متناقض نمای هتل هیلبرت

صورت مسئله

هتلی با 500 اتاق را در نظر بگیرید که تمامی اتاق های ان پر هستند.در این صورت اگر مسافری از راه برسد و از بخش پذیرش هتل تقاضای 1
اتاق کند,جایی برای او وجود ندارد.
تا اینجای داستان همه چیز طبیعی است و هیچ تناقضی در اون نیست.اما دیوید هیلبرت ریاضی دان المانی در دهه 20 با مثالی نشون دادکه اگر این هتل بینهایت اتاق داشته باشد و تمامی بینهایت اتاق ان هم پر باشد باز هم میتوان یک اتاق خالی در اختیار مسافر تازه از راه رسیده قرار داد.

در مثال هیلبرت برای جا دادن یک مسافر تازه وارد,مدیریت هتل از تمام مهمانان هتل میخواهد که به اتاق بعدی نقل مکان کنند.یعنی مهمان اتاق شماره 1 به 2 و مهمان اتاق 2 به 3 و به همین ترتیب.به این صورت اتاق شماره 1 برای پذیرش مسافر تازه وارد خالی خواهد شد.


حالا اگه بجای یک مسافر,بی نهایت مسافر جدید از راه برسد و تقاضای اتاق کنند چه میشود؟

این بار مدیریت هتل از مهمانان تمام اتاق ها میخواهد تا به اتاقی که شماره ان 2برابر شماره اتاق فعلی انهاست نقل مکان کنند;
یعنی مهمان اتاق 1به 2 و اتاق 2 به چهار و .....و به این صورت بی نهایت اتاق با شماره فرد برای پذیرش بی نهایت مهمان جدید خالی خواهد شد!!


شیوه اثبات

برای حل این متناقض نما باید از [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] (که در واقع میگه بعضی بی نهایت ها از بعضی دیگر بزرگترند یا بعضی ها هم اندازه اند) در مورد بی نهایت ها بهره گرفت . مسئله این است در حالی که در هتلی با تعداد اتاق متناهی ,
تعداد اتاق های فرد از کل تعداد اتاق های هتل کمتر است,اما در هتلی که بی نهایت اتاق داشته باشید بر مبنای کشف کانتور تعداد اتاق های با شماره فرد از کل اتاق های هتل کمتر نیست پس بنابراین تناقضی هم در اینجا وجود ندارد