مسائلی از ریاضیات عمومی

**kvhsade** · 25-06-2013, 11:40

سلام دوستان در این تاپیک میخواهیم مطالب ریاضیات عمومی را با طرح مسائل گوناگون البته به روال منطقی مباحث (تابع-حدو پیوستگی- مشتق و کاربردهای آن-...) توضیح بدیم سعی میکنیم سطح سوالات طوری باشه که برای همه قابل فهم باشد (پس از طرح مسائلی در حد المپیاد خودداری کنید)شما هم اگر سوالی در این مباحث دارید مطرح کنید روال کار به این شکل است در هر پست یک یا چند سوال مطرح میشه که بقیه کاربران جواب بدهند بعد از چند سوال و جواب میریم سراغ بحث بعدی پس لطفا به روال منطقی تاپیک پایبند باشید برای نوشتن فرمولهای ریاضی از سایت زیر استفاده کنید
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
امیدوارم این تاپیک در فهم ریاضیات عمومی برای همه مفید باشه

**kvhsade** · 25-06-2013, 11:49

برای شروع کارمیریم سراغ تابع و مباحث مربوط به آن

دامنه توابع زیر را بدست آورید:(لطفا جوابها با توضیح همراه باشد)منتظر جوابهای همه دوستان هستیم

$f(x)=\sqrt{\frac{3-x}{x-1}}\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,g(x)=\frac{1}{ln(3x^{2}-2x)}$

$h(x)=\sqrt[3]{\frac{x}{1-\left | x \right |}}\,\,\,\,,\,\,\,\,k(x)=\sqrt{2^{x}-3^{x}}$

$l(x)=\frac{\sqrt{4-[x^{2}]}}{\sqrt{\left | x \right |-x}}$

**kvhsade** · 26-06-2013, 11:09

سلامی دوباره
در باره تابع $f$ باید گفت چون این تابع هم رادیکالی با فرجه زوج و هم کسری است پس برای تعین دامنه باید دو شرط را

بررسی کنیم 1- زیر رادیکال باید مثبت باشد 2- مخرج کسر نباید صفر شود با تشکیل جدول تعین علامت دامنه $f$ به صورت

$D_{f}=(1,3]$ خواهد بود همچنان منتظر جواب سایر دوستان برای دیگر توابع هستیم

**kvhsade** · 26-06-2013, 23:10

در مورد دامنه تابع $g(x)=\frac{1}{ln(3x^{2}-2x)}$ چون تابع کسری بوده و دارای ln است پس باید دو شرط را بررسی کنیم 1-مخرج کسر باید مخالف صفر باشد 2- عبارت جلوی ln باید از صفر بزرگتر باشد بعد از بررسی این دو شرط اشتراک هر دو حالت دامنه تابع خواهد بود:

$3x^{2}-2x> 0\Rightarrow x< 0\,,\,x> \frac{2}{3}\\\\ln(3x^{2}-2x)\neq 0\Rightarrow 3x^{2}-2x\neq 1\Rightarrow 3x^{2}-2x-1\neq 0\Rightarrow x\neq 1,\frac{-1}{3}$

حال اگر اشتراک حالتهای فوق را در نظر بگیریم $D_{g}=(-\infty ,-\frac{1}{3})\bigcup (-\frac{1}{3},0)\bigcup (\frac{2}{3},+\infty )$

**kvhsade** · 28-06-2013, 19:11

برای دامنه توابع زیر

$h(x)=\sqrt[3]{\frac{x}{1-\left | x \right |}}\,\,\,\,,\,\,\,\,k(x)=\sqrt{2^{x}-3^{x}}$ , $l(x)=\frac{\sqrt{4-[x^{2}]}}{\sqrt{\left | x \right |-x}}$

در تابع k باید زیر رادیکال مثبت باشد در نتیجه: $2^{x}-3^{x}\geq 0\Rightarrow 2^{x}\geq 3^{x} \Rightarrow (\frac{3}{2})^{x}\leq 1$ که با لگاریتم گیری از $(\frac{3}{2})^{x}\leq 1$ در پایه $\frac{3}{2}$ به $x\leq 0$ میرسیم پس $D_{k}=(-\infty ,0]$

__________________________________________________ _________________________
تابع h باید هم کسری و هم رادیکالی است اما دقت کنید فرجه رادیکال فرد است و درحالتهایی که فرجه فرد باشد مثبت یا منفی بودن زیر رادیکال

مهم نیست پس باید فقط شرط صفر نبودن مخرج را بررسی کنیم

$1-\left | x \right |\neq 0\Rightarrow \left | x \right |\neq 1\Rightarrow x\neq \pm 1\Rightarrow D_{h}=\mathbb{R}-\left \{ -1,1 \right \}$
__________________________________________________ _________________________
برای تابع l باید 1- زیر رادیکال در صورت و مخرج مثبت باشد 2- مخرج نباید صفر باشد

