ریاضیات برای تفریح(math for fun)

[cms560]

سلام دوستان؛ منم يك سوال سرگرمي رياضي داشتم بد نيست يه نگاهي بهش بندازيد...
سوال: UVW6YZ و ABC2EF دو تا عدد شش رقمي عادي هستند. اگر داشته باشيم:
U+V+W+Y+Z=25 و A+B+C+E+F=20 آنگاه جواب تفريق زير كداميك از گزينه ها ممكن است باشد؟
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ]

[chessmathter]

سلام دوستان؛ منم يك سوال سرگرمي رياضي داشتم بد نيست يه نگاهي بهش بندازيد...
سوال: Uvw6yz و abc2ef دو تا عدد شش رقمي عادي هستند. اگر داشته باشيم:
U+v+w+y+z=25 و a+b+c+e+f=20 آنگاه جواب تفريق زير كداميك از گزينه ها ممكن است باشد؟

عدد اول و دوم به پیمانه 3 ,1هستند(با قیموندشون 1 است) پس تفاضل شون باید بر 3 بخشپذیر باشه
که در گز ینه ها فقط 72324 این ویژگی رو داره.

[chessmathter]

اعداد 3,2,1,...,1986 بدون ترتیب خاصی پشت سر هم میچینیم تا عدد جدیدی به دست آوریم ثابت کنین عدد حاصل مکعب کامل نیست.؟

اول با یه برسی ساده میتونین بفهمین یه مربع کامل به پیمانه 9, 0 یا 7 یا 1 یا 4 میشه.
حال عدد جدید بدست اومده رو در نظر بگیرید این عدد بصورت زیره

از طرف دیگه میدونیم

پس داریم

و نتیجه باقی مانده این عدد بر 9 ,3 میشه و مربع کامل نیست

[chessmathter]

2n+1 هفتیر کش داریم که هیچ 3 تایی رو یه خط نیستن و فاصله ی دو به دویه هفتیرکشها باهم فرق داره
در یک لحظه هر هفتیرکش به کسی که کمترین فاصله رو با هاش داره شلیک میکنه اینا رو ثابت کنین.!
1)حداقل یکی زنده میمونه
2)به هیچ کسی بیشتر از 5 نفر شلیک نمیکنن
3)مسیر گلوله ها همدیگرو قطع نمیکنن
4)اگه مسیر گلوله ها رو با پاره خط نشون بدیم این پاره خطها تشکیل چند ضلعی بسته نمیدن.

1 رو با استقرا اثبات میکنیم واسه 1و3 که برسی میکنیم و بصورت بدیهی درسته.
حال فرض کنین برای 2n+1 درست باشه میخوام ثابت کنیم برای 2n+3 هم درسته.
چون فاصله 2به2 افراد متمایز است و تعداد فاصله ها متناهی است طبق اصل خوش ترتیبی کمترین فاصله وجود داره و 2 نفر هستن که به هم شلیک میکنن و کشته میشن.
پس در بین این 2n+3 نفر دو نفر مثه AوB هستن که همدیگر و میکشن حالا اگه از بین 2n+1 نفر باقی مانده هیچ کسی به AوB شلیک نکنه که طبق استقرا 1 نفر در بین اون 2n+1نفر زنده میمونه.
حالا اگه حداقل یکی از اون 2n+1 نفر به A یا B شلیک کنه.
(میدونیم هر نفر دقیقا یه شلیک میکنه و هر گلوله دقیقا یه نفر و میکشه)
پس در بین 2n+1 نفر حداکثر 2n شلیک بین خودشون انجام میشه(چون حداقل یه نفر از اونا به Aیا B شلیک کرده)
و در این صورت باز هم از 2n+1 نفر یه نفر زنده مانده و حکم استقرا اثبات شد.
توجه: حداقل برای اینه که ممکن هست 2 نفر زنده بمونن مثل این:

2)(برهان خلف) فرض کنین بشه! مثلا:

در مثلث AGB طبق فرض های مسئله نتیجه مگیریمAB بزرگترین ضلع و در نتیجه زاویه ی AGB بزرگترین زاویه هست
در نتیجه از 60 بزرگتر هست. همین استعدلال برای زوایای BGCوCGDوDGEوEGFوFGA درسته و در نتیجه باید جمع این 6 زاویه از 360 بیشتر باشه! به نظر تون میشه!
3)باز هم فرض کنین بشه! و نقطه تقاطع رو O بگیرین

پس AC<ADوBD<BC پس داریم AC+BD<BC+AD
از طریف طبق نا مساوی مثلث داریم AO+OD>ADوBO+OC>BC پس داریم:
BO+OC+AO+OD>BC+AD که نتیجه میشه:BD+AC>BC+AD
که با بالایی در تناقض است
4)فرض کنیم بدن !
یعنی Aبه B ,BبهC,Cبه Y,...,Dِِِبه ZوZبهA شلیک کنن و یه چند ضلعی بسته تشکیل بدن
طبق فرض مسئله نتیجه میگیریم AB < AZ است
از طرفی AZ<ZY<YX<...<AB که نتیجه می دهد AZ<AB که تناقض است.

[chessmathter]

چند جمله ای پایین رو در نظر بگیرین

دو نفر AوBاین طوری بازی میکنن که اول A یه عدد صحیح نا صفر تو یه کدوم از 3 جا خالی قرار میده بعد B دریکی از 2 جای باقی مانده یه عدد صحیح ناصفر میزاره ودر آخر Aدر آخرین جای مونده . نشون بدین Aمیتونه کاری بکونه که ریشه های معادله همیشه صحیح شن.؟

[chessmathter]

اعداد 1 تا 2n رو در نظر بگیرید حداقل چند تا عدد باید از این اعداد بر داریم تا مطمعن باشیم بین عدد هایی که انتخاب کردیم 2 عدد نسبت به هم اول وجود داره.؟

[zahedy2006]

اعداد 1 تا 2n رو در نظر بگیرید حداقل چند تا عدد باید از این اعداد بر داریم تا مطمعن باشیم بین عدد هایی که انتخاب کردیم 2 عدد نسبت به هم اول وجود داره.؟

n تا زوج داریم که باید برداشته شوند چون هیچ کدوم نسبت به هم اول نیستند
جزء صحیح اعداد فرد رو هم باید برداریم
منهای اشتراکات کنیم
یک رو نمی دونم

من مسئله رو با حداکثر فرض کردم
چون اعداد زوج که تابلو اند
اعداد فرد با مضارب خودشان تابلو اند
اعداد فرد و زوج یا فرد با فرد ممکنه مضارب خودشون باشند مثلا 15 که هم با 3 یه بار می ره هم با 5 که یکبارش رو دوباره اضافه می کنیم

نکته: هیچ کدوم این بالایی ها رو یادم نمی یاد چجوری کم می کردم

[chessmathter]

n تا زوج داریم که باید برداشته شوند چون هیچ کدوم نسبت به هم اول نیستند
جزء صحیح اعداد فرد رو هم باید برداریم
منهای اشتراکات کنیم
یک رو نمی دونم

من مسئله رو با حداکثر فرض کردم
چون اعداد زوج که تابلو اند
اعداد فرد با مضارب خودشان تابلو اند
اعداد فرد و زوج یا فرد با فرد ممکنه مضارب خودشون باشند مثلا 15 که هم با 3 یه بار می ره هم با 5 که یکبارش رو دوباره اضافه می کنیم

نکته: هیچ کدوم این بالایی ها رو یادم نمی یاد چجوری کم می کردم

حداکثر؟!!! یعنی چی ؟حداکثر که میشه همه رو برداشت.! و مطمعن بود 2 عدد هستند که نسبت به هم اول باشن.!
یه ذره اشتباه فک کنم مسئله رو گرفتی.

[chessmathter]

اعداد 1 تا 2n رو در نظر بگیرید حداقل چند تا عدد باید از این اعداد بر داریم تا مطمعن باشیم بین عدد هایی که انتخاب کردیم 2 عدد نسبت به هم اول وجود داره.؟

i m back
خوب اول حله این سوال ساده
اول نشون میدیم n عدد رو میتونیم ور داریم و هیچ دوتایی نسبت به هم اول نباشن اینم کار نداره همه اعداد زوج 1 تا 2n رو در نظر بگیرید هچ دوتایی نسبت به هم اول نیست
حالا دو تا دو تا اعداد جدا میکنیم (1,2 ) (3,4),(5,6),...,(2n,2n-1) هر دو عدد یه دسته نسبت به هم اولند اگه ما یه دسته رو تو اعداد مون داشته باشیم حتما دو عدد اول نسبت به هم داریم و تعداد دسته هام n تاس و واضح که در n+1 عدد انتخابی دو تا تو یه دستن و اول نسبت به هم پس حداقل n+1 عدد

[اشرف گنجویی]

لطفا جواب رو کامل بنویسید ممنون