حل تمرین ریاضی مهندسی

[B.Russell]

با درود خدمت دوستان.
من تو تالار حل تمرین هرچی گشتم تاپیکی مربوط به حل تمرین ریاضی مهندسی پیدا نکردم.
این تاپیک رو ایجاد میکنم که مشکلات رباضی مهندسی رو توش مطرح کنیم.


مباحثی که تو این تاپیک میشه پیگیری کرد :


اعداد و توابع مختلط

نگاشت

سری ها، بسط تیلور ، لوران و محاسبه مانده ها

انتگرال گیری از توابع مختلط

سری فوریه، تبدیل فوریه و انتگرال فوریه

معادله دیفرانسیل با مشتق های جزئی

[B.Russell]

برای شروع من این سئوال ریاضی مهندسی که در دکترای 93 برای رشته های فنی و مهندسی بود رو متوجه نشدم چطوری حل میشه.
اگه کسی حلش رو بلده، ممنون میشم توضیحاتی ارائه کنه.
خیلی ممنون.

[B.Russell]

خوب جواب سئوالی که در نوشته بالایی از مبحث مشتق توابع مختلط مطرح کردم داده نشد، اما یکی از دوستان در جایی دیگر پاسخ دادن.

که من هم پاسخش رو میذارم، امیدوارم به درد علاقمندان به ریاضی مهندسی بخوره.

[B.Russell]

یکی از روش های حل انتگرال در بازه نامتناهی (از منفی بینهایت تا مثبت بینهایت) استفاده از قوانین مربوط به انتگرال مختلط و تعریف مسیر میباشد.
و سپس یافتن مانده ها و محاسبه انتگرال به کمک مانده.

در شکل زیر با ذکر یک مثال نحوه به دست اوردن انتگرالِ از منفی بینهایت تا مثبت بینهایت 1 تقسیم بر بر x^2+1 نشان داده شده است :

[B.Russell]

محاسبه انتگرال مختلط به کمک روش مانده ها :


در اینجا نیاز به محاسبه مانده در Z=0 می باشد که لازم است بسط لوران را نوشته و ضریب 1 تقسیم بر Z را یافت که همان مانده خواهد بود.
زیرا z=0 قطب ساده نیست و یک تکین اساسی است و نمیتوان از روش های مرسوم مانده از روی قطب، مقدار مانده را تعیین کرد.

مقدار انتگرال نیز برابر 2Pi ضرب در مانده خواهد بود.

[metalhead_forever]

سلام.
پاسخ این سوال رو لطفا" قرار بدین:

تبدیل فوریه ی سینوسی f را بنویسید.

[B.Russell]

سلام.
پاسخ این سوال رو لطفا" قرار بدین:

تبدیل فوریه ی سینوسی f را بنویسید.

این مسئله رو باید با ترفند تبدیل لاپلاس حل کنید.
یعنی میدانیم انتگرال از صفر تا بی نهایت تابع e^-x ضربدر sinwx با دیفرانسیل dx، میشه تبدیل لاپلاس تابع sinwx که همون w/w^2+1 خواهد شد و این درواقع شبیه x/x^2+1 هست.
پس با یک طرفین وسطین متوجه میشین که میشه به فرم تبدیل فوریه سینوسی ربطش داد.
که عبارتی هست که در ان e^-w وجود دارد و یکسری ثابت....

[metalhead_forever]

این مسئله رو باید با ترفند تبدیل لاپلاس حل کنید.
یعنی میدانیم انتگرال از صفر تا بی نهایت تابع e^-x ضربدر sinwx با دیفرانسیل dw، میشه تبدیل لاپلاس تابع sinwx که همون w/w^2+1 خواهد شد و این درواقع شبیه x/x^2+1 هست.
پس با یک طرفین وسطین متوجه میشین که میشه به فرم تبدیل فوریه سینوسی ربطش داد.
که عبارتی هست که در ان e^-w وجود دارد و یکسری ثابت....

با تشکر از پاسختون.
استاد ما تاکید داره قبل از نوشتن تبدیل فوریه یا انتگرال فوریه حتما" باید مطلقا" انتگرال پذیر بودن تابع بررسی بشه. این قسمت رو هم شرح بدین ممنون میشم.

[*M!L4D*]

با تشکر از پاسختون.
استاد ما تاکید داره قبل از نوشتن تبدیل فوریه یا انتگرال فوریه حتما" باید مطلقا" انتگرال پذیر بودن تابع بررسی بشه. این قسمت رو هم شرح بدین ممنون میشم.

یعنی انتگرال اندازه ی تابع f ( که اینجا به علت حقیقی بود قدر مطلق آن ) روی کل دامنه ی آن باید مقداری کراندار باشد .



در واقع یعنی به صورت مطلق انتگرال پذیر نیست .. اما اگر به اثبات همگرایی انتگرال فوریه مراجعه کنید ( T دوره ی تناوب تابع هست ) می بینید که عبارت :



برابر صفر در نظر گرفته شده . در این مثال خاص چون ( می تونید درستی حد زیر رو به ازای مسیر های بررسی کنید ) :




خللی به حل دوستمون که به زیبایی مسئله رو برای شما حل کردن وارد نمیشه.

[metalhead_forever]

این روز ها زیاد به اینجا سر میزنیم!
این سوال رو به روش FFT حل کنید.

گیر من اونجایی هست که میخوام یه تابع کمکی به اسم w تعریف کنم که شرایط کرانه ای رو در pi و pi- صفر کنه... چطور باید این کار رو انجام بدم؟ و این که آیا اصلا" نیازی هست شرایط کرانه ای رو صفر کنم؟!