بررسي رفتاري از يك دنباله

سوال:چند تا از توان هاي 2 با 7 شروع مي شوند؟

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

دنباله‌ي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را در نظر بگيريد. دنباله‌ي اعدادي كه عناصر اين دنباله با آن‌ها آغاز مي‌شوند را تشكيل دهيد.چند جمله‌ي اوّل اين دنباله عبارت هستند از :

...,2,4,8,1,3,6,1,2,5

اين دنباله را با [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نشان مي‌دهيم. با كمي دقّت مي‌بينيم كه 7 در چند جمله‌ي اوّل اين دنباله ظاهر نمي‌شود. شايد در نظر اوّل چنين نتيجه گيري كنيم كه 7 اصلاً در اين دنباله ظاهر نمي‌شود امّا اگر كمي حوصله به خرج دهيم، خواهيم ديد كه اوّلين جايي كه 7 ظاهر مي‌شود جمله‌ي چهل و ششم است. چند جمله‌ي بعد از آن كه برابر 7 مي‌باشند عبارت هستند از: [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] .
سؤالي كه در اين جا مطرح مي‌شود اين است كه چند جمله‌ي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برابر 7 است؟

ادّعا:ثابت مي‌كنيم كه بي‌نهايت جمله‌ي اين دنباله برابر 7 است.
مقدّمات اثبات ادّعا: [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] با 7 آغاز مي‌شود اگر و تنها اگر عدد طبيعي k موجود باشد كه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و اين معادل است با آن كه: [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] يا معادلاً [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] . چون [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] پس [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] با 7 آغاز مي‌شود اگر و تنها اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] .
اكنون توجه شما را به دو لم زير جلب مي‌كنيم:

لم1: [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] گنگ است.
اثبات:اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] گويا باشد پس اعداد صحيح p و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجودند كه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و لذا:

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

كه تناقض است، بنابراين [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] گنگ است.

لم 2:اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و a<b و 0<x عددي گنگ و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشند آن‌گاه بازه‌ي(a,b)شامل بي‌نهايت عنصر دنباله‌ي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است.

اثبات:اوّلاً توجه داريم كه عناصر دنباله‌ي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] متمايز هستند چرا كه اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجود باشند كه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] آن‌گاه داريم:

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

كه تناقض است.
اكنون عدد طبيعي n را طوري مي‌گيريم كه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] . 1+n عدد متمايز [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در [0،1] هستند پس طبق اصل لانه كبوتري؛ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجودند كه: [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و داريم: [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] (1)
اگر T دايره‌ي به محيط واحد و گذرا از [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد، مي‌توان تناظري يك به يك بينT و (0,1]برقرار كرد.‍[چگونه ؟]پس به جاي بازه‌ي(a,b)مي‌توان كمان متناظرش را برT در نظر گرفت.اين كمان را نيز با (a,b) نشان مي‌دهيم. تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] كه معرّف دوران به اندازه‌ي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] راديان در خلاف جهت حركت عقربه‌هاي ساعت است را در نظر مي‌گيريم. اين تابع وارون‌پذير است و وارون آن عبارت است از: [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] كه معرّف دوران به اندازه‌ي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] راديان در جهت حركت عقربه‌هاي ساعت مي‌باشد.
براي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] (f را n بار تركيب كرده ايم.)در نظر مي‌گيريم.عناصر دنباله‌ي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] متمايز هستند چرا كه اگر m<n موجود باشند كه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] آن‌گاه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و در نتيجه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] .اگر g را m بار بر طرفين تساوي اخير،اثر دهيم آن‌گاه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و لذا [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و اين يعني عدد طبيعي M موجود است كه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بنابراين [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] كه تناقض است.
در اين لحظه نشان مي‌دهيم كه براي n دلخواه، طول كمان [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برابر (c(nاست.

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] = طول كمان [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

پس با توجه به رابطه ي (1)، طول كمان بين (b(i و (b(i+j برابر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است و اين يعني j دوران متوالي به اندازه‌ي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] راديان در خلاف جهت حركت عقربه‌هاي ساعت معادل است با دوران به اندازه‌ي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] راديان كه جهت دوران اخير، ممكن است در جهت يا در خلاف جهت حركت عقربه‌هاي ساعت باشد،حال دنباله‌ي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را در نظر مي‌گيريم.توجه داريم كه عناصر اين دنباله متمايز هستند. اگر از [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] شروع كنيم و دوران به اندازه‌ي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] راديان را به طور متوالي اعمال كنيم، چون [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است پس بي‌نهايت عنصر دنباله‌ي فوق در كمان (a,b) واقع مي‌شوند و اين يعني بازه ي (a,b) شامل بي‌نهايت عنصر دنباله‌ي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است و به اين ترتيب،لم 2 اثبات مي شود. [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اگر در لم 2، [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [بنابر لم 1، [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] گنگ است.]قرار دهيم آن‌گاه براي تعداد نامتناهي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و اين يعني بي‌نهايت جمله‌ي دنباله‌ي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برابر 7 است.[به مقدّمات توجه كنيد.]
جواب:تعداد نامتناهي از توان هاي 2 با 7 شروع مي شوند.