المان دیفرانسیل در سطح کره و استوانه

سلام
در حین سوال الکترومغناطیس به بخشی رسیدم که دیدم با وجود تصدیق قاونین مغناطیس از لحاظ ریاضی دچار مشکل می شوم و همین باعث دوگانگی جواب می شه بابت همین هم این سوال رو به جای مطرح کردن در انجمن برق در اینجا مطرح کردم
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
در شکل بالا که مثل بستی قیفی هست(یعنی بالای سر مخروط به جای صاف بودن قسمتی از سطح کره هست)می خوایم میزان شار خارجی از سطح بالایی رو به دست بیاریم(فرض می کنیم بار نقطه ای مثبت q را در مبدا مختصات قرار دادیم) ، با منطق شار که بخوایم عمل کنیم می تونیم بگیم که کل شاری که از سطح بالای مخروط می گذره با کل شاری که از سطح قسمتی از کره که در بالای کره می گذره برابر هست (شار رو مثل چشمه نور در نظر بگریم که همون قدر که از سطح دایروی بالای مخروط خارج می شود به همان اندازه به سطح قسمتی کروی وارد و به طبع مجددا از آن خارج می شود)حالا بزارین تحلیل ریاضیش کنیم
اگر از سطح قسمتی از کره بالای مخروط حساب کنیم خواهیم داشت
میزان شار خروجی از هر سطح
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
حالا برای ds خواهیم داشت
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
و برای D هم خواهیم داشت
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
حالا انتگرال زیر رو حل کنیم
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
که جواب نیز درست هست

حالا فرض می کنیم از دایره بالای مخروط شار عبوری را بخواهیم به دست بیاریم در این المان سطح رو چه جوری می تونیم تعریف کنیم چون
1-اگر فرض کنیم که دو متغییر باید در طول سطح دایره بالا ثابت باشند در مختصات کروی نمی توانیم عبارت درستی رو تعریف کنیم چون
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
نمی توانیم بگیم که r ثابت هست چون به ازای تغییر دو متغییر تتا و فی r نیز و به طبع آن دو متغییر با تغییر r نیز تغییر می کند
2-اگر المان سطح را به صورت کلی در نظر بگیریم یعنی
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
با ضرب داخلی در بردار D مجددا همان ds اول باقی می ماند که جواب گو نیست
4-اگر ds را در مختصات استوانه ای در نظر بگریم
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
که دقیقا صفحه دایروی را به درستی تعریف می کنم حالا با تبدیل عبارت D به مختصات استوانه ای می کوشیم
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اما حالا با ضرب داخلی دو بردار ds و D به عبارت ناخواشایند صفر می رسیم که می دانیم داریم اشتباه می کنیم چون شار نشات گرفته از q در سطح دایروی بیش از صفر هست نه صفر
مشکل کجاست؟

متشکرم

سلام

شما فقط وقتی می تونید از روابط مختصات کروی استفاده کنید که سطحتون کره یا قسمتی از یک کره باشه . المانی رو که در نظر گرفتید مربوط به سطح کره هست ، وقتی شما می خواین رو دایره انتگرال بگیرید چطور المان سطح کره رو می زارید ؟

همونطوری که گفتید ، وقتی دایره رو می یاین در نظر می گیرین ، به علت این که اندازه ی میدان در تک تک نقاطش تغییر می کنه انتگرال گیری به شدت مشکل می شه و دیگه نمی تونید میدان رو از انتگرال بیرون بکشید. همین طور استفاده از سطح گوس های عجیب و غریبی مثل استوانه فقط کار ما رو سخت تر می کنه . هنر ما در انتگرال گیری از انتگرال بالا اینه که سطح گوس رو طوری انتخاب کنیم که راحت بتونیم انتگرال بگیریم.راحت بتونیم میدانو بکشیم بیرون . به همین دلیله که از مختصات کروی استفاده می کنیم .