روش بدست آوردن نزدیکترین نقطه در فضا چیست؟

[bm24]

سلام
من یه سوال از دوستان متبحر در ریاضیات داشتم. اگر معادله یک پوسته در فضا و نیز مختصات یک نقطه ای خارج از این پوسته را داشته باشیم؛ چگونه می توانیم نقطه ای روی پوسته که نزدیکترین فاصله به آن نقطه خارج از پوسته را دارد پیدا کرد. لطفا در این خصوص بنده را راهنمایی کنید(جسارتاً با ذکر فرمول). تشکر.

[davy jones]

سلام
من یه سوال از دوستان متبحر در ریاضیات داشتم. اگر معادله یک پوسته در فضا و نیز مختصات یک نقطه ای خارج از این پوسته را داشته باشیم؛ چگونه می توانیم نقطه ای روی پوسته که نزدیکترین فاصله به آن نقطه خارج از پوسته را دارد پیدا کرد. لطفا در این خصوص بنده را راهنمایی کنید(جسارتاً با ذکر فرمول). تشکر.
سلام.
خطی که نقطه ی داده شده رو به نقطه ای از صفحه که نزدیکترین فاصله رو با نقطه ی اول داره، وصل میکنه، مطمئنا بر پوسته عموده. بنابراین، بردار هادی چنین خطی برابر با گرادیان پوسته در نقطه ی مذکور هستش. بنابراین برای پیدا کردن نقطه ی مورد نظر، ابتدا نقطه ی پای عمود رو به صورت پارامتری در نظر گرفته و معادله ی خط گذرنده از این نقطه ی پارامتری و نقطه ی بیرون از پوسته رو مینویسیم. سپس از پوسته گرادیان میگیریم و اون رو برابر با بردار هادی خط قرار میدیم و به یک سه معادله و سه مجهول میرسیم که با حلش مختصات نقطه ی پارامتری پای عمود بدست میآد.

برای درک بهتر خودتون یه مثال بزنین تا با هم حلش کنیم.

موفق باشین.
0/9/8

[bm24]

تشکر از راهنمایی شما. متاسفانه من معادله پوسته رو ندارم. پوسته هم یک مخروطه که راسش و زاویه مولدش محور x (مخروط حاصل دوران حول محور x هستش) معلومه. هر چی گشتم نتونستم روش بدست آوردن معادله این پوسته رو پیدا کنم. ممکنه این مساله رو حلش کنید؟
باز هم سپاسگزارم.

[davy jones]

تشکر از راهنمایی شما. متاسفانه من معادله پوسته رو ندارم. پوسته هم یک مخروطه که راسش و زاویه مولدش محور x (مخروط حاصل دوران حول محور x هستش) معلومه. هر چی گشتم نتونستم روش بدست آوردن معادله این پوسته رو پیدا کنم. ممکنه این مساله رو حلش کنید؟
باز هم سپاسگزارم.
زاویه ی مولد چند درجه است؟ همچنین نقطه ی داده شده خارج از پوسته مختصاتش چیه؟

[bm24]

زاویه ی مولد چند درجه است؟ همچنین نقطه ی داده شده خارج از پوسته مختصاتش چیه؟
در این حالت که من دارم حل میکنم 5 درجه هست (10/2). مختصات نقطه هم فعلاً معلوم نیست. مختصات رأس هم متناسب با زاویه مولد تغییر میکنه. اما چون این مساله رو باید برای حالتهای زیادی هم از نظر زاویه و هم از نظر نقطه خارج پوسته حل کنم، اگه ممکنه بصورت عمومی حلش کنید که بعداً فقط مقدار دهی بکنم و معادلاتش حل بشه. یعنی زاویه مولد Alpha و نقطه رأس (x0,y0,z0) و نقطه خارجی (xn,yn,zn). امیدوارم بشه حلش کرد.

[davy jones]

در این حالت که من دارم حل میکنم 5 درجه هست (10/2). مختصات نقطه هم فعلاً معلوم نیست. مختصات رأس هم متناسب با زاویه مولد تغییر میکنه. اما چون این مساله رو باید برای حالتهای زیادی هم از نظر زاویه و هم از نظر نقطه خارج پوسته حل کنم، اگه ممکنه بصورت عمومی حلش کنید که بعداً فقط مقدار دهی بکنم و معادلاتش حل بشه. یعنی زاویه مولد Alpha و نقطه رأس (x0,y0,z0) و نقطه خارجی (xn,yn,zn). امیدوارم بشه حلش کرد.
خب. مجددا بعد از تاخیر کوتاهی ... سلام:20:

معادله ی پوسته ی مخروطی که راس اون نقطه ی (x0,y0,z0)و زاویه ی مولد اون آلفا باشه و روی محور x ها هم امتداد داشته باشه برابره با:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] Cfrac%7B%5Calpha&space;%7D%7B2%7D%29%7D=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7B2%7D%5CRightarrow&space;%7B%5Ccolor%7B DarkGreen%7D&space;f%28x,y,z%29=-%5Ctan&space;%5E%7B2%7D%28%5Cfrac%7B%5Calpha&space;%7D%7B2%7D% 29%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7B2%7D+%28y-y_%7B0%7D%29%5E%7B2%7D+%28z-z_%7B0%7D%29%5E%7B2%7D=0%7D


اینکه معادله مخروط از کجا اومد رو اگه نمیدونین توصیه میکنم برای مطالعه ی بیشتر به آدرس زیر مراجعه کنین:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

فرض میکنیم علاوه بر داده هایی که اشاره کردین، نقطه ی مد نظر ما روی پوسته ی مخروطی دارای مختصات پارامتری (xm,ym,zm) باشه.

بنابراین بردار هادی خطی که نقطه ی بیرون از مخروط رو به این نقطه ی پارامتری متصل میکنه برابره با:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


که این بردار همونطور که قبلا هم اشاره کردم باید برابر با گرادیان پوسته در نقطه ی مورد نظر باشه، چرا که نزدیکترین نقطه قطعا پای عمود بر پوسته از نقطه بیرون مخروط هستش. بنابراین از پوسته گرادیان میگیرم:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ac%7B%5Cpartial&space;f%7D%7B%5Cpartial&space;x%7D,%5Cfrac%7B% 5Cpartial&space;f%7D%7B%5Cpartial&space;y%7D,%5Cfrac%7B%5Cpart ial&space;f%7D%7B%5Cpartial&space;z%7D%29=%28-2x%5Ctan&space;%5E%7B2%7D%28%5Cfrac%7B%5Calpha&space;%7D%7B2%7 D%29%28x-x_%7B0%7D%29,2y%28y-y_%7B0%7D%29,2z%28z-z_%7B0%7D%29%29


که در اینجا میتونیم یه 2 هم از کل بردار ساده تر کنیم:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %29%28x-x_%7B0%7D%29,y%28y-y_%7B0%7D%29,z%28z-z_%7B0%7D%29%29


در نتیجه با جایگذاری نقطه ی پارامتری در گرادیان و معادل قرار دادن اون با d خواهیم داشت:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] y_%7Bm%7D,z_%7Bm%7D%29%7D%5Cequiv&space;d%5CRightarrow&space;% 28-x_%7Bm%7D%5Ctan&space;%5E%7B2%7D%28%5Cfrac%7B%5Calpha&space;%7 D%7B2%7D%29%28x_%7Bm%7D-x_%7B0%7D%29,y_%7Bm%7D%28y_%7Bm%7D-y_%7B0%7D%29,z_%7Bm%7D%28z_%7Bm%7D-z_%7B0%7D%29%29%5Cequiv&space;%28%28x_%7Bm%7D-x_%7Bn%7D%29,%28y_%7Bm%7D-y_%7Bn%7D%29,%28z_%7Bm%7D-z_%7Bn%7D%29%29

