مسائلی از ریاضیات عمومی

**kvhsade** · 12-07-2013, 15:30

حل سوال 3- برای آنکه یک تابع چند ضابطه ای یک به یک باشد باید اشترک بردها تهی باشد

بنابراین

$x\geq 1\Rightarrow 5x \geq 5\Rightarrow 5x-2\geq 3\Rightarrow R_1=\left [ 3,+\infty )$

$x< 1\Rightarrow x+a< 1+a\Rightarrow R_2= \left ( -\infty ,1+a \right )$

برای یک به یک بودن باید داشته باشیم:

$R_1\bigcap R_2= \varnothing$

پس داریم:

$1+a\leq 3\Rightarrow a\leq 2$

لذا مقادیر مجاز برای a :

$\left ( -\infty ,2]$

**kvhsade** · 12-07-2013, 18:35

حل سوال 4- با توجه به حدود x

$\\x< 2\Rightarrow k(x)=-(x-2)+(x-5)=-3\\\\2\leq x\leq 5\Rightarrow k(x)=(x-2)+(x-5)=2x-7\\\\x> 5\Rightarrow k(x)=(x-2)-(x-5)=3$

برد تابع $[-3,3]$ است و تابع پوشا نیست همچنین اگر نمودار تابع را رسم کنیم معلوم خواهد شد که این تابع یک به یک هم نیست

یادآوری
برای آنکه نمودار یک تابع یک به یک باشد باید هر خط به موازات محور طول ها نمودار را فقط در یک نقطه قطع کند
برای انکه نمودار یک تابع پوشا باشد باید هر خط به موازات محور طول ها نمودار را حداقل در یک نقطه قطع کند

**kvhsade** · 13-07-2013, 10:02

1 - ضابطه معکوس تابع $f(x)=-\sqrt{x+2}+1$ را بدست آورید

2 - اگر $g(x)=ln\sqrt{\frac{x-3}{x+2}}$ نمودار معکوس این تابع محور xها را در چه نقطه ای قطع میکند؟

3 - معکوس تابع $h(x)=e^{arccos\sqrt[3]{lnx}}$ چیست؟

4 - مقدار $sinh^{-1}2$ چقدر است؟

**kvhsade** · 16-07-2013, 23:13

1- یکی از راه های معمول برای بدست آوردن معکوس یک تابع محاسبه x برحسب y است و در آخر جای x و y را عوض میکنیم بنابراین:

$\\y=-\sqrt{2+x}+1\Rightarrow \sqrt{2+x}=1-y\Rightarrow 2+x=1-2y+y^{2}\\\\\Rightarrow x=y^{2}-2y-1\Rightarrow f^{-1}(x)=x^{2} -2x-1$
__________________________________________________ ______________________

2- $\\y=ln\sqrt{\frac{x-3}{x+2}}\Rightarrow e^{^{y}}=\sqrt{\frac{x-3}{x+2}}\Rightarrow e^{2y}=\frac{x-3}{x+2}\Rightarrow xe^{2y}+2e^{2y}=x-3\\\\\Rightarrow x=\frac{3+2e^{2y}}{1-e^{2y}}\Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{3+2e^{2x}}{1-e^{2x}}$

جایی که نمودار $f^{-1}(x)$ محور x ها را قطع میکند $\frac{3+2e^{2x}}{1-e^{2x}}=0\Rightarrow 3+2e^{2x}=0\Rightarrow e^{2x}=-\frac{3}{2}$

یعنی $f^{-1}(x)$ محور xها را قطع نمیکند

راه دیگر : اگر فرض کنیم نمودار $f^{-1}(x)$ محور طول ها را در نقطه ای مانند $(a ,0)$ قطع کند آنگاه نمودار $f(x)$ باید محور عرض ها را در نقطه $(0,a)$ قطع کند یعنی

$f(0)=a\Rightarrow ln\sqrt{\frac{0-3}{0+2}}=a\Rightarrow ln\sqrt{-\frac{3}{2}}=a$ که غیر ممکن است یعنی نمودار $f^{-1}(x)$ اساسا محور طول ها را قطع نمیکند

یادآوری: ${\color{Red} (x,y)\in f\Leftrightarrow (y,x)\in f^{-1}}$

نام تاپيک: مسائلی از ریاضیات عمومی

اختيارات تاپيک

2 کاربر از kvhsade بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از kvhsade بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از kvhsade بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن