوق مستطيل و مارپيچ طلايي به مركز رسم ستاره داوود توسعه يافته انتقال داده شده است .


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

در رسم فوق مستطيل و مارپيچ طلايي به نقطه ديگري انتقال داده شده است .
اينك اگر در اين دنباله ( 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 ) هر عدد را به عدد قبلي‌اش تقسيم كنيم يك چنين سري را بدست مي‌آوريم :
1/1=1 ، 2/1=2 ، 3/2=1.5 ، 5/3=1.66... ، 8/5=1.6 ، 13/8=1.625 ، ....... ، 233/144=1.61805......
كه هر چقدر جلوتر برويم به‌نظر مي‌آيد كه به يك عدد مخصوص مي‌رسيم . اين عدد را عدد طلايي مي‌نامند كه اين عدد تقريبا برابر است با :
1.618033................

روش جبري براي بدست آوردن عدد طلايي :
مستطيلي به عرض 1 واحد و طول x را در نظر مي‌گيريم مسلما x بزرگتر از 1 مي‌باشد .
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



اينك بايد مقدار x را چنان تعيين كنيم ( بدست آوريم ) كه اگر مربعي به ضلع 1 واحد را از اين مستطيل جدا نماييم ، مستطيل بدست آمده كوچكتر ، متناسب مستطيل بزرگتر قبلي باشد ، يعني x/1=1/(x-1) a به بيان ساده‌تر ، نسبت طول به عرض مستطيل اول برابر نسبت طول به عرض مستطيل بدست آمده ( ‌مستطيل دوم ) باشد كه با ضرب صورت در مخرج طرفين تناسب ، يك معادله درجه 2 بدست مي‌آيد يعني x²-x-1=0 و با ريشه‌يابي اين معادله به ريشه‌هاي 1.6180 و 0.6180- دست مي‌يابيم .

روشهاي هندسي براي بدست آوردن عدد طلايي :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



اگر يك مثلث متساوي‌الاضلاع رسم كنيم ( مثلث بنفش ) و از مركز آن دايره‌اي رسم كنيم تا از سه راس آن مثلث عبور كند ( دايره‌ نارنجي ) و وسط دو ضلع مثلث را يافته و پاره خطي از آن دو نقطه تا محيط دايره ، رسم كنيم دو پاره خط با نسبت طلايي بدست مي‌آيد ( پاره خط زرشكي و سرخ آبي ) يعني
69.2820323/42.81865077=1.61803398...........
رسم زير روش ديگري براي رسم مستطيل طلايي ويژه و تناسبات طلايي ، و همچنين بدست آوردن عدد طلايي را نشان مي‌دهد .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

جهت رسم يك مستطيل طلايي به نسبت عدد طلايي ابتدا يك مربع به ضلع يك واحد كشيده سپس طبق شكل فوق وسط ضلع پاييني اين مربع را پيدا مي‌كنيم . سپس يك قوس با شعاعي به اندازه وسط ضلع پاييني مربع تا گوشه سمت راست بالا مي‌كشيم تا طول مستطيل معلوم شود .

اهرام :
جالب است بدانيم كه نسبت ضلع بلندتر به ضلع كوتاه‌تر مستطيل طلايي كه نسبت طلايي ناميده مي‌شود ، در بسياري از طرح‌هاي هنري از قبيل معماري و خطاطي ظاهر مي‌شود . مطابق تحقيقات انجام شده ، نسبت طول ضلع قاعده به ارتفاع در اهرام ثلاثه مصر ، برابر نسبت طلايي است . همچنين ديوارهاي معبد پارتنون از مستطيل‌هاي طلايي ساخته شده است ! زيرا به اعتقاد سازندگان آنها ، مستطيل‌ها با نسبت‌هاي طلايي به چشم خوشايندتر هستند و اين موضوع دال بر اين واقعيت است كه اين تناسبات هندسي در ذات انسان‌ها نيز شكل گرفته‌اند !
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]







[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
تعريف رياضي سري اعداد يا دنباله فیبوناچی و عدد طلايي ( في Φ ) :

غیر از دو عدد اول ( 0 و 1 ) اعداد بعدی از جمع دو عدد قبلی خود بدست می‌آیند . اولین اعداد این سری عبارتند از :

۰,۱,۱,۲,۳,۵,۸,۱۳,۲۱,۳۴,۵۵,۸۹,۱۴ ۴,۲۳۳,۳۷۷,۶۱۰,۹۸۷,۱۵۹۷,۲۵۸۴,� �۱۸۱,۶۷۶۵,۱۰۹۴۶

این سري از اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی نام گذاری شده‌ است . طبق تعريف :

مقدار عددي حد فوق به عدد في يا همان .......... 1.618033 مي‌رسد . اگر عدد في را بتوان دو برسانيم مثل اين است كه يك واحد به عدد في افزوده باشيم يعني Φ²=Φ+1 و اگر عدد يك را بر في تقسيم كنيم مثل اين است كه يك واحد از عدد في كم كرده باشيم يعني :
1/Φ=Φ-1
عدد في را در مبناي دوجيني ميتوان به صورت 1.75 نوشت كه مقدار واقعي ، حقيقي و درستي جهت في مي‌باشد براي اينكه :
1+(7/12)+(5/12/12)=1.618055555555555555555..........
233/144=1.618055555555555555......
همانطور كه مي‌دانيم عدد 233 توالي دوازدهم سري يا دنباله فيبوناچي است يعني همان تعداد خرگوش‌ها در پايان ماه دوازدهم . و بدست آمدن عدد 1.75 در مبناي دوجيني براي مقدار في بيانگر اين موضوع است كه سيستم دوجينی از بعضی جهات راحت‌تر از سيستم دهدهی است . راحتی فوق اصولا از اين حقيقت ناشی می‌شود كه تعداد مقسوم عليه‌های دوازده از تعداد مقسوم عليه‌های ده بيشتر ميباشد . دوازده بر يك ، دو ، سه ، چهار ، شش و خودش بخش‌پذير است . بنابراين بسياری از محاسبات دستی در سيستم دوجينی تا حدودی ساده‌تر از سيستم دهدهی هستند ، عدد في كه در مبنای دهدهی به صورت عددهاي كسری متناوب در می‌آيد در مبنای دوجينی چنين نيست و مي‌توان به مقدار فيكس شده 1.75 دست يافت .
ماياهايي كه در خلال سالهاي 2000 تا 900 قبل از ميلاد ، ساكن آمريكاي جنوبي بوده‌اند ، چنين به نظر مي‌رسد كه براي رصد كردن حركات متغير اجرام آسماني ، اهرامي بنا نهادند و تقويم شمسي دقيقي وضع كردند . همچنين با محاسبات خود ، وقوع خسوف و كسوف را پيش بيني و مراسم قرباني كردن انسانها را تدارك مي‌ديده‌اند و عقيده بر اين داشتند كه اين كار آنها خشم خدايان را از آنها برطرف مي‌كند .
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



