◄◄عدد e (عدد نپر) ►►

*به نام خالق زیبایی ها*

◄◄عدد e (عدد نپر) ►►
================================================== =============

eیک عدد حقیقی یکتاست، به طوری که مقدار مشتق تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برابر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] شود.^[۱] از این طریق تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به عنوان تابع نمایی و تابع معکوس آن، به عنوان تابع لگاریتم طبیعی یا لگاریتم در مبنای [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] معرفی می‌شود. از طرفی می‌توان [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را به عنوان مبنای تابع لگاریتم طبیعی(با استفاده از انتگرال)، به عنوان حد یک دنباله ریاضی و یا به عنوان حد یک سری ریاضی تعریف کرد. گاهی عدد [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ، به افتخار ریاضی‌دان سوئیسی، لئونارد اویلر (به آلمانی: Leonhard Euler)‏، عدد اویلر نامیده می‌شود. همچنین گاهی نیز از آن به اسم ثابت نپر (جان نپر (به انگلیسی: John Napier)‏) یاد می‌شود، با این حال نماد [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به افتخار اویلر انتخاب شده‌است.

در ریاضیات عدد [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در کنار عدد ۰، عدد ۱، عدد پی (به یونانی: π)‏ و عدد یکه موهومی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] از معروفیت خاصی در ریاضی برخوردار است.^[۲] علاوه بر تعریف انتزاعی آن‌ها، این پنج عدد نقش مهم و کلیدیی در سرتاسر ریاضیات بازی می‌کنند. برای مثال می‌توان هر پنج عدد را در معادلهٔ مشخصهٔ اویلر^[۳] مشاهده کرد.

عدد [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] یک عدد گنگ است؛ یعنی این عدد، کسری از اعداد صحیح نیست. به علاوه، این عدد یک عدد متعالی است؛ یعنی نمی‌تواند ریشهٔ هیچ معادلهٔ چند جمله‌ای غیر صفر با ضرایب حقیقی باشد. عدد [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تا ۵۰ رقم اعشار مطابق عدد زیر است:
۲٫۷۱۸۲۸۱۸۲۸۴۵۹۰۴۵۲۳۵۳۶۰۲۸ ۷۴۷۱۳۵۲۶۶۲۴۹۷۷۵۷۲۴۷۰۹۳۶۹۹ ۹۵...^[۴]

================================================== =============

عدد e مهمترین عدد در ریاضیات است كه به نام عدد اویلر یا عدد نپر Napier نیز نامیده می شود و تقریبا برابر است با 2.7182818284590452353602874713527 كه البته بیش از 100 میلیارد رقم بعد از اعشار آن نیز حساب شده است. این عدد به چند طریق بدست می آید و یكی از فرمولهای محاسبه اش

e = (1 + 1/n)n
است هنگامی كه n به سمت بینهایت میل كند

n (1 + 1/n)n 1 2.00000 2 2.25000 5 2.48832 10 2.59374 100 2.70481 1,000 2.71692 10,000 2.71815 100,000 2.71827

برخی دانشجویان تا 9 رقم بعد از اعشارش را بخاطر می سپارند چون آسان است:
2.7 1828 1828
و برخی افراد شش رقم بعد را هم با این رابطه حفظ می كنند كه یك مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه زوایایش بترتیب 45 و 90 و 45 درجه است
2.7 1828 1828 45 90 45
فرمول دوم برای محاسبه عدد اویلر وتوانهای آن بشرح زیر است::
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

================================================== =============

  محتوای مخفی: بخشی از مجموعه مقاله‌های پیرامون: 

بخشی از مجموعه مقاله‌های پیرامون:

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

================================================== =============

  محتوای مخفی: تعریف e: 

تعریف e:
proof that e is irrational · representations of e · Lindemann–Weierstrass theorem

================================================== =============

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

eیک عدد حقیقی مانند [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است، به طوری که مقدار مشتق تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] (منحنی آبی) در نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برابر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] شود. برای مقایسه، در شکل تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] (منحنی نقطه چین) و تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] (منحنی خط چین) مشاهده می‌شود. خط قرمز، خطی با شیب یک است که از نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] می‌گذرد.

================================================== =============

تاریخچه


اولین اشاره به این عدد، در جدولی در ضمیمهٔ مقالهٔ مربوط به لگاریتم جان نپر در سال ۱۶۱۸ انتشار یافته بود مشاهده می‌شود.^[۵] با این حال، این مقاله توضیحی راجع به این عدد نمی‌داد بلکه تنها لیستی از لگاریتم‌های حساب شده در مبنای این عدد را نشان می‌داد. به نظر می‌رسد که این جدول توسط ویلیام اوترد تهیه شده‌است. اما «کشف» این عدد توسط ژاکوب برنولی به انجام رسید، کسی که تلاش می‌کرد مقدار عبارت زیر را محاسبه کند (که در حقیقت همان e است):

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اولین استفاده شناخته شده از این عدد، که آن زمان با b نمایش داده می‌شد، در مکاتبات بین گوتفرید لایبنیتس و کریستیان هویگنس بین سال‌های ۱۶۹۰ تا ۱۶۹۱ مشاهده شده‌است. همچنین برای اولین بار اویلر بین سال‌های ۱۷۲۷ تا ۱۷۲۸ شروع به استفاده از e برای نمایش این عدد کرد^[۶] و اولین استفاده از آن در مقاله، در مکانیک اویلر در سال ۱۷۳۶ مشاهده می‌شود. در حالی که سال‌های پس از آن نیز عده‌ای از ریاضی دانان از c برای نمایش این عدد استفاده می‌کردند، اما e بیشتر مرسوم بود. در نهایت نیز e به عنوان نماد استاندارد این عدد امروزه استفاده می‌شود.

================================================== =============

نماد e
در اینکه چرا عدد [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ، با حرف e توسط اویلر نمایش داده شده‌است صحبت‌های بسیاری است. برخی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] حرف اول کلمه exponential به معنای نمایی می‌دانند، برخی آن را ابتدای اسم اویلر (به آلمانی: Euler)‏ می‌دانند. برخی نیز می‌گویند چون حروف c،b،a و d در ریاضیات تا آن زمان به کررات استفاده شده بود، اولر از حرف e را برای نمایش این عدد استفاده کرد. هر دلیلی داشت، به هر حال امروزه اغلب این عدد را با نام اویلر (به آلمانی: Euler)‏ می‌شناسند.

لازم است ذکر شود که اویلر علاقه زیادی به استفاده از نمادهای ریاضی داشت و ریاضیات امروز علاوه بر عدد [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در ارتباط با مواردی مانند [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در بحث اعداد مختلط، [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در بحث توابع و بسیاری دیگر نمادها مدیون ابداعات اویلر است.

================================================== =============

کاربردها

مساله بهره مرکب

برنولی هنگام مطالعه بر روی مسالهٔ بهره مرکب توانست این عدد را کشف کند.

به عنوان مثال یک حساب را فرض کنید که در آن ۱٫۰۰$ باشد و بهرهٔ آن ۱۰۰٪ در سال است. اگر بهره یک باره در پایان سال محاسبه و پرداخت شود، در پایان سال در حساب ۲٫۰۰$ خواهیم داشت. اما اگر بهره دو بار در سال یعنی شش ماه یک بار به اندازهٔ ۵۰٪ محاسبه شود، مقدار حساب تا پایان سال دو بار در ۱٫۵ ضرب خواهد شد یعنی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] . اگر چهار بار این کار صورت گیرد، حساب در پایان سال برابر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] می‌شود و اگر ماهانه محاسبه شود [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] .

برنولی متوجه شد که این سری برای محاسبه در بازه‌های زمانی کوچک‌تر و بیشتر به یک عدد ثابت نزدیک می‌شود. محاسبهٔ هفتگی سود منجر به بدست آوردن...۲٫۶۹۲۵۹۷$ در پایان سال می‌شود، در حالی که محاسبهٔ روزانه آن با ۲ سنت افزایش به عدد...۲٫۷۱۴۵۶۷$ می‌رسد. با استفاده از n بازه برای محاسبهٔ سود [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در هر بازه، مشاهده می‌گردد که با افزایش n به سمت اعداد بزرگتر مقدار مانده در حساب در پایان سال به عدد e نزدیک‌تر می‌شود، به طوری که اگر محاسبه و پرداخت سود به صورت پیوسته صورت گیرد به عدد...2.7182818$ خواهیم رسید. به طور کلی تر، حسابی با 1$ و سود R+1 با محاسبهٔ پیوستهٔ سود در یک سال به عدد [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] خواهد رسید.

================================================== =============

آزمایش برنولی


عدد e در نظریه احتمالات، جایی که به نظر نمی‌رسد به طور واضح هیچ نرخ رشد نمایی وجود داشته باشد، نیز نقش بسزایی ایفا می‌کند. برای مثال فرض کنید که قمارباز در حال بازی با یک ماشین اسلات (به انگلیسی: slot machine)‏ است. قمارباز یک از n شانس پیروزی دارد و این بازی را n بار انجام می‌دهد. داریم برای nهای بزرگ (برای مثال چندین میلیون بازی) احتمال این که قمارباز در تمام بازی‌ها شکست بخورد برابر با [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است.

این یک مثال از آزمایش برنولی است. هر بار که یک قمارباز بازی می‌کند یک در میلیون شانس پیروزی دارد. یک میلیون بار بازی کردن را می‌توان به وسیله توزیع دوجمله‌ای مدل‌سازی کرد. پیروزی در k بار از این یک میلیون بار برابر است با:

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
در حالت خاصی که در آن k برابر صفر است، یعنی عدم پیروزی در تمامی بازی‌ها، داریم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
این عدد بسیار به عدد [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نزدیک است و حد آن نیز به این عدد نزدیک خواهد شد:


[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

================================================== =============

یکی دیگر از کاربردهای e توسط ژاکوب برنولی در کنار پیر ریموند دو مونتمورت الگو:فرانسه این بار هنگام کار کردن بر روی مساله پریش که به اسم مساله تحویل کلاه نیز شناخته می‌شود، کشف شد.[۷] فرض کنید n نفر به یک مهمانی دعوت شده‌اند، هر نفر هنگام ورود کلاهش را به پیشخدمت می‌دهد و او نیز آن‌ها را در n جعبه که هر کدام به نام یکی از مهمان‌ها نام گزاری شده‌است، می‌گذارد. اما پیشخدمت هویت مهمان‌ها را نمی‌داند پس او هر کلاه را به صورت تصادفی در یکی از جعبه‌ها می‌گذارد. مساله دو مونتمورت این است که احتمال اینکه هیچکدام از کلاه‌ها داخل جعبهٔ خودشان قرار نگرفته باشند چقدر است. پاسخ این‌گونه‌است:

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
با زیاد شدن تعداد مهمان‌ها و میل کردن n به سمت بی‌نهایت مقدار [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به سمت [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] میل خواهد کرد. به علاوه، تعداد حالاتی که کلاه‌ها در جعبه‌های می‌توانند قرار بگیرند به طوری که هیچ کلاهی در سرجای خودش نباشد برابر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است با که باید به نزدیک ترین عدد صحیح گرد شود.[۸]

================================================== =============

مجانب‌ها


عدد e در بحث مجانب‌ها و روند صعودی توابع نیز نقش خاصی بازی می‌کند. برای مثال این عدد همراه با عدد پی (به یونانی: π)‏ در تقریب استرلینگ برای تابع فاکتوریل دیده می‌شود. ^{[۹][۱۰][۱۱][۱۲][۱۳]}

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
نتیجهٔ مسقیم این معادله به حد زیر برای به دست آوردن عدد e منجر می‌شود.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

================================================== =============

e در ریاضیات

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

لگاریتم طبیعی در e یا (ln(e برابر ۱ می‌شود.

انگیزهٔ اصلی کشف عدد e، بخصوص در ریاضیات، حل مشتق‌ها و انتگرال‌ها شامل توابع نمایی و لگاریتم بوده‌است.[۱۴] مشتق تابع عمومی نمایی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برابر است با حد عبارت زیر:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] حد قسمت راست از متغیر x مستقل است و فقط به مقدار a مرتبط است. وقتی که پایهٔ تابع نمایی برابر e باشد، مقدار این حد برابر یک می‌شود. پس e را به صورت نمادین توسط عبارت زیر تعریف می‌کنند:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
بنابراین تابع نمایی با پایهٔ e برای محاسبات حساب دیفرانسیل بسیار مناسب است. انتخاب e به جای اعداد دیگر، به عنوان پایهٔ تابع نمایی مشتق گرفتن از این تابع را ساده‌تر کرده‌است.
انگیزهٔ دیگر برای کشف e انتخاب آن برای مبنای لگاریتم طبیعی بوده‌است.[۱۵] مشتق تابع لگاریتم عمومی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
برابر است با حد عبارت زیر:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
که در عبارت آخر تغییر متغیر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را داریم. آخرین حد در این محاسبه باز هم از x مستقل است و تنها به a بستگی دارد. به طوری که اگر a برابر e شود این حد نیز برابر با یک می‌شود. پس به صورت نمادین داریم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
لگاریتم در این مبنای خاص(یعنی e) را لگاریتم طبیعی می‌نامند و آن را با "ln" نمایش می‌دهند. این تابع هنگام مشتق گرفتن رفتار مناسبی دارد و حد موجود در مشتق این تابع یک می‌شود.
پس از طریق دو راه به نتیجهٔ a=e خواهیم رسید. یک راه از طریق برابر بودن مشتق تابع نمایی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] با خودش یعنی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] . راه دیگر از طریق برابری مشتق تابع لگاریتمی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] با [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] . در هر مورد، ما برای سادگی محاسبات عدد e را انتخاب می‌کنیم، با این حال هر دو راه ما را به یک e خواهند رساند.

================================================== =============

تعریف‌های جایگزین

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

مساحت بین محور xها تا تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بین [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تا [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برابر ۱ است.

روش‌های دیگری نیز برای تعریف e موجود است: یک از آن‌ها حد یک دنباله در بی‌نهایت، دیگری مجموع یک سری نامتناهی است. همچنین تعاریف مختلفی توسط انتگرال نیز برای این عدد موجود است. بعضی از این تعاریف شامل موارد زیر می‌شود:
۱. عدد e، یک عدد حقیقی مثبت یکتای است؛ به طوری که:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
۲. عدد e، یک عدد حقیقی مثبت یکتای است؛ به طوری که:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

تعاریف زیر را می‌توان از تعاریف اصلی اثبات کرد.
۳. عدد e حد یک دنباله در بی نهایت است:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

به صورت مشابه داریم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

۴. عدد e مجموع یک سری نامتناهی است:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در این‌جا !n به معنای n فاکتوریل است.
۵. عدد e، یک عدد حقیقی مثبت یکتای است؛ به طوری که:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

================================================== =============

خواص

ریاضیات


تابع نمایی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] از این رو دارای اهمیت فراوان در ریاضیات است که مشتقش برابر خودش است.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

همین طور برای انتگرال این تابع داریم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

================================================== =============

توابع نمایی

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


ماکزیمم مطلق تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] .

ماکزیمم مطلق تابع

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
در نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] رخ می‌دهد. همچنین به صورت مشابه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نقطه‌ای است که در آن، تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
که برای xهای مثبت تعریف شده‌است، مینیمم مطلق می‌شود.
به صورت کلی‌تر برای تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] که برای xهای مثبت تعریف شده‌است، مینیمم مطلق در نقطهٔ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] رخ خواهد داد.
تتریشن یا هایپر-۴ (به انگلیسی: tetration)‏ نامتناهی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بر اساس نظریه اویلر همگرا خواهد شد؛ اگر و فقط اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد (یا به طور تقریبی x بین ۰/۰۶۶ و ۱/۴۴۴۷ باشد).

================================================== =============

نظریه اعداد

عدد e یک عدد گنگ است. اویلر این موضوع را به وسیلهٔ نامتنهاهی شدن بسط کسرهای متوالی ساده، نشان داد.^[۱۶] به علاوه عدد e یک عدد متعالی است. این عدد، اولین عددی بود که با وجود این که با هدف ایجاد یک عدد متعالی ساخه نشده بود، متعالی بودنش اثبات شد (در مقایسه با عدد لیوویل). چارلز هرمیت این موضوع را در سال ۱۸۷۳ اثبات کرد.

================================================== =============

اعداد مختلط


تابع نمایی [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] از طریق بسط تیلور به صورت زیر درخواهد آمد:

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به این علت که این سری حاوی خاصیت‌های مهمی برای تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است، مخصوصا هنگامی که x مختلط باشد، از آن برای در فضای اعداد مختلط بسیار استفاده می‌شود. از این بسط و بسط تیلور توابع سینوس و کسینوس می‌توان معادله اویلر را بدست آورد:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] که برای تمامی xهای مختلط صحیح است، که در مورد خاص x = π برابر معادلهٔ مشخصهٔ اویلر می‌شود:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

همچنین از آن می‌توان جواب چندگانهٔ لگاریتم زیر را بدست آورد:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
به علاوه، از این معادلهٔ می‌توان بسط را بدست آورد:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] که به معادله دی موآور معروف است.
معادلهٔ
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
نیز به (Cis(x معروف است.

================================================== =============

معادلات دیفرانسیل

تابع

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
پاسخ عمومی تمامی معادلات دیفرانسیل خطی به صورت زیر است:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
به طوری که با جایگذاری آن در معادله دیفرانسیل خواهیم داش:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
که ریشه‌های آن، sهایی است که پاسخ‌های عمومی معادلهٔ دیفرانسیل اصلی را می‌سازد.

================================================== =============

نحوهٔ نمایش

ارقام اعشار

تعداد ارقام اعشار شناخته شدهٔ عدد e به صورت فراینده‌ای در طول دههٔ اخیر رشد کرده‌است. این رشد مدیون بهبود کارایی کامپیوترها و همچنین بهبود الگوریتم‌های محاسبهٔ این ارقام بوده‌است

تاریخ	تعداد رقم اعشار	محاسبه شده به وسیلهٔ
۱۷۴۸	۱۸	لئونارد اویلر[۱۹]
۱۸۵۳	۱۳۷	ویلیام شانکس
۱۸۷۱	۲۰۵	ویلیام شانکس
۱۸۸۴	۳۴۶	ج. مارکوس بورمن
۱۹۴۶	۸۰۸	نامشخص
۱۹۴۹	۲٬۰۱۰	جان فون نیومن (توسط کامپیوتر انیاک)
۱۹۶۱	۱۰۰٬۲۶۵	دانیل شانکس و جان رنچ[۲۰]
۱۹۷۸	۱۱۶٬۰۰۰	استفان گری وزنیک توسط کامپیوتر (اپل ۲[۲۱])
۱۹۹۴ آوریل ۱	۱۰٬۰۰۰٬۰۰۰	رابرت نمیرف و جری بنل[۲۲]
۱۹۹۷ می	۱۸٬۱۹۹٬۹۷۸	پاتریک دمیشل
۱۹۹۷ آگوست	۲۰٬۰۰۰٬۰۰۰	بیرگر سیفرت
۱۹۹۷ سپتامبر	۵۰٬۰۰۰٬۸۱۷	پاتریک دمیشل
۱۹۹۹ فوریه	۲۰۰٬۰۰۰٬۵۷۹	سباستین ودنیسکی
۱۹۹۹ اکتبر	۸۶۹٬۸۹۴٬۱۰۱	سباستین ودنیسکی
۱۹۹۹ نوامبر ۲۱	۱٬۲۵۰٬۰۰۰٬۰۰۰	خاویر گردون[۲۳]
۲۰۰۰ جولای ۱۰	۲٬۱۴۷٬۴۸۳٬۶۴۸	خاویر گردون و شیگرو کندو[۲۴]
۲۰۰۰ جولای ۱۶	۳٬۲۲۱٬۲۲۵٬۴۷۲	کولین مارتین و خاویر گردون[۲۵]
۲۰۰۰ آکوست ۲	۶٬۴۴۲٬۴۵۰٬۹۴۴	خاویر گردون و شیگرو کندو
۲۰۰۰ آگوست ۱۶	۱۲٬۸۸۴٬۹۰۱٬۰۰۰	خاویر گردون و شیگرو کندو
۲۰۰۳ آگوست ۲۱	۲۵٬۱۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰	خاویر گردون و شیگرو کندو[۲۶]
۲۰۰۳ سپتامبر ۱۸	۵۰٬۱۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰	خاویر گردون و شیگرو کندو[۲۷]
۲۰۰۷ آوریل ۲۷	۱۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰	شیگرو کندو و استیو پالیارو[۲۸]
۲۰۰۹ می ۶	۲۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰	شیگرو کندو و استیو پالیارو[۲۸]
۲۰۱۰ فوریه ۲۱	۵۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰	الکساندر جی. لی[۲۹]
۲۰۱۰ جولای ۵	۱٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰	الکساندر جی. لی و شیگرو کندو[۳۰]

  محتوای مخفی: منابع و مآخذ: 

منابع و مآخذ:
ویکی پدیا
تبیان