اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

[mir@]

حل مسئله شنبه اول

.
دو نفر در فاصله 20 کیلومتری هم قرار دارند و با سرعت 10 کیلومتر در ساعت به طرف هم حرکت می کنند.

هواپیمایی با سرعت 20 کیلومتر در ساعت، هم زمان با شروع حرکت دو نفر، از نفر اول شروع کرده و به سمت نفر دوم پرواز می کند. پس از رسیدن به نفر دوم بر می گردد و به سمت نفر اول می آید.

این هواپیما آن قدر بین دونفر می رود و می آید تا دو نفر به هم برسند.

این هواپیما مجموعا چند کیلومتر پرواز کرده است؟

با تشکر از chessmathter که در پست شماره 31 راه حل هوشمندانه را ارائه کردند.

سپاس بی کران (!) از CppBuilder2006 که وقت گذاشتند و راه حل دقیق را در پست شماره 32 بیان فرمودند. بنده علاقمند بودم چنین راه حلی را نیز ببینم.

[mir@]

.
معادله زیر را حل بفرمایید:

[zahedy2006]

معادله زیر را حل بفرمایید:

تعيين علامت به بازه هاي
x<-1

-x+1-x-x-1=x+2 ---------> x=-0.5
در دامنه مورد بحث يعني كوچكتر از -1 نيست

x>=1

x-1+x+x+1=x+2 --------> x=1

0<x<1

-x+1+x+x+1=x+2 -----> x=x

0>x>-1

-x+1-x+x+1=x+2 -------> x=0

جواب هاي زير را مي دهد

x=0
x=1
[0,1]j


ساعت حل : 5:57 صبح!!!

[CppBuilder2006]

در رسم شما خط کشی مدرج و نقله و پرگار میتونین استفاده کنین مگه اینکه ذکر کنن مثلا
یه زاویه 60 درجه رو با پرگار و خط کش به 3 قسمت کن اگه تونستی؟!

راه حل شما رو که ظاهرا میشه با پرگار و خط کش غیر مدرج، انجام داد.
(البته با این فرض که اندازه ها و زاویه های معلوم با پارخطها و زاویه هایی از قبل کنار صورت مساله رسم شده باشه)

مشکل خط کش و نقاله اینه که همۀ اندازه ها روش درجه بندی نشده ن. مراسم باز کردن دهانۀ پرگار به اندازه رادیکال 2 یادتون هست!؟

تا چی اثبات شده ؟!

تا اونجا طبق فرض استقرا درست در نظر گرفتیم

فرض استقرا که در مورد هست. می گه برای این B ،

اما هیچچی در مورد نمیگه!

حالا استفاده از فرض استقرا خیلی هم ساده به نظر نمی رسه! باید
به دوتا مجموعه شکست، ثابت کرد در شرایط مسأله صدق میکنه اووووووووو!

[yugioh]

دفعه قبل جواب ندادید. همون تکرار میشه. اگه این بار هم کسی جواب نداد جدید سوال می دم.
درون یک کیسه 25 گوی یک شکل هست، شامل 6 قرمز 9 سبز 10 سفید. دو نفر بازی زیر رو انجام می دهند،
اولی یک گوی بیرون میاره. اگر سبز باشه برنده است اگر قرمز یا سفید باشه بازنده.
دومی یک گوی رو بیرون میاره، اگر قرمز باشه برنده است. اگر سبز باشه بازنده است. اگر سفید باشه اون گوی رو خارج می کنه و از گویهای باقی مانده یکی دیگه رو خارج می کنه. ( اگر 10 بار هم پست سر هم گوی سفید بیرون میاد.
اگر هر دو تا برنده یا بازنده شوند بازی برابر حساب شده و مجددا بازی می کنند، تا نهایتا یک نفر برندده بشه.
اگر شما جایگزین این دو نفر بودید به جای کدام یکی بازی می کردید؟

حالا یه سوال دیگه از این گوی ها، 7 تا از گویها روخارج می کنیم،اگر بدونیم توی انتخابیها، سفید وجود داره با چه احتمالی حداقل 1 قرمز و 2 سبز داره؟