به يقين مي‌توان گفت كه مطالب و موضوعات بسيار مهمي در علوم بشريت در زمينه رياضيات ، هندسه و نجوم مفقود و از بين رفته است و فقط نشانه‌هاي تلخ و ناخوشايندي از آن دانسته‌ها در ساخته‌هاي دست بشر باقيمانده است كه در مباحث بعدي سعي خواهيم كرد اين دانسته‌هاي از بين رفته را بازيابي نماييم . البته ما بايد مابين علم و جنايت فرق قائل شويم .
سری فیبوناچی چه در ریاضیات چه در فیزيك و علوم طبیعی ، كاربردهای بسیار دیگری دارد ، ارتباط زیبای فاصله‌های خوش صدا در موسیقی ، چگونگی تولد یك كهكشان و ... كه در مطالب آینده راجع به آنها بحث خواهیم كرد .
اين الگو را مي توان در گلبرگ‌ها يا دانه‌هاي بسياري از گياهان مثلاً آناناس ، گل داوودي ، گل كلم ، ميوه‌هاي كاج و ... مشاهده كرد .
خود انسان از ناف به نسبت في تقسيم مي‌شود . اين نسبت نقش پيچيده‌اي در پديده‌هايي مانند ساختار كريستال‌ها ، سال‌هاي نوري فاصله بين سيارات و پريودهاي چرخش ضريب شكست نور در شيشه ، تركيب‌هاي موسيقي ، ساختار سياره‌ها و حيوانات بازي مي‌كند . علم ثابت كرده است كه اين نسبت به راستي نسبت پايه و مبناي خلقت جهان است . هنرمندان دوره رونسانس عدد في را يك نسبت الهي مي‌دانسته‌اند .
از زماني كه هنرمندان و معماران به عمد شروع به استفاده از نسبت طلايي كردند ، نشان داده شد كه مخاطبان شيفتگي و شيدايي بيشتري نسبت به كارهاي آنها از خود نشان دادند . مستطيل‌هاي طلايي ، مانند نسبت طلايي فوق‌العاده ارزشمند هستند . در بين مثال‌هاي بي‌شمار از وجود اين نسبت و يكي از برجسته‌ترين آنها مارپيچ هاي DNA است . اين دو مارپيچ فاصله دقيقي را با هم براساس نسبت طلايي حفظ مي‌كنند و دور يكديگر مي‌تابند .
در حالي كه نسبت طلايي و مستطيل طلايي جلوه‌هاي زيبايي را از طبيعت و ساخته‌هاي دست انسان به نمايش مي‌گذارد ، جلوه ديگري از اين شكوه وجود دارد كه زيبايي‌هاي تحرك را به نمايش مي‌گذارد . يكي از بزرگ‌ترين نمادهايي كه مي‌تواند رشد و حركات كاينات را نشان دهد ، اسپيرال طلايي است .
اسپيرال طلايي كه به آن اسپيرال لگاريتمي و اسپيرال متساوي‌الزاويه نيز مي‌گويند هيچ حدي ندارد و شكل ثابتي است . روي هر نقطه از اسپيرال مي توان به هر يك از دو سو تا بي‌نهايت حركت كرد . از يك سو هرگز به مركز نمي‌رسيم و از سوي خارجي نيز هرگز به انتها نمي‌رسيم . هسته اسپيرال لگاريتمي وقتي با ميكروسكوپ مشاهده مي‌شود همان منظره‌اي را دارد كه وقتي به اندازه هزاران سال نوري به جلو مي‌رويم . ديويد برگاميني در كتاب رياضياتش خاطرنشان مي‌كند كه منحني ستاره‌هاي دنباله‌دار از خورشيد كاملا شبيه به اسپيرال لگاريتمي است . عنكبوت شبكه تارهاي خود را به صورت اسپيرال لگاريتمي مي‌بافد . رشد باكتري‌ها دقيقاً براساس رشد منحني اسپيرال است . هنگامي كه سنگ‌هاي آسماني با سطح زمين برخورد مي‌كنند ، مسيري مانند اسپيرال لگاريتمي را طي مي كنند . عدد في Φ عددي مربوط به خلقت پروردگار يكتا است .
اسب‌هاي آبي ، صدف حلزون‌ها ، صدف نرم‌تنان ، موج‌هاي اقيانوس‌ها ، سرخس‌ها ، شاخ‌هاي جانوران و نحوه قرار گرفتن گلبرگ‌هاي گل آفتاب‌گردان و چيدمان گل مرواريد ، همه به صورت اسپيرال لگاريتمي است . گردباد و منظومه‌ها از نگاه بيرون كاملاً در مسيري به صورت اسپيرال حركت مي‌كنند . طرح مطالب در اين زمينه بسيار بسيار زياد است كه در آينده به آن خواهيم پرداخت .

ستاره داوود


ستاره داوود ، اختصار نماي ايزومتريك يك مكعب است

ابتدا بايد بدانيم كه نماي ايزومتريك يك مكعب چيست ؟
اگر يك مكعب را در فضا دوران دهيم ، به‌ گونه‌اي كه دو راس متقابل به هم در امتداد خط ديد ما قرار بگيرند ، به اين منظره نماي ايزومتريك مكعب گفته ميشود . در واقع نمای ايزومتريك مكعب ، نمايی است كه در آن سه طرف بالا ، راست و چپ مكعب ديده شود ، به انيميشن زير توجه نماييد .



[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

همانطور كه مشخص است انيميشن فوق يك مكعب در حال دوران را نشان مي‌دهد كه تمامي قطرهاي سطحي ( وجه‌هاي ) آن ، همچنين يال‌هاي آن رسم شده است كه در نهايت در نماي ايزومتريك متوقف و ستاره داوود كاملا مشخص مي‌گردد ، البته اين در حالتي خواهد بود كه وجه‌هاي مكعب را از زاويه ديد پنهان نماييم تا خطوط مخفي حجم هويدا شوند ، لازم به توضيح است كه اين ستاره درون يك شش ضلعي منتظم ديده ميشود و چون براي درك بهتر موضوع ، انيميشن فوق در ديد پرسپكتيو تهيه شده است ، شايد اين شش ضلعي ، منتظم به‌نظر نرسد . براي واضح بودن رسم ، شكل زير ارايه ميشود .

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اين رسم هندسي ( ستاره داوود ) به همراه مكعب و شش ضلعي ، نقش بنيادي و كليدي در تمامي عرصه‌هاي علمي ايفا مي‌كنند . از اين رسم هندسي ستاره داوود با تلفيق و تركيبي از شش ضلعي ، در نقش و نگار مسجد كبود استفاده شده است ، كه دال بر اين موضوع است كه مسلمانان در قديم از اين رسم‌ها در معماري‌هاي خود استفاده مي‌كرده‌اند

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اين يك واقعيت است كه گذشتگان ما از اعداد ، ارقام و هندسه چيزهايي ميدانسته‌اند كه ما نمي‌دانيم و در مباحث بعدي سعي در شناخت آنها خواهيم داشت .