مشاهده نسخه کامل
: مرتضی nvcd
14-04-2008, 02:38
کیهان شناسی همواره یک منبع الهام بخش برای علم بوده است . احتمالا بسیاری از حرکت های انقلابی در علم از ستاره شناسی شروع شده است .
آشنایی :
کیهان شناسی همواره یک منبع الهام بخش برای علم بوده است . احتمالا بسیاری از حرکت های انقلابی در علم از ستاره شناسی شروع شده است . تمدن های قدیم نیز به قوانینی که بر حرکت اجرام آسمانی حکومت می کند پی برده بودند و می دانستند که این کائنات به خودی خود و بدون ترتیب جابجا نمی شوند . تئوری وجود نیرو به بطلیموس بر می گردد او اینطور تصور می کرد تمامی اجرام در آسمان به دور زمین می چرخند و حرکت آنها یک حرکت دوار است . بعضی از ستارگان ( که بعدها معلوم گشت آنها سیاره بوده اند ) حرکاتی نامنظم داشتند و به پارامتر های زیادی جهت تبیین حرکت آنها نیاز بود . این تئوری تخمین های تقریبا دقیقی به دست می داد اما بدست آوردن یک پارامتر آن کاری سخت و طاقت فرسا بود .
با استفاده از اطلاعات جمع آوری شده توسط تیکو براهه 3 قانون زیر را نوشت Johanns Keplerدر قرن 17
1 : هر سیاره در مداری بیضی به دور خورشید که در یکی از کانون های بیضی قرار دارد می چرخد .
2 : شعاع اتصال یا خط واصل خورشید و سیاره مساحت های مساوی را در زمان های مساوی طی
می کند
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]یا به صورت ریاضی :
3 : مربع دوره ی تناوب مداری سیاره متناسب است با مکعب نصف قطر بزرگ مدار
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] یا [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]یا به صورت ریاضی :
و یکی نصف قطر بزرگ بیضیeبرای هر سیاره ما به 2 پارامتر بیشتر نیاز نداریم : یکی دوری از مرکز یا
سپس حرکت توسط این 3 قانون توصیف می شود برای مثال قانون دوم سرعت زاویه ای را در هر نقطه از مدار به ما می دهد و می توان دریافت که هر چه سیاره به خورشید بیشتر نزدیک می شود سرعت آن افزایش می یابد و در نهایت قانون سوم سرعت خطی سیاره را به ما می دهد .
قوانین حرکت و Philosophiae Naturalis Principia Mathematicaدر سال 1687 نیوتن در شاهکار خود
گرانش خود را برای بدست آوردن قوانین 3 گانه ی کپلر به کار برد جالب است بدانید این قوانین به هر جسمی که تحت تاثیر نیروی گرانش دور چیزی می چرخد می توان اعمال کرد .
برای اثبات قانون اول نیوتن می بایست ابتدا معادله ی بیضی را در دستگاه مختصات قطبی داشته باشیم
پس باید معادله ی بیضی در دستگاه دکارتی را داشته باشیم .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
همان نصف قطر بزرگ بیضی است اثبات رابطه ی بالا :a
ها بسته شده است بوجود می آورند پس طول نخ Fمی دانیم که بیضی را توسط یک نخ که 2 سر آن به
قرار می دهیم و بیضی را می کشیم هنگامی که نوک pمی باشد نوک مداد را در [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]برابر با
می شود .2a ها را قطع کرد اندازه ی آن xمداد محور
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
فاصله ی یکی از کانون ها تا مرکز بیضی است .c
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
2 طرف را به توان 2 می رسانیم .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
که به صورت زیر ساده می شود .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
2 طرف را به توان 2 می رسانیم .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را با عبارت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] از 2 طرف حذف می شود جای عبارت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را در پرانتز اثر می دهیم عبارت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
فاکتور می گیریم .[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و در سمت چپ از [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]تعویض می کنیم در راست از
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
همان نصف قطر کوچک بیضی است بوسیلهb و می دانیم که [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]برای راحتی فرض می کنیم
قضیه ی فیثاغورس رابطه ی بالا به سادگی بدست می آید . با جایگذاری داریم .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
تقسیم می کنیم . [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] طرف را بر
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
رابطه ی بالا معادله ی بیضی در دستگاه مختصات دکارتی است .
حال می خواهیم معادله ی بیضی را در دستگاه مختصات قطبی پیدا کنیم .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اینگونه است .e را برون مرکزی بیضی می نامند و با رابطه ی بالا می شناسند . در مختصات قطبی e
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
در جریان محاسبه می بینیم که این رابطه درست است . پس داریم .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]می دانیم که
2 طرف را مربع می کنیم عبارات بالا را جایگزین می کنیم .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
فاکتور [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را به سمت چپ می بریم و از [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را در پرانتز اثر می دهیم و عبارات [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
می گیریم .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
را اضافه می کنیم . این عمل را [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]تقسیم می کنیم . به 2 طرف عبارت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] طرف را بر عبارت
انجام دادیم تا عبارت زیر بدست آید .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اگر عبارات زیر را داشته باشیم :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] , [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] , [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
عبارت به صورت زیر در می آید :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
را می نویسیمe درست است eکه معادله ی یک بیضی است حال برای آنکه بدانیم تعریف ما از
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
همان چیزی که انتظار آن را داشتیم پس معادله ی بیضی در دستگاه مختصات قطبی چنین است :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اثبات قوانین کپلر :
قانون اول :
همانطور که قبلا نیز گفته شد قانون اول بیان می کند که هر جسمی که تحت تاثیر نیروی گرانش جسم دیگری باشد در مداری بیضوی دور آن می چرخد .
2 اثبات برای این قانون اینجا ذکر می کنیم .
اثبات 1 :
برای اثبات این که سیاره بیضوی می چرخد ابتدا باید ثابت کنیم که در یک صفحه می چرخد لذا داریم
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]قانون دوم نیوتن :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] قانون گرانش نیوتن :
ابتدا باید عرض کنم حروفی که کج نوشته شده اند نشاندهنده ی اندازه اند و حروفی که به صورت معمولی نوشته شده اند نشاندهنده ی بردار اند .
جرم سیارات به ترتیب جرم دور زننده و جرم ثابت می باشندM و m نیروی گرانشی روی سیاره ، F
می باشد .r بردار یکه در سوی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ثابت گرانش ، G
های 2 قانون را برابر با هم قرار می دهیم .F
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
ها از طرفین ساده می شوند .m
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
است پس موازیند و داریم .r ضریبی از بردار aو بنابراین می فهمیم که بردار
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
بردار سرعت است بنابر این داریم :v
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
بر 2 بردارhنتیجه می شود که بردار ثابت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]یک بردار ثابت است و حال اگر فرض کنیم که hکه در آن
هر دو در یک صفحه اند .vو بردار rعمود است پس بردار vو r
می دانیم که بردار سرعت همواره بر مسیر حرکت مماس می باشد پس مدار بر یک صفحه قرار دارد .
شروع می کنیم به اثبات قانون اول کپلر داریم :hاز بردار ثابت
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
پس بنابر این داریم :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
قضیه ای است در مورد ضرب خارجی که بیان می کند که :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
جای اثبات این قضیه نیست آن را می پذیریم و ادامه می دهیم .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]داشته باشد آنگاه بردار مکان بر بردار مماس آن عمود است پس در در اینجا
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
با انتگرال گیری از 2 طرف داریم :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
یک بردار ثابت است .cکه در آن
باشد مناسب h در سوی بردار Kدر اینجا انتخاب محور های مختصات به طوری که بردار پایه استاندارد
عمودند برابری بالا h بر u و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] حرکت می کند . چون هر دوی xyاست . در این صورت سیاره در صفحه
را طوری انتخاب کنیم که y و محور x قرار دارد یعنی می توانیم محور xy در صفحه cنشان می دهد که
قرار گیرد .c در سوی iهمان طور که در شکل نشان داده شده است بردار
آشنایی :
کیهان شناسی همواره یک منبع الهام بخش برای علم بوده است . احتمالا بسیاری از حرکت های انقلابی در علم از ستاره شناسی شروع شده است . تمدن های قدیم نیز به قوانینی که بر حرکت اجرام آسمانی حکومت می کند پی برده بودند و می دانستند که این کائنات به خودی خود و بدون ترتیب جابجا نمی شوند . تئوری وجود نیرو به بطلیموس بر می گردد او اینطور تصور می کرد تمامی اجرام در آسمان به دور زمین می چرخند و حرکت آنها یک حرکت دوار است . بعضی از ستارگان ( که بعدها معلوم گشت آنها سیاره بوده اند ) حرکاتی نامنظم داشتند و به پارامتر های زیادی جهت تبیین حرکت آنها نیاز بود . این تئوری تخمین های تقریبا دقیقی به دست می داد اما بدست آوردن یک پارامتر آن کاری سخت و طاقت فرسا بود .
با استفاده از اطلاعات جمع آوری شده توسط تیکو براهه 3 قانون زیر را نوشت Johanns Keplerدر قرن 17
1 : هر سیاره در مداری بیضی به دور خورشید که در یکی از کانون های بیضی قرار دارد می چرخد .
2 : شعاع اتصال یا خط واصل خورشید و سیاره مساحت های مساوی را در زمان های مساوی طی
می کند
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]یا به صورت ریاضی :
3 : مربع دوره ی تناوب مداری سیاره متناسب است با مکعب نصف قطر بزرگ مدار
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] یا [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]یا به صورت ریاضی :
و یکی نصف قطر بزرگ بیضیeبرای هر سیاره ما به 2 پارامتر بیشتر نیاز نداریم : یکی دوری از مرکز یا
سپس حرکت توسط این 3 قانون توصیف می شود برای مثال قانون دوم سرعت زاویه ای را در هر نقطه از مدار به ما می دهد و می توان دریافت که هر چه سیاره به خورشید بیشتر نزدیک می شود سرعت آن افزایش می یابد و در نهایت قانون سوم سرعت خطی سیاره را به ما می دهد .
قوانین حرکت و Philosophiae Naturalis Principia Mathematicaدر سال 1687 نیوتن در شاهکار خود
گرانش خود را برای بدست آوردن قوانین 3 گانه ی کپلر به کار برد جالب است بدانید این قوانین به هر جسمی که تحت تاثیر نیروی گرانش دور چیزی می چرخد می توان اعمال کرد .
برای اثبات قانون اول نیوتن می بایست ابتدا معادله ی بیضی را در دستگاه مختصات قطبی داشته باشیم
پس باید معادله ی بیضی در دستگاه دکارتی را داشته باشیم .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
همان نصف قطر بزرگ بیضی است اثبات رابطه ی بالا :a
ها بسته شده است بوجود می آورند پس طول نخ Fمی دانیم که بیضی را توسط یک نخ که 2 سر آن به
قرار می دهیم و بیضی را می کشیم هنگامی که نوک pمی باشد نوک مداد را در [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]برابر با
می شود .2a ها را قطع کرد اندازه ی آن xمداد محور
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
فاصله ی یکی از کانون ها تا مرکز بیضی است .c
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
2 طرف را به توان 2 می رسانیم .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
که به صورت زیر ساده می شود .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
2 طرف را به توان 2 می رسانیم .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را با عبارت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] از 2 طرف حذف می شود جای عبارت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را در پرانتز اثر می دهیم عبارت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
فاکتور می گیریم .[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و در سمت چپ از [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]تعویض می کنیم در راست از
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
همان نصف قطر کوچک بیضی است بوسیلهb و می دانیم که [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]برای راحتی فرض می کنیم
قضیه ی فیثاغورس رابطه ی بالا به سادگی بدست می آید . با جایگذاری داریم .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
تقسیم می کنیم . [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] طرف را بر
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
رابطه ی بالا معادله ی بیضی در دستگاه مختصات دکارتی است .
حال می خواهیم معادله ی بیضی را در دستگاه مختصات قطبی پیدا کنیم .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اینگونه است .e را برون مرکزی بیضی می نامند و با رابطه ی بالا می شناسند . در مختصات قطبی e
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
در جریان محاسبه می بینیم که این رابطه درست است . پس داریم .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]می دانیم که
2 طرف را مربع می کنیم عبارات بالا را جایگزین می کنیم .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
فاکتور [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را به سمت چپ می بریم و از [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را در پرانتز اثر می دهیم و عبارات [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
می گیریم .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
را اضافه می کنیم . این عمل را [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]تقسیم می کنیم . به 2 طرف عبارت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] طرف را بر عبارت
انجام دادیم تا عبارت زیر بدست آید .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اگر عبارات زیر را داشته باشیم :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] , [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] , [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
عبارت به صورت زیر در می آید :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
را می نویسیمe درست است eکه معادله ی یک بیضی است حال برای آنکه بدانیم تعریف ما از
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
همان چیزی که انتظار آن را داشتیم پس معادله ی بیضی در دستگاه مختصات قطبی چنین است :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اثبات قوانین کپلر :
قانون اول :
همانطور که قبلا نیز گفته شد قانون اول بیان می کند که هر جسمی که تحت تاثیر نیروی گرانش جسم دیگری باشد در مداری بیضوی دور آن می چرخد .
2 اثبات برای این قانون اینجا ذکر می کنیم .
اثبات 1 :
برای اثبات این که سیاره بیضوی می چرخد ابتدا باید ثابت کنیم که در یک صفحه می چرخد لذا داریم
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]قانون دوم نیوتن :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] قانون گرانش نیوتن :
ابتدا باید عرض کنم حروفی که کج نوشته شده اند نشاندهنده ی اندازه اند و حروفی که به صورت معمولی نوشته شده اند نشاندهنده ی بردار اند .
جرم سیارات به ترتیب جرم دور زننده و جرم ثابت می باشندM و m نیروی گرانشی روی سیاره ، F
می باشد .r بردار یکه در سوی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ثابت گرانش ، G
های 2 قانون را برابر با هم قرار می دهیم .F
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
ها از طرفین ساده می شوند .m
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
است پس موازیند و داریم .r ضریبی از بردار aو بنابراین می فهمیم که بردار
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
بردار سرعت است بنابر این داریم :v
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
بر 2 بردارhنتیجه می شود که بردار ثابت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]یک بردار ثابت است و حال اگر فرض کنیم که hکه در آن
هر دو در یک صفحه اند .vو بردار rعمود است پس بردار vو r
می دانیم که بردار سرعت همواره بر مسیر حرکت مماس می باشد پس مدار بر یک صفحه قرار دارد .
شروع می کنیم به اثبات قانون اول کپلر داریم :hاز بردار ثابت
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
پس بنابر این داریم :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
قضیه ای است در مورد ضرب خارجی که بیان می کند که :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
جای اثبات این قضیه نیست آن را می پذیریم و ادامه می دهیم .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]داشته باشد آنگاه بردار مکان بر بردار مماس آن عمود است پس در در اینجا
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
با انتگرال گیری از 2 طرف داریم :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
یک بردار ثابت است .cکه در آن
باشد مناسب h در سوی بردار Kدر اینجا انتخاب محور های مختصات به طوری که بردار پایه استاندارد
عمودند برابری بالا h بر u و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] حرکت می کند . چون هر دوی xyاست . در این صورت سیاره در صفحه
را طوری انتخاب کنیم که y و محور x قرار دارد یعنی می توانیم محور xy در صفحه cنشان می دهد که
قرار گیرد .c در سوی iهمان طور که در شکل نشان داده شده است بردار