مشتق ایدهٔ اصلی حساب دیفرانسیل، بخش اول آنالیز ریاضی است که نرخ لحظه‌ای (یا نقطه‌ای) تغییرات تابع را نشان می‌دهد. مشتق نیز، نظیر انتگرال، از مسئله‌ای در هندسه، یعنی یافتن خط مماس در یک نقطه از منحنی ناشی شده‌است.
مفهوم مشتق تا اوائل قرن ۱۷ میلادی، یعنی تا قبل از آنکه ریاضی‌دان فرانسوی، پییر دو فرما به تعیین اکسترمم‌های چند تابع خاص دست بزند، تنظیم نشده بود. فرما دریافت که خطوط مماس، در نقاطی که منحنی ماکزیمم یا مینیمم دارد، باید افقی باشد. از اینرو دیده می‌شود که مسئلهٔ تعیین نقاط اکسترمم تابع، به حل مسئلهٔ دیگر، یعنی یافتن مماس‌های افقی مربوط می‌شود. تلاش برای حل این مسئلهٔ کلی‌تر بود که فرما را به کشف برخی از ایده‌های مقدماتی مفهوم مشتق هدایت کرد.
در نگاه نخست اینطور به نظر می‌رسید که بین مسئلهٔ یافتن مساحت سطح زیر یک نمودار و موضوع تعیین خط مماس بر منحنی در یک نقطه رابطه‌ای وجود ندارد، اما اولین کسی که دریافت این دو مفهومِ به ظاهر دور از هم در واقع ارتباط نسبتاً نزدیکی با هم دارند آیزاک بارو (به انگلیسی: Isaac Barrow) معلم آیزاک نیوتون بوده‌است.
اما مفهوم مشتق به شکل امروزی آن، نخستین بار در سال ۱۶۶۶ میلادی توسط نیوتون و به فاصلهٔ چند سال بعد از او، توسط گوتفرید لایبنیتس، مستقل از یکدیگر پدید آمد. این دو دانشمند در ادامهٔ کار خود، باز هم به طور مستقل، بخش دوم آنالیز ریاضی یعنی حساب انتگرال را عرضه کردند که اساس آن بر عمل انتگرال‌گیری قرار دارد.
نیوتون از شیوهٔ استدلال سینماتیک و با دیدگاه فیزیکی به بررسی مشتق پرداخته و از آن برای بدست آوردن سرعت لحظه‌ای استفاده می‌کرد. اما لایب نیتس با دیگاهی هندسی، از مشتق برای بدست آوردن ضریب زاویهٔ مماس در منحنی‌ها استفاده می‌کرد. هر یک از این دو دانشمند نمادهای جداگانه‌ای را برای نشان دادن مشتق به کار می‌بردند.
پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال در دوران بعد به آگوستین لویی کوشی، برنارد ریمان و برادران برنولی، یعنی ژاکوب و یوهان، مربوط می‌شود. لوپیتال (به فرانسوی: Guillaume Francois Antoine L'Hopital)، دانشمند فرانسوی، در سال ۱۶۹۶ نخستین کتاب درسی مربوط به آنالیز ریاضی را با نام «آنالیز بی‌نهایت کوچک‌ها برای بررسی منحنی‌ها» منتشر کرد که در واقع خلاصه‌ای از درس‌هایی بود که یوهان برنولی (به آلمانی: Johann Bernoulli) به عنوان معلم برای او نوشته بود. در این کتاب، قاعدهٔ رفع ابهام در حد، با استفاده از مشتق نیز آمده که به قاعدهٔ هوپیتال مشهور است ولی در واقع متعلق به یوهان برنولی بوده‌است.
مشتق تابع
میزان تغییرات تابعاگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نقطه‌ای از نمودار تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نقطهٔ دیگری از این نمودار باشد،
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
خط قاطع نمودار تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] که شیب آن برابر مقدار خارج قسمت تفاضلی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
با میل کردن [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به سمت صفر، شیب خط قاطع به مقدار شیب خط مماس در نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] میل می‌کند.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
خط مماس نمودار تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] که شیب آن برابر مقدار مشتق تابع در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است.
