با رعایت و درنظر گرفتن پدر و فرزندی المنتها مشکلتون حل میشه.
اول اینکه کلمه کلیدی this رو نباید به عنوان رشته به jQuery پاس بدید. بجای this باید کلاس div والد رو به jQuery پاس بدید، که میشه همون question_answer...
کد شما به اینصورت درست اجرا میشه. خط console.log رو میتونید حذف کنید، برای این گذاشته شده تا از تغییرات اعمال شده با خبر بشید.
کد:
$(function() {
$('#answer').click(function(){
$('.question_answer').next('div.javab').attr("class","javab_click");
console.log($('.question_answer').next().attr("class"));
});
});