فراكتال‌ها پنجره رياضيات رو به هستي
فراكتال‌ها شاخه تلفيقي جدیدی از ریاضیات و هنر محسوب می‌شوند و شاید علت آن كه فراكتال‌ها در نظر بیشتر افراد به چشم تصاویري زيبا مناسب پیشخوان رایانه‌ها یا طرح‌های بدیع و اصیل كارت پستالی دیده می‌شوند همین آمیختگی ریاضی و زیباشناختی آن است.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اكثر نظام‌های عینی طبیعت و بسیاری از مصنوعات بشری در چارچوب اشكال هندسی منتظم و یكدست هندسه اقلیدسی نمی‌گنجند.
هندسه اقلیدسی با همه معیارهایش در برابر تعریف نظام‌های طبیعی و مصنوعی جهان حرفی برای گفتن ندارد، اما از آن طرف هندسه فراكتالی راه‌هاي تقریبا نامحدودی را برای توصیف، اندازه‌گیری و پیش‌بینی پدیده‌های طبیعی در آستين دارد.
فراكتال‌ها در بسیاری از ساختارهای طبیعی مثل برف‌دانه‌ها، كوه‌ها، ابرها، ريشه، تنه و برگ درختان، رویش بلورها در سنگ‌های آذرین، شبكه آبراه‌ها و رودخانه‌ها، رسوبگذاری الكتروشیمیایی، رویش توده باكتری‌ها و سیستم عروق خونی، DNA و... دیده می‌شوند و با آنها می‌توان پدیده‌های طبیعی بسیاری را تشریح، تفسیر و پیش‌بینی كرد. بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نظیر تراشه‌های سیلیكونی، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها نيز از قوانين فراكتالي پيروي مي‌كنند.
اين شكل‌هاي هندسی زیبا به واسطه سازگاری پویا و جاذبه غریبی كه در ارتباط میان خود و محیط پیرامونشان ایجاد می‌كنند از نوعی نظم دقیق در عین بی‌نظمی برخوردارند و پتانسیل شگفت‌آوری را برای عوض كردن دیدگاه و تفسیر ما از پدیده‌های عالم و نقش بنیادی ریاضیات برای توصیف و توضیح جهان در خود نهفته دارند.
هندسه فراكتال، مرزهای درك و استنباط بشر از ریاضیات را كه به عنوان كالبدی از فرمول‌های پیچیده و ملال‌آور در اذهان تعريف شده است، فراتر می‌برد و با تلفیق هنر و ریاضیات بوضوح نشان می‌دهد معادلات رياضي چیزی بیشتر از مجموعه‌ای از اعداد هستند.
شاید سودمندی مفاهیم ریاضی برای ایفای چنین نقش مهمی، موهبت خدادادی بی‌نظیری است كه آنچنان كه شایسته بوده دركش نكرده‌ایم. آيا با این اوصاف، تعریف كردن كل جهان با استفاده از معادلات ریاضی امكان‌پذیر است؟
هندسه بعد چهارم یا هندسه طبیعت
بنوا مندل‌برو (1389ـ1303) پدر هندسه فراكتالی، مبدع واژه فراكتال و كاشف مجموعه مندل‌برو است كه تقریبا مادر تمام فراكتال‌ها محسوب می‌شود.
مندل‌برو در نوجوانی، آموزش و تعلیمات رسمی منظمی‌كسب نكرد و به گفته خودش هیچ‌گاه نتوانست الفبا و جدول ضرب را درست و حسابی فرا بگیرد، اما در عین حال در برخی حوزه‌های زبان‌شناسی، نظریه بازی‌ها و احتمالات، دانش هوانوردی ، مهندسی ، علم اقتصاد، فیزیولوژی، جغرافیا، نجوم و صد البته فیزیك كارشناس و خبره بود.
مندل برو از دانش پژوهان مشتاق تاریخ علم نیز بود و از همه مهم‌تر جزو نخستین ریاضیدانان جهان به لحاظ دسترسی به رایانه‌های پر سرعت محسوب می‌شود.
بنوا مندل‌برو كشفیات بزرگ خود را با سرپیچی و تمرد از قدرت حاكم زمانه یا همان ریاضیات آكادمیك صورت داد. در گذشته، علوم و ریاضیات بر محور نظام‌های محدودی در سه بعد نخست یا همان خط، سطح و فضا دور می‌زدند كه ظاهرا با جهان واقعی و مختصاتش كه بعد چهارم گفته می‌شد میانه‌ای نداشتند.