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D&space;-x_%7Bm%7D%5Ctan&space;%5E%7B2%7D%28%5Cfrac%7B%5Calpha&space;%7 D%7B2%7D%29%28x_%7Bm%7D-x_%7B0%7D%29=x_%7Bm%7D-x_%7Bn%7D%5C%5C&space;y_%7Bm%7D%28y_%7Bm%7D-y_%7B0%7D%29=y_%7Bm%7D-y_%7Bn%7D%5C%5C&space;z_%7Bm%7D%28z_%7Bm%7D-z_%7B0%7D%29=z_%7Bm%7D-z_%7Bn%7D&space;%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D&space;%5Ctan&space;%5E%7B2%7D %28%5Cfrac%7B%5Calpha&space;%7D%7B2%7D%29.%7B%5Ccolor%7B Magenta%7D&space;x_%7Bm%7D%5E%7B2%7D%7D+%281-x_%7B0%7D.%5Ctan&space;%5E%7B2%7D%28%5Cfrac%7B%5Calpha&space;% 7D%7B2%7D%29%29%7B%5Ccolor%7BMagenta%7D&space;x_%7Bm%7D% 7D-x_%7Bn%7D=0%5C%5C&space;y_%7Bm%7D%5E%7B2%7D-%281+y_%7B0%7D%29y_%7Bm%7D+y_%7Bn%7D=0%5C%5C&space;z_%7B m%7D%5E%7B2%7D-%281+z_%7B0%7D%29z_%7Bm%7D+z_%7Bn%7D=0&space;%5Cend%7Bma trix%7D%5Cright.

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D&space;x_%7Bm%7D=%5Cfrac %7B%28x_%7B0%7D.%5Ctan&space;%5E%7B2%7D%28%5Cfrac%7B%5Ca lpha&space;%7D%7B2%7D%29-1%29%5Cpm&space;%5Csqrt%7B[%281-x_%7B0%7D.%5Ctan&space;%5E%7B2%7D%28%5Cfrac%7B%5Calpha&space;% 7D%7B2%7D%29%29]%5E%7B2%7D+4%5Ctan&space;%5E%7B2%7D%28%5Cfrac%7B%5Calpha &space;%7D%7B2%7D%29.x_%7Bn%7D%7D%7D%7B2%5Ctan&space;%5E%7B2%7 D%28%5Cfrac%7B%5Calpha&space;%7D%7B2%7D%29%7D%5C%5C&space;y_%7 Bm%7D=%5Cfrac%7B1+y_%7B0%7D%5Cpm&space;%5Csqrt%7B%281+y_ %7B0%7D%29%5E%7B2%7D-4y_%7Bn%7D%7D%7D%7B2%7D%5C%5C&space;z_%7Bm%7D=%5Cfrac%7B 1+z_%7B0%7D%5Cpm&space;%5Csqrt%7B%281+z_%7B0%7D%29%5E%7B 2%7D-4z_%7Bn%7D%7D%7D%7B2%7D&space;%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright .


البته مسلما برای (xm,ym,zm) یکی از جوابها قابل قبول نخواهد بود. راه فهمیدن جواب قابل قبول هم اینه که از بین این دو سری جواب اونی قابل قبوله که اگه تو فرمول طول خط واصل بین دو نقطه جایگذاری کنیم مقدار کمتری بهمون میده. (فکر کنم مثبتهاش غیر قابل قبول باشند و منفیها طول کمتری میدن. راستش دیگه حوصله ی حساب کردن اینو ندارم:31:)



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




و در آخر هم این نکته رو یادآوری کنم که این سوال رو ما در کلی ترین شرایط حل کردیم. اما اگه طبق گفته ی شما مخروط همواره راس اون روی محور x باشه و مخروط حاصل از دوران حول محور xها باشه اونوقت یعنی y0=z0=0. و این یعنی در محاسبات بسیار کارمون راحت تره :46:


موفق باشین.
90/9/9

[bm24]

