تصحیح راه حل
ریشه های x^2+1=0را kوk- می نا میم برای هر عدد مختلط xکه x=a+bk تعریف می کنیم N(x)=a^2+b^2نوشته شده توسط ali_hp
(بخوانید نرم x) می توا ن ثابت کرد برای هر xغیر از k,-k نرم حد اقل یکی از اعداد x^2-x+1,x^2+x+1از نرم x بیشتر است پس اگر xریشه ای از f باشد و xغیر از k,-k باشد می توانیم از روی x ریشه ای با نرم بزرگتر بدست اوریم و این کار را تا جایی که به k,-k نرسیده ایم ادامه دهیم .}
بزرگترین nای را در نظر می گیریم که f بر x^2+1به توان n بخش پذیر باشد و.
f(x)=g(x)(x^2+1)^nبا قرار دادن این رابطه در رابطه داده شده برای f نتیجه می شود
g(x)g(x+1)=g(x^2+x+1)l (که رابطه ای مثل رابطه ای است که fدر ان صدق می کند ) اگر k یا k- ریشه g باشند می توان نشان داد دیگری نیز هست(زیراgدر رابطه ای مشابه با رابطه ای که برای fداشتیم صدق می کند پس اگر kریشه ان باشد k^-k+1 که برابر k- است نیز ریشه ان است
و اگر k- ریشه ان باشد به روش مشابه kریشه ان می شود ) در نتیجه g بر x^2+1
بخش پذیر می شود که با بزرگترین بودن n متناقض است .پس k,-k پس k,-kریشه های g نیستند و حالا می توانیم از رو ی یک ریشه g نا متناهی ریشه برای ان بدست اوریم.زیرا اگرx ریشه ای از g باشد x^2+x+1,x^2-x+1 نیز ریشه های g هستند وباتوجه به اینکه x نمی تواند kوk- نرم حد اقل یکی از اعداد x^2+x+1,x^-x+1 از نرم x بیشتر است
و بدین ترتیب توانستیم از روی ریشه ای دلخو ا ه g ریشه ای با نرم بزر گتر بدست اوریم پس اگر از یک ریشه g شروع
کنیم ری توانیم دنباله ای نامتناهی از ریشه ها بسازیم که نرمشان صعودی است پس هیچ دو تایی برابر نیستند .
پس g یا ریشه ندارد یا نامتناهی ریشه دارد.و در هر صورت بایددرجه اش0باشد(زیرا طبق قضیه اساسی جبر هر چند جمله ای از در جه mکه m>0 دقیقا m ریشه دارد . به صورت مقدماتی هم می توان با استفاده از مفاهیم بخش پذیری
ثابت کرد هر چند جمله ای از درجه m>0 حد اکثر mریشه دارد.)
پسg ثابت است .
پس همه جوابهای مسا له به صورت f(x)=a(x^2+1)^nهستند که با جا یگزاری در صورت مساله a=0,1و همه kهای صحیح جوابهای قابل قبول می دهند .
بسیاری از جزییات را ننوشتم هر جا مبهم بود بگویید تا بیشتر توضیح دهم
را محاسبه کنید و به دست آورید:
.
