مقالات علمی هندسه

هندسه‌ نااقلیدسی هندسه‌هایی که اقلیدسی نیستند از مطالعهٔ عمیق‌تر موضوع توازی در هندسهٔ اقلیدسی پیدا شده‌اند. دو نیم‌خط موازی عمود بر پاره خط PQ را در نمودار شماره 1 در نظر بگیرد. در هندسهٔ اقلیدسی فاصلهٔ (عمودی) بین دو نیم‌خط هنگامی که به سمت راست حرکت می‌کنیم فاصلهٔ p تا Q باقی می‌مانند؛ ولی در اوایل سدهٔ نوزدهم دو هندسه‌ی دیگر پیشنهاد شد. یکی هندسهٔ هذلولوی (از کلمهٔ یونانی هیپربالئین به معنی "افزایش یافتن") که در آن فاصلهٔ میان نیم‌خط‌ها افزایش می‌یابد و دیگری هندسهٔ بیضوی (elliptic geometry) (از کلمهٔ یونانی ایپلن "کوتاه شدن") که در آن فاصله رفته رفته کم می‌شود و سرانجام نیم‌خط‌ها هم‌دیگر را می‌برند. این هندسهٔ نااقلیدسی بعدها توسط ک.ف. گاوس و گ. ف. ب. ریمان در قالب هندسهٔ کلیتری بسط داده شدند. (همین هندسهٔ کلی‌تر است که در نگرهٔ نسبیت عام اینشتاین مورد استفاده قرار گرفته است.)

هندسه اقلیدسی نام شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی موجودات ریاضی مثل نقطه و خط می‌پردازد و بر پایه‌هائی که اقلیدس ریاضی‌دان یونانی در کتاب خود به‌نام اصول عرضه کرده، بنا شده است. بخش بزرگی از هندسه اقلیدسی همان است که در دبیرستان‌ها تدریس می‌شود. تا قرن نوزدهم میلادی هر وقت از هندسه سخن می‌رفت منظور هندسه اقلیدسی بود. بررسی مفاهیم هندسه اقلیدسی در دو بعد را «هندسه مسطحه» و در سه بعد «هندسه فضائی» می‌نامند. این مفاهیم را به ابعاد بالاتر از سه نیز می‌توان تعمیم داد و همچنان آن را هندسه اقلیدسی نامید.

اقلیدس دستگاه هندسی خود را بر پایه پنج فرض (یا به اصطلاح رایج امروز پنج اصل موضوع یا پنج بنداشت) و پنج اصل متعارفی تعریف کرد. پنج اصل هندسه اقلیدسی این‌ها است:

هر دو نقطه را می‌توان با یک خط به‌هم وصل کرد.
هر پاره خط راست را می‌توان بینهایت از دو طرف ادامه داد.
با داشتن یک پاره خط دایره‌ای می‌توان رسم کرد که مرکزش یک انتهای پاره خط و شعاعش طول پاره خط باشد.
تمام زاویه‌های قائمه هم‌نهشت‌اند.
اگر دو خط را چنان رسم کنیم که خط سومی را به نحوی قطع کنند که مجموع زاویه‌های داخلی یک سمت کمتر از دو قائمه باشد آنگاه این دو خط یکدیگر را قطع می‌کنند.

اصل موضوع چهارم اقلیدس

همهٔ زوایای قائمه با یک‌دیگر قابل انطباق اند.

