اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**davy jones** · 13-11-2010, 15:58

نوشته شده توسط 1233445566 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

davy jones عزیز، ممکنه توضیح بدین چطوری این نتیجه رو گرفتید؟
متشکرم

سلام. چون انتگرال نسبت به x هستش، n در حکم یه عدد ثابته. پس فرق چندانی نمیکنه که انتگرال رو با وجود عدد ثابت n بر حسب x حساب کنیم و بعد حد n رو اعمال کنیم یا بالعکس.

البته اگه تابع f پیوسته و حقیقی نبود به نظرم شاید بشه برای این نتیجه گیری من مثال نقض پیدا کرد.

به نظر شما نتیجه گیری بنده غلطه؟ ممنون میشم که منو راهنمایی کنین.

موفق باشین.
89/8/22

**lebesgue** · 14-11-2010, 00:54

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام. چون انتگرال نسبت به x هستش، n در حکم یه عدد ثابته. پس فرق چندانی نمیکنه که انتگرال رو با وجود عدد ثابت n بر حسب x حساب کنیم و بعد حد n رو اعمال کنیم یا بالعکس.

البته اگه تابع f پیوسته و حقیقی نبود به نظرم شاید بشه برای این نتیجه گیری من مثال نقض پیدا کرد.

به نظر شما نتیجه گیری بنده غلطه؟ ممنون میشم که منو راهنمایی کنین.

موفق باشین.
89/8/22

نتیجه گیریتون به نظر من با ذکر یکسری شرایط برای تابع f (که ذکر کردین) به عنوان یک قضیه درسته، اما فکر می کنم اصل مسئله اثبات همین قضیه است.

**mir@** · 14-11-2010, 01:12

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض کنید که n>=2 و x_i عضوی از (0,1) باشد، آنگاه نشان دهید:

$\prod_{i=1}^n(1-x_i)+\sum_{i=1}^nx_i>1$

دوست نازنین 1233445566 مسئله را با اقتدار در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] حل فرموده اند

**mir@** · 14-11-2010, 01:18

نشان دهید که اگر a و b اعداد حقیقی بوده و اعداد u_0, u_1, ... دنباله زیر را تولید کنند:

$u_{n+1}=au_n+bu_{n-1}, n\ge1$

آنگاه تابع $f(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n\frac{x^n}{n!}$ شرط زیر را ارضا می کند:

$f(x)=-e^{ax}f(-x)$

**lebesgue** · 20-11-2010, 10:28

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نشان دهید که اگر a و b اعداد حقیقی بوده و اعداد u_0, u_1, ... دنباله زیر را تولید کنند:

$u_{n+1}=au_n+bu_{n-1}, n\ge1$

آنگاه تابع $f(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n\frac{x^n}{n!}$ شرط زیر را ارضا می کند:

$f(x)=-e^{-ax}f(-x)$

mir@ عزیز، آیا منظور شما این بوده است؟

$f(x)=-e^{ax}f(-x)$

**mir@** · 21-11-2010, 01:11

نوشته شده توسط 1233445566 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

mir@ عزیز، آیا منظور شما این بوده است؟

$f(x)=-e^{ax}f(-x)$

ابسولوتلی (!)
اصلاح شد. و مسئله به مدت یک هفته تمدید شد

متشکرم

**ali_hp** · 22-11-2010, 11:56

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

براي هر عدد گنگ a ثابت كنيد اعداد گنگ m و n وجود دارند بطوريكه a*m و a+n هر دو گنگ باشند و a*n و a+m هر
دو گويا باشند.

سلام،باز هم بابت تاخیر عذر می خوام!امیدوارم دیگه تکرار نشه!
دوست عزیز 1233445566 در اینجا:

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

به درستی مساله رو حل کردن.دستشون درد نکنه.

**ali_hp** · 23-11-2010, 18:08

آیا دنباله ای از عددهای به صورت $\sqrt[3]{n}-\sqrt[3]{m}$ (که mو n طبیعیند)وجود دارد که به $\sqrt{2}$ میل کند؟

**lebesgue** · 24-11-2010, 11:41

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

تابع f را تابعی حقیقی و پیوسته با دامنه ی اعداد نامنفی در نظر بگیرید به گونه ای که حد آن در بی نهایت 1 شود. عبارت زیر را محاسبه کنید:

$\150dpi \lim_{n\rightarrow \infty }\int_{2010}^{1389}f(nx)dx$

موفق باشید.

