اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**ali_hp** · 18-10-2009, 10:44

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

مجموع تعدادی عدد طبیعی برابر هزار است،بیشترین مقدار ممکن برای حاصلضرب آنها چقدر است؟

فرض کنید تعدادی عدد طبیعی با مجموع هزار طوری هستند که حاصلضرب آنها بیشترین مقدار ممکن را داراست،می توان فرض کرد همه این اعداد کوچکتر مساوی سه هستند!(مثلا فرض کنید x>3 در بین این اعداد باشد،x را با 2 و x-2 جایگزین کنید،مجموع تغییری نیمکند،و به وضوح حاصلضرب نیز کاهش نمی یابد!)
حال دقت کنید که حداکثر دو تا دو در بین این اعداد وجود دارد!چون هر سه تا 2 را می توان با دو تا 3 جایگزین کرد،که مجموع ثابت می ماند،ولی حاصلضرب بیشتر می شود!همچنین واضح است که یک در بین این اعداد وجود ندارد!
با توجه به توضیحات بالا به سادگی نتیجه می شود که این اعداد عبارتن از 332 تا 3 و 2 تا 2 !

**ali_hp** · 18-10-2009, 12:21

b و c دو عدد طبیعی هستند،به طوری که معادله

$x^2+bx+c=y^2$

در مجموعه اعداد طبیعی نامتناهی جواب دارد،ثابت کنید:

$b^2=4c$ .

**eh_mn** · 22-10-2009, 00:00

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض كنيم A يك ماتريس m در n ( $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ )و b يك بردار ستوني m تايي ( $y\in\mathbb{R}^{m}$ )و همگي داراي درايه‌هاي حقيقي باشند. نشان دهيد

دستگاه $Ax=b$ جواب دارد اگر و تنها اگر براي هر $y\in\mathbb{R}^m$ كه $y^TA=0$ داشته باشيم $y^Tb=0$ .

ـــــــــــــــــــــــ
22 / 07 / 88

با سلام

ابتدا فرض كنيم دستگاه $Ax=b$ جوابي مانند x داشته باشد و $y^TA=0$ در اين صورت

$y^Tb=y^T(Ax)=(y^TA)x=0$

اينك اگر دستگاه $Ax=b$ جواب نداشته باشد آنگاه بردار b مستفل از ستون‌هاي A است. فرض كنيم رتبه‌ي ماتريس A برابر r باشد. در اين صورت رتبه‌ي ماتريس $\begin{pmatrix} A & b \end{pmatrix}$ برابر r+1 است. پس

$\mbox{rank}\,\begin{pmatrix} A & b \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = r+1$

در نتيجه سطر آخر تركيب خطي از ساير سطرهاست. ضرايب اين تركيب خطي بردار yاي را مي‌دهد كه در شرايط قضيه صدق مي‌‌كند. يعني $y^TA=0$ و $y^Tb\neq 0$

ـــــــــــــــــــــــــ
29 / 07 / 88

**eh_mn** · 22-10-2009, 00:03

نشان دهيد

$\int_0^1\int_0^1(xy)^{xy}dx\,dy=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^n}$

راهنمايي: $\alpha^\beta = e^{\alpha\ln \beta}$

ــــــــــــــــــــ
29 / 07 / 88

**mofidy1** · 22-10-2009, 20:31

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

ضریب x^2 وقتی عبارت زیر را بسط می دهیم و ساده می کنیم، چیست؟

$\left ( \cdots \left (\left (\left ( x-2 \right )^2-2 \right )^2-2 \right )^2-\cdots- 2 \right )^2$

موفق باشید.

