یه سوال ریاضی(میشه کمکم کنین؟!)

**s.pollux** · 08-08-2013, 14:45

سلام بچه ها!
این یه سوال المپیادی ریاضیه! میتونین حلش کنین؟!

در طی تحقیقاتمان موفق به کشف motor protein میشویم که هم در جهت(+) و هم در جهت(-) بر روی میکروتوبول ها میتواند حرکت کند.به گونه ای که در هر حرکت 1/2(یک دوم) احتمال دارد به سمت(+) و 1/2 احتمال دارد به سمت(-) حرکت کند.فاصله ی موتور پروتئین از انتهای (+) میکروتوبول 50 و از انتهای (-) 30 واحد است.
الف)چقدر احتمال دارد که دقیقا با 60 حرکت به انتهای (+) برسیم؟
ب)چقدر احتمال دارد در نهایت موتور پروتئین به انتهای منفی برسد؟

**davy jones** · 10-08-2013, 03:15

نوشته شده توسط s.pollux [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام بچه ها!
این یه سوال المپیادی ریاضیه! میتونین حلش کنین؟!

در طی تحقیقاتمان موفق به کشف motor protein میشویم که هم در جهت(+) و هم در جهت(-) بر روی میکروتوبول ها میتواند حرکت کند.به گونه ای که در هر حرکت 1/2(یک دوم) احتمال دارد به سمت(+) و 1/2 احتمال دارد به سمت(-) حرکت کند.فاصله ی موتور پروتئین از انتهای (+) میکروتوبول 50 و از انتهای (-) 30 واحد است.
الف)چقدر احتمال دارد که دقیقا با 60 حرکت به انتهای (+) برسیم؟
ب)چقدر احتمال دارد در نهایت موتور پروتئین به انتهای منفی برسد؟

سلام.

ظاهر سوال های المپیاد از عمد گیج کننده طراحی میشن تا افراد رو به اشتباه بندازن. اما اگه سوال رو به خوبی برای خودتون شبیه سازی و ساده سازی کنین، میبینین که این مساله با مسائل کلاسیک آمار و احتمال تفاوتی نداره و ساده است.

من سوال رو اینطوری براتون ساده سازی میکنم:
شما روی پلکانی قرار دارید که 81 پله دارد. در جلوی شما 50 پله رو به بالا و رسیدن به قله فاصله است و در عقبِ شما 30 پله برای رسیدن به پایین و سطح زمین. شما در هر بار تصمیم گیری برای گام برداشتن مختار هستین که به بالا بروید یا به پایین بیایید و احتمال گام نهادن روی پله ی بالایی برابر با گام نهادن روی پله ی پایینی است.
الف) چقدر احتمال دارد که شما دقیقا با 60 گام به قله برسید؟
ب) چقدر احتمال دارد که کلا شما به سطح زمین برسید؟

جواب:

الف) برای اینکه دقیقا با 60 گام به قله برسین، شما باید دقیقا 5 پله به سمت پایین رفته و 55 بار به سمت بالا گام بردارین. ترتیب گام برداشتن مهم نیست به جز اینکه آخرین و یکی مونده به آخرین گام باید رو به بالا باشه (اگه اینطور نباشه یعنی در حقیقت شما قبل از 60 حرکت به بالا رسیده بودین که این مطلوب نیست) اجازه بدین باز هم کار رو ساده تر کنیم. به ازای هر حرکت رو به بالا یک حرف u و به ازای هر گام به سمت پایینِ پله ها یک حرف d قرار بدین. جواب این قسمت معادل تعداد حالات غیر یکسانی است که شما قادر هستین که یک کلمه ی 60 حرفی با این دو حرف بسازید. منتها با این شرط که دو حرف آخر این کلمه ی 60 حرفی باید حتما u باشند.

جواب واضحه: دو حرف آخر که تکلیفشون مشخصه و هیچی. میمونه 58 حرف دیگه که 5 تاشون d و 53 تای دیگه u هستند. جایگشت اینها برابر میشه با $\frac{58!}{53!\times 5!}$ (چون حروف یکسان با هم تفاوتی در جایگشت ندارند). و چون به ازای هر حرکت به سمت بالا یا پایین، داشتیم که احتمالش برابر با یک دوم بود، بنابراین جواب قسمت الف میشه:

$\frac{58!}{53!\times 5!}\times (\frac{1}{2})^{60}=\frac{58\times 57\times 56\times 55\times 54}{5\times 4\times 3\times 2^{61}}$

ب) سریعترین راه برای اینکه شما به زمین برسین اینه که فقط در جهت عقب حرکت کنین و با 30 گام به زمین برسین. یا اینکه میتونین در این بین یک گام به بالا رفته و در عوض 31 گام به پایین بردارین. یا اینکه 2 گام به بالا برداشته و 32 گام به پایین بردارین و ... همین طور میتونه یکی یکی تعداد گامهایی که به سمت بالا برداشته میشن، زیاد بشه و در عوض شما یک گام اضافه به سمت پایین مجبورین که بردارین.

* سریعترین روش معادل تعداد حالات چینش کلمه ای 30 حرفیه که فقط توش حرف d داره که بدیهیه که تعداد حالات جایگشتش برابر با 1 هستش = $\binom{28}{0}$
* اگه یک گام به بالا هم در این بین داشته باشیم با رعایت این شرط که حرکت آخر و حرکت یکی مونده به آخر باید رو به پایین باشند (تا دقیقا در 32 حرکت به پایین رسیده باشیم) تعداد حالات جایگشت حروف کلمه ی 32 حرفی که یکیش u و بقیه d هستند برابر میشه با $\frac{30!}{29!\times 1!}$ که این مقدار برابر با $\binom{30}{1}$
* اگه دو گام به بالا داشته باشیم، با رعایت شرط گفته شده، خواهیم داشت: $\frac{32!}{30!\times 2!}=\binom{32}{2}$
.
.
.
* با دنبال کردن همین الگوریتم برای حالتی که n گام به سمت بالا داشته باشیم، خواهیم داشت: $\binom{30+2n-2}{n}=\binom{28+2n}{n}$

دقت داشته باشین که در هر کدام از این زیر جوابها، به تعداد کل گامهای برداشته شده، باید عدد یک دوم را در جوا ضرب کنیم. یعنی مثلا در سریعترین حالت که فقط به سمت پایین میآییم، احتمال رسیدن در این حالت $\frac{1}{2^{30}}$ بوده و در حالتی که یک گام به بالا هم برداشته ایم، احتمال جواب برابر با $\frac{\binom{30}{1}}{2^{32}}$ خواهد بود. همین طور الی آخر ...

در نهایت به نظر میرسه که جواب قسمت ب حاصل جمع دنباله ی به وجود اومده به ازای وقتی است که n به سمت بی نهایت میل میکنه:

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\binom{28+2n}{n}}{2^{(30+2n)}}$

البته جواب قسمت ب به دل خودم ننشست. شاید یه جای کار رو اشتباه کرده باشم.

موفق باشین.
92/5/19

**s.pollux** · 10-08-2013, 17:25

سلام.ازتون خیلی خیلی ممنونم...درمورد قسمت ب هم فک میکردم جواب میشه 5/8.مث این که اشتباه فک میکردم.مرسی که جواب دادین.کارم بدجوری گیر این سوال بود.متشکر

***M!L4D*** · 10-08-2013, 20:47

ترتیب گام برداشتن مهم نیست به جز اینکه آخرین و یکی مونده به آخرین گام باید رو به بالا باشه (اگه اینطور نباشه یعنی در حقیقت شما قبل از 60 حرکت به بالا رسیده بودین که این مطلوب نیست)

با سلام
فرض کنید با اون 53 حرکت رو به بالا و 5 حرکت رو به پایین ــه باقیمانده حالتی داریم که 50 تا حرکت + رو اول میره و قبل از انجام 60 حرکت به قله یا انتهای مثبت میرسه ... !
فک میکنم باید 6 حرکت آخر رو به بالا یا + باشه ... این طور نیست ؟!

در مورد قسمت دوم من به جواب :
n=2k

$\sum_{n=30}^{\infty }\frac{(\frac{n}{2}+14)!}{29! (\frac{n}{2}-15)! 2^n}$

رسیدم

**s.pollux** · 11-08-2013, 08:01

نوشته شده توسط *M!L4D* [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام
فرض کنید با اون 53 حرکت رو به بالا و 5 حرکت رو به پایین ــه باقیمانده حالتی داریم که 50 تا حرکت + رو اول میره و قبل از انجام 60 حرکت به قله یا انتهای مثبت میرسه ... !
فک میکنم باید 6 حرکت آخر رو به بالا یا + باشه ... این طور نیست ؟!

در مورد قسمت دوم من به جواب :
n=2k

$\sum_{n=30}^{\infty }\frac{(\frac{n}{2}+14)!}{29! (\frac{n}{2}-15)! 2^n}$

رسیدم

میشه راه حلتونو بگین؟

***M!L4D*** · 11-08-2013, 10:46

میشه راه حلتونو بگین؟

البته کاملا" مطمئن نیستم درست باشه .

فرض کنید با n حرکت میخواهیم به انتهای ( - ) برسیم .
x تعداد حرکات رو به بالا و y تعداد حرکات رو به پایین هست . حرکاتی به انتهای منفی منتهی میشن که در دستگاه زیر صدق کنند
x+y = n
y - x =30
که ازینجا بدست میاد *
x=n/2 - 15
y=n/2 +15
میشه نشون داد برای جایگشت دادن این حرکات به این منظور که به انتهای منفی برسند باید x+1 حرکت آخر به ازای n های مختلف رو به پایین باشه
یعنی :
$\sum_{n=30}^{\infty }\frac{\binom{n-(x+1)}{y-(x+1)}}{2^n}$

که با جایگذاری x و y بر حسب n به :

$\sum_{n=30}^{\infty }\frac{(\frac{n}{2}+14)!}{29! (\frac{n}{2}-15)! 2^n}$
می رسیم .

نام تاپيک: یه سوال ریاضی(میشه کمکم کنین؟!)

اختيارات تاپيک