آنگاه : [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
و شیب خط قاطع عبارت است از:
کسر فوق، خارج قسمت تفاضلی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نامیده می‌شود. اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ثابت نگه داشته شود و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به سمت صفر میل کند، آنگاه خارج قسمت تفاضلی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] اگر فقط به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بستگی داشته باشد به مقداری میل می‌کند که به آن شیب خط مماس گفته می‌شود. به عبارت دیگر، حاصل حد زیر در صورت وجود ضریب زاویهٔ خط مماس نمودار تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را بدست می‌دهد:
تعریف مشتق
برای تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] که در همسایگی نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تعریف شده‌است، اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] وجود داشته باشد، [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مشتق‌پذیر است. این حد یکتا را با [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نمایش داده و آن را مشتق تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] می‌نامند.
بر طبق این تعریف، مقدار مشتق برابر نرخ تغییرات مقدار تابع است زمانی که تغییرات مربوط به متغیر مستقل به سمت صفر میل می‌کند.
با تبدیل [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تعریف دوم مشتق به صورت زیر حاصل می‌شود:
نمادهای مشتق
لایبنیتس، نیوتون، لاگرانژ، آربوگاست و اویلر هر یک نماد جداگانه‌ای را برای نمایش مشتق بکار می‌بردند؛ اما در میان پیشگامان اولیهٔ آنالیز ریاضی، لایبنیتس بیش از هر کس دیگری به اهمیت علامات مناسب پی برده بود. او علامات را با حوصلهٔ زیادی آزمایش می‌کرد و با سایر ریاضی‌دانان مکاتبات بسیاری داشت و از این طریق معایب و محاسن نمادهای مختلف را برای آن‌ها مطرح می‌ساخت. پیشرفت حساب و دیفرانسیل و انتگرال و گسترش ریاضیات نوین تا حدود زیادی بواسطهٔ علامت‌های پیشرفته‌ای است که بسیاری از آن‌ها توسط لایبنیتس ابداع شده‌اند.
لایبنیتس در سال ۱۶۷۵ میلادی با استفاده از عملگر تفاضلی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] خارج قسمت تفاضلی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را به
شکل [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نوشت و برای مشتق تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نماد [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را معرفی کرد که به صورت [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نیز نوشته می‌شود.
این نماد که نمایش دیفرانسیلی مشتق نامیده می‌شود، برای نمایش مشتق مراتب بالاتر به شکل [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
نوشته می‌شود. با استفاده از این نماد تعریف مشتق به صورت [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در می‌آید.
نیوتون برای نشان دادن مشتق اول از [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و برای مشتق دوم از [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] استفاده می‌کرد. نمادهای نقطه‌دار نیوتون در برخی مسائل فیزیکی مانند سرعت و شتاب بکار می‌روند.
مشتق تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را با [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نیز می‌توان نشان داد. این نماد بر آن تأکید دارد که [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تابع جدیدی است که با مشتق‌گیری از
تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بدست آمده‌است و مقدارش در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] با [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نموده می‌شود. مختصات [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] واقع بر نمودار [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] با معادلهٔ
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به هم مربوط می‌شوند، و علامت [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نیز برای نمایش [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بکار می‌رود که مقدارش در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به صورت
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نوشته می‌شود. این نماد در سال ۱۷۷۰ میلادی توسط ژوزف لویی لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفت و مشتق مراتب
بالاتر را به صورت [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] (مشتق اول)، [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] (مشتق دوم)، [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] (مشتق سوم)، [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] (مشتق چهارم) ... [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] (مشتق [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ام) نشان می‌دهد.
