مقالات علمي رياضي

Hyperbolic geometry

Hyperbolic geometry is a non-Euclidean geometry, meaning that the parallel postulate of Euclidean geometry is rejected. The parallel postulate in Euclidean geometry states (for two dimensions) that given a line l and a point P not on l, there is a unique line through P that does not intersect l. In hyperbolic geometry, this postulate is false in the following way: there are at least two distinct lines through P which do not intersect l. Upon assuming this, we can prove an interesting property of hyperbolic geometry: that there are two classes of non-intersecting lines. Let B be the point on l such that the line PB is perpendicular to l. Consider the line x through P such that x does not intersect l, and the angle theta between PB and x (counterclockwise from PB) is as small as possible (i.e., any smaller an angle will force the line to intersect l). This is called a hyperparallel line (or simply parallel line) in hyperbolic geometry. Similarly, the line y that forms the same angle theta between PB and itself but clockwise from PB will also be hyper-parallel, but there can be no others. All other lines through P not intersecting l form angles greater than theta with PB, and are called ultraparallel (or disjointly parallel) lines. Notice that since there are an infinite number of possible angles between theta and 90 degrees, and each one will determine two lines through P and disjointly parallel to l, we have an infinite number of ultraparallel lines.

Thus we have this modified form of the parallel postulate: In Hyperbolic Geometry, given any line l, and point P not on l, there are exactly two lines through P which are hyperparallel to l, and infinitely many lines through P ultraparallel to l.

The differences between these types of lines can also be looked at in the following way: the distance between hyper parallel lines goes to 0 as you move on to infinity. However, the distance between ultraparallel lines does not go to 0 as you move to infinity.

The angle of parallelism in Euclidean geometry is a constant, that is, any length BP will yield an angle of parallelism equal to 90°. In hyperbolic geometry, the angle of parallelism varies with what is called the Π(p) function. This function, described by Nikolai Ivanovich Lobachevsky produced a unique angle of parallelism for each given length BP. As the length BP gets shorter, the angle of parallelism will approach 90°. As the length BP increases without bound, the angle of parallelism will approach 0°. Notice that due to this fact, as distances get smaller, the hyperbolic plane behaves more and more like Euclidean geometry. So on the small scale, an observer within the hyperbolic plane would have a hard time determining they are not in a Euclidean plane.

عزیزان این مربوط به پست بالا بود ...

نقل قول:

---

نوشته شده توسط mehdi_7070

درباره عدد پي
=======
تربيع دايره:

يونان باستان مساحت هر شكل هندسي را از را تربيع ان يعني از راه تبديل ان به مربعي هم مساحت بدست مياوردند.از اين راه توانسته بودند به چگونگي محاسبه ي هر شكل پهلودار پي ببرند ان گاه كه محاسبه ي مساحت دايره پيش امد دريافتند كه تربيع دايره مساله اي نا شدني مينمايد.در هندسه ي اقليدسي ثابت شده بود كه نسبت محيط هر دايره به قطر ان عدد ثابتي است و مساحت دايره از ضرب محيط در يك چهارم قطر ان بدست مي ايد. و مساله بدان جا انجاميد كه خطي رسم كنند كه درازاي ان با ان مقدار ثابت برابر باشد رسم اين خط ناشدني بود. سرانجام راه چاره را در ان ديدند كه يك مقدار تقريبي مناسب براي ان مقدار ثابت بدست اورند.

ارشميدس كسر بيست و دو هفتم را بدست اورد كه سالين دراز ان را به كار ميبردند پس از ان و براي محاسبات دقيقتر كسر سيصد و پنجاه و پنج بر روي صد و سيزده را به كار بردند. اختلاف بين عدد پي و مقدار تقريبي سيصد و پنجاه و پنج بر روي صد و سيزده فقط حدود 3 ده ميليونيم است. رياضي دان بزرگ ايراني جمشيد كاشاني براي نخستين بار مقدار ثابت نسبت محيط به قطر دايره را بدست اورد كه تا 16 رقم پس از مميز دقيق بود. اين رياضي دان و منجم مسلمان ايراني توانست مقدار 2 را تا شانزده رقم اعشار در رساله ي محيطيه برابر: 6.2831853071795865 بدست اورد.

