چراهای ریاضی در حل مسائل میدان الکتریکی

سلام
در محاسبه و نحوه عملکرد انتگرال های برداری با کمی مشکل برخورد کردم که سپاسگزار خواهم بود درک ریاضی حل مسئه را بهتر برای من روشن کنید.
در سوال زیر می خواهیم میدان حاصل از بار سطحی kcos(phi) را بر روی محور کره به دست بیاریم(روی محور z ها) که خود کتاب به این صورت حل کرده است
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

1-چرا به جای حالت معمولی که به صورت زیر حل می شود (اما جواب کاملا غلط هست) مسئله را حل نمی کنند؟ چرا تغییر متغییر انجام می شود؟ مگر به جز اینکه میدان در جهت az هست حاصل انتگرال ar صفر نمی شود و مستقیما می توان در حل آن را صفر در نظر گرفت یعنی
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
در حل انتگرال می دانیم که بازه کامل بر روی ar به دلیل مولفه های sin , cos صفر می شود بنابراین می توان تنها z را حساب کرد، پس تغییر متغییرها درجواب کتاب برای چیست؟

2-
باری بر روی قسمت منفی محور y ها قرار گرفته است و بردار یکه فاصله بین جز بار دیفرانسیل و نقطه مشاهده در شکل مگه عبارت
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
نمی شود؟
یعنی
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اما در جواب کتاب
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
در نظر گرفته شده است؟!! مشکل از جل بنده هست یا کتاب اشتباه حل کرده است؟

متشکر می شوم از پاسختون