در سال ۱۸۰۰ میلادی نماد دیگری توسط لوییس آربوگاست معرفی شد و توسط لئونارد اویلر مورد استفاده قرار گرفت. این نماد مشتق [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را به شکل [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نشان می‌دهد. علامت [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] یک عملگر دیفرانسیلی است و این فکر را القا می‌کند که [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تابع جدیدی است که با مشتق‌گیری از [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بدست آمده‌است. مشتق مراتب بالاتر به صورت [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و مقدار آن در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به صورت [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نوشته می‌شود.
مشتق‌های یک طرفه
مشتق راست:اگر تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در فاصلهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تعریف شده باشد آنگاه حاصل حد زیر، در صورت وجود، مشتق راست تابع در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] می‌باشد:
مشتق چپ: اگر تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در فاصلهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تعریف شده باشد آنگاه حاصل حد، زیر در صورت وجود، مشتق چپ تابع در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] می‌باشد:
مشتق‌پذیری
تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مشتق‌پذیر است هرگاه در این نقطه پیوسته باشد و مشتق چپ و راست تابع با هم برابر و مساوی یک عدد حقیقی معین باشد.
تعبیر هندسی مشتق‌پذیری: تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مشتق‌پذیر است هرگاه بتوان در این نقطه یک خط کامل مماس و غیر موازی با محور yها بر منحنی رسم کرد.
اگر تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مشتق‌پذیر باشد، آنگاه در آن نقطه پیوسته نیز هست.
ولی عکس قضیهٔ فوق صحیح نمی‌باشد یعنی ممکن است تابع پیوسته باشد اما مشتق‌پذیر نباشد؛ به عبارت دیگر، پیوستگی تابع در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] شرط لازم برای مشتق‌پذیری تابع است، نه شرط کافی. پس اگر تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ناپیوسته باشد، آنگاه در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مشتق‌پذیر نیست.
موارد مشتق‌ناپذیری
مواردی که تابع در نقطهٔ مفروض [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مشتق‌پذیر نیست:
- نقاط ناپیوسته: تابع در نقاط ناپیوسته مشتق‌ناپذیر است و از دید هندسی نمی‌توان در این نقاط مماس بر منحنی رسم کرد.
- نقاط زاویه‌دار: تابع در نقاط پیوسته‌ای که مشتق چپ و راست در آن‌ها دو عدد حقیقی نابرابر، یا یکی عدد و دیگری بی‌نهایت باشد، مشتق‌پذیر نیست. از دید هندسی، در این نقاط دو نیم‌مماس بر منحنی رسم می‌شود که با هم زاویه می‌سازند.
- نقاط عطف قائم: تابع در نقاط پیوسته‌ای که مشتق چپ و راست در آن‌ها بی‌نهایت‌های هم‌علامت باشد مشتق‌ناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط می‌توان یک خط کامل مماس به موازات محور yها رسم کرد. نقطهٔ عطف قائم تنها نقطه‌ای است که تابع در آن مشتق‌پذیر نیست ولی مماس کامل دارد.
- نقاط بازگشت: تابع در نقاط پیوسته‌ای که مشتق چپ و راست در آن‌ها بی‌نهایت‌های غیر هم‌علامت باشد مشتق‌ناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط می‌توان یک نیم‌مماس، به موازات محور yها رسم کرد.
- تابع در نقاطی که پیوسته‌اند ولی مشتق در آن‌ها به سمت عدد مشخصی میل نمی‌کند نیز مشتق‌ناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط نمی‌توان مماس مشخصی بر منحنی رسم کرد.
دامنهٔ تابع مشتق
منظور از دامنهٔ تابع مشتق مجموعهٔ نقاطی است که تابع در آن‌ها مشتق‌پذیر است. به طور کلی برای تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] داریم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مجموعه نقاطی که [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در آن تعریف نشده است [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مشتق تابع نسبت به تابع
هرگاه بخواهیم مشتق یک تابع مانند [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را نسبت به تابع دیگری مانند [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بدست آوریم، کافی است مشتق این توابع را نسبت به متغیرشان محاسبه نموده و سپس بر هم تقسیم کنیم.
مشتق توابع پارامتری
توابع که به فرم [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] هستند را توابع پارامتری می‌نامند. در این حالت، مشتق [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نسبت به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] از رابطهٔ زیر قابل محاسبه است:
مشتق تابع مرکب
اگر تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مشتق‌پذیر باشد، آنگاه تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نیز در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مشتق‌پذیر است و داریم:
به بیان دیگر، هرگاه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تابعی از [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تابعی از [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد، برای بدست آوردن مشتق [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نسبت به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ، مشتق [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نسبت به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را در مشتق [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نسبت به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ضرب می‌کنیم.
همچنین به شکل دیگری برای توابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ، [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] داریم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مشتق توابع زوج و فرد
مشتق هر تابع زوج، تابعی فرد است و مشتق هر تابع فرد، تابعی زوج است.
اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تابعی زوج و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجود نباشد ولی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجود باشند آنگاه خواهیم داشت:
اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تابعی فرد و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجود نباشد ولی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجود باشند آنگاه خواهیم داشت:
پاد مشتق
اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تابعی پیوسته در بازهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] شامل نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد، آنگاه تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] با دامنهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و با ضابطهٔ:
تابع اولیه یا پادمشتق تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نامیده می‌شود. تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مشتق‌پذیر است و برای هر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] داریم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
آنگاه مشتق تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:
مشتق جزئی
مشتق جزئی، پاره‌ای یا نسبی، به مشتق تابع چند متغیرهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نسبت به یکی از متغیرها با ثابت در نظر گرفتن سایر متغیرها گفته می‌شود. مشتق جزئی را به جای [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] با [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نمایش می‌دهند که «دِل»، «دِر» و یا «پارتیال» خوانده می‌شود. برای مثال، مشتق جزئی تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نسبت به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به صورت زیر نوشته می‌شود:
به طور کلی، حاصل حد زیر، در صورت وجود برابر مشتق جزئی تابع چند متغیرهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نسبت به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است:
مشتق ضمنی
در مقابل رابطهٔ صریح تابع به شکل کلی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ، رابطهٔ ضمنی آن بصورت [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] قرار می‌گیرد. برای محاسبهٔ مشتق توابع ضمنی دو روش کلی وجود دارد:
- استفاده از قاعدهٔ زنجیری: در این روش، از طرفین رابطه نسبت به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مشتق می‌گیریم و با فاکتورگیری، [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را بدست می‌آوریم. (اگر بخواهیم مشتق را نسبت به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] حساب کنیم آنگاه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] خواهد بود)
- استفاده از مشتق جزئی: در این روش از رابطهٔ زیر استفاده می‌شود:
مشتق جهت‌دار
مشتق جزئی تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] میزان تغییرات [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را در امتداد محورهای مختصات به دست می‌دهد در حالیکه مشتق جهت‌دار، سویی یا جهتی، میزان تغییرات [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را در امتداد یک بردار دلخواه در فضا حساب می‌کند. اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در همسایگی نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تعریف شده باشد و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برداری شامل نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد، مشتق جهت‌دار [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به صورت زیر محاسبه می‌شود:
که در آن نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باید متعلق به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] فاصهٔ علامت‌دار [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تا [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است یعنی اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] هم‌جهت باشند [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و در غیر این صورت [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در نظر گرفته می‌شود.
مشتق تابع برداری
مشتق تابع برداری [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] با فرض اینکه مؤلفه‌های سمت راست بامعنی باشند، به صورت زیر تعریف می‌شود:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بر بازهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] پیوسته و مشتق‌پذیر است، هرگاه تک تک مؤلفه‌های [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بر بازهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] پیوسته و مشتق‌پذیر باشند. با توجه به این تعریف، بسیاری از قضیای مشتق توابع حقیقی برای توابع برداری نیز صادق‌اند.
