الکترومغناطیس ، ولتاژ بار نقطه ای نسبت به مبدا صفر

[baby_1]

سلام
یه سوال خودم مطرح کردم که گویا مشکل اصلیم در رابطه با پتانسیل در این سوال نهفته می شه
فرض کنید بار نقطه ای +Q در نقطه (1,1,0) قرار دارد و پتانسیل مرجع رو نقطه (0و0و0) , صفر در نظر می گیریم اختلاف ولتاژ بین نقطه مبدا و بار نقطه ای چقدر هست؟
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
حالا طبق رابطه زیر خواهیم داشت
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
از جهتی میدان بار نقطه ای برابر است با
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] n%20r%5E2%7D%5Chat%7Bar%7D
و چون راستای پخش به صورت شعاعی در صفحه x,y هست dl رو برابر dr در جهت r فرض می کنیم خواهیم داشت
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] Cpi%20%5Cvarepsilon%20r%5E2%7D%29
و با عدد گذاری خواهد شد
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] Cpi%20%5Cvarepsilon%20r%5E2%7Ddr%29=%5Cfrac%7BQ%7D %7B4%5Cpi%20%5Cvarepsilon%20r%7D%5Cbegin%7Bpmatrix %7D%201%20&%20%5C%5C%200&%20%5Cend%7Bpmatrix%7D
که با مقدار دادن 0 مقدار پتانسیل بی نهایت می شود ؟!!!
مشکل از کجاست؟

[mad86]

اگر يادتون باشه از نگاه رياضيات وقتي يك كسر بي نهايت داشتيد نبايد قفل كنيد بلكه بايد كسر رو از اين حالت خارج كنيد تا پاسخ درست به شما بده
مقدار Q/4 pi رو بعنوان ثابت (باتوجه به اينكه تابع شما نسبت به r هست) بياريد بيرون... در مخرج از عبارت ساده شده r1-r2 بجاي r استفاده كنيد...كه چون شما مرجع رو صفر گرفتيد بجاي r بايد داشته باشيد 1=0-1 خواهد شد و ديگر كسر بي نهايت نميشه

از نگاه فيزيكي هم بايد بدونيد اين معادلات ساده شده روابط ماكسول هستند و براي خيلي جاها كه تناقض يا مشكلاتي برميخوريد بايد به اصل قضيه و حل معادلات برداري و پيچيده رجوع كنيد و روابط دبيرستاني پاسخگو نيستند
وحتي گاهي تو اشل ميكروسكوپيك حتي همين روابط ماكسول نيز به تناقض ميرسند كه برا اون ها هم فيزيك پيشرفته و كوانتوم راهكارهايي ارائه كرده

[baby_1]

سلام و خیلی خیلی ممنونم از راهنماییتون
اما هنوز و شرمنده جواب سوالم رو متوجه نشدم ، الان توضیحات شما مبنی بر این هست که عبارت رو به صورت زیر بنویسم
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](a)=-\int_{0%20}^{1}(\frac{Q}{4\pi%20\varepsilon%20r^2} dr)=\frac{Q}{4\pi%20\varepsilon%20}(\frac{1}{r1}-\frac{1}{r2})
یا
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](a)=-\int_{0%20}^{1}(\frac{Q}{4\pi%20\varepsilon%20r^2} dr)=\frac{Q}{4\pi%20\varepsilon%20({r1}-{r2})}
اکر رابطه اول مد نظر باشد که مجددا با مقدار دهی صفر همان مشکل قبلی رخ می دهد
اگر رابطه دو مد نظر باشد از لحاظ ریاضی تناقض دارد
اگر زحمتی نیست می شه این ابهامم رو رفع کنید؟

[mad86]

در فيزيك هر جور ابهام رو بايد يك جوري يا با استدلال فيزيكي يا روش هاي رياضي از شرش خلاص شيد...

در اصل روش شما تو اين برخورد نقطه اي به يك فرايند برداري اشتباهه...
مثلا اون بالا فرمول اصلي كه نوشتيد :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اين انتگرال و مابقي انتگرال ها معين نيستند...برداري هستند و انتگرال نسبت به مسير L عمل ميكنه ، و مرجع رو زماني صفر ميگيريم كه كمك كنه نه كه ابهام رو بيشتر كنه...اختلاف پتانسيل تابع فاصله دونقطه از هم است نه مكان خود دونقطه...
شما رابطه كه بدست آورديد و از انتگرال خارج كردي...بجاي r از عبارت r1-r2‌ يعني فاصله دو نقطه و مسير انتگرال استفاده كن....

يك نگاه فيزيكي هم هميشه بايد داشت ، مثلا شما ميخوايد اختلاف پتانسيل بين دو پتانسيل رو اندازگيري كنيد نه پتانسيل نقطه اي يك بار بنام Q رو...شما وقتي يك نقطه رو صفر ميكنيد مثل اين كه فقط شما پتانسيل نقطه اي بار Q رو نسبت به بار آزمون در نقطه 0 اندازگيري كرديد...يعني عملا مفهوم ولتاژ تعريفش اثر گذاري دو دسته بار بر روي همند نه صرفا اثر گذاري يك بار خاص نسبت به يك نقطه بار آزمون در نقاط ديگر...كه مفهوم ولتاژ كه ما ميشناسيم رو ايجاد ميكنند...

بهرحال بطور خلاصه :
يا اينكه برداري عمل كنيد و بجاي r‌ در انتها (مثل زماني كه انتگرال برداري مييگريد ) مقدار مسير r كه تو اينجا r1-r2 است قرار بديد (كه در اينجا 1-0=1 )
يا از همون اول با توجه به اينكه اختلاف پتانسيل ، تابع خود نقطه پتانسيل از نظر مكاني نيست بلكه فاصله دونقطه است ، مرجع و محور مختصات كه فرض كرديد در مكان و زماني بزاريد كه كمكتون كنه نه كه بدتر كنه اوضاع رو ويا ابهام ايجاد كنه...يك شيفت بديد نقاط رو مثلا بار Qa رو روي نقطه 1 و بار Qb رو روي نقطه r قرار بديد تا كسر نهايي مبهم نباشه براتون و بر اساس تعريف اختلاف پتانسيل هم هيچ اشكالي رو پاسختون ايجاد نميكنه، چون ولتاژ تابع اختلاف مكاني دونقطه است نه خود مكان مرجع فرضيتون ، و در عالم واقع ما نقطه اي با مكان 0 نداريم بلكه اين نقطه فرضي از بردار مرجعي است كه ما قرارداد ميكنيم...


البته شما بهتره با يك نفر از بچه هاي فيزيك نظري مشكلاتتون رو درميون بزاريد تا پاسخ قانع كننده تري بدن...ولي دركل بهتره وقت رو بجاي اينجور ابهام ها نقطه اي ، رو مسير هاي پيچيده و واقعي تر بزاريد...مثلا ولتاژ رو سطوح مختلف با اشكال مختلف (نوك تيز و...) چطور رفتار ميكنند و با قرار دادن بردار سطح بجاي L خطي و فرضي و يا در خازن ها و....

[Kesel]

baby_1 ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) عزیز ؛

مگه این فرمول میدان ناشی از یک بار نقطه ای نیست ؟ :

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1}{4\pi&space;\varepsilon&space;_{0}}\frac{q }{r^{2}}

مگه میدان روی بار نقطه ای بینهایت نیست ؟ ( در عبارت بالا ، r رو به صفر میل بدید )

مگه اگه در فرمول زیر سمت راست بینهایت باشه سمت چپ بینهایت نمی شه ؟ :

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{f}-V_{i}=-\int_{i}^{f}\overrightarrow{E}.d\overrightarrow{s}

پس بینهایتی که شما به دست آوردید هیچ جای تعجبی نداره و درسته . اختلاف پتانسیل بین بار نقطه ای و مبدا بینهایته .

اگه یادتون باشه برای پیدا کردن پتانسیل ناشی از بار نقطه ای می یومدیم می گفتیم پتانسیل در بینهایت صفره . بعد باز آزمون رو از فاصله ی R تا بینهایت حرکت می دادیم که فرمول معروف زیر به دست می یومد :

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1}{4\pi&space;\varepsilon&space;_{0}}\frac{q }{r}

که کتاب هالیدی بعد از اثبات این فرمول می گه که در فواصل بسیار نزدیک به بار نقطه ای ، پتانسیل به شدت بزرگ می شه به طوری که اگر پتانسیل رو بر روی ذره بخوایم حساب کنیم ، پتانسیل بینهایت خواهد شد و نمودارشم کشیده که در صفر نمودار به سمت بینهایت میل می کرد.

موفق باشید

[hermione]

مرجع پتانسیل در فاصله بی نهایت تعریف می کنن .

بله اینجوری اختلاف پتانسیل بی نهایت میشه .

[Kesel]

نه دیگه مرجعو مبدا انتحاب کردن که .
اگه منظورتون فرمول زیره :

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1}{4\pi&space;\varepsilon&space;_{0}}\frac{q }{r}

این ربطی به سوال ایشون نداره.من صرفا اینو نوشتم که بگم بینهایت شدن اختلاف پتانسیل چیز عجیب غریبی نیست.چون به نظر می رسید ایشون تعجب کردن از این که اختلاف پتانسیل بینهایت شده.

ضمن این که اختلاف پتانسیل ربطی به انتحاب مرجع نداره و همواره مقدار ثابتیه . اگر ما مرجع انتخاب می کنیم به این دلیله که می خوایم پتانسیل الکتریکی یک نقطه رو حساب کنیم و چون پتانسیل نسبیه واسه همینه که مرجع انتخاب می کنیم.مرجعو هر جای دیگه انتخاب کنیم اختلاف پتانسیل همین می شه.

[mad86]

حرفاتون درست ، اما دوست عزيز مگر ميشه شما دو بار محدود و معين در فاصله محدود و معين ( در اينجا فاصله 1 است ) قرار داده باشيد و اختلاف پتانسيل بي نهايت باشه ؟!؟
از دو منبع محدود ،اون هم در فاصله اي محدود ،كه نمي تونيد يك انرژي بي نهايت رو استخراج كنيد؟ برخلاف قانون بقاي انرژي ست...
اينجوري بود كه ما اين همه مشكل با باتري ها موبايل يا ادوات ديگر و...نداشتيم ، راحت الكترودهاي ي باتري رو نزديك هم ميزاشتيم و يك ولتاژ بي نهايت بدست ميومد!

بله درست گفتيد اختلاف پتانسيل تابعي از مكان مرجع شما نيست و تابع فاصله بين دو پتانسيل است ، در واقع طبق قانون ماكسول انتگرال برداري بسته، حوله مسير r است ، اين دوستمونم باگي كه برخوردند همينجا بود كه با قرار دادن فاصله دراينجا 1 بجاي نقطه گذاري و... همونطور هم كه انتظار داريم به مقدار محدودي از اختلاف پتانسيل خواهند رسيد(نه بي نهايت)


بعضي از مطالب فيزيك كلاسيك و الكترومغناطيس به جاهايي ميرسند كه با بي نهايت شدن يا بي معنا شدن و...قادر به پاسخگويي و توصيف آنچه كه در طبيعت رخ ميدهد نيستند ، اين به معني اشتباه بودن اون رابطه نيست بلكه غيركامل بودن اون روابط است، برا همين علومي مثل فيزيك مدرن و كوانتوم و..ايجاد شده تا بعضي پديده ها رو بهتر توصيف كند ، مثلا در همين مورد كه اشاره كرديد وقتي دو پتانسيل غير هم سطح رو از يك فاصله خاصي نزديكتر كنيد ، پديده هايي مثل تونل زني كوانتومي - آرك و......رخ ميدهد كه باعث هم پتانسيل شدن دونقطه و بالطبع صفر شدن اختلاف پتانسيل مي شوند نه بي نهايت شدن

[Kesel]

ممنون از توجهتون.

بله استفاده از کلمه ی بینهایت در بحثای نظری مطرحه فقط.اونم به خاطر سه فرض ایده آل زیر :

1. بار نقطه ای وجود خارجی دارد.
2. می تونیم ذره ای رو اونقدر به بار نقطه ای نزدیک کنیم که تقریبا بر ذره منطبق بشه.
3. ذره ی Q ( به شکل پست اول نگاه کنید ) تحث اثر هیچ نیرویی تکون نمی خوره و کاملا ثابته.

که هیچکدوم از این فرض ها در واقعیت ممکن نیست. چون :

اولا : از لحاظ ریاضی ، نقطه ابعاد نداره اما بار ابعاد داره . بنابراین نمی تونیم بار رو توی یک نقطه جا کنیم .
ثانیا : امکان نداره که دو تا ذره ی دارای ابعاد آن چنان به هم نزدیک کنیم که تقریبا با هم منطبق بشن فارغ از این که این دو ذره رو صلب یا غیر صلب درنظر بگیریم.
ثالثا : طبق قانون سوم نیوتون اگر نیروی الکتریکی ذره ی Q بر ذره ای بسیار نزدیک بهش وارد بشه ، عکس العمل این نیرو تمایل به جا به جایی برای ذره ی Q به وجود می یاره و نیرویی وجود نداره که Q رو ثابت نگه داره و در نتیجه اندازه ی میدان در نقاط دستگاه عوض نشه.اندازه ی نیرویی که قراره Q رو فیکس نگه داره باید هم اندازه ی نیروی بین این دو باشه.و در فاصله های به شدت نزدیک صفر این نیرو اونقدر بزرگه که کسی نمی تونه به وجود بیارتش.

این سه فرض با این که هر سه محالن اما در فیزیک کلاسیک مخصوصا توی علم مهندسی برق کارایی زیادی دارن و تقریب هایی که ما توی علوم مهندسی نیاز داریم به شدت ضعیف تر از وارد شدن خطای اندک ناشی از این فرض هاست. لذا جای تعجبی نداره اگه فیزیک ذرات بنیادی و فیزیک نوین با استفاده از این فرض ها در محاسباتی با مقیاس خیلی کوچیک دچار تناقض می شه.

از لحاظ ریاضی که تو پست اولم عرض کردم . اما از لحاظ فیزیکی شما وقتی ذره ای رو بسیار بسیار بسیار نزدیک می کنید به نقطه ای که بار Q توشه ( توجه کنید که توی محاسبه ی پتانسیل وجود بار برای ما هیچ اهمیتی نداره بلکه وجود میدانش مهمه.لذا اگه شما بار رو بردارید اما میدانش باشه (به هر طریق دیگه ای ایجادش کنید) نتیجه ای که می گیریم تفاوتی نمی کنه ) ، طبق قانون کولن به این ذره نیروی الکتریکی فـــــــــــوق العاده زیادی وارد می شه و دفعتا به سوی مبدا مختصات پرتاب می شه. این نیرو اونقدر زیاد هست که هر نقطه ی دیگه ای رو مرجع انتخاب کنید ، با شتابی به شدت زیاد به سمتش پرتاب می شه. واسه همینه که وقتی می گیم اختلاف پتانسیل با هر مرجعی بینهایته منظور اینه که خیلی زیاده نه این که متناهی نیست.

تو اون ابعاد اگه بخوایم نیرو رو زیاد کنیم فاصله رو باید وحشتناک کم کنیم . مثلا اگه بخوایم نیرویی که یک بار نقطه ای بر یک بار نقطه ای دیگه رو مساوی نگه داشتن یک وزنه ی 2.3 گرمی در دستمون در نظر بگیریم ( نیروی خیلی زیاد و بسیار بسیار بسیار زیاد و بینهایت پیشکش ! ) و بخوایم ببینیم فاصله ی این دو تا بار چقدره ، داریم :


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1}{4\pi&space;\varepsilon&space;_{0}}\frac{q _{1}q_{2}}{r^{2}}\Rightarrow&space;0.023=\frac{1}{4\pi&space;\ times&space;8.85\times&space;10^{-12}}\frac{1.6\times&space;10^{-19}\times&space;1.6\times&space;10^{-19}}{r^{2}}\Rightarrow&space;r\cong&space;0.0000000000001\;&space;\; &space;m


که می بینید در همون حد ابعاد اتم و پیکومتره و توی مهندسی چیزی شبیه شوخی . حالا بیاین فرض کنین این نیروی ناچیزو بخوایم به شدت بزرگ کنیم ، فاصله اونقدر کوچیک می شه که به قول شما پدیده های کوانتومی رخ می دن.

به ابن علته که اختلاف پتانسیل های خیلی خیلی زیاد تو مهندسی معنی ندارن ، اما از نظر نظری وقتی یه ذره ای رو به شدت نزدیک Q می کنیم به شدت به جهات مختلف شارش یا در واقع حرکت می کنه. بازم می گم این با این فرضه که پدیده های کوانتومی اتفاق نیفتن که نمی شه تو اون فاصله ی فوق العاده کم اتفاق نیفتن. و از حیطه ی علم مهندسی برق خارجه و وارد بحث ذرات بنیادی می شه.

موفق باشید