$\left\{\begin{matrix} 4-[x^{2}]\geq 0\\\\ \left | x \right |-x> 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} [x^{2}]\leq 4\\\\\left | x \right |> x \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}< 5\Rightarrow -\sqrt{5}< x< \sqrt{5}\\\\ x< 0 \end{matrix}\right.\\\\\Rightarrow D=\left ( -\sqrt{5},0 \right )$

**kvhsade** · 30-06-2013, 09:35

برد توابع زیر را بدست آورید

$f(x)=\sqrt{log(2x-x^{2})}\,\,\,,\,\,\,g(x)=\frac{2\left | x \right |-1}{\left | x \right |+1}$ , $y=e^{\frac{-1}{\sqrt{x-[x]}}}$

**kvhsade** · 02-07-2013, 19:40

برای برد تابع $y=e^{\frac{-1}{\sqrt{x-[x]}}}$ داریم:

$\\0< x-[x]< 1\Rightarrow 0< \sqrt{x-[x]}< 1\Rightarrow 1< \frac{1}{\sqrt{x-[x]}} < +\infty \\\Rightarrow -\infty < \frac{-1}{\sqrt{x-[x]}}< -1\Rightarrow e^{-\infty }< y< e^{-1 }\Rightarrow 0< y< \frac{1}{e}$

**farhad-13** · 08-07-2013, 21:57

اگر برای تابع f تعیین دامنه کنیم یعنی اول جلوی لگاریتم رو بزرگتر از صفر و یه بار زیر رادیکال رو بزرگتر مساوی صفر بزاریم ، دامنه فقط شامل عدد یک است که به ازای اون تابع برابر صفر میشه پس برد فقط صفره.
اما برای تابع g برد از 1- بسته تا 2 باز هست.
این هم راه حل :
$g(x)=\frac{2\left | x \right |+2-3}{\left | x \right |+1}=2+\frac{-3}{\left | x \right |+1}$
$\left | x \right |+1\geqslant 1\rightarrow 0< \frac{1}{\left | x \right |+1}\leqslant 1$
$-3\leqslant \frac{-3}{\left | x \right |+1}< 0\rightarrow -1\leq 2+\frac{-3}{\left | x \right |+1}< 2$
$R_{g}=\left [ -1,2 \right )$

**kvhsade** · 09-07-2013, 00:43

1- تابع $f(x)=[\frac{2}{1-x}]+[\frac{1-x}{1+x}]$ زوج است یا فرد؟ [ ] به معنی جز صحیح است

2-اگر $x\notin \mathbb{Z}$ و $g(x)=a[x]+2$ فرد باشد مقدار a چقدر است؟ [ ] به معنی جز صحیح است

3-اگر $h(x)=\left\{\begin{matrix} 5x-2\,\,\,\,\,\,\,x\geq 1\\\\ x+a\,\,\,\,\,\,\,\,\,x< 1 \end{matrix}\right.$ یک به یک باشد حدود a چیست؟

4- پوشا یا یک به یک بودن تابع $k(x)=\left | x-2 \right |-\left | x-5 \right |$ را تعیین کنید

منبع: ریاضیات عمومی پارسه

**farhad-13** · 09-07-2013, 09:06

جواب 1 :
ابتدا دامنه رو حساب می کنیم تا قرینه هر عضو هم در دامنه باشه که همینطوره.
$D_{f}=\mathbb{R}-\left \{ -1,1 \right \}$
داریم :
$f(x)=\left [ \frac{2}{1-x} \right ]+\left [ \frac{-x-1+2}{1+x} \right ]=\left [ \frac{2}{1-x} \right ]+\left [ \frac{2}{1+x} \right ]-1$
$f(-x)=\left [ \frac{2}{1+x} \right ]+\left [ \frac{2}{1-x} \right ]-1=f(x)$
پس تابعی زوج است.
جواب 2 :
چون تابع فرد است داریم :
$g(-x)=-g(x)$
$a\left [ -x \right ]+2=-a\left [ x \right ]-2$
$a\left [- x \right ]+a\left [ x \right ]=-4\rightarrow a\left ( \left [ -x \right ] \right +\left [ x \right ])=-4$
چون x عضو اعداد صحیح نیست ، عبارت داخل پرانتز برابر -1 است.
$-a=-4\rightarrow a=4$

نام تاپيک: مسائلی از ریاضیات عمومی

اختيارات تاپيک

مسائلی از ریاضیات عمومی

2 کاربر از kvhsade بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از farhad-13 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از farhad-13 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن