هتل داري آقاي هيلبرت

هتل بی نهایت داستان جالبی است که "دیوید هیلبرت "مطرح کرده است،شما از این داستان می توانید مطالب زیادی در باره ی مفاهیم "هم ارزی مجموعه ها "و هم چنین "مجموعه های نا متناهی" یاد بگیرید.
این مقاله زمینه ی مناسبی را برای بحث در خصوص مفهوم بی نهایت و هم چنین مفهوم هم ارزی (مخصوصا" مجموعه های Q , N , W , Z )فراهم می کند.
این داستان در متون رسمی به هتل "بی نهایت "شهرت دارد.
اگر بخواهیم در این داستان از کلمه ی بی نهایت استفاده نکنیم، برای توضیح در مورد اتاق های هتل هیلبرت می توانیم بگوییم :"اتاق های این هتل تمامی ندارد!یعنی برای هر عددی که شما در نظر بیاورید ،هتل اتاقی با آن شماره و نیز اتاق هایی با شماره های بیش از آن دارد"
ما در این جا ابتدا مفهوم هم ارزی مجموعه ها را شرح می دهیم:
تعریف (1):دو مجموعه ی A,B (چه متناهی و چه نا متناهی ) را هم ارز (یا هم اندازه) می گوئیم،هرگاه تابع یک به یک و پوشایی چون f وجود داشته باشد که دامنه ی آن A و برد آن B باشد.هم ارزی A و B را با نماد A~B نشان می دهیم.
تعریف(2):می گوئیم مجموعه ی A کوچک تر یا مساوی B است و می نویسيم:A≤B، اگر و تنها اگر یک تابع یک به یک (نه الزاما" پوشا)ازA به B موجود باشد.
در ریاضیات قضیه ای وجود دارد که بیان می کند :اگر شرایط A≤B و B≤A برای دو مجموعه ی Aو B برقرار باشند آن گاه A هم ارز B خواهد بود.(یعنی A~B). حال به بررسی سکانس های "هتل داری آقای هیلبرت" می پردازیم.

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سکانس اول:مجموعه ی اتاق های هتل را با N یا همان مجموعه ی اعداد طبیعی نشان می دهیم.به این ترتیب كه هر عدد متناظر بااتاقي باشد كه شماره ی آن اتاق، عدد مذكور است.مثلا" عدد 3 متناظر با اتاق شماره ی 3 است،فرض كنيد درتمام اتاق هاي هتل، مسافر اقامت دارد وبازرسي وارد هتل مي شود ،به علاوه مجموعه ی W { [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] } را متناظر با مسافران هتل آقای هیلبرت می گیریم،به این ترتیب که عدد 0 در این مجموعه، متناظر با آقای بازرس است و براي سایر عدد ها،هر عدد متناظر با فردی است که قبل از آمدن آقای بازرس در اتاقی با همان شماره اقامت داشته است.به عنوان مثال عدد 5 متناظر با فردی است که پیش از آمدن آقای بازرس در اتاق شماره ی 5 اقامت داشته است.
حال تابع f: W [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] N را با ضابطه ي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در نظر مي گيريم . این تابع هر کدام ازساکنان اتاق های هتل آقای هیلبرت (پیش از آمدن آقای بازرس) را یک اتاق به جلو هدایت می کند.به علاوه آقای بازرس را در اتاق اول جای می دهد.
تمرین(1):یک به یک و پوشا بودن تابع f را تحقیق کنید و با توجه به تعریف هم ارزی دو مجموعه، این مطلب را نتیجه بگیرید: W~N .
سکانس دوم:آن چه در این بخش آمده است، تعبیری است از هم ارزی مجموعه ی اعداد طبيعي فرد(O) با مجموعه ی اعداد طبیعی.چرا که در این بخش، همه ی اتاق های با شماره ی فرد هتل پسر عموی آقای هیلبرت (که هم اندازه با O است)را با همه ی مسافران هتل آقای هیلبرت (که هم اندازه با N است)پر کردیم.
این عمل را می توان با تابع g:N [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] O بیان کرد كه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] .
تمرین(2):یک به یک وپوشا بودن تابع g را تحقیق کنیدو N~O را نتیجه بگیرید.
به روش مشابه مي توان نشان داد : N~E كه در آن E مجموعه ي اعداد طبيعي زوج است .
تمرین(3):با استفاده از راهنمایی زیر، هم ارزی مجموعه ی اعداد صحیح و اعداد طبیعی(N~Z) را اثبات کنید.
راهنمایی:تابعی چون h:Z [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] Nتعریف کنید که اعداد صحیح نا منفی را به اعداد طبیعی زوج ببرد و اعداد صحیح منفی را به اعداد طبیعی فرد ببرد.سپس دو سوئی بودن این تابع را تحقیق کنید.
سکانس سوم: N ×N ~N .
تمرین(4):درستي ادعاي فوق را ثابت كنيد .( راهنمائي : [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ) .
حال ادعا می کنیم N~Q .
برای اثبات این موضوع مجموعه ی اعداد گویا را مجموعه ای از کسر ها می گیریم که صورت و مخرجشان نسبت به هم اولند.هم چنین مجموعه های Q +و Q – را به ترتیب مجموعه ی اعداد گویای مثبت و منفی می گیریم:
با دو تابع زیر ادعای خود را ثابت می کنیم:
تابع i:N×N [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] +Qیک به یک بودن این تابع را تحقیق کنید.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
و تابع j:+Q [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] N×Nیک به یک بودن این تابع را تحقیق کنید.
( [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] كه n,m نسبت به هم اولند) .
از این دو تابع نتیجه می شود که [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] .و چون [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] .(چرا؟)،پس می توان نتیجه گرفت كه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] .
لم:اگر براي مجموعه هاي دلخواه A,B,C,D داشته باشيم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] .
آن گاه : [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] .
چون : [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] .
پس با توجه به لم فوق خواهيم داشت : [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] .
و با استفاده از آن چه در سكانس اول فراگرفتيم، مي توان رابطه ي زير را نتيجه گرفت : Q~N .
وبه اين ترتيب مساله تمام مي شود .
منبع : مدرسه ی اینترنتی تبیان ( با چند اصلاح ) .