برای محاسبهٔ مشتق یک تابع برداری، می‌توان آن را برحسب مؤلفه‌های قائم خود، به صورت [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نوشت و از هر کدام به طور جداگانه مشتق گرفت؛ یعنی اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] وجود داشته باشند مشتق تابع برداری [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به صورت زیر نوشته می‌شود:
مشتق کل
هرگاه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تابعی از [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد، آنگاه مشتق جهت‌دار [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در یک جهت بخصوص، بهترین تقریب خطی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در آن نقطه و جهت است. اما هرگاه باشد، دیگر مشتق جهت‌دار نمی‌تواند به تنهایی، تصویر کاملی از رفتار تابع نشان دهد. مشتق کل، که دیفرانسیل کل نیز نامیده می‌شود با در نظر گرفتن رفتار تابع در تمام جهت‌ها می‌تواند تصویر کاملی از رفتار تابع ارائه کند.
برخلاف مشتق جزئی، در محاسبهٔ مشتق کل تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نسبت به متغیر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ، متغیرهای دیگر ثابت در نظر گرفته نمی‌شوند بلکه به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بستگی خواهند داشت و مشتق کل به صورت زیر تعریف می‌شود:
مشتق کل در حساب دیفرانسیل با مفهومی مشابه، به یک عملگر دیفرانسیلی نیز گفته می‌شود. این عملگر دیفرانسیلی، مشتق کل تابع را نسبت [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به صورت زیر محاسبه می‌کند:
مشتق تابع معکوس
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]مقایسۀ شیب خط مماس بر منحنی توابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در نقاط متناظر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اگر تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در همسایگی نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] پیوسته و یک به یک بوده و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجود و غیر صفر باشد، آنگاه تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مشتق‌پذیر است و داریم:
تعبیر هندسی: شیب خط مماس بر منحنی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برابر است با عکس شیب خط مماس بر منحنی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] . (نقاط [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] متناظر هستند)
از قضیهٔ مشتق تابع معکوس، روابط زیر را نیز خواهیم داشت:
مشتق مراتب بالاتر
اگر تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روی بازهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مشتق‌پذیر باشد تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] خود ممکن است در نقطه‌ای مثل [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مشتق‌پذیر باشد. به عبارتی اگر
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجود باشد، می‌گوییم مشتق مرتبهٔ دوم تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجود است و
آن را با [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نمایش می‌دهیم.
مشتق مراتب بالاتر یک تابع، از تعریف اصلی مشتق بدست می‌آید. بطوریکه با مشتق گرفتن از مشتق اول تابع به مشتق دوم آن می‌رسیم و به همین ترتیب مشتق مراتب بالاتر نیز تعریف می‌شوند. به صورت کلی داریم:
مشتق nام چند تابع مهم
مشتق [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ام چند تابع مهم نسبت به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] که [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] اعداد ثابت هستند:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
قاعدهٔ لایبنیتس
قاعدهٔ لایبنیتس بیان می‌کند که اگر دو تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روی بازهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشند، آنگاه حاصل‌ضرب [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نیز روی این بازه دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است و داریم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
قضیهٔ رول
اگر تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] پیوسته، روی بازهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مشتق‌پذیر و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد آنگاه حداقل یک نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در بازهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] وجود دارد که در آن [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است. عدد [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] با خاصیت فوق منحصر به فرد نیست و باید یک نقطهٔ درونی بازهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد.
نقاط [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در قضیهٔ رول نقاطی هستند که مماس بر نمودار در آن‌ها خطوط افقی است، یعنی قضیهٔ رول شرایط وجود مماس افقی را برآورد می‌کند.
نتیجهٔ قضیهٔ رول: اگر تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] پیوسته باشد و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] آنگاه حداقل یک نقطهٔ اکسترمم نسبی در بازهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] وجود دارد.
حالت خاص قضیهٔ رول: اگر فرض کنیم [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] با استفاده از قضیهٔ رول می‌توان گفت که بین هر دو ریشهٔ تابع مشتق‌پذیر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مشتقِ تابع یعنی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] حداقل یک ریشه دارد.
