حل مجموعه مسائل هفته ی هفتم - سال دوم
نقل قول:
با سلام
سطح A
با در دست داشتن معادله ی یک خط و نیز مختصات یک نقطه، مختصات نقطه ای را پیدا کنید که قرینه ی آن نقطه نسبت به خط داده شده، باشد.
=================================
سطح B
با در دست داشتن ارتفاع خارج شده از راس یک مثلث و نیز اندازه ی زاویه ی مربوط به این راس و با معلوم بودن محیط این مثلث، آن را رسم کنید.
=================================
سطح C
اگر خطی در فضا با سه خط مفروض در یک صفحه، زاویه های مساوی بسازد، ثابت کنید این خط بر صفحه عمود است. (خط با این صفحه موازی نیست.)
=================================
سطح ِD
ثابت کنید تنها جوابهای طبیعی معادله ی دیوفانتی زیر برابر است با x=y=z=2
موفق باشید.
14 مرداد 1386
با سلام
سطح A
از دوستان خوبم pp8khat و آقا امیر که حل این مساله را ارسال کردند تشکر می کنم. برای دیدن راه حل pp8khat به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
و برای دیدن راه حل آقا امیر به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه کنید. بنده روش زیر را که روش جورج پولیا - ریاضیدان بزرگ معاصر - است، را ترجیح می دهم.
فرض کنید نقطه ی داده شده(A=(a,b باشد و(A'=(p,q قرینه ی این نقطه نسبت به خطی با شیب m و عرض از مبدا n باشد.اگر m=0 با کمی محاسبه می توان دید که (A'=(a,2n-b. حال فرض کنید m مخالف صفر باشد. بنابر این
با حل دستگاه نسبت به p و q خواهیم داشت:
سطح B
امیر آقا دو راه حل برای این مساله ارائه کرده اند. به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه کنید. با تشکر فراوان از ایشان.
سطح C
روش امیر آقا در پست 86 صحیح است. برای مطالعه ی آن
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
را کلیک کنید. دو روش دیگر نیز خدمتتان تقدیم می کنم:
روش دوم:
خطی را که با سه خط صفحه زاویه های مساوی می سازد L بنامید. فرض کنید BC و BD و BD پاره خطهایی با طول یکسان در صفحه ی مساله باشند و هر کدام از آنها با یکی از سه خط مساله موازی باشند و A نقطه ای در فضا باشد به طوری که AB موازیL است. لذا
پس A و B به ترتیب روی صفحه هایی قرار دارند که بر CD و DE عمود و آنها را نصف می کنند. بنابر این AB بر این صفحه عمود است.
روش سوم:
سطح D
روش امیر آقا در پست 86 صحیح است. برای مطالعه ی آن
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
را کلیک کنید.
موفق باشید.
27 مرداد 1386
حل مجموعه مسائل هفته ی هشتم- سال دوم
نقل قول:
با سلام
سطح A
دستگاه 4 معادله 4 مجهول زیر را حل کنید (هدف استفاده از راههای میانبر است نه راههای طولانی و خسته کننده)
سطح B
برد تابع زیر را به دست آورید(سعی کنید استدلالتان بر اساس شکل تابع نباشد):
سطح C
سری زیر را محاسبه کنید:
=================================
سطح ِD
فرض کنید M نقطه ای درون یک n ضلعی منتظم باشد و x_n،...،x_2،x_1 فاصله های M از ضلعها باشند. ثابت کنید:
که a طول ضلع این چند ضلعی است.
موفق باشید.
19 مرداد 1386
با سلام
سطح A
از pp8khat و aminkarami که مساله را حل کردند تشکر می کنم. برای دیدن راه حل pp8khat به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
و برای دیدن راه حل aminkarami به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه کنید.
سطح B
aminkarami در پست 90 مساله را حل کرده اند. اما دقت کنید که در آخرین سطر جواب، زیر علامت اجتماع نوشته اند k عضو Z که باید بنویسند k عضو N. برای مطالعه ی این راه حل
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
را کلیک کنید. با تشکر از ایشان. بد نیست شکل این تابع را نیز که با استفاده از Maple رسم شده است، ببینید.
سطح C
جواب سری عدد 2 است.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
را کلیک کنید و راه حل آقا امیر را مطالعه کنید.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
را نیز ببینید. ایشان جواب 0.2 را به دست آورده اند!
سطح D
روش آقا احسان و امیر آقا هر دو زیبا و کامل است. از هر دو دوست گرامی متشکرم. برای دیدن راه حل آقا احسان به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
و برای دیدن راه حل آقا امیر به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه کنید.
موفق باشید.
27 مرداد 1386
مجموعه مسائل هفته ی نهم - سال دوم
با سلام
سطح A
در هر یک از n خانه ای که در امتداد خطی راست واقع اند، پسری زندگی می کند. این n پسر باید در چه نقطه ای قرار ملاقات بگذارند تا مجموع مسافتهایی که هر یک از آنها از خانه تا محل ملاقات می پیماید، به حداقل ممکن برسد؟
=================================
سطح B
علی 6 سکه ی سالم و محمد 5 سکه ی سالم پرتاب می کنند. احتمال اینکه علی بیشتر از محمد شیر بیاورد چقدر است؟ این مساله را تعمیم دهید.
=================================
سطح C
فرض کنید A و B دو ماتریس مربعی هم مرتبه ی متمایز باشند. گزاره ی منطقی زیر را ثابت کنید:
=================================
سطح ِD
اگر A ماتریسی از مرتبه ی n با درایه های حقیقی باشد، ثابت کنید:
با استفاده از مساله ی بالا، ثابت کنید که اگر A و B دو ماتریس از مرتبه ی n با درایه های حقیقی باشند و 0=AB، آنگاه برای هر دو عدد صحیح مثبت p و q داریم:
موفق باشید.
27 مرداد 1386