در جمله ي زير هر گاه تعداد حرفهاي كلمه ها را در نظر بگيريد مقدار عدد پي تا ده رقم پس از مميز بدست خواهد امد:



خرد و بينش و اگاهي دانشمندان ره سرمنزل مقصود بما اموزد
3...1...4...1....5........9.......2......6......5. ....3....4..


همچنين اگر اين معادله را براي حل كنيد ريشه ي مثبت اين معادله مقدار عدد پي را نشان ميدهد:

[img]http://blog.robot.ir/mollasadra/files/equation-pi.jpg[img/]
[img]http://blog.robot.ir/mollasadra/files/pi-formul(2).jpg[img/]

---

اصل شعر اينه :
گر كسي از تو بپرسد ره آموختن پي پاسخي ده كه خردمند تو را آموزد
خرد و بينش و اگاهي دانشمندان ره سرمنزل مقصود بما آموزد

سلام

اين كار خوبيه .. منتظر بقيه اش هستيم.

*هندسه ی کاوالیری*

بوتاون تورا کاوالیری (1564-1642) اهل میلان، از همان سال های نخستین به ریاضیات علاقه مند بود،و به ظاهر زیر تاثیر گالیله، روش « غیر قابل تقسیم ها» را در هندسه بوجود آورد که در اثر بزرگ او در سال 1635، با عنوان «هندسه، با طرح تازه ای بر اساس غیر قابل تقسیم های پیوسته»، به شهرت رسید.
غیر قابل تقسیم ها، از نظر کاوالیری، وترهای موازی در درون شکل روی صفحه، و صفحه های موازی در درون جسم بود. او برای مقایسه ی شکل های روی صفحه و جسم های فضایی، مفهوم « مجموع همه ی غیر قابل تقسیم ها» را آورد که تماس سطح و فضای جسم را پر می کردند.
برای کاوالیری، نسبت این مجموع ها، همان نسبت مساحت ها و حجم ها بود. او شکل های روی صفحه را، بین دو خط راست موازی در نظر گرفت.
اصل کاوالیری درباره مساحت:
اگر فرض کنیم قاعده های دو شکل بر روی یک خط قرار گرفته باشند. اگر هر خطی موازی قاعده های دو شکل در آنها قطعه هایی با طول های مساوی ایجاد کند، مساحت های آن دو شکل برابر است.
با توجه به شکل دو شکل بر روی افق قرار گرفته اند. اگرهر خطی به موازات قاعده مانند d رسم کنیم و داشته باشیم: AB=CD، MN=PE ، آنگاه دو شکل هم مساحت هستند.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اصل کاوالیری در باره حجم ها:
دو شکل فضایی و صفحه ای که قاعده های دو شکل در آن قرار گرفته باشد را نظر بگیرید. اگر هر صفحه ای موازی با این صفحه که یکی از این دو شکل را قطع می کند، دیگری را نیز قطع می کند و سطح مقطع های حاصل دارای مساحت های برابر باشند، آنگاه این دو شکل فضایی حجم یکسان دارند.
خود کاوالیری در این زمینه می نویسد: «دو جسمی که قاعده ی آنهای بر یک صفحه و ارتفاعشان برابر باشد، به شرطی هم ارزند یعنی حجم های برابر دارند که مقطع های آنهابا صفحه های موازی با قاعده باشد.»
این نظام کار، به نام «نظام کاوالیری» معروف است.
کاوالیری بر پایه ی این نظام، قضیه های زیادی را اثبات می کند. برای نمونه، ثابت کرد نسبت مساحت های دو مثلث متشابه برابر است با نسبت مجذور ضلع های متناظر آن ها.
ابهامی که در مفهوم «مجموع غیر قابل تقسیم ها» وجود دارد، موجب اعتراض و انتقاد سخت بعضی از هم عصران کاوالیری شد. به همین خاطر کاوالیری کتاب دیگری با نام «شش طرح هندسی» را نوشت که در آن، تلاش کرد مفهوم هایی را که بکار می برد، دقیق تر کند، با وجود این، خود کاوالیری تا پایان زندگی نسبت به کافی بودن استدلالهای خود در تردید باقی بود، گرچه به درستی آن ها اعتقاد داشت.
طرح کاوالیری در هندسه و آموزش او درباره ی غیر قابل تقسیم ها، تنها برای درک بهتر هندسه ی مقدماتی سودمند نبود. این آموزش، یعنی جمع کردن غیر قابل تقسیم ها، پیش در آمدی برای انتگرال گیری بود. کاوالیری نماد انتگرال را بکار نمی برد، ولی در واقع از انتگرال گیری استفاده می کرد...
به جز این، در هندسه ی کاولیری به قضیه هایی بر می خوریم که برای پیدایش محاسبه ی دیفرانسیلی، ارزش معینی دارند. از آن جمله، نخستین گزاره ای که در هندسه آمده، هم ارز با قضیه رول است، و به دنبال آن گزاره ای آمده است که مضمون آن اینست: در نقطه های ماکزیمم و می نیمم تابع، مماس بر نمودار با محور طول ها موازی است.
یکی از کمبود های جدی هندسه ی کاوالیری این است که مولف از بکارگیری جبر فراری است و همه جا به هندسه دانان قدیمی تکیه می کند. بی تردید، بکار گیری نمادهای جبری که در زمان کاوالیری رایج شده بود، می توانست کارهای او را دقیق تر، کامل تر و قابل درک تر کند.

