تاریخچه بی نهایت و کشف کانتور(فراتر از بینهایت)
تاریخچه بی نهایت
بعضی معتقدند که مفهوم بی نهایت برای نخستین بار در کتب مقدس هند باستان مطرح شده.اما میتوان گفت که اولین کار جدی در مورد بی نهایت در یونان قدیم و توسط اقلیدس در بررسی اعداد اول بود.اقلیدس در کتاب "اصول" خود هرچند مستقیما نامی از بی نهایت نمیبرد.اما بطور ضمنی به ان اشاره میکند..اقلیدس ثابت میکند که تعداد اعداد اول از حاصلضرب هر تعداد مفروضی از اعداد اول هم بزرگتر است و این عملا به این معناست که تعداد اعداد اول بی نهایت است.
پس از اقلیدس پژوهش بوسیله سایر ریاضی دانان ادامه یافت تا اینکه در 1659 جان والیس ریاضی دان انگلیسی در کتاب خود با نام
"رساله ای درباره مقاطع مخروطی"برای نخستین بار نماد
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
را برای نشان دادن مفهوم بینهایت وارد ریاضیات کرد.
برخی معتقدند این نماد ریشه در متون باستانی کهن دارد چرا که مشابه چنین نمادی بر دیوارهای غارهایی در تبت هم یافت شده بود.برخی نیز ریشه انرا در متون کیمیاگری میدانستند که در نوشته های رمزی خود از ان به سمبل جاودانگی نوشته میشد.برخی نیز تصور میکنند که این نماد از شکل نماد موبیوس گرفته شده اما این تصور نمیتواند درست باشد چرا که جان والیس 200سال پیش از موبیوس زندگی میکرده.بنابر نظر محققان تاریخ ریاضی والیس این نماد را از نماد عدد 1000 یونانی در سیستم عدد نویسی یونانی که خود از سیستم عدد نویسی اتوریایی ریشه گرفته اخذ کرده است.
در این سیستم عدد نویسی از نمادCI برای نشان دادن عدد 1000 که بعضا معنای" خیلی زیاد" هم میداده استفاده میشده است.البته یک حدس دیگر هم این است که نماد بی نهایت از امگا نشات گرفته باشد.
با اغاز عصر جدید پژوهش درباره بینهایت همچنان ادامه یافت.در این دوران لایبنیتز و نیوتن برای نخستین بار از وجود مفهوم جدیدی به نام "بینهایت کوچک "در عرصه ریاضیات پرده برداشتند.بینهایت کوچک که عملا از همان" بی نهایت "مشتق گرفته شده عددی مثبت است که از هر عدد مفروض دیگری کوچک تر است به این ترتیب بینهایت و بینهایت کوچک پایه های عرصه بدیعی در دیفرانسیل و انتگرال را شکل دادند و این گونه بود که بینهایت عملا به مهمترین مفهوم در علوم و مهندسی جدید تبدیل شد
فراتر از بینهایت
در حالی که اغلب دانشمندان و مهندسان تنها به کاربردهای بینهایت بسنده کرده بودند.تلاش برای کشف دیگر ویژگی های این مفهوم اسرار امیز همچنان ادامه یافت.در سال 1874 جورج کانتور روسی-المانی به کشف حیرت انگیزی رسید.اینکه اگرچه بینهایت,بینهایت بزرگ است
ولی با این حال بزرگتر از ان هم وجود دارد.این کشف فوق العاده عجیب بود چرا که میدانیم بی نهایت از هر عددد قابل تصوری بزرگتر است
پس چگونه بزرگتر از ان نیز هست؟در پاسخ باید گفت چیزی که از بینهایت بزرگتر باشد اول از همه خودش باید بینهایت باشد.بنابراین
درواقع کانتور کشف کرد که بعضی از بینهایت ها از بعضی دیگر بزرگترند.
چگونه؟
پاسخ به شاخه ای از ریاضیات برمیگردد که توسط خود کانتور بسط داده شده بود و امروزه بعنوان نظریه مجموعه ها شناخته میشود.
هر مجموعه از تعدادی عضو تشکیل شده است.تعداد اعضای مجموعه های متناهی قابل شمارش اند.به عنوان مثال مجموعه ای که اعضای ان 2,3,5 7,هستند 4عضو دارد اما مجموعه های نامتناهی نظیر اعداد حقیقی.اعداد طبیعی و.... هم وجود دارند که بینهایت عضو دارند.
کانتور برای مقایسه تعداد اعضای این مجموعه های بینهایت عضوی یا به عبارتی بینهایت ها از روش جالبی استفاده کرد.در حالتی که میخواهیم تعداد 2مجموعه-مثلا تعداد سیب و پرتقال های موجود در 2جعبه را مقایسه کنیم ابتدا اعضای هرکدام را شمرده سپس مقایسه میکنیم که کدام بزرگتر است.
اما برای این مقایسه راه دیگری وجود دارد که ابتدا یک سیب از جعبه اول برداشته سپس به ازای ان یک پرتقال از جعبه دوم برداریم و کناری بگذاریم و این کار را همینگونه ادامه دهیم
در نهایت اگر هرکدام اضافه امد معلوم میشود که تعدادش بیشتر بوده و این دقیقا همان کاری بود که کانتور مکرد
برای مثال او توانست ثابت کند که مابین اعداد بینهایت عضوی طبیعی و بینهایت عضوی زوج تناظر یک به یک وجود دارد
(یعنی 1 را با2و2را با 3 و ......nرا با 2n) در نظر گرفت بدون انکه عضوی اضافه بیاید.کانتور ثابت کرد که این دو بینهایت دقیقا هم اندازه هستند
او همچنین با این روش توانست ثابت کند که بینهایت به اضافه 1,بینهایت ضربدر 2 و حتی به توان 2 نیز همگی با هم برابرند
