◄◄ اتــاق اثبــات فــرمــول ها،قــضــایــا و احــکام هــنــدســه ►►

[omid81]

باسلام
یه سوال هندسه میذارم . ببینید میتونید حلش کنید ؟ ...

مثلث زیر را در نظر بگیرید . زوایای PBC , PCA , PAB همگی مساوی و برابر 30 درجه است . ثابت کنید مثلث ABC متساوی الاضلاع می باشد .

Tnx

[hoseinpb]

فکر کنم جواب اینطور باشه:

[saber57]

دوست خوبم اضلاع میتونن نیمساز باشند ولی لزوما نه!!!
وقتی a1+b1+c1=90 چه دلیلی داره که هر کدوم از زاویه ها 30 درجه باشه . مثلا a1=20,a2=30,a3=40 هم مجموعشون 90 میشه.
نکته جالب: اضلاع مقسم زوایا در صورتی متقارب هستند که یا نیمساز باشند یا میانه .در حالت نیمساز واضحه که هر کدوم از زوایا 30*2=60 درجه هست و مثلثی هم که سه زاویه اون 60 درجه باشه مثلث متساوی الاضلاعه .
شما این اثبات رو برای سه میانه انجام بدید .
راهنمایی :
نقطه برخورد سه میانه ،نقطه ثقل مثلث و هر کدوم از میانه ها رو به نسبت 3/1 و 3/2 تقسیم میکنه !!!

[omid81]

الان چی شد ؟ (!) . جوابایی که دادید درسته ؟ !! کسی دیگه نظری نداره ؟
Tnx

[k1kz]

با سلام خدمت همه بچه ها خصوصا آقا امید
این مساله شما فکر کنم در حد هندسه دوم دبیرستانه ولی راه حل بسیار طولانی داره من یه قسمتش رو حل کردم
ولی دیگه حوصله نکردم ادامه بدم!! البته به نتیجه خیلی جالبی رسیدم:
این شکل شما رو من این طور نامگذاری کردم:

با نوشتن رابطه سینوسها در هر سه مثلث کوچک و مثلث کلی داریم:



با حل هم زمان دستگاه معادلات به صورت زیر مساله حل میشود:



یعنی در حقیقت باید ثابت کنیم تنها جواب معادله فوق حالتی هست که آلفا و بتا و گاما برابر 30درجه باشند اون وقت یه مثلث با 3 تا زاویه 60 داریم که متساوی الاضلاع میشه

کسی راه حل کوتاه تر و ساده تری سراغ داره؟


>

[omid81]

جواب دوستان غلط بود ؟

[k1kz]

جواب دوستان غلط بود ؟

یکی از جوابها رو آقا صابر درست آنالیز کردند و جواب ایشون(hoseinpb) صحیح نبود و خود صابر هم راه حل پیشنهادی دادند و جواب مساله رو نگفتند


ممنون از همه




>

[k1kz]

شاید تا به اینجا کاری که روی این مساله انجام دادم یعنی تفکر در مورد حالتهای خاص در حد دبیرستانی و روابط ساده هندسی باشه ولی چیزی که این مساله رو این قدر پیچیده کرده و این مساله رو در کلاس یه ریاضیدان پیشرفته یا یه طراح الگوریتم قرار میده اینه که بجای بدست آوردن یه فرمول در حالتهای خاص یه روش کلی پیدا کنیم که بتونیم ضلع مربع رو در حالت کلی بدست بیاریم.
مثلا فرض کنید توی محیط اتوکد ما یه مثلث نامشخص ترسیم کردیم بعد میخواهیم مربع رو به طور تقریبی تا دقت مورد
ترسیم کنیم خوب معمولا اولین فکری که به نظر میرسه اینه که :
1)
از وسط یه ضلع مثلث شروع کنیم و یه زاویه قائمه با اضلاع مساوی و زاویه انحراف اتفاقی ترسیم کنیم و طول اضلاع رو همزمان آنقدر افزایش بدیم که یکی از اضلاع مثلث رو قطع کنه (شکل اول)
2)
حالا به این فکر میرسیم که این زاویه رو بچرخونیم یا از نقطه شروع جابجا کنیم
این یه دوراهیه که هرکدوم میتونه جواب ما باشه پس اول یکی رو امتحان میکنیم بعد دیگری رو
3)
برای چرخش من فکر میکنم باید آنقدر بچرخونیم که فاصله هر دو انتهای زاویه قائمه ما تا اضلاع مثلث مساوی بشه (شکل دوم)
4)
برای انتقال هم همینطور یعنی آنقدر زاویه رو به چپ یا راست ببریم که فاصله هر دو انتهای زاویه قائمه ما تا اضلاع مثلث مساوی بشه (شکل سوم)
5)
و این چرخش و انتقال رو آنقدر ادامه بدیم که تفاوت مساحتهای اضافه شده از یه حدی کمتر بشه