سیری در نظریه گراف
مقدمه:
اندک زمانی است که واژه گراف در ادبیات ریاضی وارد شده است، گرچه شروع آن را می توان از زمان لئناردو اویلر ریاضیدان سوئیسی (1707-1783) دانست. اما علاقه ی شدید و مداوم به نظریه ی گراف ، بعنوان شاخه ای از ریاضیات ، از سال 1930 به بعد، آشکار گردید و امروزه این نظریه یکی از پربارترین و محبوب ترین شاخه های ریاضیات و علوم کامپیوتر است و علت آن نیز به خاطر قابلیت کاربرد آن در بسیاری از مسائل گسترده ی جامعه مدرن امروزی است.هنگامی که مساله ای به زبان گراف فرمول بندی شد، درک آن بسیار آسان تر خواهد شد. امروزه نظریه ی گراف یکی از موضوعات مهم دئر ریاضیات گسسته است. گرافها، مدل های راضی برای یک مجموعه گسسته هستند، که اعضای آن به طریقی با هم مرتبط می باشند. اعضای این مجموعه می توانند انسان ها یا رابطه ی خویشاوندی ، یا دوستی و… باشد. اعضای این مجوعه می توانند، محل اتصالهای سیم های یک شبکه ی برق و رابطه ی آنها، سیم های واصل بین دو مقطه باشد و یا عناصر مجوعه می توانند اتم های یک مولکول و ارتباط آن ها، اتصالهای شیمیایی باشد. نظریه گراف ریشه در بازیها و معما ها نیز دارد، اما امروزه این نظریه نه تنها در ریاضیات بلکه در سایر علوم مانندا اقتصاد، روانشناسی،ژنتیک و باستان شناسی کاربرد فراوانی دارد.
مفهوم گراف:
واژه گراف، نه تنها در ریاضیات، بلکه در سایر علوم و حتی در زندگی روزانه به نام های گوناگون مانند طرح دیاگرام، نگاره، نقشه، ماز و… بکار می رود. مثلا ممکن است به بهانه های مختلف شکلی رسم کنیم که از نقطه هایی تشکیل شده باشد و اگر چند نقطه، رابطه هایی با هم داشته باشند این روابط را با کشیدن خط بین آن ها نشان دهیم. نیز می توانیم تیم های ورزشی را در نظر بگیریم و آن ها را با نقاط A,B,C,… روی صفحه رسم کنیم و خطوط را با این شرط وصل کنیم که آن تیم ها با هم بازی داشته باشند، در ابتدا که بازی صورت نگرفته فقط چند نقطه داریم، ولی وقتی تیم ها باهم بازی کردند، بین تمام نقاط خط هایی وصل کنیم، بدین ترتیب یک گراف ساخته ایم، که با یک نگاه، راحت متوجه رابطه بین نقاط می شویم. بدیهی است که در انتخاب مکان نقاط در صفحه و طرز رسم کردن خطوط آزاد بوده ایم. اگر هیچ تیمی بازی نکرده باشد، هیچ خطی وصل نمی شود و در این صورت گراف، گراف صفحه نخواهد بود و اگر با هم بازی کنند، گراف کامل بوجود می آید.
قابل ذکر است که اگر نقاط را رئوس گراف و خطوط را یال بنامیم داریم: G(V.E) که آن را گراف G با رئوس V. و یال های E می نامیم.
اکنون به معرفی چند نوع گراف می پردازیم:
1) گراف های یکریخت: اگر در دو گراف، تعداد راس ها برابر بوده، بطوریکه هر دو راس متناظر، با یک حرف نام گذاری شده باشد، آن گاه وقتی دو راس بوسیله ی یالی بهم مربوط باشند، راس های هم نام آن ها در گراف دوم نیز بوسیله ی یالی بهم مربوط شوند.
2) گراف همبند و ناهمبند: اگر از هر دو راس دلخواه گراف، بتوان با حرکت روی یال ها، به راس دلخواه دیگر رسید، چنین گرافی همبند و در غیر این صورت ناهمبند است، یعنی گراف همبند از یک قطعه و ناهمبند از چند قطعه تشکیل می شود.
مرتبه، اندازه و درجه گراف:
به تعداد رئوس هر گراف مرتبه و به تعداد یالهای آن، اندازه و تعداد یال های منتهی به یک راس را درجه ی آن گراف گوییم.
بدیهی است که در گراف صفر درجه، هر راس برابر صفر است و در گراف کامل با n راس درجه، هر راس برابر با n-1 خواهد بود. راس هایی که درجه زوج دارند راس های زوج و راس هایی که درجه فرد دارند راس های فرد، نامیده می شوند. مساله حایز اهمیت این است که در هر گراف، تعداد رئوس فرد، زوج هستند، یعنی نمی توان گرافی رسم کرد که مثلا: 3 تا راس فرد داشته باشد. بعنوان مثال نمی توان گرافی رسم کرد که درجه راس های آن 5،0،2،2،5،8،7،6 باشد زیرا تعداد رئوس فرد 3 تا هستند یعنی(5،7،5)!

هندسه ی فراکتالی
فراكتال يك شكل يا الگوي هندسي ساخته شده از قسمتهاي يكسان است كه در برگشت به داخل جزئيات نشان دهنده الگوي كلي است .
-به عبارت ديگر به هر جزء از شيء كه نگاه كنيم تصوري از كل شيء در ذهن ما ايجاد ميشود –واژه فراكتال در سال 1975 توسط بنويت مندلبرات براي توصيف اشياء هندسي پيچيده كه درجه بالائي از خودتشابه دارد تشكيل شده است .
واحد اساسي برفدانه كخ كه توسط هلگ ون كخ رياضيدان(1870-1824) رسم شده مثلث متساوي الاضلاعي است كه ميتواند وسعت پيدا كند اما در عين حال هنوز شبيه الگوي اوليه است .هر قسمت از برفدانه در هر مقياس از ان كه ديده ميشود به طور يكنواخت در كنار هم واقع شده اند. بعضي از فراكتالهاي فوق العاده قابل ملاحظه مجموعه هاي جوليا است كه توسط رياضيدان فرانسوي گالتون جوليلا (1893-1978) اختراع شد . مجموعه جوليا با كاربرد قانون غير خطي مكرر توليد ميشود كه بر اساس يك تابع قانون مربعي خيلي ساده است.
C ) = 2Z +CZ,F(
كه در ان Z يك نقطه روي صفحه Xoy است و C يك نقطه ثابت با هر دو مؤلفه X و Y است .CX و CY نتايج خيلي جالب وشگفت انگيز بودند . هيچكس گمان نميكرد كه چنين تابع ساده اي بتواند به شكل گيري تصاوير پييچيده اي كه تحليل و تفسير آن كار اساني نيست منجر شود .
نظريه رياضي مدرن كه به طور ريشه اي از هندسه اقليدسي باستاني جدا ميشود , هندسه فراكتالي است كه به توصيف اشيائي مي پردازد
كه خود متشابه يا متقارن اند . اين بدان معنا است كه وقتي اين اشياء بزرگنمائي شوند به نظر ميرسد كه بين اجزاي انها تشابه دقيقي برقرار است و اين شباهت جزء به جزء تا بينهايت ادامه مي دهند.
و اما ماهيت فراكتالها كه در واقع در خود كلمه منعكس شده, اين واژه توسط مندلبرات رياضيدان از فعل لاتين شكستن گرفته شده و منسوب به صفت فراكتوس به معني سنگي كه به طور نامنظم شكسته و خرد شده است مي باشد .
فراكتالها شكلهايي هستند كه برعكس شكلهاي هندسه اقليدسي به هيچ وجه منظم نيستند . اين شكلها اولا سراسر نامنظم اند ثانيا ميزان بي نظمي انها در همه مقياسها يكسان است.

نقاط انگاری و مثلث های امگا
در هندسه هذلولوی، دو خط موازی نقطه مشترک معمول ندارند، اما گفته میشود که در منقطه ای انگاری تلاقی می کنند.
تعریف: در هندسه هذلولوی می گوییم که دو خط موازی در یک نقطه انگاری(Ideal point ) تقاطع می کنند.
گسترش خواص خطوط موازی در هندسه ی هذلولوی با بررسی مثلث امگا، شکلی سه ضلع با که راس انگاری ادامه می یابد. مثلث امگا گرچه مثلثی به مفهوم معمول نیست، اما بعضی از همان خاصیت های مثلث با سه راس معمولی را داراست بعنوان مثال اینجا شرایط همنهشتی مثلث های امگا را می آوریم:
همنشتی مثلث های امگا
همنهشت مثلث های امگا اندکی ساده تر از آن مثلث های معمولی است. زیرا به اطلاعات کمتر نیاز دارد.
قضیه 1) مثلث های امگای ΩAB و ′B ′A Ω′همنهشتند اگر اضلاع به طول متناهی آن هم نهشت باشند و اگر زوج زوایای متناظر در Aو′ A و یاB و ′B هم نهشت باشند.
قضیه 2) مثلث ها امگای ΩAB و ′B ′A Ω′همنهشتند اگر زوج زاویه Aو′ A همنهشت باشند و اگز زوج زاویه B و ′B همنهشت باشند.

سلامsoleares
کار جالبیه .
فقط یه انتقاد داشتم در مورد مطلبی که برای گراف نوشتی . به نظر من می شه خیلی بیشتر رو اون موضوع کار کرد و مطلب بیشتری در موردش نوشت . موفق باشی .

می‌دونستيد مازها از نظر رياضی، قابل مطالعه هستند؟
اگر اين راه‌های تو در تو را به اندازه‌ای ساخته باشند که بتونيد واردش شويد، آن وقت، اگر دست راست خود را به ديوار سمت راست (يا بالعکس!) بگيريد و تا آخر مسير دست خود را جدا نکنيد حتماً می توانيد از ماز خارج شويد و در آن گم نشويد.
البته مسير شما، يک مسير بهينه نيست. يعنی الزاماً از بهترين راه عبور نکرده‌ايد و ممکن است وارد يک راه فرعی شويد و پس از طی کردن کامل آن مسير، از آن خارج شويد.
اما مهم اين‌است:... بالاخره خارج می‌شويد و گير نمی‌افتيد.


آيا همه مازها با اين روش جواب می‌دهند؟
برخی از مازها، مازهای آشوبناک يا Chaotic Maze نام دارند. در انواع اين مازها،‌ گاهی با گرفتن دست راست (يا دست چپ) نمی توانيد به جواب برسيد و لازم است که يا جهت دست‌تان را عوض کنيد يا در يک نقطه از مسير دست خود را از ديوار برداريد و روی ديوار مقابل بگذاريد.
اين حالت وقتی پيش می‌آيد که در سمت راست (يا چپ) شما يک محوطه مربعی شکل وجود داشته باشد، با گرفتن دست راست يا چپ، فقط دور ديوار بصورت حلقه‌وار تا بی‌نهايت خواهيد چرخيد!!

نگاه رياضياتی برای حل مساله...!
يک زوج مرتب را بصورت (۰و۰) در نظر بگيريد. مولفه اول برای جهت‌های بالا و پايين و مولفه دوم برای جهت‌های راست و چپ... چون در شروع حرکت هستيم هر دو مولفه را صفر در نظر می‌گيريم. اکنون در هر تقاطع:
اگر به سمت بالا رفتيد مولفه اول را ۱+ کنيد و اگر به سمت پايين رفتيد آن را ۱- کنيد.
همينطور مولفه دوم را اگر به سمت راست رفتيد ۱+ کنيد و اگر به سمت چپ رفتيد ۱- کنيد.
در اين روش اگر برای ۲ بار - بجز هنگام شروع - به زوج مرتب (۰و۰) رسيديد، متوجه‌ميشويد که در يک حلقه گرفتار شديد (آيا می‌توانيد بگوييد چرا؟) و بايد دست‌تان را عوض کرده يا در يک نقطه از مسير، پيوستگی مسير حرکت را بشکنيد.

توجه به اين نکته ضروری است که شما در طی مسير حرکت همواره روی خود را به طرف شمال ماز نگه می‌داريد و با پيچيدن در راهروها جهت صورت تغيير نمی‌کند.
* اين يکی از الگوريتم‌هايی است که ربات‌های مازپيما، برای خارج شدن از آن، به کار می‌برند.

روبات‌های مازپيما...
يکی از مسائلی که امروزه دنيای روبوتيک را مشغول خود ساخته طراحی الگوريتمی هرچه کاراتر برای خروج موفقيت‌آميز يک روبات از هر نوع ماز است. در برخی از اين تحقيقات، عملکرد بهينه روبات‌ها نيز مد نظر قرار داده می‌شود که اين مساله در دو حالت ۱- با آگاهی قبلی ربات از نقشه راه ۲- بدون آگاهی ربات از نقشه، انجام می‌شود..
حتماً می‌تونيد حدس بزنيد که ربات‌های امدادگر که به يافتن يا نجات مجروحان يک حادثه مانند زلزله می‌پردازند، بايد در ميان تل خاک و مصالح ساختمانی، عملکردی شبيه حرکت در بين راهروهای ماز را داشته باشند.
معروفترين مازی که وجود دارد در پارکی در انگليس است که در آن پس از طی راه‌های متمادی به يک محوطه در وسط می‌رسند که در آن يک نيمکت دونفره قرار داده‌اند برای استراحت!!

--------------------------------------------------------------------------------

فرق کاربرد سیمپلکس دوگان در جبر خطی و تحقیق در عملیات چیست ؟