سوال ترکیبیات

[بابابزرگ1234]

سلام دوستان چندتاسوال ترکیبیات داشتم ممنون میشم اگه کسی کمک کنه
1)یک پیتزا رابااستفاده از یک چاقوبرش می زنیم بطوریکه هردوبرش مختلف یگدیگر راقطع می کنند.
وهیچ سه برشی ازیک نقطه نمی گذرندبعدازnبرش چندقطعه پیتزاداریم؟
2)اعدادطییعی رابادورنگ سیاه وسفید رنگ امیزی کردیم بطوریکه حاصل جمع دوعدد بارنگ متفاوت به رنگ سیاه حاصلضرب دوعدد به رنگ یکسان سفیداست.
همه حالات مختلف رنگ امیزی رابیان کنید

[paveej]

سلام
سعی میکنیم با کشیدن شکل جواب رو حدس بزنیم.مثلن برای یک برش تعداد قطعات دو تا میشه و برای دو برش چهار تا.
به همین ترتیب با کشیدن شکل میتوانیم مقادیر جدول شکل زیر را بدست بیاوریم.البته منظور از تعداد برش صفر در تصویر زیر
این است که وقتی هیچ برشی نداشته باشیم تعداد قطعات یک عدد است

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با توجه به اعداد جدول به نظر میرسد حدس درست باشد

فرض کنید یک زمین به n ناحیه نامنظم مثل شکل بالا تقسیم شده باشد.حالا اگر دو نقطه از محیط زمین را با
یک خط راست به هم وصل کنیم آن خط راست به چند قطعه تقسیم میشود که تعداد این قطعات برابر تعداد نواحی است که
خط از آن عبور کرده است
با توجه به اینکه برش جدید پیتزا باید تمام خطوط برشهای قبلی را قطع کند بنابراین روی هر خط برش جدید (n-1) نقطه
که محل برخورد با خطوط قبلی است پدید میآید و این با توجه به مطلب فوق به معنی عبور خط از n ناحیه میباشد.
چون وقتی روی یک خط (n-1) نقطه داشته باشیم خط به n قطعه تقسیم میشود
بنابراین برش n ام باعث میشود n قطعه از قطعات پیتزا دو تیکه بشوند این باعث اضافه شدن n قطعه جدید به تعداد کل قطعات میشود
بنابراین حدس بالا با توجه به مطالب گفته شده درست است
البته فرض مسئله احتمالن این بوده که هیچ سه برشی از یک نقطه عبور نمیکنند

[paveej]

2)اعدادطییعی رابادورنگ سیاه وسفید رنگ امیزی کردیم بطوریکه حاصل جمع دوعدد بارنگ متفاوت به رنگ سیاه حاصلضرب دوعدد به رنگ یکسان سفیداست.
همه حالات مختلف رنگ امیزی رابیان کنید

اعداد سیاه را با b (حرف اول کلمه black) و اعداد سفید را با w (حرف اول کلمه white ) نشان میدهیم.طبق مفروضات مسئله داریم

b1+w1 Є B
b1xb2 Є W
w1xw2 Є W

با دقت در عبارت b1xb2 Є W متوجه میشویم که اگر عدد 1 سیاه باشد آنوقت همه اعضای B به W تعلق خواهند داشت.چون 1xb2=b2 Є W
اما این غیرممکن است زیرا این دو مجموعه عضو مشترک ندارند.بنابراین عدد 1 باید سفید باشد

با توجه به b1+w1 Є B و سفید بودن 1 داریم b1+1 Є B یعنی اگر عددی سیاه باشد عدد بعدی آن هم سیاه هست
بنابراین مجموعه B با هر عضوی که شروع بشود اعداد طبیعی بعدی متعلق به آن خواهند بود و اعداد کوچکتر از آن متعلق به W
ولی چون همه اعضای B از عضوهای W بزرگترند حاصلضربشان نمیتواند عضو W باشد بنابراین B نمیتواند هیچ عضوی داشته باشد
تا قانون دوم نقض نشود
به این ترتیب همه اعداد طبیعی سفید هستند و هیچ عددی سیاه نشده است