در حقیقت ما در بعد چهارم یا پیوستار فضا زمان زندگی می‌كنیم. گرچه از زمان اینشتین به بعد بود كه فهمیدیم حتی بعد سوم واقعا وجود ندارد و تنها مدلی برای واقعیت می‌تواند باشد، اما پس از مندل‌برو بود كه تازه متوجه شدیم بعد چهارم واقعا چیست و چگونه به نظر می‌رسد و از چهره فراكتالی آشوب و بی‌نظمی باخبر شدیم؛ كسی كه چهره اصلی نظریه‌پردازی آشوب در زمانه ما محسوب می‌شود.
تحقیقات مندل‌برو نهایتا به دستاورد بزرگی منجر شد كه در یك فرمول ساده ریاضی خلاصه می‌شود. این فرمول كه امروز به افتخار نام مخترعش مجموعه مندل‌برو نامیده می‌شود و برخی آن را بزرگ‌ترین كشف ریاضیات قرن بیستم می‌دانند یك حساب دینامیك و پویا بر اساس تكرار اعداد مركب با صفر به عنوان نقطه شروع است.
فرمول مندل‌برو خلاصه‌ای از درك و بینش‌های بسیاری است كه مندل‌برو از هندسه فراكتال طبیعت یا همان جهان واقعی بعد چهارم به دست آورده است. فرمول مندل‌برو در تضاد آشكار با جهان آرمانی اشكال اقلیدسی بعدهای اول تا سوم است كه دغدغه خاطر تقریبا تمامی ریاضیدانان پیش از مندل‌برو بوده است.
در جایی كه هندسه اقلیدسی پیرامون كمال مطلق تقریبا ناموجودی در طبیعت دور می‌زد و سعی داشت همه اشیا و مظاهر طبیعی را از دریچه تنگ نظم و ترتیب مجسم كند و قاعدتا از توصیف واقعی شكل یك ابر، كوه، خط ساحلی یا حتی یك درخت ناتوان بود.
مندل‌برو در كتاب هندسه فراكتال طبیعت (1362) خود می‌گوید: «ابرها كروی نیستند، كوه‌ها مخروط نیستند، خطوط ساحلی مدور نیستند، پوست درخت صاف نیست و رعد و برق نیز خط سیر مستقیمی ندارد.»
پیش از مندل‌برو، ریاضیدانان بر این باور بودند كه پیچیدگی، بی‌قاعدگی، بخش بخش شدگی و بی‌نظمی اكثر الگوهای طبیعت فراتر از آن است كه بتوانند به لحاظ ریاضیاتی توصیف و تبیین شوند. اما مندل‌برو، هندسه فراكتالی جدیدی از طبیعت را بر اساس بعد چهارم و اعداد مركب درك و توسعه بخشید كه قادر به توصیف ریاضیات بی‌نظم‌ترین اشكال جهان واقعی است.
به گفته خودش هندسه فراكتالی صرفا فصلی از كتاب ریاضیات نیست، بلكه موهبتی از دانش ریاضیات است كه امكان مشاهده متفاوت یك جهان را برای همگان فراهم می‌آورد.
مندل‌برو ثابت كرد بعد چهارم شامل ابعاد كسری می‌شود كه بین سه بعد نخست قرار دارد و این مفهوم ابعاد بینابینی یا حد فاصل ابعاد را بعدهای فراكتالی نامید.
وی واژه فراكتال را بر اساس صفت لاتین فركتوس نامگذاری كرد كه با فعل لاتین فرنجر به معنی شكستن و خرد كردن متناظر بود و مفهوم ایجاد بخش‌های نامنظم و نامرتب را تداعی می‌كرد.
مندل‌برو به لحاظ ریاضیاتی و گرافیكی نشان داده است طبیعت برای ایجاد اشكال مختلط و بی‌نظم و قاعده جهان واقعی چگونه از بعدهای فراكتال استفاده می‌كند. یك فراكتال به عنوان فرمی هندسی دارای اشكال نامنظم است، اما در بطن این تصاوير بی‌قاعده و نامنظم، نظمی پنهان وجود دارد.
