◄◄ اتـــاق حــســاب دیــفــرانــسیــل و انــتـــگــرال ►►

[Iron]

این تابع بر مجموعه اعداد حقیقی پیوسته هست. در نقاط غیر صحیح هم مشتق پذیر هست ولی در نقاط صحیح مشتق پذیر نیست.

همونطورکه عرض کردم عبارت زیر انتگرال در نقاط صحیح ناپیوستست، نه پاسخ انتگرال نامعین.

اولاً اون قضیه نیست و تعریف هست.
دوماً : من تا حالا هرچی تعریف در این مورد دیدم، فقط پیوسته بودن رو مطرح کردند نه مشتق پذیری رو.(البته بعضی جاها حتی پیوستگی رو هم مطرح نکردند.)

اولاً تعریف نیست، اثبات میشه.
ثانیاً اون قضایا پیوستگی تابع زیر انتگرال رو شرط کرده اند که معادل هست با مشتقپذیری تابع انتگرال نامعین.

[mofidy1]

با سلام

حالا که دوستان این تاپیک خوب رو راه انداختن، برای تکمیل اون یه پیشنهاد دارم. دایرة المعارفی از توابع رو در اینجا راه اندازی کنید و در باره تک تک اونها توضیح دهید. به طور مثال:

توابع حقیقی یک متغیره و توابع مختلط یک متغیره
توابع چند متغیره ی حقیقی
توابع چند متغیره ی مختلط
توابع برداری
توابع پارامتری
توابع پیوسته و توابع ناپیوسته
توابع مشتق پذیر
توابع همه جا پیوسته و هیج جا مشتق پذیر
توابع یک به یک و توابع پوشا و توابع وارون پذیر
توبع خطی
توابع چند جمله ای
توابع گویا
توابع زوج و توابع فرد
توابع یکنوا (صعودی یا نزولی)
توبع هموگرافیک
توابع رادیکالی
توابع لگاریتمی
توابع نمایی
توابع مثلثاتی
توابع معکوس مثلثاتی
توابع کرندار و توابع بیکران
توابع هذلولوی
توابع جبری و توابع متعالی
توابع فراکتالی
توابع محدب
توابع تحلیلی
توابع بسل
توابع حسابی

تابع علامت
تابع دیریکله
تابع گاما
تابع بتا
تابع زتا
تابع تتا
تابع امگا
تابع بورل
تابع حسابی اویلر ( فی)
تابع حسابی سیگما
تابع حسابی تاو
تابع حسابی موبیوس
تابع حسابی لژاندر
تابع سیکلوتومیک
تابع هویساید
تابع بیضوی
.........
........
......

موفق باشید

7 تیر 1386

[پاکر]

پیرو پیشنهاد زیبای آقای مفیدی در مورد معرفی توابع خاص یکی از توابعی که واقعا علاقه ویژه ای نسبت بهش دارم رو در زیر معرفی می کنم.

[پاکر]

تابع زتا از متغیر s را با ضابطه ی زیر تعریف میشود

این تابع به احترام غول ریاضیات آلمان «برنهارد ریمان Bernhard Riemann» که در سال 1859 میلادی، به طور اصولی و منظم خواص کامل این تابع را مورد مطالعه قرار داد، تابع زتای ریمان نامیده شده است.در واقع سری نامتناهی بالا اولین بار توسط «لئونهارد اویلر Leonhard Euler»، تقریبا صدسال قبل از آنکه ریمان به این تابع بپردازد، معرفی شده بود.
از روی آزمون انتگرال، سری زتا به ازای s>1 همگراست و بنابراین، به ازای s>1، تابعی از s تعریف میکند. بعلاوه ، چون


مودار تابع زتا نیز به شکل زیر است (هرچند تابلو هستش! ببخشید بدیهیه!)





لازم به ذکره که آقای «اویلر» از این تابع برای اثبات بینهایت بودن اعداد اول استفاده کرده.
و زیبایی این اثبات هم در برقراری ارتباط میان حساب دیفرانسیل و انتگرال و حساب اعداد صحیح هستش.(تو رو خدا به من بگین آیا بهتر و زیباتر از ریاضی هم علمی هست؟! من که فکر نمی کنم!)
منبع:
آشنایی با نظریه اعداد
نوشته:ویلیام دبلیو.آدامز،لری جوئل گولدشتین
ترجمه:آدینه محمد نارنجانی

در مورد پیوستگی هم به وضوح مشخصه که تابع زتا:
در بازه ی باز 1ومثبت بی نهایت پیوسته بوده و مشتق پذیر هم هست.

[SuB]

از مدیران عزیز در خواست میکنم این تاپیک رو هم به لیست تاپیکهای مهم اضافه کنند.

[پاکر]

آقایون من دو اثبات نوشتم برای انتگرال نامعین تابع جزءصحیح [x] که دوستمون SuB گذاشته ببینید درسته یا نه؟!

*بنا به تعریف تابع جزءصحیح، به وضوح مشخصه که:

اثبات1
تابع f رو در بازه ی [n,n+1] در نظر می گیریم، بنابه (*) داریم:

چون (1) و (2) باهم برابرند میشه نتیجه گرفت که تابع ذکرشده(فرمول Sub)در بازه مورد نظر جواب انتگرال رو میده.

[پاکر]

اثبات2
با طی مرحله ی (1) از اثبات1 به جای مرحله ی (2)میشه از مشتق استفاده کرد، به این صورت که:

به راحتی می بینیم که روابط (1) (از اثبات1) و (3) (از اثبات2)باهم برابرند لذا حکم برقرار است.

توجه کنیم که تابع جزءصحیح [x] در دامنه تعریف مشتق پذیر نیست و من هم اینجا تابع رو روی بازه (ها)ی بسته تعریف کردم.
لذا می بینیم که برای محاسبه ی انتگرال این تابع باید دامنه انتگرال گیری رو به بازه هایی کوچک تقسیم کنیم بعدش با محاسبه ی این انتگرالها و جمعشون حاصل انتگرال کلی رو بدست بیاریم.

بدیهیه که اگه بازه دارای ابتدا و انتهای غیر صحیح نیز باشه میشه با استفاده از ویژگیهای انتگرال باهمین فرمول Sub مقدار انتگرال رو حساب کرد و به نتیجه رسید.

اما نکته مهم اینه که «سری که درد نمیکنه که دستمال نمی بندن!» خوب کاری که فرمول SuB میکنه رو به راحتی میشه با ویژگی (*)نیز انجام داد.
در واقع تابع SuB تنها یک «شکل خاص»از تابع اولیه ی تابع جزءصحیح [x] هستش!(البته اگه همچین تابعی وجود داشته باشه!)
تنها چیزی که میتونم در آخر درمورد فرمول (نمیگم تابع اولیه!)محاسبه ی انتگرال تابع جزءصحیح [x] بگم اینه که این فرمول(باتوجه به مستطیل های ایجاد شده با محور xها توسط این تابع)، «ممکنه» به شکل سری باشه!

[پاکر]

آقایون من مشتق تابع زتا رو به شکل زیر به دست آوردم نمیدونم درسته یا نه؟!

[پاکر]

از مدیران عزیز در خواست میکنم این تاپیک رو هم به لیست تاپیکهای مهم اضافه کنند

با عرض سلام خدمت استاد عزیزم آقای مفیدی
کاش این تاپیک رو استیکی می کردین!
همه از شما ممنون میشن.

دوستدارشما پاکر

[SuB]

اثبات2
با طی مرحله ی (1) از اثبات1 به جای مرحله ی (2)میشه از مشتق استفاده کرد، به این صورت که:

به راحتی می بینیم که روابط (1) (از اثبات1) و (3) (از اثبات2)باهم برابرند لذا حکم برقرار است.

توجه کنیم که تابع جزءصحیح [x] در دامنه تعریف مشتق پذیر نیست و من هم اینجا تابع رو روی بازه (ها)ی بسته تعریف کردم.
لذا می بینیم که برای محاسبه ی انتگرال این تابع باید دامنه انتگرال گیری رو به بازه هایی کوچک تقسیم کنیم بعدش با محاسبه ی این انتگرالها و جمعشون حاصل انتگرال کلی رو بدست بیاریم.

بدیهیه که اگه بازه دارای ابتدا و انتهای غیر صحیح نیز باشه میشه با استفاده از ویژگیهای انتگرال باهمین فرمول Sub مقدار انتگرال رو حساب کرد و به نتیجه رسید.

اما نکته مهم اینه که «سری که درد نمیکنه که دستمال نمی بندن!» خوب کاری که فرمول SuB میکنه رو به راحتی میشه با ویژگی (*)نیز انجام داد.
در واقع تابع SuB تنها یک «شکل خاص»از تابع اولیه ی تابع جزءصحیح [x] هستش!(البته اگه همچین تابعی وجود داشته باشه!)
تنها چیزی که میتونم در آخر درمورد فرمول (نمیگم تابع اولیه!)محاسبه ی انتگرال تابع جزءصحیح [x] بگم اینه که این فرمول(باتوجه به مستطیل های ایجاد شده با محور xها توسط این تابع)، «ممکنه» به شکل سری باشه!

راه شما برای اثبات اینکه این فرمول در بازه [n,n+1] درسته.
ولی این نکته رو من بگم که این فرمول ارائه شده برای بدست آوردن انتگرال معین جزء صحیح است یعنی اگه a, b دو عدد حقیقی باشد بطوریکه b>a ، از فرمول یاد شده برای محاسبه انتگرال معین جزء صحیح x در بازه [a,b] می تونید استفاده کنید. و این فرمول برای تست و وقتی مفیده که فاصله بین a و b زیاد باشه. چون ممکنه اشتباه کنید.
در ضمن تابع جزء صحیح x برای هر n صحیح در بازه (n,n+1] پیوسته و در بازه (n,n+1) مشتق پذیر است نه در بازه ای که شما ذکر کردید!