20 آبان 1389

با اجازه از دوستان، من با تعریف حد شروع می کنم.
فرض مطرح شده در صورت سوال در مورد حد f، معادل است با:

$\forall \varepsilon >0\:\: \: \: \exists M>0\: \: \: \: \forall x\: \: (x>M\Rightarrow \left | f(x)-1 \right |<\varepsilon)\: \: \: \: \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:(1)$

میخواهیم نشان دهیم:

$\forall \varepsilon' >0\:\: \: \: \exists M'>0\: \: \: \: \forall n\: \: (n>M'\Rightarrow \left | \int_{2010}^{1389}f(nx)dx+621 \right |<\varepsilon')\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (2)$

به ازای هر $\varepsilon '$ انتخاب می کنیم $\varepsilon =\frac{\varepsilon '}{621}$ ، در نتیحه بنا به (1)، M>0 ای وجود دارد که داشته باشیم:

$\forall x\: \: (x>M\Rightarrow \left | f(x)-1 \right |<\frac{\varepsilon'}{621})$

انتخاب می کنیم $M'=\frac{M}{1389}$ ، در نتیجه:

$\\\forall n\: \: (n>M')\Rightarrow nx>M'x=M\frac{x}{1389}\xrightarrow[]{x>1389}nx>M\\\\\\ \Rightarrow \left | f(nx)-1 \right |<\frac{\varepsilon'}{621}\Rightarrow 1-\frac{\varepsilon'}{621}<f(nx)<1+\frac{\varepsilon'}{621}\\\\\\ \Rightarrow \int_{2010}^{1389}(1+\frac{\varepsilon'}{621})dx<\int_{2010}^{1389}f(nx)dx<\int_{2010}^{1389}(1-\frac{\varepsilon'}{621})dx\\\\\\ \Rightarrow (1389-2010)(1+\frac{\varepsilon'}{621})<\int_{2010}^{1389}f(nx)dx<(1389-2010)(1-\frac{\varepsilon'}{621})\\\\\\ \Rightarrow (-621-\varepsilon')<\int_{2010}^{1389}f(nx)dx<(-621+\varepsilon')\Rightarrow \left | \int_{2010}^{1389}f(nx)dx+621 \right |<\varepsilon'$

پس به ازای هر $\varepsilon '>0$ ، $M '>0$ ای یافتیم که شرط مورد نظر را برقرار کند و در نتیجه (2) برقرار است، یعنی:

$\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{2010}^{1389}f(nx)dx=-621$

**lebesgue** · 26-11-2010, 14:51

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نشان دهید که اگر a و b اعداد حقیقی بوده و اعداد u_0, u_1, ... دنباله زیر را تولید کنند:

$u_{n+1}=au_n+bu_{n-1}, n\ge1$

آنگاه تابع $f(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n\frac{x^n}{n!}$ شرط زیر را ارضا می کند:

$f(x)=-e^{ax}f(-x)$

معادله دیفرانسیل روبرو را در نظر می گیریم:

$\120dpi y''-ay'-by=0$

فرض کنیم جواب معادله به صورت روبرو باشد:

$\120dpi \\y=\sum_{n=0}^{\infty }v_n\frac{x^n}{n!}$

در نتیجه با مشتق گیری داریم:

$\120dpi y'=\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{n=0}^{\infty }v_{n+1}\frac{x^n}{n!}\: \: \: ,\: \: \: y''=\sum_{n=2}^{\infty }v_{n}\frac{x^{n-2}}{(n-2)!}=\sum_{n=0}^{\infty }v_{n+2}\frac{x^n}{n!}$

با قرار دادن در معادله بدست می آید:

$\120dpi \sum_{n=0}^{\infty }(v_{n+2}-av_{n+1}-bv_{n})\frac{x^n}{n!}=0\: \: \: \Rightarrow \: \: \: v_{n+2}=av_{n+1}+bv_{n}$

با فرض $\110dpi u_0=0$ می توان نوشت:

$\120dpi f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }u_n\frac{x^n}{n!}$

در اینصورت می توان تحقیق کرد که $\110dpi f(x)$ و $\110dpi -e^{ax}f(-x)$ هر دو در معادله دیفرانسیل مذکور صدق می کنند.
فرض کنیم:

$\120dpi g(x)=-e^{ax}f(-x)=\sum_{n=0}^{\infty }w_n\frac{x^n}{n!}$

در نتیجه:

$\120dpi w_{n+1}=aw_n+bw_{n-1}$
$\120dpi \\w_0=g(0)=u_0\\ w_1=g'(0)=u_1\\ \Rightarrow w_n=u_n\Rightarrow g(x)=f(x)$

البته سوال اینجاست که فرض $\110dpi u_0=0$ از کجا آمد؟!

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

این کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

حل مسئله شنبه چهل و سوم

مسئله شنبه چهلم و چهارم

این کاربر از mir@ بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

حل مساله یکشنبه بیست و ششم

مساله یکشنبه بیست و هفتم

این کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن