تبلیغات :
آکوستیک ، فوم شانه تخم مرغی، صداگیر ماینر ، یونولیت
دستگاه جوجه کشی حرفه ای
فروش آنلاین لباس کودک
خرید فالوور ایرانی
خرید فالوور اینستاگرام
خرید ممبر تلگرام

[ + افزودن آگهی متنی جدید ]




نمايش نتايج 1 به 4 از 4

نام تاپيک: تاریخچه بی نهایت و کشف کانتور(فراتر از بینهایت)

  1. #1
    داره خودمونی میشه gipsy2009's Avatar
    تاريخ عضويت
    Oct 2009
    محل سكونت
    Derrière le clavier
    پست ها
    157

    پيش فرض تاریخچه بی نهایت و کشف کانتور(فراتر از بینهایت)

    تاریخچه بی نهایت

    بعضی معتقدند که مفهوم بی نهایت برای نخستین بار در کتب مقدس هند باستان مطرح شده.اما میتوان گفت که اولین کار جدی در مورد بی نهایت در یونان قدیم و توسط اقلیدس در بررسی اعداد اول بود.اقلیدس در کتاب "اصول" خود هرچند مستقیما نامی از بی نهایت نمیبرد.اما بطور ضمنی به ان اشاره میکند..اقلیدس ثابت میکند که تعداد اعداد اول از حاصلضرب هر تعداد مفروضی از اعداد اول هم بزرگتر است و این عملا به این معناست که تعداد اعداد اول بی نهایت است.

    پس از اقلیدس پژوهش بوسیله سایر ریاضی دانان ادامه یافت تا اینکه در 1659 جان والیس ریاضی دان انگلیسی در کتاب خود با نام
    "رساله ای درباره مقاطع مخروطی"برای نخستین بار نماد را برای نشان دادن مفهوم بینهایت وارد ریاضیات کرد.
    برخی معتقدند این نماد ریشه در متون باستانی کهن دارد چرا که مشابه چنین نمادی بر دیوارهای غارهایی در تبت هم یافت شده بود.برخی نیز ریشه انرا در متون کیمیاگری میدانستند که در نوشته های رمزی خود از ان به سمبل جاودانگی نوشته میشد.برخی نیز تصور میکنند که این نماد از شکل نماد موبیوس گرفته شده اما این تصور نمیتواند درست باشد چرا که جان والیس 200سال پیش از موبیوس زندگی میکرده.بنابر نظر محققان تاریخ ریاضی والیس این نماد را از نماد عدد 1000 یونانی در سیستم عدد نویسی یونانی که خود از سیستم عدد نویسی اتوریایی ریشه گرفته اخذ کرده است.
    در این سیستم عدد نویسی از نمادCI برای نشان دادن عدد 1000 که بعضا معنای" خیلی زیاد" هم میداده استفاده میشده است.البته یک حدس دیگر هم این است که نماد بی نهایت از امگا نشات گرفته باشد.

    با اغاز عصر جدید پژوهش درباره بینهایت همچنان ادامه یافت.در این دوران لایبنیتز و نیوتن برای نخستین بار از وجود مفهوم جدیدی به نام "بینهایت کوچک "در عرصه ریاضیات پرده برداشتند.بینهایت کوچک که عملا از همان" بی نهایت "مشتق گرفته شده عددی مثبت است که از هر عدد مفروض دیگری کوچک تر است به این ترتیب بینهایت و بینهایت کوچک پایه های عرصه بدیعی در دیفرانسیل و انتگرال را شکل دادند و این گونه بود که بینهایت عملا به مهمترین مفهوم در علوم و مهندسی جدید تبدیل شد



    فراتر از بینهایت

    در حالی که اغلب دانشمندان و مهندسان تنها به کاربردهای بینهایت بسنده کرده بودند.تلاش برای کشف دیگر ویژگی های این مفهوم اسرار امیز همچنان ادامه یافت.در سال 1874 جورج کانتور روسی-المانی به کشف حیرت انگیزی رسید.اینکه اگرچه بینهایت,بینهایت بزرگ است
    ولی با این حال بزرگتر از ان هم وجود دارد.این کشف فوق العاده عجیب بود چرا که میدانیم بی نهایت از هر عددد قابل تصوری بزرگتر است
    پس چگونه بزرگتر از ان نیز هست؟در پاسخ باید گفت چیزی که از بینهایت بزرگتر باشد اول از همه خودش باید بینهایت باشد.بنابراین
    درواقع کانتور کشف کرد که بعضی از بینهایت ها از بعضی دیگر بزرگترند.


    چگونه؟


    پاسخ به شاخه ای از ریاضیات برمیگردد که توسط خود کانتور بسط داده شده بود و امروزه بعنوان نظریه مجموعه ها شناخته میشود.
    هر مجموعه از تعدادی عضو تشکیل شده است.تعداد اعضای مجموعه های متناهی قابل شمارش اند.به عنوان مثال مجموعه ای که اعضای ان 2,3,5 7,هستند 4عضو دارد اما مجموعه های نامتناهی نظیر اعداد حقیقی.اعداد طبیعی و.... هم وجود دارند که بینهایت عضو دارند.

    کانتور برای مقایسه تعداد اعضای این مجموعه های بینهایت عضوی یا به عبارتی بینهایت ها از روش جالبی استفاده کرد.در حالتی که میخواهیم تعداد 2مجموعه-مثلا تعداد سیب و پرتقال های موجود در 2جعبه را مقایسه کنیم ابتدا اعضای هرکدام را شمرده سپس مقایسه میکنیم که کدام بزرگتر است.
    اما برای این مقایسه راه دیگری وجود دارد که ابتدا یک سیب از جعبه اول برداشته سپس به ازای ان یک پرتقال از جعبه دوم برداریم و کناری بگذاریم و این کار را همینگونه ادامه دهیم
    در نهایت اگر هرکدام اضافه امد معلوم میشود که تعدادش بیشتر بوده و این دقیقا همان کاری بود که کانتور مکرد
    برای مثال او توانست ثابت کند که مابین اعداد بینهایت عضوی طبیعی و بینهایت عضوی زوج تناظر یک به یک وجود دارد
    (یعنی 1 را با2و2را با 3 و ......nرا با 2n) در نظر گرفت بدون انکه عضوی اضافه بیاید.کانتور ثابت کرد که این دو بینهایت دقیقا هم اندازه هستند
    او همچنین با این روش توانست ثابت کند که بینهایت به اضافه 1,بینهایت ضربدر 2 و حتی به توان 2 نیز همگی با هم برابرند

  2. 3 کاربر از gipsy2009 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند


  3. #2
    داره خودمونی میشه gipsy2009's Avatar
    تاريخ عضويت
    Oct 2009
    محل سكونت
    Derrière le clavier
    پست ها
    157

    پيش فرض

    اعداد ترامتناهی

    کانتور با روش هوشمندانه خود توانست ثابت کند تعداد اعضای مجموعه بی نهایت عضوی اعداد حقیقی از تعداد اعضای مجموعه بی نهایت عضوی اعداد طبیعی بیشتر است!به عبارتی ان بی نهایت از این یکی بزرگتر است!
    از همه عجیب تر انکه کانتور توانست نشان دهد که نه تنها بینهایتی بزرگتر از بینهایت اعداد طبیعی وجود دارد,بلکه از آن بزرگتر نیز هست!برای همین کانتور نماد بینهایت را تنها برای نشان دادن مفهوم آن کافی ندانست.زیرا این نماد نمیتوانست مشخص کند که ما با بینهایتی بزرگ سرو کار داریم یا کوچک!برای همین کانتور نمادگذاری جدیدی را برای نشان دادن بینهایت ها مورد استفاده قرار داد.دراین نمادگذاری که بینهایت اعداد طبیعی که کوچکترین بینهایت است!-با نماد()نمایش داده میشود که א همان حرف" الف "در زبان عبری است.(بنابراین אصفر بصورت الف- صفر خوانده میشود) او به همین ترتیب بینهایت های بزرگتر را با حرفאدو(الف-2)و ...نشان داد.

    کانتور اعداد א را اصطلاحا اعداد ترامتناهی(Transfinite)نامید.در نماد گذاری کانتور اعداد متناهی در واقع میزان بزرگی بینهایت ها را نشان میدهد.پیدا کردن حاصل جمع این بینهایت ها بسیار ساده است.چرا که مجموع انها اغلب برابر بزرگترین انهاست.به عنوان مثال به موارد زیر توجه کنید:
    0א+1א=1א
    1א*0א=1א
    346א*120א=346א
    همانطور که دیده میشود بینهایت های بزرگتر انقدر از بینهایت های کوچکتر بزرگتر هستند که وقتی با انها جمع میشوند یا ضرب میشوند عملا هیچ تغییری نمیکنند.
    ساهارون شلا(Shelah) ریاضی دانی بود که از دهه 80 کاوش در مورد بینهایت ها را اغاز کرد.بعنوان مثال او میخواست بداند که اگر بینهایت ها را بینهایت مرتبه و تا مرتبه بینهایت ام در همدیگر ضرب کنیم,بینهایت حاصل چقدر بزرگ خواهد بود و ایا بازهم بینهایتی بزرگتر از آن وجود دارد؟
    بنابراین شلا میخواست حاصل ضرب زیر را پیدا کند:
    0א*1א*2א*.......
    فکر میکنید بینهایت حاصل از عبارت فوق چقدر بزرگ باشد؟شلا ثابت کرد که پاسخ قطعا کوچکتر از 4אא(الف-الف4)خواهد بود.بنابراین شلا توانست ثابت کند که چنانچه بینهایت ها را بینهایت مرتبه و تا مرتبه بینهایت ام در همدیگر ضرب کنیم.حاصل بازهم بزرگترین بینهایت نبوده و یاز هم از ان بزرگتر نیز هست!!

    اما با فکر کردن به این ویژگی های حیرت انگیز ناخوداگاه سوالی پیش میاید,اینکه ایا مفهوم حقیقی بینهایت در ذهن بشر میگنجد؟
    متاسفانه پاسخ این پرسش منفی است.در واقع ریاضی دانان ثابت کردند که بسیاری ازین قبیل پرسش ها برای همیشه بی پاسخ میماند.
    یکی ازین پرسش های بی پاسخ سوالی بود که توسط خود کانتور مطرح شد.او توانسته بود ثابت کند که تعداد اعضای مجموعه بینهایت عضوی اعداد حقیقی از طبیعی بزرگتر است و اینکه میخواست بداند ایا بینهایتی مابین بینهایت اعداد طبیعی و بینهایت اعداد حقیقی وجود دارد؟
    کانتور هیچگاه نتوانست پاسخی برای این پرسش خود پیدا کند تا اینکه یک قرن بعد ریاضی دانان ثابت کردند که یافتن این پرسش برای بشر امکان ناپذیر است و تا ابد بی پاسخ خواهد ماند
    به این ترتیب هرچند تحقیق در مورد ویژگی های بینهایت تا سالیان سال همچنان ادامه خواهد یافت اما در هر صورت اندیشه بشر هیچگاه به غایت این مفهوم اسرار امیز پی نخواهد برد.
    Last edited by gipsy2009; 13-06-2013 at 02:35.

  4. 3 کاربر از gipsy2009 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند


  5. #3
    حـــــرفـه ای kvhsade's Avatar
    تاريخ عضويت
    Apr 2012
    محل سكونت
    زير آسمون خدا
    پست ها
    544

    پيش فرض

    قضیه کانتور

    اگر یک مجموعه باشد آنگاه

    در این قضیه به معنی عدد اصلی مجموعه و یعنی مجموعه تمام زیر مجموعه های

    در واقع همراه این قضیه بود که این سوال مطرح شد که آیا عددی اصلی مانند x وجود دارد به قسمی که



    این سوال که مسئله پیوستاری نامیده میشود فکر کانتور و دیگر ریاضیدانان را مدت زیادی به خود مشغول کرد
    با این پیش در آمد منتظر مطالب تکمیلی جناب gipsy2009 در مورد فرض پیوستار هستیم

  6. 2 کاربر از kvhsade بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند


  7. #4
    در آغاز فعالیت
    تاريخ عضويت
    Nov 2011
    پست ها
    1

    پيش فرض

    قضیه کانتور

    اگر یک مجموعه باشد آنگاه

    در این قضیه به معنی عدد اصلی مجموعه و یعنی مجموعه تمام زیر مجموعه های

    در واقع همراه این قضیه بود که این سوال مطرح شد که آیا عددی اصلی مانند x وجود دارد به قسمی که



    این سوال که مسئله پیوستاری نامیده میشود فکر کانتور و دیگر ریاضیدانان را مدت زیادی به خود مشغول کرد
    با این پیش در آمد منتظر مطالب تکمیلی جناب gipsy2009 در مورد فرض پیوستار هستیم

    درود
    اون دوست قبلي گفنتد كه فرضيه پيوست دار كانتور حل نشده و تا ابد هم حل نميشه
    اين طور نيست
    اين قضيه در سال حدود 1967 فكر كنم توسط پاول كوهن 22 ساله حل شد
    اين قضيه كه اولين مساله از فهرست هيلبرت هست در سال 1931 فكر كنم توسط كورت گودل تا حدي حل شد و گودل نشون داد كه فرضيه پيوست دار درسته و مجموعه اعداد نامتناهي بين اين دو بينهايت وجود نداره ولي 30 سال بعد كوهن جوان نشون داد كه هر دو جواب درسته يعني در يك طرف فرضيه پيوست دار درسته و مجموعه اي وجود نداره و و در طرف ديگر فرضيه نادرسته و مجموعه اي از اعداد وجود داره بين اين دو بينهايت و ضريب پايداري هر ذو فرضيه باهم برابره
    تنها كسي كه ميتونست اين اثبات رو تاييد كنه گودل بود كه اون هم اين اثبات رو پذيرفت

Thread Information

Users Browsing this Thread

هم اکنون 1 کاربر در حال مشاهده این تاپیک میباشد. (0 کاربر عضو شده و 1 مهمان)

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن

  • شما نمی توانید تاپیک ایحاد کنید
  • شما نمی توانید پاسخی ارسال کنید
  • شما نمی توانید فایل پیوست کنید
  • شما نمی توانید پاسخ خود را ویرایش کنید
  •