این نظم پنهان در بی‌نظمی در اصل تكرار پشت سر هم نسخه‌های شبيه به هم از شكل كلی است كه ظاهرا به چشم نمی‌آید، ولی زمانی كه بخش كوچكی از یك شكل نامنظم كلی همانند كوه را از نزدیك مشاهده می‌كنیم، با نسخه تكرار شده مشابهی از شكل كلی كوه در مقیاس كوچك‌تر مواجه می‌شویم و هر چه نزدیك‌تر شویم باز هم همان شكل را در مقیاسی خردتر می‌بینیم و این تسلسل تا بی‌نهایت می‌تواند ادامه داشته باشد.
مي‌توان در هر جایی از طبیعت یا در واقع دنیای زیگزاگ طبیعت فراكتال‌ها و خود تشابهی را با هر مقیاسی سراغ گرفت. اين واقعيت زيبا در هر برف دانه، هر خدنگ رعد وبرق، هر درخت، هر شاخه و حتی در دستگاه گردش خون با رگ‌هایش و خلاصه از صدف دریا گرفته تا كهكشان‌های مارپیچ به چشم می‌خورند.
فرش قرمز دانش برای هندسه فراكتالی
امروز به لطف مندل‌برو و نظریه معاصر بی‌نظمی، ما به دركی ریاضیاتی از برخی فعالیت‌های تاكنون مخفی و رازآلود طبیعت نائل شده‌ایم. ما برای نخستین بار فهمیده‌ایم كه چرا دو درخت نزدیك به یكدیگر در جنگل كه در یك زمان و از یك خاك و از یك خانواده با ژن‌های یكسان در حال رشد و نمو هستند، هر كدام به شكلي منحصر به فرد از كار درخواهند آمد.
درست همانند هر برف دانه‌ای كه از یك ابر و در یك زمان و تحت شرایط یكسانی تشكيل شده و فرود می‌آیند، ولی باز هم هر كدام از آنها بی‌مانند و یگانه هستند و با بقیه برف دانه‌ها فرق دارند.
چنین حالتی تنها به واسطه خصلت بی‌نهایتی كه در بعدها و تأثیر متقابل تصادف و احتمال یا همان بی‌نظمی‌غیر قابل پیش‌بینی وجود دارد، امكان‌پذیر می‌شود. هندسه فراكتالی بر بسیاری از حوزه‌های علوم مانند اخترفیزیك و علوم‌زیستی سایه افكنده و به یكی از مهم‌ترین تكنیك‌های دانش گرافیك رایانه بدل شده است.
فراكتال‌ها در اختر فیزیك
هیچ‌كس واقعا نمی‌داند چند ستاره در آسمان شب چشمك می‌زند، ولی نحوه شكل‌گیری و قرارگيري آنها در عالم همواره مایه حیرت و شگفتی بوده است. اختر فیزیكدانان بر این باورند كه ماهیت فراكتالی گاز میان ستاره‌ای كلید راهنمای این مسأله باشد.
فراكتال پخش و انتشار گازها به صورت سلسله مراتبی است كه نظیر آن در خزیدن‌های دود در هوا یا موج خوردن ابرها در آسمان دیده می‌شود. اشكال آشفتگی ابرها در آسمان و در فضا الگویی نامنظم، اما تكرار شونده به آنها می‌بخشد كه توصیفش بدون كمك گرفتن از هندسه فراكتالی غیرممكن خواهد بود.
فراكتال‌ها در علوم زیستی
مدلسازی طبیعت با استفاده از بازنمایی‌های هندسه اقلیدسی كه ضربان خون را به صورت موج سینوسی، درختان سوزنی برگ را به صورت مخروط و غشای سلولی را به صورت منحنی و سطوح صاف و ساده به نمایش می‌گذاشت، تغییر خواهد كرد.
نمونه‌های بارزی از اشكال فراكتالی را می‌توان در بدن انسان یافت. شناخته شده‌ترین مثال فراكتال بدن مجموعه رگ‌ها و شریان‌های دستگاه گردش خون پستانداران و انسان است.
ساختار نایژه‌ای شش‌های انسان از جمله فراكتال‌های زیبا و مثال‌زدنی زنده محسوب می‌شود كه ویژگی خودمتشابهی و ایجاد نسخه‌های مكرر خردتر از نمونه كل را تا بیش از 15 انشعاب مسلسل و پی در پی به نمایش می‌گذارند.
