سوال درمورد معادله دیفرانسیل

با سلام
من موقع حل یک مسئله به معادله دیفرانسیل زیر رسیدم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
که با تغییر متغیرزیر:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
به این معادله میرسیم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
که جواب این معادله توابع لژاندرنوع اول و نوع دوم میباشد بنابراین داریم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
میخوام بدونم رابطه ی P_n(ju) و Q_n(ju) برحسب P_n(u) و Q_n(u) چیه؟ یا اصلا این توابع تعریف شده هستند؟ چه طوری تعریف میشن؟ نمودار تغییراتشون برحسب x چه طوریه؟کجا بی نهایت میشن کجا صفر؟ راه دیگه ای به جز تغییر متغیر برای این معادله وجود نداره؟ البته نه از راه سری یه جواب بر حسب توابع شناخته شده ای مثل لژاندر و... میخوام.
ممنون میشم اگه راهنماییم کنید.
با تشکر