حل تمرین ریاضی مهندسی

[B.Russell]

با درود خدمت دوستان.
من تو تالار حل تمرین هرچی گشتم تاپیکی مربوط به حل تمرین ریاضی مهندسی پیدا نکردم.
این تاپیک رو ایجاد میکنم که مشکلات رباضی مهندسی رو توش مطرح کنیم.


مباحثی که تو این تاپیک میشه پیگیری کرد :


اعداد و توابع مختلط

نگاشت

سری ها، بسط تیلور ، لوران و محاسبه مانده ها

انتگرال گیری از توابع مختلط

سری فوریه، تبدیل فوریه و انتگرال فوریه

معادله دیفرانسیل با مشتق های جزئی

[B.Russell]

برای شروع من این سئوال ریاضی مهندسی که در دکترای 93 برای رشته های فنی و مهندسی بود رو متوجه نشدم چطوری حل میشه.
اگه کسی حلش رو بلده، ممنون میشم توضیحاتی ارائه کنه.
خیلی ممنون. :n16:



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[B.Russell]

خوب جواب سئوالی که در نوشته بالایی از مبحث مشتق توابع مختلط مطرح کردم داده نشد، اما یکی از دوستان در جایی دیگر پاسخ دادن.

که من هم پاسخش رو میذارم، امیدوارم به درد علاقمندان به ریاضی مهندسی بخوره.



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[B.Russell]

یکی از روش های حل انتگرال در بازه نامتناهی (از منفی بینهایت تا مثبت بینهایت) استفاده از قوانین مربوط به انتگرال مختلط و تعریف مسیر میباشد.
و سپس یافتن مانده ها و محاسبه انتگرال به کمک مانده.

در شکل زیر با ذکر یک مثال نحوه به دست اوردن انتگرالِ از منفی بینهایت تا مثبت بینهایت 1 تقسیم بر بر x^2+1 نشان داده شده است :



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[B.Russell]

محاسبه انتگرال مختلط به کمک روش مانده ها :


در اینجا نیاز به محاسبه مانده در Z=0 می باشد که لازم است بسط لوران را نوشته و ضریب 1 تقسیم بر Z را یافت که همان مانده خواهد بود.
زیرا z=0 قطب ساده نیست و یک تکین اساسی است و نمیتوان از روش های مرسوم مانده از روی قطب، مقدار مانده را تعیین کرد.

مقدار انتگرال نیز برابر 2Pi ضرب در مانده خواهد بود.




[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[metalhead_forever]

سلام.
پاسخ این سوال رو لطفا" قرار بدین:

تبدیل فوریه ی سینوسی f را بنویسید.

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[B.Russell]

سلام.
پاسخ این سوال رو لطفا" قرار بدین:

تبدیل فوریه ی سینوسی f را بنویسید.

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


این مسئله رو باید با ترفند تبدیل لاپلاس حل کنید.
یعنی میدانیم انتگرال از صفر تا بی نهایت تابع e^-x ضربدر sinwx با دیفرانسیل dx، میشه تبدیل لاپلاس تابع sinwx که همون w/w^2+1 خواهد شد و این درواقع شبیه x/x^2+1 هست.
پس با یک طرفین وسطین متوجه میشین که میشه به فرم تبدیل فوریه سینوسی ربطش داد.
که عبارتی هست که در ان e^-w وجود دارد و یکسری ثابت....

[metalhead_forever]

این مسئله رو باید با ترفند تبدیل لاپلاس حل کنید.
یعنی میدانیم انتگرال از صفر تا بی نهایت تابع e^-x ضربدر sinwx با دیفرانسیل dw، میشه تبدیل لاپلاس تابع sinwx که همون w/w^2+1 خواهد شد و این درواقع شبیه x/x^2+1 هست.
پس با یک طرفین وسطین متوجه میشین که میشه به فرم تبدیل فوریه سینوسی ربطش داد.
که عبارتی هست که در ان e^-w وجود دارد و یکسری ثابت....
با تشکر از پاسختون.
استاد ما تاکید داره قبل از نوشتن تبدیل فوریه یا انتگرال فوریه حتما" باید مطلقا" انتگرال پذیر بودن تابع بررسی بشه. این قسمت رو هم شرح بدین ممنون میشم.

[*M!L4D*]

با تشکر از پاسختون.
استاد ما تاکید داره قبل از نوشتن تبدیل فوریه یا انتگرال فوریه حتما" باید مطلقا" انتگرال پذیر بودن تابع بررسی بشه. این قسمت رو هم شرح بدین ممنون میشم.

یعنی انتگرال اندازه ی تابع f ( که اینجا به علت حقیقی بود قدر مطلق آن ) روی کل دامنه ی آن باید مقداری کراندار باشد .

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] x%7C%7D%7Bx%5E2%20+1%7D%3D2%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5C infty%20%7D%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5E2%20+1%7D%20%3D%20 %5C%202%20lim_%7Bx%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7Dln %28x%5E2+1%29%3D%20%5Cinfty

در واقع یعنی به صورت مطلق انتگرال پذیر نیست .. اما اگر به اثبات همگرایی انتگرال فوریه مراجعه کنید ( T دوره ی تناوب تابع هست ) می بینید که عبارت :


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 0%5Cfrac%7B%5Cint_%7B-%5Cinfty%20%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%20%7C%20f%28x%2 9%20%7C%20dx%7D%7BT%7D
برابر صفر در نظر گرفته شده . در این مثال خاص چون ( می تونید درستی حد زیر رو به ازای مسیر های [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بررسی کنید ) :


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %5Cinfty%20%2C%5Cinfty%20%29%7D%20%5Cfrac%7Bln%28x %5E2%20+1%29%7D%7BT%7D%20%3D%200

خللی به حل دوستمون که به زیبایی مسئله رو برای شما حل کردن وارد نمیشه.

[metalhead_forever]

این روز ها زیاد به اینجا سر میزنیم! :D
این سوال رو به روش FFT حل کنید.
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
گیر من اونجایی هست که میخوام یه تابع کمکی به اسم w تعریف کنم که شرایط کرانه ای رو در pi و pi- صفر کنه... چطور باید این کار رو انجام بدم؟ و این که آیا اصلا" نیازی هست شرایط کرانه ای رو صفر کنم؟!

[B.Russell]

این روز ها زیاد به اینجا سر میزنیم! :D
این سوال رو به روش FFT حل کنید.
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
گیر من اونجایی هست که میخوام یه تابع کمکی به اسم w تعریف کنم که شرایط کرانه ای رو در pi و pi- صفر کنه... چطور باید این کار رو انجام بدم؟ و این که آیا اصلا" نیازی هست شرایط کرانه ای رو صفر کنم؟!

منظورتون از روش FFT استفاده از تبدیل فوریه در حل معادله با مشتقات جزئی هست؟
تو این روش معمولا از خود معادله و شرایط مرزی تبدیل فوریه گرفته میشه و به کمک شرایط مرزی پس از تبدیل فوریه گرفته شدن، صرفا ثوابت به دست میان.
از طرفی شرایط مرزیتون تناوبی هستند و نیاز به کار خاصی نیست.

پس کافیه U(X,T)=V(X,T)+W(X فرض کنید و در معادله جایگزین کنید تا بر حسب V به یک معادله همگن با همین شرایط مرزی اما بر حسب v برسین و از همینجا w(x هم پس از صفر کردن بخش ناهمگن در معادله بر حسب v به دست می آید.
و جواب نهایی مجموع این دو جواب خواهد بود.

کتاب معادلات با مشتقات جزئی چرچیل رو باید نگاهی بندازین تا روش های مختلف همگن کردن معادله دستتون بیاد.

[metalhead_forever]

سلام.
پاسخ این سوال رو میخواستم. من سوال رو تا یه جایی حل کردم میخواستم بدونم آیا باز هم ادامه داره یا جواب به همین فرم باید معرفی بشه.
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
my solution ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])

[B.Russell]

سلام.
پاسخ این سوال رو میخواستم. من سوال رو تا یه جایی حل کردم میخواستم بدونم آیا باز هم ادامه داره یا جواب به همین فرم باید معرفی بشه.
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
my solution ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])

قسمت اولش رو اشتباه نوشتی !!
تبدیل فوریه روی مکان یا x عمل میکنه.
یعنی تبدیل فوریه مشتق مرتبه دوم x میشه منفی W^2 ضرب در U(W
ولی شما این رو برای تبدیل فوریه مشتق بر حسب T نوشتی.

البته در پایان و جایگذاری درست عمل کردی و جواب نهایی هم صرفا به شکل انتگرالی نوشته بشه کافیه.

[metalhead_forever]

قسمت اولش رو اشتباه نوشتی !!
تبدیل فوریه روی مکان یا x عمل میکنه.
یعنی تبدیل فوریه مشتق مرتبه دوم x میشه منفی W^2 ضرب در U(W
ولی شما این رو برای تبدیل فوریه مشتق بر حسب T نوشتی.

البته در پایان و جایگذاری درست عمل کردی و جواب نهایی هم صرفا به شکل انتگرالی نوشته بشه کافیه.
اگه منظورتون رابطه (I) هست، از طرفین صورت معادله تبدیل گرفتم فکر نمیکنم اشتباه باشه...

[B.Russell]

اگه منظورتون رابطه (I) هست، از طرفین صورت معادله تبدیل گرفتم فکر نمیکنم اشتباه باشه...

بله درست هست، چون از همون اول تبدیل فوریه رو اثر داده بودی، اشتباه متوجه شدم.
چون معمولا در کتاب ها اول میان تبدیل فوریه هر بخش معادله رو جدا جدا مینویسن چی میشه سپس در معادله اصلی جایگزین میکنن.

[metalhead_forever]

سلام.
روش حل معادله موج به روش دالامبر وفتی شرایط کرانه ای به صورت مشتقات x داده شده باشند رو شرح بدین... روند حل طبق تاکید اساتید ما باید کامل طی بشه و استفاده یکجا از فرمول جایز نیست...
مثلا" حل این مثال:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[B.Russell]

سلام.
روش حل معادله موج به روش دالامبر وفتی شرایط کرانه ای به صورت مشتقات x داده شده باشند رو شرح بدین... روند حل طبق تاکید اساتید ما باید کامل طی بشه و استفاده یکجا از فرمول جایز نیست...
مثلا" حل این مثال:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

عجب استادی دارین، معمولا تو مقاطع لیسانس اینقدر سنگین ریاضی مهندسی رو درس نمیدن. :n26:
با توجه به اینکه دو شرط مرزی همگن، هم در x=0 و هم در x=1 روی مشتق x هستند، f و g در هر دوی این نقاط به صورت زوج گسترش می یابند، یعنی دوره تناوب شما T=2 خواهد بود.

f و g هم که مشخص هستند، مقدار c هم که یک هست، در فرمول میذاری و دیگه مشکلی نباید باشه.
فقط نمودارهارو برای f و g در بازه 0 , 1 به صورت شماتیک رسم کن و بعدش اونارو به صورت زوج ادامه بده که مشخص باشه نقطه ات با توجه به دوره تناوب T=2 و زمان t=2 کجا هست تا در جایگذاری و انتگرالگیری دچار اشتباه نشی.

[metalhead_forever]

سلام. به زودی امتحان دارم و قول میدم این آخرین سوالم از این مبحث مشتقات جزیی باشه... از این به بعد با سوالات توابع مختلط در خدمتتون هستیم:n02:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مشکل من نحوه گسنرش تابع هست حالا زوج باید باشه یا فرد؟!!!

[B.Russell]

سلام. به زودی امتحان دارم و قول میدم این آخرین سوالم از این مبحث مشتقات جزیی باشه... از این به بعد با سوالات توابع مختلط در خدمتتون هستیم:n02:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مشکل من نحوه گسنرش تابع هست حالا زوج باید باشه یا فرد؟!!!

شما تابع رو به صورت شماتیک در بازه ای که برای x داده شده ابتدا رسم میکنی.
یک بار برای f و یک بار دیگر برای g.

سپس نگاه به شرایط مرزی میکنی اگر شرط مرزی روی مشتق بود در اون نقطه گسترش زوج و اگر شرط مرزی روی خود تابع بود، در اون نقطه گسترش فرد داریم. (دقت کنید شرط مرزی ملاک هست و کاری به شرط اولیه که t=0 هست نداریم)

نحوه رسمش رو هم برای یک تابع دلخواه که در صفر به صورت زوج و در یک به صورت فرد گسترش می یابد رو اینجوری میشه کشید:
سپس دوره تناوبت به دست میاد و در انتگرال گیری و جایگزین کردن نقطه مورد نظرت، متوجه میشی از چه تابعی باید استفاده کرد.




[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[metalhead_forever]

سلام.
دوستان چطور میتونم ثابت کنم تابع زیر مطلقا" انتگرال پذیره که بتونم براش تبدیل فوریه تعریف کنم؟ دو شرط دیگه از شرایط دیریکله رو داره...
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[t2download]

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


سلام خوب هستید من دانشجوی مهندسی کنترل هستم یکی از مباحث جبر خطی رو بلد نیستم زیاد جزوه از اینترنت گرفته ام . کتاب هافمن و استاد بیژن زاده رو دارم ولی این مبحث اصلآ قابل فهم نیست امکانش هست لطف کنید راهنمایی نمایید ...
بدلیل اشتغال به کار سر جلسات کلاسی نتوانستم حضور یابم وووو

این مبحثه ............ این قسمتی که دور آن خط کشیده ام چطور محاسبه می شود ...