این روش یه الگوریتم درختی میخواد که قابل برنامه نویسیه

ولی آیا همیشه برای یه مثلث این روش جواب صحیح میده؟
نقطه شروع از کجا باشه؟
آیا روش دیگه ای که مطمئن تر باشه وجود داره؟
اصلا بهتر نیست از مرکز ثقل مثلث شروع کنیم؟


>

[saber57]

شاید تا به اینجا کاری که روی این مساله انجام دادم یعنی تفکر در مورد حالتهای خاص در حد دبیرستانی و روابط ساده هندسی باشه ولی چیزی که این مساله رو این قدر پیچیده کرده و این مساله رو در کلاس یه ریاضیدان پیشرفته یا یه طراح الگوریتم قرار میده اینه که بجای بدست آوردن یه فرمول در حالتهای خاص یه روش کلی پیدا کنیم که بتونیم ضلع مربع رو در حالت کلی بدست بیاریم.
مثلا فرض کنید توی محیط اتوکد ما یه مثلث نامشخص ترسیم کردیم بعد میخواهیم مربع رو به طور تقریبی تا دقت مورد
ترسیم کنیم خوب معمولا اولین فکری که به نظر میرسه اینه که :
1)
از وسط یه ضلع مثلث شروع کنیم و یه زاویه قائمه با اضلاع مساوی و زاویه انحراف اتفاقی ترسیم کنیم و طول اضلاع رو همزمان آنقدر افزایش بدیم که یکی از اضلاع مثلث رو قطع کنه (شکل اول)
2)
حالا به این فکر میرسیم که این زاویه رو بچرخونیم یا از نقطه شروع جابجا کنیم
این یه دوراهیه که هرکدوم میتونه جواب ما باشه پس اول یکی رو امتحان میکنیم بعد دیگری رو
3)
برای چرخش من فکر میکنم باید آنقدر بچرخونیم که فاصله هر دو انتهای زاویه قائمه ما تا اضلاع مثلث مساوی بشه (شکل دوم)
4)
برای انتقال هم همینطور یعنی آنقدر زاویه رو به چپ یا راست ببریم که فاصله هر دو انتهای زاویه قائمه ما تا اضلاع مثلث مساوی بشه (شکل سوم)
5)
و این چرخش و انتقال رو آنقدر ادامه بدیم که تفاوت مساحتهای اضافه شده از یه حدی کمتر بشه


این روش یه الگوریتم درختی میخواد که قابل برنامه نویسیه

ولی آیا همیشه برای یه مثلث این روش جواب صحیح میده؟
نقطه شروع از کجا باشه؟
آیا روش دیگه ای که مطمئن تر باشه وجود داره؟
اصلا بهتر نیست از مرکز ثقل مثلث شروع کنیم؟


>

یک کار دیگه هم میشه انجام داد . در یک n ضلعی دلخواه دوایری رسم میکنیم طوری که بشه اونا رو بر حداکثر اضلاع مماس کرد و بیشترین شعاع رو هم داشته باشند طوری که از چند ضلعی بیرون نزنه . در این دایره فرضی حتما میشه یک مربع محاط کرد . توجه کنید این فرض به درد الگوریتم مساله نمیخوره ؟

[k1kz]

ممنون هستم روش جالبیه برای شروع یک الگوریتم تقریب خوبی میده ولی باز هم باید ادامه بدیم .مثل شکل زیر:



>