كشفیات تازه در حوزه تحقیقات مغز به وجود یك ساختار فراكتالی مبتنی بر شش ضلعی‌ها اشاره دارد كه ممكن است در نحوه سازماندهی میدان‌های گیرندگی بصری بخش قشری مغز نقش داشته باشد.
دانشمندان كشف كرده‌اند معماری پایه یك كروموزم ساختاري درختی دارد و هر كروموزم شامل میكروكروموزم‌های بسیاری می‌شود كه می‌توان با تئوري فراكتال آن را توضيح داد.
از طرفی ویژگی خودمتشابهی ذاتی فراكتال‌ها در توالی‌های DNA نیز مشخص شده است. به عقیده برخی زیست‌شناسان، از شناسايي خصوصیات فراكتالی دي.ان.اي می‌توان برای حل روابط تكاملی جانوران استفاده كرد.
دانش زیست‌شناسی ممكن است در آینده برای ارائه مدل‌های جامعی از الگوها و فرآیندهای مشاهده شده در طبیعت از هندسه فراكتال استفاده كند.
فراكتال‌ها در گرافیك رایانه‌ای
وسیع‌ترین دامنه كاربرد فراكتال‌ها در زندگی روزمره در علوم رایانه است. بسیاری از طرح‌های فشرده‌سازی تصویری از الگوریتم‌های فراكتال استفاده می‌كنند.
هنرمندان گرافیك رایانه‌ای برای خلق مناظر بافت‌دار و دیگر مدل‌های پیچیده و پر طول و تفصیل از فرم‌های فراكتال زیادی استفاده می‌كنند.
ایجاد انواع تصاویر واقع نمایانه از سكانس‌های طبیعت نظیر تصاويري از ماه، رشته كوه‌ها و خطوط ساحلی كه در بسیاری از جلوه‌های ویژه سینمایی دیده می‌شوند به لطف همین الگوریتم‌های فراكتالی امكان پذیر هستند.
و اما حرف آخر
دانشمندان دریافته‌اند هندسه فراكتال ابزار قدرتمندی برای رازگشایی از طیف گسترده‌ای از نظام‌ها و حل‌كردن مشكلات مهم علوم كاربردی است.
نظام‌های فراكتالی عینی و ملموس جهان فهرست بلند بالایی دارند كه بهسرعت در حال رشد است. فراكتال‌ها دقت ما در توصیف و طبقه‌بندی كردن اشیاي تصادفی یا ارگانیك را بهبود بخشیده‌اند، اما ممكن است كامل و بی‌عیب نباشند.
شاید فراكتال‌ها فقط به جهان ما نزدیك‌ترند و یكی عین آن نیستند. برخی دانشمندان هنوز بر این باورند كه بی‌نظمي وجود دارد و هیچ معادله ریاضی آن را به طور كامل و بی‌نقص توصیف نخواهد كرد.
شاید هم از نظر بسیاری، فراكتال‌ها چیز بیشتری از تصاویر زیبا عرضه نخواهند كرد، اما فراكتال‌ها و هندسه فراكتالی هر چه باشد منظره متفاوتی از واقعیت جهانی را كه در آن زندگی می‌كنیم به نمایش گذاشته است.
فراكتال در دل طبيعت
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
نمایش آشكار الگوهای تكرار شونده مدل منحنی‌های فراكتالی موسوم به فراكتال برف‌دانه كخ
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
هندسه فراكتالي را در حيات وحش هم مي‌توان ديد. به عنوان مثال فراكتال پر زرق و برقی كه طاووس برای جلب نظر جفت به كار می‌برد
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مسیر حركت آذرخش با شكل‌گیری مرحله به مرحله به سوی زمین و تبدیل هوا به پلاسما یك الگوی فراكتال آشكار است
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
غایت فراكتال سبزیجات، فراكتالی از نوع مارپیچ لگاریتمی در كلم بروكلي كه به مارپیچ طلایی معروف است
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سرپاوران دریایی كه 65 میلیون سال پیش منقرض شدند. الگوی رشد پوسته آنها مارپیچ لگاریتمی است
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
این پهنه‌های پوشیده از نمك الگوی ثابت ولی تصادفی را كه مشخصه‌های فراكتالی است به نمایش می‌گذارد.
