يكي از مفاهيم مقدماتي در رياضيات مفهوم مجموعه است . بارها و بارها از اين مفهوم در نوشتارهاي رياضي استفاده كرده ايم , اما چقدر مطمئنيم كه از اين مفهوم به درستي استفاده مي كنيم؟
مثلا" آيا مي توانيم از مجموعه هاي : تمام مجموعه ها , تمام مجموعه هاي يك عضوي , دو عضوي... n عضوي , تمام زوج هاي مرتب , تمام رابطه ها يا تمام تابع ها سخن به ميان آوريم ؟
قبل از بحث در اين باره ابتدا چند مفهوم را معرفي مي كنيم :
1. زوج مرتب : زوج مرتب (x,y) عبارت است از مجموعه ي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] , x را مولفه اول و y را مولفه دوم گويند.
تمرين : تحقيق كنيد كه (c ,d) = (a ,b) اگر و تنها اگر a=c, b=d .
2. رابطه : رابطه R عبارت است از: مجموعه اي از زوج هاي مرتب .
3. تابع : تابع F عبارت است از: رابطه اي كه به هر عضو دامنه { مجموعه مولفه هاي اول} يك و فقط يك عضو برد {مجموعه مولفه هاي دوم } را نسبت مي دهد .
4. اصل اجتماع :براي مجموعه دلخواه A ,مجموعه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] وجود دارد . مثلا" اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد آن گاه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] .
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سوال 1: آيا مجموعه تمام مجموعه ها وجود دارد؟
اگر C چنين مجموعه اي باشد , مجموعه A را به صورت [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تعريف مي كنيم , اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] چون [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در نتيجه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] كه تناقض است.
اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] چون [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در نتيجه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] كه تناقض است .اين موضوع كه در فوق ديديم به پارادوكس راسل مشهور است .پس چنين مجموعه اي نمي تواند وجود داشته باشد ازاين رو بايد از رده تمام مجموعه ها سخن گفت .
سوال 2 : آيا مجموعه تمام مجموعه هاي يك عضوي وجود دارد ؟
اگر C چنين مجموعه اي باشد و A مجموعه دلخواهي باشد , چون [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] پس [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و اين يعني [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برابر مجموعه تمام مجموعه هاست كه تناقض است .از اين رو بايد از رده تمام مجموعه هاي يك عضوي سخن گفت .
سوال 3 : آيا مجموعه تمام مجموعه هاي دو عضوي وجود دارد ؟
اگر C چنين مجموعه اي باشد و A مجموعه دلخواهي باشد , چون [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] پس [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و اين يعني [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برابر مجموعه تمام مجموعه هاست كه تناقض است .ازاين رو بايد از رده تمام مجموعه هاي دو عضوي سخن گفت .
تمرين : نظير دو سوال قبلي را براي مجموعه هاي n عضوي بيان كنيد و پاسخ دهيد .
سوال 4 : آيا مجموعه تمام زوج ها ی مرتب وجود دارد ؟
اگر C چنين مجموعه اي باشد و A مجموعه دلخواهي باشد ، [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بنابر اين [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و اين يعني [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برابر مجموعه تمام مجموعه هاست كه تناقض است.ازاين رو بايد از رده تمام زوج هاي مرتب سخن گفت .
سوال 5 : آيا مجموعه تمام رابطه ها وجود دارد ؟
اگر C چنين مجموعه اي باشد آن گاه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برابر مجموعه تمام زوج هاي مرتب است كه با توجه به بحث فوق , تناقض است . از اين رو بايد از رده تمام رابطه ها سخن گفت .
سوال 6 : آيا مجموعه تمام تابع ها وجود دارد ؟
اگر C چنين مجموعه اي باشد آن گاه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برابر مجموعه تمام زوج هاي مرتب است كه با توجه به بحث فوق , تناقض است . ازاين رو بايد از رده تمام تابع ها سخن گفت .
تمرين : سعي كنيد نمونه هاي ديگري از چند رده بيابيد .