سلام
کاش ما را هم به کشتی آن مرد هلندی راه بود تا حضورا مراتب ارادت خود را نسبت به ابر ناظر بازنشسته ابراز داریم. سپاس:40::11:
فقط یک سوالی که هست اینه که ما مساله رو در مختصات سه بعدی حل می کنیم. اما اگرکه رأس مخروط را در (x0,y0,z0) روی محور x بگیریم، همانطور که اشاره فرمودید، y0=z0=0 خواهد بود. نقطه خارج از پوسته هم در مسأله من در فضای مثبت اتفاق می افتد و هیچ بعدی از آن منفی نخواهد بود. با این حساب احتمالاً ym,zm به صورت مختلط می شوند که از نظر فیزیکی قابل قبول نیست. چون ما نزدیکترین نقطه در فضای حقیقی را میخواهیم. ممکنه در مورد صحت این استنباط من هم توضیحی بفرمایید.
تشکر

[davy jones]

سلام
کاش ما را هم به کشتی آن مرد هلندی راه بود تا حضورا مراتب ارادت خود را نسبت به ابر ناظر بازنشسته ابراز داریم. سپاس:40::11:
فقط یک سوالی که هست اینه که ما مساله رو در مختصات سه بعدی حل می کنیم. اما اگرکه رأس مخروط را در (x0,y0,z0) روی محور x بگیریم، همانطور که اشاره فرمودید، y0=z0=0 خواهد بود. نقطه خارج از پوسته هم در مسأله من در فضای مثبت اتفاق می افتد و هیچ بعدی از آن منفی نخواهد بود. با این حساب احتمالاً ym,zm به صورت مختلط می شوند که از نظر فیزیکی قابل قبول نیست. چون ما نزدیکترین نقطه در فضای حقیقی را میخواهیم. ممکنه در مورد صحت این استنباط من هم توضیحی بفرمایید.
تشکر
سلام.
استنباطتون درسته. در حقیقت اگه ym و zm مختلط از آب در بیاد ، احتمالا این بدان معناست که نقطه ی اولیه که در صورت مساله داده شده بود، درون پوسته قرار داره و نه بیرون از اون.

موفق باشین.
90/9/9

[bm24]

سلام.
استنباطتون درسته. در حقیقت اگه ym و zm مختلط از آب در بیاد ، احتمالا این بدان معناست که نقطه ی اولیه که در صورت مساله داده شده بود، درون پوسته قرار داره و نه بیرون از اون.

موفق باشین.
90/9/9
دقیقا متوجه منظورتان نشدم.:9: به نظر میرسه که اگر رأس بر محور x منطبق و مقادیر yn یا zn از 0.25 بیشتر باشه، مقدار ym یا zm مختلط میشه که فکر کنم این در هر جایی میتونه اتفاق بیوفته(داخل، منطبق یا خارج). پس اشکال کار کجاست؟

[davy jones]

دقیقا متوجه منظورتان نشدم.:9: به نظر میرسه که اگر رأس بر محور x منطبق و مقادیر yn یا zn از 0.25 بیشتر باشه، مقدار ym یا zm مختلط میشه که فکر کنم این در هر جایی میتونه اتفاق بیوفته(داخل، منطبق یا خارج). پس اشکال کار کجاست؟
والا چه عرض کنم؟:31:
خودم هم الان متوجه اشکال کار شدم.
شاید تو محاسبات اشتباه کردیم. اما بعید میدونم.:13:
باید دوباره بررسی کنم.
شما هم روش حل رو مجددا یه نگاهی بندازین شاید توش اشتباهی بود.:20:

[lebesgue]

راه حل ساده تری هم هست. فرض کنید P نقطه ای دلخواه در فضا باشد. نقطه ای روی مخروط که کمترین فاصله را با P دارد H و این فاصله را h می نامیم. به سادگی میتوان نشان داد که نقطه H روی صفحه گذرنده از محور مخروط و نقطه P، قرار دارد. در نتیجه، مساله ی یافتن کمترین فاصله P از مخروط، تبدیل می شود به مساله ی یافتن کمترین فاصله P از دو خط متقاطع در یک صفحه (تقاطع صفحه مذکور با مخروط).
حال با استفاده از کمی مثلثات، میتوان عبارت زیر را برای h بدست آورد. متاسفانه الان امکان رسم شکل ندارم.


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{120}%20h=%5Cleft%20|s% 5Ccos%5Cfrac{%5Ctheta}{2}-%5Csqrt{l^2-s^2}%5Csin%5Cfrac{%5Ctheta}{2}%20%5Cright%20|
s: فاصله P تا محور مخروط
l: فاصله P تا راس مخروط
θ: زاویه خروج مخروط

[bm24]

والا چه عرض کنم؟:31:
خودم هم الان متوجه اشکال کار شدم.
شاید تو محاسبات اشتباه کردیم. اما بعید میدونم.:13:
باید دوباره بررسی کنم.
شما هم روش حل رو مجددا یه نگاهی بندازین شاید توش اشتباهی بود.:20:

فکر کنم که در گرفتن گرادیان یه اشتباهی رخ داده. در هر عبارت یک متغیر اضافه لحاظ شده است.:10:

[bm24]

راه حل ساده تری هم هست. فرض کنید P نقطه ای دلخواه در فضا باشد. نقطه ای روی مخروط که کمترین فاصله را با P دارد H و این فاصله را h می نامیم. به سادگی میتوان نشان داد که نقطه H روی صفحه گذرنده از محور مخروط و نقطه P، قرار دارد. در نتیجه، مساله ی یافتن کمترین فاصله P از مخروط، تبدیل می شود به مساله ی یافتن کمترین فاصله P از دو خط متقاطع در یک صفحه (تقاطع صفحه مذکور با مخروط).
حال با استفاده از کمی مثلثات، میتوان عبارت زیر را برای h بدست آورد. متاسفانه الان امکان رسم شکل ندارم.


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 0%7Cs%5Ccos%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7Bl%5E2-s%5E2%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%5Cri ght%20%7C
s: فاصله P تا محور مخروط
l: فاصله P تا راس مخروط
θ: زاویه خروج مخروط
ممنون، حالا چطوری میشه مختصات نقطه H رو بدست آورد؟ هدف اصلی بدست آوردن مختصات اون نقطه روی پوسته مخروط است (که به نوعی تصویر نقطه بر پوسته!).

[lebesgue]

ممنون، حالا چطوری میشه مختصات نقطه H رو بدست آورد؟ هدف اصلی بدست آوردن مختصات اون نقطه روی پوسته مخروط است (که به نوعی تصویر نقطه بر پوسته!).

خب دستگاه مختصات کروی (r, φ, θ) برای همین مواقع هست!
فرض کنید محور مخروط روی محور z بوده و راس آن در مبدا می باشد. (با دوران و انتقال محورهای مختصات، می توان چنین حالتی را برای هر مخروطی ایجاد کرد.) همچنین فرض کنید که مختصات نقطه P در دستگاه مختصات کروی به صورت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{100}%20(r_0,%5Cvarphi_ 0,%5Ctheta_0) باشد. مختصات نقطه H هم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{100}%20(r_1,%5Cvarphi_ 1,%5Ctheta_1) مجهول است. از روی معادله مخروط (در دستگاه مختصات کروی) نتیجه می شود که [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{100}%20%5Ctheta_1=%5Ca lpha/2. (آلفا زاویه مولد است.) همچنین بنا به آنچه در پست قبل گفته شد، [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{100}%20%5Cvarphi_1=%5C varphi_0. حال تنها می ماند [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{100}%20r_1 که آن را میتوان بر حسب h که در پست قبل بدست آمد، محاسبه کرد:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{100}%20r_1=%5Csqrt{l^2-h^2}

اکنون اگر بخواهید میتوانید با تبدیل مختصات کروی به کارتزین، مختصات نقطه H در دستگاه کارتزین [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{100}%20(x_1,y_1,z_1) را بدست آورید:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{100}%20%5C%5Cx_1=r_1%5 Ccos%5Cvarphi_1%5Csin%5Ctheta_1%5C%5Cy_1=r_1%5Csin %5Cvarphi_1%5Csin%5Ctheta_1%5C%5Cz_1=r_1%5Ccos%5Ct heta_1

حال تنها لازم است که اگر انتقال یا دورانی در دستگاه مختصات اعمال کرده اید، مختصات نقطه H را در دستگاه اصلی پیدا کنید.