23 مهر 1388

با سلام

می توان دید که آخرین سه جمله پس از n بار مربع گیری، عبارت است از:

$b_nx^2 + a_nx + 4$

بنابر این

$((b_nx^2 + a_nx + 4) - 2)^2 = (a_n^2 + 4b_n)x^2 + 4a_n + 4 = b_{n + 1}x^2 + a_{n + 1} + 4$

که به روابط بازگشتی زیر منجر می شود:

$a_{n + 1} = 4a_n,\,b_{n + 1} = a_n^2 + 4b_n\,\,(a_1 = - 4 ,\,b_1 = 1)$

و لذا

$a_n = - 4^n,\,b_{n + 1} = 16^n + 4b_n.$

با حل رابطه ی بازگشتی بالا، می توان دید که:

$b_n = \frac {1}{3}4^{n - 1}(4^n - 1).$

اگر به صفحه ی زیر سری بزنید مسائل جالبی مشاهده خواهید کرد:

journals.cms.math.ca/cgi-bin/vault/public/view/CRUXv17n1/body/HTML/2?template=CRUX

آموزش حل مساله:

در حل بعضی از مسائل، برای به دست آوردن جواب، به جواب مراحل قبلی نیازمندیم. چنین مسائلی را مسائل بازگشتی یا استقرایی می نامند. معمولاً برای حل کامل این مسائل، نیازمند معادله ای به نام معادله ی بازگشتی هستیم که معمولاً حل آن ساده نیست و احتیاج به شگردهای محاسباتی خاصی دارد.

موفق باشید.

30 مهر 1388

**mofidy1** · 22-10-2009, 21:25

با سلام

اگر n عددی طبیعی باشد، ثابت کنید:

$\binom{n}{0}+\binom{n}{3}+\binom{n}{6}+\cdots=\frac{1}{3}\left ( 2^n+2cos\frac{n\pi}{3} \right )$

راهنمایی:

از ریشه ی سوم واحد، قضیه ی دو جمله ای و قانون دموآور استفاده کنید.

موفق باشید.

30 مهر 1388

**CppBuilder2006** · 22-10-2009, 21:36

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نشان دهيد

$\int_0^1\int_0^1(xy)^{xy}dx\,dy=\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n^n}$

راهنمايي: $\alpha^\beta = e^{\alpha\ln \beta}$

ــــــــــــــــــــ
29 / 07 / 88

من با maple امتحان کردم مقدار دو طرف یکی نمیشه:

البته شاید نرم افزار اشتباه کرده باشه!

**eh_mn** · 23-10-2009, 12:44

نوشته شده توسط CppBuilder2006 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

من با maple امتحان کردم مقدار دو طرف یکی نمیشه:

البته شاید نرم افزار اشتباه کرده باشه!

ممنون از تذكرتون! اصلاح شد!

**ali_hp** · 25-10-2009, 21:38

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

b و c دو عدد طبیعی هستند،به طوری که معادله

$x^2+bx+c=y^2$

در مجموعه اعداد طبیعی نامتناهی جواب دارد،ثابت کنید:

$b^2=4c$ .

معادله را در چهار ضرب کنید و بصورت زیر بنویسید:

$(2x+b)^2+4c-b^2=(2y)^2$
حال از لم زیر استفاده کنید:
لم:فرض کنید a عددی مربع کامل باشد،آنگاه فاصله هر عدد مربع کامل دیگر از a حداقل برابر $|2\sqrt{a}-1|$
است.

**ali_hp** · 25-10-2009, 21:52

یک ترازوی دیجیتال سه رقمی بر حسب گرم داریم. و یک کیسه صدتایی از گلوله های قرمز،یک کیسه صدتایی از گلوله های آبی و یک کیسه صدتایی از گلوله های سبز.می دانیم وزن گلوله های هر یک از کیسه ها عددی یک رقمی بر حسب گرم است.(وزن گلوله های داخل یک کیسه با هم برابر است.
با یک بار استفاده از ترازو وزن گلوله های هر کیسه را مشخص کنید!

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

حل مساله یکشنبه دوازدهم

این کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مساله یکشنبه سیزدهم

حل مسأله‌ی چهارشنبه‌ی سيزدهم

مسأله‌ی چهارشنبه‌ی چهاردهم

حل مساله ی پنج شنبه ی یازدهم (سطح سوال: ریاضیات گسسته ی دانشگاه)

مساله ی پنج شنبه ی دوازدهم (سطح سوال: ریاضیات عمومی دانشگاه)

این کاربر از eh_mn بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

حل مساله یکشنبه سیزدهم

مساله یکشنبه هفته چهاردهم

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن