اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

[mofidy1]

با سلام

ببینید دوست عزیز، فرض کنید که متحرکی روی دایره واحد با سرعت واحد حرکت کند. بنابر این پس از t ثانیه، این متحرک t متر را می پیماید. بنابراین پس از 2pi ثانیه متحرک به نقطه آغاز می رسد و پس از pi/2 به نقطه (0و1) می رسد و ...
بنابر این تناظری یک به یک بین نقاط دایره و نقاط بین 0 و 2pi موجود است. از طرف دیگر فرمول S نشان دهنده جای متحرک روی منحنی است پس از t ثانیه. اما می دانید که هر نقطه روی دایره واحد را با زوج مرتبی نشان می دهند که طول آن کسینوس و عرض آن سینوس زاویه ای است که راس این زاویه در همان نقطه و ابتدای آن مبدا مختصات است.

ضمنا علی آقا مطالعه پست 58 شما مشکل است چون مطالب تقریبا در هم و بر هم است. بی زحمت به پست 28 مراجعه کنید و نمادها را آنگونه که در آنجا توضیح داده شده آماده کنید - همانند پستهای اینجانب و پستهای دوستمان eh_mn در تایپ مسائل. ممنونم.

موفق باشید.

[ali_hp]

باسلام سرعت خطي متحرك واحد است اما چرا متحرك پس t ثانيه tمتر از كمان دايره را مي پيمايد.
من با زبان texاشنايي ندارم.

[mofidy1]

با سلام

علی آقا در اینجا عبارت "متحرکی روی دایره با سرعت واحدحرکت می کند " به طور دقیقتر یعنی "سرعت زاویه ای آن واحد است" و این هم یعنی "بعد از t ثانیه ، متحرک t رادیان روی دایره حرکت کرده است" و این به طور شهودی همان است که در پست 61 توضیح دادم.

آقای حسين پوران، زبان tex - حداقل در مراحل ابتدایی آن - زبان پیشرفته و پیچیده ای نیست. به طور مثال برایتان دستورات تایپ دو فرمول اول و دوم پست 57 را با تصویر زیر توضیح می دهم. با دقت و تقلید از آنها متوانید فرمولهای بسیاری را تولید کنید. حداقل یکبار این کار را انجام دهید. (بی زحمت به پست 28 نیز مراجعه کنید.)

موفق باشید.

[ali_hp]

خيلي ممنونم اقاي مفيدي من پست 58 ويرايش كردم.
لطفا يك بار ديگر به پستهاي 48و51و63 مراجعه كنيد . متحركي رادر نظر مي گيريم که روی دایره واحد در حرکت است .اگر wرا یک در نظر بگیریم چر ا طول بردار سرعت واحد می شود واگر vرا یک در نظر می گیریم چرا معادله حرکت به صورت زیر است.
s(t)=(sint,cost)l (که در حقیقت معادل این است که w یک باشد) اگر هم بخواهیم هر دو را یک در نظر بگیریم چراچنین متحرکی وجود دارد .
پست50درباره معادل بودن رابطه v=rwو قضیه هم ارزی است .
اینکه مشتق sinxدر نقطه صفر می شود cos0=1فقط جزیی از این است که مشتق sinxمی شود cosx
با این حال اگر تعریف مشتق را برای تابع sinxدر نقطه صفر بنویسیم می بینیم که این(منظور یک شدن مشتق sinxدر صفر است) معادل قضیه هم ارزی است.

[mofidy1]

با سلام خدمت دوستان اتاق ریاضیات

خدا را شکر. احساس می کنم که این اتاق کم کم در حال تبدیل شدن به محلی با نشاط برای استفاده قشر وسیعی از دانش آموزان و دانشجویان است. در حدود 40 روزی که از افتتاح این اتاق می گذرد، به طور متوسط روزانه 35 بازدید از آن صورت گرفته است، با اینکه هنوز مطالب ارائه شده در آن خیلی زیاد نیست.

از امروز با اجازه شما بخش «مساله هفته » را آغاز می کنیم. شنبه ها مساله را طرح و جمعه ها حل کامل آن را ارائه خواهیم کرد. در طول هفته منتظر حل مساله از طرف بازدید کنندگان محترم خواهیم بود و روز جمعه، راه حلهای درست را مشخص می کنیم. توجه فرمایید که هدف، ارائه راه حلهای مختلف برای یک مساله است و فقط حل مساله هدف ما نیست.
از دوستان - به ویژه eh_mn و ali_hp - انتظار شرکت فعال در حل این مسائل داریم حتی اگر روشها متفاوت و طولانی باشد.

ذکر این نکته لازم است که «مساله خوب» مساله ای لزوما مشکل نیست. «مساله خوب» مساله ای است که حل آن به ایده های «زیبا» و «کلی» نیازمند باشد. بنابر این مساله های هفته، نه مشکل و نه آسانند. از طرف دیگر مسائل این بخش لزوما دبیرستانی نیستند، هر چند سعی خواهیم کرد که مسائل عمومی تر باشند.

مساله هفته اول:

فرض کنید:

ثابت کنید:

ارسال متن: 8 خرداد 1385

با سلام

طبق قراری که گذاشتیم به حل مساله هفته اول می پردازیم و فردا مساله هفته دوم را مطرح خواهیم کرد. از دوست خوبم آقای حسين پوران که در پست 58 مساله را به طور کامل حل کردند متشکرم. در اینجا مساله ای مطرح می کنم که تعمیم مساله هفته اول است و سپس آنرا حل می کنم.

مساله: قرار دهید

ثابت کنید:

حل مساله:

حال اگر به جای آلفا، 18 قرار دهید، x به دست آمده ، مساله هفته اول حل می شود.

موفق باشید.

ارسال متن: 12 خرداد 1385

[mofidy1]

مساله این هفته را مطرح و انشاءالله جمعه راه حل آن را ارائه می کنیم. منتظر راه حلهای بازدید کنندگان محترم هستیم.

مساله: مثلث زیر را در نظر بگیرید. زوایای PBC و PCA و PAB همگی مساوی و برابر با 30 درجه اند. ثابت کنید این مثلث متساوی الاضلاع است. توجه کنید که هیچ اطلاعی درباره مکان نقطه P نداریم.

ارسال متن: 13 خرداد 1385

[ali_hp]

لم:در مثلث دلخواه ABCداریم: a/b=sin(A)/sin( B)l
اثبات:ارتفاع خارج شده از راس Cرارسم می کنیم وطول ان را hمینامیم داریم:sin(A)=h/a,sin(B)=h/b
از تقسیم دو رابطه بالا بر هم حکم بدست می اید.


فرض کنید PAC=X,PBA=X,PCB=Z پس داریم X+Y+Z=90.طبق لم بالا در سه مثلث کوچک داریم:

PAB: pA/PB=sin(Y)/sin(30)l
PBC: PB/PC=sin(Z)/sin(30)l
PCA: PC/PA=sin(X)/sin(30)l




با ضرب روابط بالا داریمsin(X)sin(Y)sin(Z)=1/8 .
فرض کنید x=y=z=30 نباشد .پس حداقل یکی از x,y,zبزرگتر 30 است(زیرا در غیر اینصورت داریم X+Y+Z<30+30+30=90) و حداقل یکی از انها کوچکتر از30 است(زیرا در غیر اینصورت داریم X+Y+Z>30+30+30=90) بدون کم شدن از کلیت مساله فرض کنید X>30وY<30 از بین X,Yهر کدام راکه فاصله کمتری از 30 داشت را به 30تبدیل کرده ودیگری را به اندازه فاصله زاویه ای که به 30 تبدیل کردیم با 30 ; به 30 نزدیک میکنیم.دو زاویه ای که بدین صورت بدست می اید یکی 30 است.اندازه دیگری را Wمی نامیم.با توجه به نحوه تبدیل X,Yبه این دو زاویه W+30=X+Yوتفاضل X,Yاز تفاضلW,30بیشتر است پس با توجه به رابطه
sin(p)sin(q)=(cos(p-q)-cos(p+q))/2 داریم : sin(X)sin(Y)<sin(W)sin(30)l پس
sin(X )sin(Y )sin(Z )<sin(W )sin(30)sin(Z )l
حال اگر WوZرا به 30 تبدیل کنیم مشابه بالا خواهیم داشت:sin(w)sin(z)<sin(30)sin(30)l
پس: sin(x)sin(y)sin(y)<1/8 این تناقض نشان می دهد که باید داشته باشیم X=Y=Z=30پس A=B=C=60

[ali_hp]

با سلام،اقای مفیدی من هنوز مشکلم (در پست 64 مطرح کرده ام) درباره اثبات شما بر طرف نشده است.وهنوز ان را نفهمیده ام.لطفا بیشتر توضیح دهید.

[mofidy1]

با سلام

علی آقا فکر می کنم در پستهای قبلی تقریبا به همه سوالات شما جواب دادم. سوالاتی که در پست 64 مطرح کردید تقریبا همان سوالات قبلی است. متاسفانه یکی از مشکلات بزرگ گفتگو در اینترنت این است که نمی توان در آن خیلی صریح و قانع کننده صحبت کرد به ویژه اگر این صحبتها پیرامون علم ظریف و دقیقی همچون ریاضیات باشد. اگر بخواهیم این بحثها را ادامه دهیم مشکلات زیادی برای بنده و شما ایجاد خواهد شد. یک پیشنهاد دارم. فرض می کنیم که مباحث قبلی برای شما قانع کننده نبوده است و در درستی آن شک دارید. هیچ اشکالی ندارد. با توجه به شناختی که از شما پیدا کرده ام مطمئنم که با تحقیق و مطالعه می توانید راه حل دیگری -البته فقط در حد درس حسابان سال سوم ریاضی- پیدا کنید. بنابر این سر فرصت شروع کنید به حل این مساله. بنده هم مشتاقانه منتظر راه حل جدید شما هستم. (البته به شرطی که مزاحم درس خواندن شما نشود چون این روزها روزهای سرنوشت سازی برای شماست.)

موفق باشید

ارسال متن: 15 خرداد 1385

[mofidy1]

مساله این هفته را مطرح و انشاءالله جمعه راه حل آن را ارائه می کنیم. منتظر راه حلهای بازدید کنندگان محترم هستیم.

مساله: مثلث زیر را در نظر بگیرید. زوایای PBC و PCA و PAB همگی مساوی و برابر با 30 درجه اند. ثابت کنید این مثلث متساوی الاضلاع است. توجه کنید که هیچ اطلاعی درباره مکان نقطه P نداریم.

ارسال متن: 13 خرداد 1385

با تشکر از آقای حسين پوران که در پست 67 به حل مساله هفته دوم پرداختند. و اما می پردازیم به حل مساله که تقریباً شبیه راه حل آقای حسين پوران است. راه حلی که خدمتتان تقدیم میکنم متعلق است به دوست بسیار عزیزم آقای «حسین تیموری فعال» در مرکز تحصیلات تکمیلی در علوم پایه زنجان.

حل مساله:

به شکل زیر توجه کنید:




فرض کنید

بنابر قضیه سینوسها در مثلث داریم:

لذا می توان نوشت:

به همین ترتیب می توان ثابت کرد که:

باضرب اینها درهم خواهیم داشت:

و بنابراین

درنتیجه:

حال فرض کنید

می توان دید که اگر x>0 آنگاه لذا

که نتیجه می دهد:

بد نیست بدانیم که این مساله قابل تعمیم به چند ضلعی های محدب است. به طور مثال یک چهار ضلعی محدب را با نقطه ای در درون آن در نظر بگیرید. از این نقطه به چهار راس چهار ضلعی وصل کنید به گونه ای که همانند مساله بالا یک در میان زاویه های مساوی اما در اینجا 45 درجه ایجاد شود. در اینصورت این چهار ضلعی باید یک مربع باشد. این مطلب برای چند ضلعی های بالاتر نیز برقرار است. حالت کلی مساله را به طور ساده می توان به صورت زیر بیان کرد:
در داخل یک n-ضلعی محدب، نقطه P را در نظر بگیرید و آنرا به همه رئوس وصل کنید. یکی از n مثلث به وجود آمده و یکی از زوایای غیر هم راس با P را انتخاب کنید. این زاویه را آلفا بنامید. حال در جهت مثلثاتی حرکت کنید و همه زوایای مثلثهای دیگر را هم که از لحاظ مکانی مشابه با این زاویه هستند (به شکل زیر توجه کنید) آلفا بنامید. ثابت کنید اگر همه این زوایا با هم برابر باشند و داشته باشیم:

آنگاه این n-ضلعی، منتظم است.




البته حل این مساله چندان آسان نیست. اگر به راه حل خوبی از این مساله کلی تر دسترسی پیدا کردید، خوانندگان این اتاق را بی نصیب نگذارید. متشکریم.

ارسال متن: 19 خرداد 1385