اثبات2
با طی مرحله ی (1) از اثبات1 به جای مرحله ی (2)میشه از مشتق استفاده کرد، به این صورت که:
به راحتی می بینیم که روابط (1) (از اثبات1) و (3) (از اثبات2)باهم برابرند لذا حکم برقرار است.
توجه کنیم که تابع جزءصحیح [x] در دامنه تعریف مشتق پذیر نیست و من هم اینجا تابع رو روی بازه (ها)ی بسته تعریف کردم.
لذا می بینیم که برای محاسبه ی انتگرال این تابع باید دامنه انتگرال گیری رو به بازه هایی کوچک تقسیم کنیم بعدش با محاسبه ی این انتگرالها و جمعشون حاصل انتگرال کلی رو بدست بیاریم.
بدیهیه که اگه بازه دارای ابتدا و انتهای غیر صحیح نیز باشه میشه با استفاده از ویژگیهای انتگرال باهمین فرمول Sub مقدار انتگرال رو حساب کرد و به نتیجه رسید.
اما نکته مهم اینه که
«سری که درد نمیکنه که دستمال نمی بندن!» خوب کاری که فرمول SuB میکنه رو به راحتی میشه با ویژگی (*)نیز انجام داد.
در واقع تابع SuB تنها یک «شکل خاص»از تابع اولیه ی تابع جزءصحیح [x] هستش!(البته اگه همچین تابعی وجود داشته باشه!)
تنها چیزی که میتونم در آخر درمورد فرمول (نمیگم تابع اولیه!)محاسبه ی انتگرال تابع جزءصحیح [x] بگم اینه که این فرمول(باتوجه به مستطیل های ایجاد شده با محور xها توسط این تابع)، «ممکنه» به شکل سری باشه!