سلام
نحوه محاسبه طول قوس در دایره مثلثاتی ( یا همان زاویه در صورتی که شعاع دایره واحد باشد) با در دست داشتن x , y چگونه است ؟
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سلام
نحوه محاسبه طول قوس در دایره مثلثاتی ( یا همان زاویه در صورتی که شعاع دایره واحد باشد) با در دست داشتن x , y چگونه است ؟
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
پی نوشت : بدیهی است که راه حل هندسی مدنظر است نه استفاده از جدول های مثلثاتی و ماشین حساب
سلام.نقل قول:
شما از هر راهی که بخواین برین، ناچارا باید در مراحل محاسبه، یک آرک تانژانت رو حساب کنین که بدون استفاده از جداول مثلثاتی امکان نداره محاسبه اش کنین.
فکر کنم راه کلی محاسبه اش هم واضح باشه. (استفاده از فرمول طول کمان در دایره: [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] که r شعاع دایره و تتا زاویه ای است که کمان روی محیط دایره اشغال کرده است که برابر با آرک تانژانت y تقسیم بر x هست)
موفق باشین.
90/9/20
ضمن تشکرنقل قول:
مساله ای که همیشه برای من مبهم مونده اینه که چگونه نسبت های مثلثاتی یک زاویه را محاسبه می کنند ؟ مثلا در مورد رادیکال گفته میشه که اکثر ماشین حساب ها از روش نیوتون برای محاسبه استفاده می کنند .
سوال من اینه که کسانی که جدول های مثلثاتی را تدوین کرده اند یا ماشین حساب ها از چه راهی نسبت های مثلثاتی را از روی زاویه محاسبه می کنند ؟
و حال برعکس سوال فوق : میدانیم که در یک مثلث با وتر ثابت 1 همیشه به یک مقدار خاص از sin یا cos مقدار خاصی از قوس متناظر اختصاص خواهد یافت ، نحوه بدست آوردن این اندازه قوس چگونه ست ؟
در حقیقت روش کار تدوین کنندگان جدول ها و ماشین حساب ها مد نظرم هست .
سلامنقل قول:
من نمی دونم در جدولها و ماشین حساب دقیقا از چه روشی استفاده میشه،ولی دو تا روش هست که فکر می کنم پایه خیلی از روشهای دیگه باشه!
یکی استفاده از سری تیلور هست....که قدیما این روش نبوده!
یکی دیگه هم روشهای هندسی ، مشابه روشهایی که ارشمیدس و کاشانی استفاده می کردن...ارشمیدس برای محاسبه محیط دایره از محیط n ضلعی منتظم محیط بر دایره به عنوان کران بالا و از محیط n ضلعی منتظم محاطی به عنوان کران پایین برای محیط دایره استفاده کرد...که البته خود محاسبه محیط n ضلعی ها هم کار ساده ای نیست!اما به سادگی میشه دید که اگه محیط یک n ضلعی محیطی یا محاطی رو بدونیم محیط 2n ضلعی رو هم میتونیم حساب کنیم...خوب حال 3 ضلعی رو میدونیم پس 6 و 12 و 24 و 48 و 96 ضلعی رو هم میدونیم...فکر کنم ارشمیدس دیگه جلو تر نرفت!ولی کاشانی با نظم دادن و ساده کردن تا یه عدد خیلی بزرگتری جلو تر رفت و تقریب خیلی خوبی برای پی بدست اورد.
حالا مساله شما:
مثلا برای محاسبه طول قوس متناظر با یک وتر :
خود وتر یک کران پایین برای طول قوس هست!
اگر دو سر وتر را به وسط قوس وصل کنیم مجموع دو پاره خط بدست امده نیز کران پایینی برای طول قوس هست.و میشه این روندو ادامه داد و کران پایینهای بهتری بدست اورد...
از بیرون هم میشه کران بالا بدست اورد...
برای محاسبه نسبتهای مثلثاتی یک زاویه:
خوب ما اینا رو بلدیم:
بدست اوردن نسبتهای مثلاتی نصف یک کمان
بدست اوردن نسبتهای مثلثاتی مجموع دو کمان (و در نتیجه چند کمان...و چند برابر یک کمان)
نسبتهای 90 و 60و 45 و 30 و ....
پس ما مثلا می تونیم نسبتهای 15 , 7.5 , 3.75 , 1.875 , 0.9375 , ....رو حساب کنیم و با تلفیق مناسب این نسبت هر زاویه ای رو تقریب بزنیم...البته اینا فقط از نظر تئوری هست و معلوم نیست محاسباتش چه فاجعه ای میشه...!احتمالا همون فاجعه ای که باعث شد ارشمیدس از 96 جلوتر نره! و لی خیلی وقتها راههایی هم برای ساده کردن محاسبات وجود داره....دقت کنید که محاسبه محیط 96 ضلعی محاطی معادل محاسبه سینوس زاویه 0.9375 درجه است!