اثبات گنگ بودن رادیکال 3

[alirezanas]

یا عرض سلام خدمت ریاضیدانان

اگه میشه اثبات کنید رادیکال سه عددی گنگ است

[*M!L4D*]

سلام
برهان خلف :
فرض میکنیم رادیکال 3 عددی گویاست و به فرم :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{3%20}%20=%20\frac{a}{b}
قابل نمایش هست . که a و b اعدادی صحیح و نسبت به هم اول هستند . طرفین رو به توان میرسونیم . نتیجه میشه :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^2%20=%203b^2
با توجه به صحیح بودن a و b نتیجه میگیریم که a مضرب 3 هست . یعنی a=3k
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^2%20=%203b^2%20\rightarrow%20b^2=3k^2 \rightarrow%20b=3n
پس b هم مضرب 3 هست و یعنی ب.م.م a و b حداقل 3 هست که نسبت به هم اول نیستند و فرض خلف باطل و رادیکال 3 گنگ است .