قضیهٔ لاگرانژ
قضیهٔ لاگرانژ یا مقدار میانگین مشتق بیان می‌کند که هرگاه تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] پیوسته و روی بازهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مشتق‌پذیر باشد، آنگاه حداقل یک نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در بازهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] وجود دارد که در آن:
- تعبیر هندسی: قضیه بیان می‌کند که در بازهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] حداقل یک نقطه وجود دارد که مماس بر منحنی در آن نقطه به موازات خط واصل نقاط دو سر منحنی است.
- تعبیر فیزیکی: اگر نمودار را مکان-زمان در نظر بگیریم و بازهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بازهٔ زمانی باشد، قضیهٔ فوق می‌گوید، حداقل یک لحظه در بازهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] وجود دارد که سرعت لحظه‌ای با سرعت متوسط برابر می‌شود.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
خط مماس بر منحنی (صورتی) در نقطۀ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] با خط واصل نقاط دو سر منحنی (طوسی) موازی است.
قضیهٔ کوشی
قضیهٔ کوشی که صورت تعمیم یافتهٔ قضیهٔ لاگرانژ است، بیان می‌کند که هرگاه توابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روی بازهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] پیوسته و روی بازهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مشتق‌پذیر باشند، آنگاه حداقل یک نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در بازهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] وجود دارد که در آن:
کاربرد مشتق
خط مماس و قائم
مشتق به ازای مختصات نقطهٔ تماس برابر است با ضریب زاویهٔ خط مماس. پس برای تعیین شیب خط مماس یا قائم بر منحنی و تعیین معادلهٔ آن‌ها می‌توان از مشتق استفاده کرد.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]خط مماس (سبز) و خط قائم (آبی) در نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] واقع بر منحنی
معادلهٔ خط مماس در نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] واقع بر منحنی:
معادلهٔ خط قائم در نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] واقع بر منحنی:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
خط مماس بر منحنی از نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] خارج از منحنی
معادلهٔ خط مماس بر منحنی از نقطه‌ای خارج از منحنی: اگر بخواهیم از نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مماسی بر منحنی رسم کنیم، نقطهٔ تماس را [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در نظر می‌گیریم، چون نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روی منحنی قرار گرفته از منحنی مشتق می‌گیریم و مختصات [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را قرار می‌دهیم تا شیب معادله بدست آید.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در نهایت چون نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روی خط مماس قرار دارد، در معادلهٔ فوق قرار داده تا یک معادلهٔ یک مجهولی بر حسب [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بدست آید.
آهنگ تغییر
نسبت تغییرات دو کمیت را آهنگ تغییر یکی نسبت به دیگری می‌گویند.
آهنگ تغییر متوسط
آهنگ متوسط تغییرات [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در فاصلهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] عبارت است از:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
آهنگ متوسط تغییرات [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نسبت به متغیر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] عبارت است از:
آهنگ تغییر لحظه‌ای
اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تغییرات [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نسبت به تغییرات [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را آهنگ آنی (لحظه‌ای) تغییر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نسبت به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] گویند.
کمیت‌های وابسته
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مؤلفه‌های عمودی و افقی سرعت، هر یک به زمان نیز بستگی دارند.
در برخی موارد دو کمیت (متغیر)، علاوه بر اینکه به هم مربوط‌اند، هر دو به متغیر سومی که معمولاً زمان است، بستگی دارند. در این موارد آهنگ تغییر این دو کمیت، نسبت به کمیت سوم در نظر گرفته می‌شود. به عنوان مثال، حد تغییرات مسافت پیموده شده به تغییرات زمانی را سرعت لحظه‌ای گویند:
زاویهٔ بین دو تابع
زاویهٔ بین خط و منحنی
زاویهٔ بین یک خط و منحنی عبارت است از زاویهٔ بین مماس رسم شده بر منحنی در نقطهٔ تقاطع با خط. برای تعیین زاویهٔ بین خط و منحنی به ترتیب زیر عمل می‌کنیم:
- خط را با منحنی قطع داده و مختصات نقطهٔ تقاطع را بدست می‌آوریم.
- از منحنی مشتق گرفته و ضریب زاویهٔ خط مماس بر منحنی را در نقطهٔ تقاطع می‌یابیم.
- با کمک رابطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] زاویهٔ بین خط مماس و منحنی را بدست می‌آوریم.
زاویهٔ بین دو منحنی
برای یافتن زاویهٔ بین دو منحنی، ابتدا آن‌ها را با هم تلاقی داده و طول نقطهٔ تلاقی را می‌یابیم. سپس از دو منحنی مشتق گرفته و ضریب زاویه‌های بدست آمده را در رابطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] قرار می‌دهیم تا زاویهٔ بین دو منحنی بدست آید.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
زاویۀ بین خط و منحنی در نقطۀ تلاقی
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
زاویۀ بین دو منحنی با ضریب زاویه‌های [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در نقطۀ تلاقی
نقاط بحرانی
نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را نقطهٔ بحرانی تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] گویند هرگاه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] یا [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجود نباشد. ابتدا و انتهای بازه، ریشه‌های مشتق، نقاط بازگشتی، زاویه‌دار، ناپیوستگی و عطف قائم، همگی جزو نقاط بحرانی تابع محسوب می‌شوند.
در ضمن، اگر تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تعریف شده باشد و نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] درون این بازه، اکسترمم مطلق تابع روی این بازه باشد، آنگاه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نقطهٔ بحرانی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است. هر نقطهٔ اکسترمم نسبی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نقطهٔ بحرانی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نیز هست، در صورتیکه یک نقطهٔ بحرانی ممکن است نقطهٔ اکسترمم نسبی نباشد.
اگر تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روی بازهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] پیوسته باشد برای بدست آوردن مقادیر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مطلق ابتدا نقاط بحرانی را در بازه مشخص کرده و در تابع اصلی قرار می‌دهیم سپس [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را نیز بدست می‌آوریم و با
مقایسهٔ اعداد بدست آمده، اگر کمترین یا بیشترین مقدار مربوط به حدهای فوق باشد تابع فاقد [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] یا [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مطلق است. در غیر این صورت [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] یا [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مطلق را مشخص می‌کنیم.
اگر در بازهٔ فوق نقطه‌ای مثل [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] وجود داشته باشد که تابع در آن نقطه ناپیوسته باشد، می‌بایست [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را نیز بدست آورد و مانند موارد بالا وجود [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] یا [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را بررسی کرد.
تشخیص یکنوایی تابع
در تابع پیوستهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ، برای هر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] اگر آنگاه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] صعودی اکید است و اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] آنگاه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نزولی اکید است. ولی اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد، تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ممکن است صعودی غیر اکید یا صعودی اکید باشد و اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد، تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ممکن است نزولی غیر اکید یا نزولی اکید باشد.
در این حالت برای تشخیص اکید یا غیر اکید بودن تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ریشه‌های مشتق را بدست می‌آوریم، اگر ریشه‌های مشتق، تمام نقاط روی یک بازه باشند، تابع صعودی غیر اکید است و در غیر این حالت صعودی اکید است.
اگر تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] پیوسته نباشد، دامنهٔ تابع را به فاصله‌هایی که تابع در آن‌ها پیوسته است، تقسیم می‌کنیم و به کمک مشتق وضعیت یکنوایی تابع را در هر بازه مشخص می‌کنیم. سپس نقاط انتهایی هر بازه (یا حد انتهایی هر بازه) را با نقاط ابتدایی بازهٔ بعد (یا حد ابتدایی بازهٔ بعد) مقایسه می‌کنیم.
آزمون‌های مشتق
آزمون مشتق اول
با فرض اینکه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نقطهٔ بحرانی تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] پیوسته و به جز احتمالاً در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مشتق‌پذیر باشد:
- اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مثبت و روی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] منفی باشد، آنگاه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ماکزیمم نسبی دارد.
- اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] منفی و روی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مثبت باشد، آنگاه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مینیمم نسبی دارد.
- اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] هم‌علامت باشد، آنگاه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] اکسترمم ندارد.
آزمون مشتق دوم
فرض کنید [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نقطهٔ بحرانی تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجود باشد:
- اگر باشد آنگاه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] دارای [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نسبی است.
- اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد آنگاه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] دارای [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نسبی است.
- اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد آزمون بی‌نتیجه است.
جهت تقعر و نقطهٔ عطف
اگر نمودار تابعی به صورت [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد، تقعر آن به سمت بالاست. در این حالت منحنی بالای هر خطی که بر آن مماس شود، قرار می‌گیرد. به عبارت دیگر اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] صعودی اکید باشد و یا [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روی بازهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجود و همواره مثبت باشد، آنگاه جهت تقعر نمودار [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روی این بازه رو به بالاست.
اگر نمودار تابعی به صورت [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد، تقعر آن به سمت پایین است. در این حالت منحنی پایین هر خطی که بر آن مماس شود، قرار می‌گیرد. به عبارت دیگر اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نزولی اکید باشد و یا [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روی بازهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجود و همواره منفی باشد، آنگاه جهت تقعر نمودار [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روی این بازه رو به پایین است.
نقطهٔ عطف
اگر جهت تقعر نمودار [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تغییر کند و مماس نیز داشته باشد، آنگاه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را نقطهٔ عطف گویند. در بررسی نقطهٔ عطف تابع، سه شرط زیر باید برقرار باشد:
- [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] پیوسته باشد.
- [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] فقط یک مماس داشته باشد. (مایل، افقی یا قائم)
- جهت تقعر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تغییر کند.
پس برای یافتن نقاط عطف نمودار تابع کافی است، نقاطی که [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در آن‌ها وجود ندارد یا برابر صفر است را تعیین و علامت [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را قبل و بعد از این نقاط و نیز وجود خط مماس را در این نقاط بررسی کنیم.
قاعدهٔ هوپیتال
از قاعدهٔ هوپیتال برای رفع ابهام [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در حد استفاده می‌شود بطوریکه اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مشتق‌پذیر باشند و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] آنگاه:
اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
از راست مشتق داشته باشد از قاعدهٔ هوپیتال برای وقتی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] می‌توان استفاده کرد و به همین ترتیب، اگر مشتق چپ داشته باشد برای [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] .
بهینه‌سازی
بسیاری از مسائلی که در علوم تجربی و ریاضیات مطرح می‌شوند، در جستجوی یافتن مقادیر ماکزیمم و مینیممی هستند که یک تابع مشتق‌پذیر می‌تواند در دامنهٔ خاص اختیار کند و مشتق ابزار مناسبی برای یافتن این مقادیر است.
برای حل مسائل بهینه‌سازی لازم است ابتدا کمیت‌هایی مانند حجم، مساحت، فاصله و... که بیشترین یا کمترین مقدار آن مورد نیاز است، به صورت تابعی از متغیرهای دیگر نوشته شود و چنانچه معادلهٔ حاصل بیش از یک متغیر داشت با استفاده از فرضیات مسأله و ارتباط متغیرها با هم، معادله را به معادله‌ای با یک متغیر مستقل تبدیل کرد و در انتها به کمک مشتق، نقاط بحرانی را یافت، تا بتوان ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع را مشخص کرد.
قواعد مشتق‌گیری
در روابط زیر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ، [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] اعداد ثابت، [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ، [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ، [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ، [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ، [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] متغیر و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] عدد نپر است.
توابع جبری
توابع مثلثاتی
توابع معکوس مثلثاتی
توابع نمایی و لگاریتمی
