مسائلی از ریاضیات عمومی

[kvhsade]

سلام دوستان در این تاپیک میخواهیم مطالب ریاضیات عمومی را با طرح مسائل گوناگون البته به روال منطقی مباحث (تابع-حدو پیوستگی- مشتق و کاربردهای آن-...) توضیح بدیم سعی میکنیم سطح سوالات طوری باشه که برای همه قابل فهم باشد (پس از طرح مسائلی در حد المپیاد خودداری کنید)شما هم اگر سوالی در این مباحث دارید مطرح کنید روال کار به این شکل است در هر پست یک یا چند سوال مطرح میشه که بقیه کاربران جواب بدهند بعد از چند سوال و جواب میریم سراغ بحث بعدی پس لطفا به روال منطقی تاپیک پایبند باشید برای نوشتن فرمولهای ریاضی از سایت زیر استفاده کنید
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
امیدوارم این تاپیک در فهم ریاضیات عمومی برای همه مفید باشه

[kvhsade]

برای شروع کارمیریم سراغ تابع و مباحث مربوط به آن

دامنه توابع زیر را بدست آورید:(لطفا جوابها با توضیح همراه باشد)منتظر جوابهای همه دوستان هستیم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %7B3-x%7D%7Bx-1%7D%7D%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%2C%5C%2C%5C% 2C%5C%2C%5C%2C%5C%2Cg%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bln %283x%5E%7B2%7D-2x%29%7D


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %5Cfrac%7Bx%7D%7B1-%5Cleft%20%7C%20x%20%5Cright%20%7C%7D%7D%5C%2C%5C% 2C%5C%2C%5C%2C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2Ck%28x%29% 3D%5Csqrt%7B2%5E%7Bx%7D-3%5E%7Bx%7D%7D

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %7B4-%5Bx%5E%7B2%7D%5D%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cleft%20%7C% 20x%20%5Cright%20%7C-x%7D%7D

[kvhsade]

سلامی دوباره
در باره تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باید گفت چون این تابع هم رادیکالی با فرجه زوج و هم کسری است پس برای تعین دامنه باید دو شرط را

بررسی کنیم 1- زیر رادیکال باید مثبت باشد 2- مخرج کسر نباید صفر شود با تشکیل جدول تعین علامت دامنه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به صورت



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] خواهد بود همچنان منتظر جواب سایر دوستان برای دیگر توابع هستیم

[kvhsade]

در مورد دامنه تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] B2%7D-2x%29%7D چون تابع کسری بوده و دارای ln است پس باید دو شرط را بررسی کنیم 1-مخرج کسر باید مخالف صفر باشد 2- عبارت جلوی ln باید از صفر بزرگتر باشد بعد از بررسی این دو شرط اشتراک هر دو حالت دامنه تابع خواهد بود:



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 3E%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5C%5C%5C%5Cln%283x%5E%7 B2%7D-2x%29%5Cneq%200%5CRightarrow%203x%5E%7B2%7D-2x%5Cneq%201%5CRightarrow%203x%5E%7B2%7D-2x-1%5Cneq%200%5CRightarrow%20x%5Cneq%201%2C%5Cfrac%7 B-1%7D%7B3%7D

حال اگر اشتراک حالتهای فوق را در نظر بگیریم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %7B2%7D%7B3%7D%2C+%5Cinfty%20%29

[kvhsade]

برای دامنه توابع زیر

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %5Cfrac%7Bx%7D%7B1-%5Cleft%20%7C%20x%20%5Cright%20%7C%7D%7D%5C%2C%5C% 2C%5C%2C%5C%2C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2Ck%28x%29% 3D%5Csqrt%7B2%5E%7Bx%7D-3%5E%7Bx%7D%7D , [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %7B4-%5Bx%5E%7B2%7D%5D%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cleft%20%7C% 20x%20%5Cright%20%7C-x%7D%7D


در تابع k باید زیر رادیکال مثبت باشد در نتیجه: [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] Cgeq%203%5E%7Bx%7D%20%5CRightarrow%20%28%5Cfrac%7B 3%7D%7B2%7D%29%5E%7Bx%7D%5Cleq%201 که با لگاریتم گیری از [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 7D%29%5E%7Bx%7D%5Cleq%201 در پایه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] میرسیم پس [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

__________________________________________________ _________________________
تابع h باید هم کسری و هم رادیکالی است اما دقت کنید فرجه رادیکال فرد است و درحالتهایی که فرجه فرد باشد مثبت یا منفی بودن زیر رادیکال