اصل پنجم اقلیدس

اقلیدس در کتاب اصول اقلیدس هنگامی که بنیاد هندسه‌یی را می‌گذاشت، که به مدت بیش از دو هزار سال تنها هندسهٔ موجود بود، پنج اصل موضوع و پنج اصل متعارفی را به عنوان اصول بدیهی و بدون نیاز به اثبات پذیرفت تا بتواند بقیه قضایای هندسی را اثبات کند. اصل پنجم آن‌گونه که اقلیدس بیان کرد این‌گونه است: اگر دو خط راست به‌وسیلهٔ یک خط سوم قطع شوند، در همان طرفی از خط سوم که زوایای داخلی، مجموع کوچک‌تر از دوقائمه تشکیل می‌دهند یک‌دیگر را قطع می‌کنند. این اصل در شکل امروزی آن اینگونه بیان می‌شود: اگر دو خط به وسیلهٔ موربی چنان قطع شوند که مجموع اندازهٔ درجه‌های دو زاویهٔ درونی واقع در یک طرف مورب کمتر از 180 درجه باشد، آنگاه این دو خط یک‌دیگر را در همان طرف مورب تلاقی می‌کنند. شکل مشهورتر این اصل که امروزه در دبیرستان تدریس می‌شود و به اصل توازی اقلیدسی مشهور است عبارت است از: به ازای هر خط l و نقطهٔ p غیر واقع بر آن تنها یک خط مانند m وجود دارد چنانچه از p می‌گذرد و با l موازی است.

این اصل را به این شکل نخستین بار جیرولامو ساکری طرح کرد.

چند جانشین دیگر برای این اصل پیشنهاد شده است:

حداقل یک مثلث وجود دارد که مجموع سه زاویهٔ آن برابر با 180 درجه است.
دو مثلث متشابه غیر متساوی وجود دارند.
دو خط مستقیم وجود دارند که همه جا از هم به یک فاصله‌اند.
بر هر سه نقطهٔ غیر واقع بر یک خط می‌توان دایره‌ای گذراند.
بر هر نقطهٔ داخل زاویه‌ای کمتر از 60 درجه می‌توان خط مستقیمی کشید که هر دو ضلع زاویه را قطع کند.
برای اصلاع بیشتر به اصل پلی‌فیر و اصل توازی اقلیدسی و اصل توازی هیلبرت مراجعه کنید.

اصل توازی اقلیدسی

اصل پنجم اقلیدس که در کتاب اصول اقلیدس بیان شده است و مناقشه برانگیزترین اصل از اصول پنج‌گانهٔ هندسهٔ اقلیدسی است. به سبب این که منجر به بیان اصل هم‌ارزی شد که در آن بیان می‌شود از یک نقطه خارج یک خط فقط یک خط به موازات آن می‌توان کشید. به اصل توازی اقلیدسی مشهور شده است. از آن‌جا که نخستین بار جان پلی‌فیر این اصل را مطرح کرد به اصل پلی‌فیر هم مشهور است. اصل توازی هذلولوی و اصل توازی ریمانی در سده‌های اخیر هندسه‌های جدیدی را به وجود آوردند که به هندسهٔ هذلولوی یا هندسهٔ لباچفسکئی و هندسهٔ ریمانی یا هندسهٔ بیضوی مشهورند.


اصل پلی‌فیر

شکلی از اصل پنجم اقلیدس که توسط جان پلی‌فیر فیزیک‌دان و ریاضیدان اسکاتلندی ابداع شد. البته پروکلوس در قرن پنجم میلادی نیز این اصل را کم و بیش به همین شکلی که پلی‌فیر بیان کرده است. بیان کرده بود.


اصل توازی هذلولوی

خطی مانند ‌l و نقطه‌ای مانند p ناواقع بر l وجود دارد چنانچه می‌توان حداقل دو خط متمایز p رسم کرد که با l موازی باشند.

هندسه‌ هذلولوی یکی از هندسه‌های نااقلیدسی است که به هندسه‌ لباچفسکی نیز مشهور است. نام انگلیسی این نوع هندسه, یعنی (Hyperbolic), از کلمهٔ یونانی هیپربالئین به معنی "افزایش یافتن" گرفته شده است که در آن فاصلهٔ میان نیم‌خط‌ها در اصل توازی افزایش می‌یابد.

این مطالب رو توی یکی از سایت های ریاضی خوندم بد نیست شما هم یه نگاهی به اونها بندازید .

آری این همان جمله معروفی است که بر سر در باغ افلاطون که در آن باغ بحث های علمی و فلسفی صورت می گرفت نوشته شده بود.در قرن چهارم قبل از میلاد افلاطون در باغ آکادموس در آتن مکتبی ایجاد کرد که نه قرن بعداز او نیز همچنان برپا ماند. وی ریاضیات مخصوصاً هندسه را بسیار عزیز می‌داشت، تا جائی که بر سردر مکتب خود این جمله را حک کرده بود: «هرکس هندسه نمی‌داند به اینجا قدم نگذارد». این فیلسوف بزرگ به تکمیل منطق که رکن اساسی ریاضیات است همت گماشت و چندی بعد منجم و ریاضیدان معاصر وی ادوکس با ایجاد تئوری نسبت‌ها نشان داد که کمیات اندازه نگرفتنی که تا آن زمان در مسیر علوم ریاضی گودالی حفر کرده بود هیچ چیز غیر عادی ندارد و می‌توان مانند سایر اعداد قواعد حساب را در مورد آنها بکار برد.
علوم بالاخص علوم رباضی مقدس و پاک است بر کسی پوشیده نیست که تمامی علوم در روند تکاملی خود به سوی یک هدف حرکت می کنند و آن هدف مقدس و پاک است. کم نیستند به ظاهر دانشمندان و دانش پژوهانی که از کل علم به اندازه (ع) آن بیش نمی دانند اما خودشان را آنگونه گم می کنند که نعوذ باا... خیال می کنند خدا شده اند. چه بسیارند عالمان جاهلی که به جای یادگیری درس تواضع و اخلاق باعث آلوده شدن حریم مقدس علم و عالم می شوند. خدا کند که من و شما به اینگونه نباشیم!
آری یکی از دلایلی که افلاطون در آن زمان این جمله را نوشت را در پاراگراف بالا آوردم.
من هم مایلم این جمله را بنویسم که:
ریاضیات علمی پاک است، اگر عاشقش نیستید واردش نشوید!

استقرا (induction): استقرا یعنی رسیدن به نتیجهٔ کلی از طریقِ مشاهداتِ جزیی و مکرر. این نوع از استدلال با استنتاج فرقِ اساسی دارد، زیرا می‌توان از جزیی به کلی رسید، با داشتنِ مقدمات نتیجه ضروری نمی‌گردد، و می‌توان از مقدماتِ صادق به نتیجهٔ کاذب رسید. به مثالِ زیر توجه کنید:

حسن ملی‌گرا است.

علی ملی‌گرا است.

رضا ملی‌گرا است.

نتیجه: همهٔ ایرانی‌ها ملی‌گرا هستند.

همان‌طور که دیده می‌شود با وجودِ مقدمات نتیجه ضروری نمی‌گردد. تنها نوعِ استقرا که در آن چنین ضرورتی وجود دارد استقرایِ کامل است: فرض کنید در اتاقی ده نفر حضور دارند و فرض کنید یک نظرسنجی از همهٔ آن‌ها نشان می‌دهد که همه ملی‌گرا هستند. دراین‌صورت می‌توان گفت: «همهٔ افرادِ این اتاق ملی‌گرا هستند». این نتیجه‌گیری با این که از جنسِ استنتاج نیست اما ضرورتاً صحیح است. اما در بیش‌ترِ موارد دسترسی به همهٔ موارد وجود ندارد، بویژه اگر موضوعِ موردِ بررسی بتواند در آینده نیز پیش آید. حتی اگر همهٔ کلاغ‌هایِ امروزی را دانه به دانه بررسی کنیم و مشاهده کنیم که همگی سیاه هستند نمی‌توان نتیجه گرفت که «همهٔ کلاغ‌ها سیاه هستند» زیرا این حکم کلاغ‌هایِ آینده را نیز شامل می‌شود.