راه حل davy jones برای بخش دوم درست وبرای بخش اول درسته ولی حوصله اش حتی از من هم بیشتره:
احتمال برد یکی: 36 درصده.
و دومی هم :
6/25+ (9/25)(6/24)+(9/25)(8/24)(6/23)+....(9/25)(8/24).... (1/16) * (9/15(
هر کی حوصله داره بدون ماشین حساب وکد زدن حساب کنه کدوم بیشتره.
و در مورد سری توانی هم چون احتمال برد هر کس در یک دور اگر از دیگری بیشتر باشه پس در هر حال با احتمال بیشتری می بره. نیازی به سری توانی نیست. البته اشتباه هم نیست.

[yugioh]

این دفعه یه سوال از گراف: (بابت سوال دفعه قبل از همه به خصوص cpp builder , davy jones که زمان گذاشتند عذر می خوام و اشتباهم رو در طرح سوال مسخره قبلی قبول می کنم، به هر حال سوال مسخره ای بود)
یک گراف n-بخشی است اگر بتوان آنرا به n بخش تقسیم کرد به شکلی که تمامی اعضای هر بخش به رئوس بخشهای دیگر یال داشته باشد. یعنی نسبت به بخش خود بدون یال باشد.
برای توضیح بیشتر سرچ کنید: r-partite graphs.
نوع خاص این گرافها دو بخشی اند.
ثابت کنید یک گراف دوبخشی است اگر و تنها اگر دور فرد نداشته باشد.
توضیح بدم مثلا یک گراف بدون یال هم دوبخشی است یه بخش با n راس و دیگری بدون راس.
یا مثلا k2 هم دوبخشی با هر راس در یک بخش.
این سوال رو درست حسابی پرسیدم انصافا اگر جواب بدید شاید رفتیم با هم به سمت سوالات سختتر.
توضیح: شرح اولیه من در مورد این گرافها گمراه کننده بود اینکه بگیم نسبت به بقیه گراف کامل نه یک k5 مثلا یعنی می تونه یال باشه یا نباشه.
در واقع منظورم این بود که نسبت به بخش خودش نباید یال داشته باشه، ولی نسبت به بقیه مثل گراف عادیه یال مل تونه باشه یا نه. انصافا توضیح اولیه ام خیلی گمراه کننده بوده. ببخشید. هر چند دوستان خودشون واردند.
در ضمن بگم اگر وتنها اگره یعنی باید بگید یک گراف بدون دور فرد دوبخشیه.

[CppBuilder2006]

نه بابا این چه حرفیه!

یک گراف n-بخشی است اگر بتوان آنرا به n بخش تقسیم کرد به شکلی که تمامی اعضای هر بخش به تمامی رئوس بخشهای دیگر یال داشته باشد. یعنی نسبت به بخش خود بدون یال باشد ولی به بخشهای دیگر ملنند گراف کامل باشد.
برای توضیح بیشتر سرچ کنید: r-partite graphs.
نوع خاص این گرافها دو بخشی اند.
ثابت کنید یک گراف دوبخشی است اگر و تنها اگر دور فرد نداشته باشد.
توضیح بدم مثلا یک گراف بدون یال هم دوبخشی است یه بخش با n راس و دیگری بدون راس.
یا مثلا k2 هم دوبخشی با هر راس در یک بخش.
این سوال رو درست حسابی پرسیدم انصافا اگر جواب بدید شاید رفتیم با هم به سمت سوالات سختتر.

خب فرض کنید A رئوس یک بخش و B رئوس یه بخش دیگه باشه. اگر A حداکثر یک عضو داشته باشه حکم برقراره چون هر دور درست دو یال داره.
فرض کنید حکم وقتی A حداکثر k عضو داره، درست باشه. نشون می­دیم وقتی A ، k+1 عضو داره هم درسسه.