مهم نیست پس باید فقط شرط صفر نبودن مخرج را بررسی کنیم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] htarrow%20%5Cleft%20%7C%20x%20%5Cright%20%7C%5Cneq %201%5CRightarrow%20x%5Cneq%20%5Cpm%201%5CRightarr ow%20D_%7Bh%7D%3D%5Cmathbb%7BR%7D-%5Cleft%20%5C%7B%20-1%2C1%20%5Cright%20%5C%7D
__________________________________________________ _________________________
برای تابع l باید 1- زیر رادیکال در صورت و مخرج مثبت باشد 2- مخرج نباید صفر باشد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 20%7C%20x%20%5Cright%20%7C-x%3E%200%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5CRightarro w%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%5Bx%5E%7B 2%7D%5D%5Cleq%204%5C%5C%5C%5C%5Cleft%20%7C%20x%20% 5Cright%20%7C%3E%20x%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright. %5CRightarrow%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D% 20x%5E%7B2%7D%3C%205%5CRightarrow%20-%5Csqrt%7B5%7D%3C%20x%3C%20%5Csqrt%7B5%7D%5C%5C%5C %5C%20x%3C%200%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5C%5C %5C%5C%5CRightarrow%20D%3D%5Cleft%20%28%20-%5Csqrt%7B5%7D%2C0%20%5Cright%20%29

[kvhsade]

برد توابع زیر را بدست آورید

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] x-x%5E%7B2%7D%29%7D%5C%2C%5C%2C%5C%2C%2C%5C%2C%5C%2C %5C%2Cg%28x%29%3D%5Cfrac%7B2%5Cleft%20%7C%20x%20%5 Cright%20%7C-1%7D%7B%5Cleft%20%7C%20x%20%5Cright%20%7C+1%7D , [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 0y%3De%5E%7B%5Cfrac%7B-1%7D%7B%5Csqrt%7Bx-%5Bx%5D%7D%7D%7D

[kvhsade]

برای برد تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 0y%3De%5E%7B%5Cfrac%7B-1%7D%7B%5Csqrt%7Bx-%5Bx%5D%7D%7D%7D داریم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 1%7D%7B%5Csqrt%7Bx-%5Bx%5D%7D%7D%20%3C%20+%5Cinfty%20%5C%5C%5CRightar row%20-%5Cinfty%20%3C%20%5Cfrac%7B-1%7D%7B%5Csqrt%7Bx-%5Bx%5D%7D%7D%3C%20-1%5CRightarrow%20e%5E%7B-%5Cinfty%20%7D%3C%20y%3C%20e%5E%7B-1%20%7D%5CRightarrow%200%3C%20y%3C%20%5Cfrac%7B1%7 D%7Be%7D

[farhad-13]

اگر برای تابع f تعیین دامنه کنیم یعنی اول جلوی لگاریتم رو بزرگتر از صفر و یه بار زیر رادیکال رو بزرگتر مساوی صفر بزاریم ، دامنه فقط شامل عدد یک است که به ازای اون تابع برابر صفر میشه پس برد فقط صفره.
اما برای تابع g برد از 1- بسته تا 2 باز هست.
این هم راه حل :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 0x%20%5Cright%20%7C+2-3%7D%7B%5Cleft%20%7C%20x%20%5Cright%20%7C+1%7D%3D2 +%5Cfrac%7B-3%7D%7B%5Cleft%20%7C%20x%20%5Cright%20%7C+1%7D
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 5Cgeqslant%201%5Crightarrow%200%3C%20%5Cfrac%7B1%7 D%7B%5Cleft%20%7C%20x%20%5Cright%20%7C+1%7D%5Cleqs lant%201
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 200%5Crightarrow%20-1%5Cleq%202+%5Cfrac%7B-3%7D%7B%5Cleft%20%7C%20x%20%5Cright%20%7C+1%7D%3C% 202
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[kvhsade]

1- تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] زوج است یا فرد؟ [ ] به معنی جز صحیح است

2-اگر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] فرد باشد مقدار a چقدر است؟ [ ] به معنی جز صحیح است

3-اگر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] egin%7Bmatrix%7D%205x-2%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2Cx%5Cgeq %201%5C%5C%5C%5C%20x+a%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C% 2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2Cx%3C%201%20%5Cend%7Bmatr ix%7D%5Cright. یک به یک باشد حدود a چیست؟


4- پوشا یا یک به یک بودن تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را تعیین کنید

منبع: ریاضیات عمومی پارسه

[farhad-13]

جواب 1 :
ابتدا دامنه رو حساب می کنیم تا قرینه هر عضو هم در دامنه باشه که همینطوره.
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
داریم :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 2%7D%7B1-x%7D%20%5Cright%20%5D+%5Cleft%20%5B%20%5Cfrac%7B-x-1+2%7D%7B1+x%7D%20%5Cright%20%5D%3D%5Cleft%20%5B%2 0%5Cfrac%7B2%7D%7B1-x%7D%20%5Cright%20%5D+%5Cleft%20%5B%20%5Cfrac%7B2% 7D%7B1+x%7D%20%5Cright%20%5D-1
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 5Cright%20%5D+%5Cleft%20%5B%20%5Cfrac%7B2%7D%7B1-x%7D%20%5Cright%20%5D-1%3Df%28x%29
پس تابعی زوج است.
جواب 2 :
چون تابع فرد است داریم :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] t%20%5D%3D-4%5Crightarrow%20a%5Cleft%20%28%20%5Cleft%20%5B%20-x%20%5Cright%20%5D%20%5Cright%20+%5Cleft%20%5B%20x %20%5Cright%20%5D%29%3D-4
چون x عضو اعداد صحیح نیست ، عبارت داخل پرانتز برابر -1 است.
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[kvhsade]

حل سوال 3- برای آنکه یک تابع چند ضابطه ای یک به یک باشد باید اشترک بردها تهی باشد

بنابراین



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 05%5CRightarrow%205x-2%5Cgeq%203%5CRightarrow%20R_1%3D%5Cleft%20%5B%203 %2C+%5Cinfty%20%29

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ightarrow%20R_2%3D%20%5Cleft%20%28%20-%5Cinfty%20%2C1+a%20%5Cright%20%29

برای یک به یک بودن باید داشته باشیم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

پس داریم:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


لذا مقادیر مجاز برای a :


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[kvhsade]

حل سوال 4- با توجه به حدود x

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] D-%28x-2%29+%28x-5%29%3D-3%5C%5C%5C%5C2%5Cleq%20x%5Cleq%205%5CRightarrow%20 k%28x%29%3D%28x-2%29+%28x-5%29%3D2x-7%5C%5C%5C%5Cx%3E%205%5CRightarrow%20k%28x%29%3D%2 8x-2%29-%28x-5%29%3D3

برد تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است و تابع پوشا نیست همچنین اگر نمودار تابع را رسم کنیم معلوم خواهد شد که این تابع یک به یک هم نیست

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

یادآوری
برای آنکه نمودار یک تابع یک به یک باشد باید هر خط به موازات محور طول ها نمودار را فقط در یک نقطه قطع کند
برای انکه نمودار یک تابع پوشا باشد باید هر خط به موازات محور طول ها نمودار را حداقل در یک نقطه قطع کند

[kvhsade]

1 - ضابطه معکوس تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را بدست آورید

2 - اگر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نمودار معکوس این تابع محور xها را در چه نقطه ای قطع میکند؟

3 - معکوس تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] e%5E%7Barccos%5Csqrt%5B3%5D%7Blnx%7D%7D چیست؟

4 - مقدار [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] چقدر است؟

[kvhsade]

1- یکی از راه های معمول برای بدست آوردن معکوس یک تابع محاسبه x برحسب y است و در آخر جای x و y را عوض میکنیم بنابراین:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %3D1-y%5CRightarrow%202+x%3D1-2y+y%5E%7B2%7D%5C%5C%5C%5C%5CRightarrow%20x%3Dy%5E %7B2%7D-2y-1%5CRightarrow%20f%5E%7B-1%7D%28x%29%3Dx%5E%7B2%7D%20-2x-1
__________________________________________________ ______________________

2- [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 7D%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bx-3%7D%7Bx+2%7D%7D%5CRightarrow%20e%5E%7B2y%7D%3D%5C frac%7Bx-3%7D%7Bx+2%7D%5CRightarrow%20xe%5E%7B2y%7D+2e%5E%7 B2y%7D%3Dx-3%5C%5C%5C%5C%5CRightarrow%20x%3D%5Cfrac%7B3+2e%5E %7B2y%7D%7D%7B1-e%5E%7B2y%7D%7D%5CRightarrow%20f%5E%7B-1%7D%28x%29%3D%5Cfrac%7B3+2e%5E%7B2x%7D%7D%7B1-e%5E%7B2x%7D%7D


جایی که نمودار [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] محور x ها را قطع میکند [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %3D0%5CRightarrow%20e%5E%7B2x%7D%3D-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D

یعنی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] محور xها را قطع نمیکند

راه دیگر : اگر فرض کنیم نمودار [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] محور طول ها را در نقطه ای مانند [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] قطع کند آنگاه نمودار [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باید محور عرض ها را در نقطه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] قطع کند یعنی

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %5Cfrac%7B0-3%7D%7B0+2%7D%7D%3Da%5CRightarrow%20ln%5Csqrt%7B-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%3Da که غیر ممکن است یعنی نمودار [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] اساسا محور طول ها را قطع نمیکند

یادآوری: [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 2Cy%29%5Cin%20f%5CLeftrightarrow%20%28y%2Cx%29%5Ci n%20f%5E%7B-1%7D%7D