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[metalhead_forever]

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



سلام خوب هستید من دانشجوی مهندسی کنترل هستم یکی از مباحث جبر خطی رو بلد نیستم زیاد جزوه از اینترنت گرفته ام . کتاب هافمن و استاد بیژن زاده رو دارم ولی این مبحث اصلآ قابل فهم نیست امکانش هست لطف کنید راهنمایی نمایید ...
بدلیل اشتغال به کار سر جلسات کلاسی نتوانستم حضور یابم وووو

این مبحثه ............ این قسمتی که دور آن خط کشیده ام چطور محاسبه می شود ...

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]





هدف از این عملیات این است که ماتریس همانی ایجاد کنید. مثلا" درمرحله اول:
R2 + (-2)R1 یعنی سطر دوم را با 2- برابر سطر اول جمع کن
R3 + (-1)R1 یعنی سطر سوم را با 1- برابر سطر اول جمع کن
و به همین ترتیب...
R هم به جای Row به معنی سطر به کار برده.

__________________________________________________ _________________________________-

دوستان این سوال رو چطور باید حل کنم؟ خواسته سوال اینه نقاطی که تابع زیر مشتق پذیر، تحلیلی یا غیر تحلیلی است مشخص کنید.
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

راه حل رو به این صورت رفتم:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مشتقات جزیی u و v در صفر پیوسته نیستن... از طرفی شرایط کشی ریمن هم در هیچ نقطه ای صادق نیست... پس تابع در هیچ نقطه ای تحلیلی و مشتق پذیر نیست... آیا راه حل من درسته؟

[B.Russell]

دوستان این سوال رو چطور باید حل کنم؟ خواسته سوال اینه نقاطی که تابع زیر مشتق پذیر، تحلیلی یا غیر تحلیلی است مشخص کنید.
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

راه حل رو به این صورت رفتم:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مشتقات جزیی u و v در صفر پیوسته نیستن... از طرفی شرایط کشی ریمن هم در هیچ نقطه ای صادق نیست... پس تابع در هیچ نقطه ای تحلیلی و مشتق پذیر نیست... آیا راه حل من درسته؟

درست است، وجود zبار در تابع f(z در اکثر مواقع ناپیوستگی و غیرتحلیلی بودن رو سبب میشه.

[saedinia]

سلام به همه دوستان عزیز
دانشجوی سال آخر رشته مهندسی نرم افزار هستم و درس ریاضی مهندسی را به عنوان معرفی به استاد اخذ کردم
ممنون میشم بهم کمک کنید برای حل این سوالات که تعداد انها 5 عدد است
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[baradar ehsan]

سلام
ممنون میشم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[محمد7966]

سلام
ممنون میشم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


همون تابع رو به صورت قطبی بنویسید راحت حل میشه

یعنی r میشه رادیکال 6 و زاویه میشه 45 درجه

دومی هم میشه 2 و زاویه اش میشه 240 درجه

[baradar ehsan]

همون تابع رو به صورت قطبی بنویسید راحت حل میشه

یعنی r میشه رادیکال 6 و زاویه میشه 45 درجه

دومی هم میشه 2 و زاویه اش میشه 240 درجه

من کلا از ریاضی هیچی بلد نیستم:n02: میشه لطف کنید جواباشو بگذارید ... اومدیم و همین توی امتحان اومد .... حد اقل شاید اینجوری حفظ کنم ...:n03:

[محمد7966]

من کلا از ریاضی هیچی بلد نیستم:n02: میشه لطف کنید جواباشو بگذارید ... اومدیم و همین توی امتحان اومد .... حد اقل شاید اینجوری حفظ کنم ...:n03:

اینا رو به صورت قطبی حل کردم ولی اگر تمرین خواسته فقط به صورت همونی که سوال داده در بیاد میتونید از طریق رابطه زیر

re^it=rcost+rsint استفاده کنید که t همون اندازه زاویه است مثلا t در مثال اولی 5p/4 و r هم 36رادیکال6

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[farhad-13]

تو حل دومی زاویه رو اشتباه نوشتید باید باشه 2pi/3-