پس فرض کنیدA|=k+1|. اگه دوری از همۀ رئوس A عبور نکنه، رأس­های آزاد و یال­های متصل به اونا رو حذف می­کنیم. طبق فرض استقرا دور زوجه. فرض کنید یه دور از همۀ رئوس A بگذره، یکی از یال­های این دور رو حذف می کنیم. یه مسیر باقی می­مونه که در هر کدوم از دو سرش یه یال داریم که به رأسی متصل نیست. این دو یال رو به هم وصل میکنیم و یکی میکنیم تا مسیر، تبدیل به دور بشه. این دور جدید دو یال کم تر از دور قبلی داره و طبق فرض استقرا زوجه. پس دور الیه هم زوجه.
پس هر دور زوجه و حکم برایA|=k+1 | ثابت میشه.
چه اثبات پیچ در پیچی شد!

[yugioh]

دوستان گویا پستم خیلی مفهوم نبوده ویرایش شد. از همتون عذر می خوام.

[eh_mn]

فرض كنيم A و B دو زيرمجموعه‏ي متناهي و مجزا از اعداد حقيقي باشند به طوري كه به ازاي هر داشته باشيم

يا .

ثابت كنيد تعداد اعضاي A دو برابر تعداد اعضاي B است.


ـــــــــــــــــ
7 / 05 / 88

راه‏حل CppBuilder2006 در پست

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

يك اشكال كوچيك داشت اينكه چرا نگاشت f، تابع هست؟ به عبارت ديگر چرا f خوشتعريف است؟

اما در پست

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

نه تنها اين اشكال برطرف شد بلكه راه‏حل سرراست‏تري نسبت به قبلي ارائه شد.

حدس دوستمون zahedy2006 كاملا درسته.

اعضاي اجتماع بايد به صورت دسته هايي از 3 عدد ترتيبي باشند
مثلا بايد 3 4 5 و 8 9 10 باشند

از اين دسته اعداد كه به صورت n , n+1 , n+2 ووو m , m+1 , m+2 هستند براي

برقراري شرط بايد عضو اول در هر دسته در B و 2 عضو ديگر در A باشند

براي اثبات اين حدس chessmathter از استقرا استفاده كردن كه احتياج به كمي اصلاحات داره!

فكر مي‏كنم بايد اجزاي استقرا (پايه، فرض و حكم) رو دقيق‏تر بنويسيم.

پايه‏ي استقرا:

اگر آنگاه .
.
اين قسمت را chessmathter بدرستي اثبات كردند.

با اسقرار حل میکنیم بر روی اعضای B اثبات میکنیم
اعضای مجموعه به طور صعودی مرتب اند
فرض کنیدB یک عضو داشته باشه
که در B نیست پس در A هست
از طرفی در B نیست پس باید در A باشد
حال اگه A شامل عضو دیگری مانند x باشد چون b یک عضو دارد پس x+1 وx+2 ,...در A وA شامل بینهات عضو میشود و متناهی نیست که تناقض است پس

فرض استقرا:

اگر B داراي n عضو به صورت باشد آنگاه A داراي 2n عضو به صورت
خواهد بود.

ناگفته نمونه كه ما هم فرض مي‏كنيم اعضاي مجموعه‏ي B بطور صعودي مرتب شدن.

براي اثبات حكم استقرا، فرض كنيم . مشابه آنچه chessmathter براي اثبات پايه‏ي استقرا
نوشته است مي‏توان نشان داد كه .
براي اينكه بتوانيم از فرض استقرا استفاده كنيم همونطور كه
CppBuilder2006 تذكر دادن بايد يك مجموعه‏ي n عضوي داشته باشيم. قرار مي‏دهيم و . مجموعه‏ي ، n
عضو دارد. كافيست اثبات كنيم كه مجموعه‏هاي و در فرض استقرا صدق مي‏كنند.

بدين منظور فرض كنيم . چون پس يا .

به راحتي ميشه نشون داد كه
اگر آنگاه و اگه آنگاه و اين اثبات مي‏كنه كه و در فرض استقرا صدق مي‏كنن و تمام.


ـــــــــــــــــ
14/ 05 / 88

[eh_mn]

يك nتايي از اعداد طبيعي مانند را «خوب» گوييم هرگاه و مجموع هيچ تعدادي از ها برابر n نشود. تعداد همه‏ي nتايي‏هاي خوب را بيابيد.

(المپياد سال ----- كشور ------)


ـــــــــــــــــ
14 / 05 / 88