در ادامه اشکالاتِ استقرا و استقراگرایی را بررسی خواهیم نمود، اما در این‌جا اشاره به این نکته مفید است که با وجودِ همهٔ اشکالات اگر استقرا نباشد احتمالاً یکی قوی‌ترین راه‌هایِ به دست آوردنِ گزاره‌هایِ کلی از دست می‌رود، و چنانچه این گزاره‌ها نباشند احتمالاً مصادیقِ زیادی از استدلال‌هایِ استنتاجی نیز از بین می‌روند (زیرا در استنتاج مقدمات کلی هستند).

3-ربودن (abduction): «ربودن» در واقع نوعی حدس زدن است. این نوع از استدلال در تقسیم‌بندیِ ارسطو وجود ندارد، اما در فلسفهٔ علمِ جدید بسیار اهمیت دارد. نامِ دیگرِ این استدلال استنتاجِ بهترین تبیین است. تبیینِ (explanation) یک پدیده عبارت است از بیانِ علل و عواملِ رخ دادنِ آن پدیده بطوری که رخ دادنِ آن توجیه گردد. از دیدِ بسیاری از فلاسفه یکی از اهدافِ اساسی و محوریِ علم بطورِ کلی تبیینِ پدیده‌ها ست. ربودن یا استنتاجِ بهترینِ تبیین عبارت است از رسیدن به یک (بهترین) فرضیه از یک مجموعه از مشاهدات. این استدلال به این ترتیب است:

مشاهدهٔ O برقرار است.

فرضیهٔ H مشاهدهٔ O را تبیین می‌کند.

فرضیهٔ H بهترین فرضیه از میانِ رقیبان‌اش است.

نتیجه: H صادق است.

این شکلِ استدلال - که بحث‌هایِ مفصلی را در فلسفهٔ علم به خود اختصاص داده است-، نیز از نوعِ استدلال‌هایِ غیرِالزام‌آور است، یعنی داشتنِ مقدمات داشتنِ نتیجه را ضروری نمی‌کند.

روش‌شناسیِ استقراگرایانه

حال که با ماهیتِ استدلالِ استقرایی آشنا شدیم می‌توانیم ببینیم استقراگرایی به چه معنا ست.

مسلم است که در علم از استدلالِ استنتاجی استفاده می‌شود. تمامِ استدلال‌هایِ منطقی و ریاضی - که مثلاً در فیزیک کاربردِ عمده دارند - از جنسِ استنتاج هستند. اما دیدیم که استنتاج نمی‌تواند برایِ ما قوانینِ کلی پدید آورد (ممکن است گفته شود قوانینِ منطق کلی هستند؛ اما اولاً این قوانین بر استنتاج حاکم اند نه این که خود مبتنی بر استنتاج باشند، و ثانیاً این قوانین غیرِ تجربی اند، در حالی که قوانینِ فیزیک تجربی اند). پس علوم قوانینِ کلی را از کجا می‌آورند؟ باید چیزی بیش از استنتاج بر علم حاکم باشد، وگرنه علمی وجود نخواهد داشت.

فرانسیس بیکن فیلسوفِ قرنِ شانزدهمِ میلادی نخستین کسی بود که استقرا را پیشنهاد داد. او معتقد بود که:

1. استقرا باید در علومِ طبیعی به کار رود تا قوانینِ کلی پدید آیند.

2. استقرا یک شیوهٔ استدلالِ موجه و معقول است.

بیکن به دانشمندانِ آینده توصیه نمود (در زمانِ بیکن در واقع هنوز دانشمندی به معنایِ مدرن وجود نداشت، و به‌همین‌دلیل شاید بتوان بیکن را پیامبرِ علم نامید) که هرچه می‌توانند داده جمع‌آوری کنند، و جداولی طراحی کنند که این داده‌ها بطورِ منظم در آن‌ها قرار داده شده‌اند. بدین‌ترتیب قانونِ علمی خود‌به‌خود از دلِ داده‌ها بیرون خواهد آمد. در واقع می‌توان نظمِ حاکم بر داده‌ها را کشف نمود و سپس آن را در یک استدلالِ استقرایی تعمیم داد.

هدفِ علم از نظرِ بیکن دو چیز بود: علمِ مطلق و قدرتِ مطلق. دو آرزویِ بزرگی که علم برایِ بشر برآورده خواهد نمود.

مثال‌هایی از اکتشافاتِ علمی در تاریخ وجود دارد که گویا کاملاً با روشِ بیکن انجام شده‌اند. تیکو براهه منجمِ هلندی که استادِ کپلر فیزیکدانِ مشهورِ آلمانی بوده است رصدهایِ متعددی دربارهٔ مکانِ سیاراتِ منظومهٔ شمسی انجام داد که داده‌هایِ فراوانِ حاصل از آن‌ها اساسِ قوانینِ سه‌گانهٔ کپلر را فراهم آورد.

پوزیتیوست‌هایِ منطقی به معنایِ دقیقِ کلمه «استقراگرا» نبودند، مگر آن که واژه را به معنایِ متفکری به کار بریم که صرفاً استقرا را مجاز می‌داند، و دربارهٔ مبانیِ منطقیِ آن تئوری می‌پردازد.

مشکلاتِ استقراگرایی

استقراگرایی با وجودِ جذابیت‌اش دچارِ مشکلاتِ بسیاری است. دیدیم که بیکن دو اعتقاد دربارهٔ استقرا داشت. این دو اعتقاد در پیروانِ بعدیِ وی نیز باقی ماند. اشکالاتِ عمدهٔ این روش‌شناسی بتبعِ این دو گزاره به دو دسته تقسیم می‌گردند:

۱- ساده‌ترینِ این مشکلات جور در نیامدنِ این روش‌شناسی با تاریخِ علم است. براستی مثال‌هایی از تاریخ که استقراگرایی را تأیید کنند چقدر هستند؟ می‌دانیم که نیوتن موفق شد نظریه‌ای بپردازد (نظریهٔ جهانیِ گرانش) که هر سه قانونِ کپلر و قوانینِ گالیله در موردِ سقوطِ آزاد را همزمان به دست دهد. این کشف بعلاوه توضیح می‌داد که چرا معقول است فکر کنیم که زمین دورِ خورشید می‌گردد، و ضمناً علتِ جذبِ اشیا توسطِ زمین و علتِ گردشِ اجرام به دورِ یکدیگر را به یک علتِ واحد کاهش می‌داد. آیا نیوتن قانونِ جهانیِ گرانش را با نگاه به داده‌هایِ تجربی به دست آورد؟ آیا واقعاً خیره شدن به داده‌هایِ تیکو براهه یا قوانینِ کپلر ما را به قانونِ نیوتن می‌رساند؟ دراین‌صورت چرا خودِ کپلر آن را کشف نکرد؟ افسانهٔ عامیانه‌ای که در موردِ نیوتن هست بخوبی توضیح می‌دهد که این‌طور نیست (این که خوردنِ یک سیب به سرِ نیوتن او را به این کشف رساند). به نظر می‌رسد که نظریهٔ نیوتن بر داده‌هایِ تجربی استوار نبود، بلکه او ابتدا نظریه‌اش را داد و سپس به دنبالِ داده‌هایِ تجربی برایِ تأییدِ آن رفت.

پس نظریهٔ فرانسیس بیکن ادعا می‌کند که روشِ کشفِ همهٔ دانشمندان از طریقِ استقرا است، اما تاریخ این امر را تأیید نمی‌کند. مثالِ معروفِ دیگر در این زمینه ککولهٔ شیمی‌دان است. این دانشمند که فکرش مدت‌ها مشغولِ ساختارِ ملکولیِ ماده‌ای شیمیایی به نامِ بنزن بود، و از داده‌هایِ تجربی راه به جایی نمی‌برد، یک روز در خواب توانست ساختارِ شیمیاییِ بنزن را کشف کند! اینشتین نظریهٔ نسبیت (هم خاص و هم عام) را نه بر اساسِ هیچ داده یا آزمایشی بلکه برایِ حلِ برخی مسایلِ صرفاً نظری که سلیقهٔ او را آزار می‌داد اختراع نمود. مثال‌هایی از این دست در تاریخ فراوان اند. بنابراین به نظر می‌رسد که باورِ نخستِ استقراگرایی دچارِ مشکلاتِ تاریخی است.

۲- آیا استقرا روشی موجه و معقول است؟ یکی از بزرگ‌ترین فلاسفه‌ای که نادرستیِ این باور را نشان داد و به گفتهٔ راسل تا مدتی موجبِ بی‌اعتبار شدنِ علم گردید دیوید هیومِ انگلیسی بود.

هیوم از فیلسوفانِ تجربه‌گرا و شاید مهم‌ترینِ ایشان بود. او در کتابِ رساله در بابِ طبیعتِ بشری تجربه‌هایِ حسیِ اولیه را نخستین منشأ هرگونه دانشی دربارهٔ جهان می‌داند و وجود هر دانشی که بطورِ پیشینی و خارج از تجربه در ذهن باشد را انکار می‌کند. او با جان لاک هم‌عقیده است که ذهن در آغاز لوحِ سفیدی است. هیوم این مسأله را مفصلاً تحلیل می‌کند که تصورات، احساسات و باورهایِ مختلفِ انسان چگونه از حسیاتِ اولیه آغاز گشته و طیِ فرایندهایِ روانی کلیت یافته و یا تعمیم می‌یابند. او بویژه با تحلیلِ دو مفهومِ مهمِ علیت و استقرا تاریخِ فلسفه را تحتِ تأثیرِ خویش قرار داد.

هیوم بر این باور بود که استقرا یک فرایندِ صرفاً روانی است. نه منطقاً و نه بطورِ تجربی نمی‌توان استقرا را موجه جلوه داد:

بطورِ منطقی: این که تا کنون هر روز خورشید طلوع کرده است منطقاً هیچ ارتباطی به این امر ندارد که فردا هم طلوع کند. همان‌طور که یک جوجه ممکن است فکر کند که زنِ مزرعه‌دار هر روز به او غذا می‌دهد، اما بعد از چند سال یک روز زنِ مزرعه‌دار مثلِ هر روز سر برسد با این تفاوت که این بار سرِ جوجه را ببرد. استقرا صرفاً یک فرایندِ روانیِ ناموجه است.

بطورِ تجربی: شاید ادعا شود که می‌توان استقرا را با تجربه موجه نمود. می‌توانیم بگوییم که دانشمندانِ علومِ طبیعی از استقرا استفاده نموده و می‌نمایند و این کار بسیار برایِ علم مفید بوده است، پس استقرا مفید و موجه است. اما اگر یک بارِ دیگر این استدلال را تحلیل کنیم می‌بینیم که دچارِ دور است زیرا در خودِ آن از استقرا استفاده شده است.

پس دیدیم که استقراگرایی مشکلاتی دارد. البته واضح است که همواره می‌توان برایِ پاسخ به انتقادها تلاش نمود و نمونه‌هایِ پیشرفته‌تری برایِ نظریه یافت که مشکلاتِ سابق را نداشته باشد. پس از هیوم استقراگرایی نابود نشد، بلکه نمونه‌هایِ پیشرفته‌تری از آن (بویژه در قرنِ بیستم بتوسطِ پوزیتیویست‌ها) پدید آمد.
منبع:
آقای علی آل کثیر
societymath85.blogfa
موفق باشید.