سوال مشتق

[s.pollux]

سلام ، یه سوال از مشتق دارم، اگه ممکنه کمکم کنید لطفا.

مشتق تابع X^2 Sin1/x اگه از تعریف مشتق استفاده کنیم در نقطه X=0میشه 0(lim کراندار ضربدر 0).ولی اگه از قضایای مشتق استفاده

کنیم(مشتق ضرب)، میشه :

2x Sin1/x - Cos1/x که در نقطه X=0 مشتقش نمیتونه جواب داشته باشه ، چون مخرج عبارت جلوی Cos (یعنی 1/x) صفر میشه و میشه

کسینوس بینهایت که جواب نداره.اگر هم از روش مشتق عامل صفرشونده ضربدر بقیه عوامل استفاده کنیم میشه 2x Sin1/x.

چه جوری میشه این رو توجیه کرد؟

(منظورم اینه که چرااز یه روش، مشتق میشه 0 ، از روش دیگه جواب نداره). بالاخره جواب مشتق این عبارت چی میشه؟

از پاسختون ممنونم.

[javad2015]

شما وقتی مشتق رو از قضیه حل میکنین توجه داشته باشین که :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
شما اومدی اون عامل صفر کننده رو هم ساده کردی در حالت کلی نمیشه این کارو کرد.

[s.pollux]

شما اومدی اون عامل صفر کننده رو هم ساده کردی در حالت کلی نمیشه این کارو کرد.


چرا نمیشه ساده کرد؟ یعنی منظور شما اینه که 1 روی x^2 ضربدر Cos1/x

یه عبارت کرانداره و حاصل عبارت صفر میشه؟ (طبق همون قانون صفر*کراندار؟(

ولی چه جوری میشه ثابت کرد که اون عبارت کرانداره؟ لطفا اگه ممکنه بیشتر توضیح بدید.

[chekmate]

سلام ، یه سوال از مشتق دارم، اگه ممکنه کمکم کنید لطفا.

مشتق تابع X^2 Sin1/x اگه از تعریف مشتق استفاده کنیم در نقطه X=0میشه 0(lim کراندار ضربدر 0).ولی اگه از قضایای مشتق استفاده

کنیم(مشتق ضرب)، میشه :

2x Sin1/x - Cos1/x که در نقطه X=0 مشتقش نمیتونه جواب داشته باشه ، چون مخرج عبارت جلوی Cos (یعنی 1/x) صفر میشه و میشه

کسینوس بینهایت که جواب نداره.اگر هم از روش مشتق عامل صفرشونده ضربدر بقیه عوامل استفاده کنیم میشه 2x Sin1/x.

چه جوری میشه این رو توجیه کرد؟

(منظورم اینه که چرااز یه روش، مشتق میشه 0 ، از روش دیگه جواب نداره). بالاخره جواب مشتق این عبارت چی میشه؟

از پاسختون ممنونم.

سلام.
تناقضي وجود نداره. تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] Csin%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%29 در صفر تعريف نشده است در نتيجه در صفر مشتق پذير نيست. حال اگه در نظر بگيريم :


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D&space;x%5E2%5Csin%28%5Cfrac %7B1%7D%7Bx%7D%29&space;&&space;%5C&space;%5C&space;%5C&space;%5C&space;x%5Cnot=&space;0%5C%5C&space;%5C%5C&space;0&space;&&space;%5C&space;%5C&space;%5C&space;%5C&space;x=0&space;%5Cend%7Bmatrix%7D%5Crig ht.
در اينصورت به ازاي هر x مخالف صفر داريم :

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] Csin%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%29-%5Ccos%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%29

دقت كنيد كه اين ضابطه مشتق براي نقاط مخالف صفر هستش و ما مجاز نيستيم در نقطه صفر اون رو بكار ببريم. مشتق پذيري در نقطه صفر تنها بايد با تعريف مشتق بررسي بشه:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] im_%7Bx%5Cto&space;0%7D%5Cfrac%7Bf%28x%29-f%280%29%7D%7Bx-0%7D=%5Clim_%7Bx%5Cto&space;0%7D%5Cfrac%7Bx%5E2%5Csin%28 %5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%29-0%7D%7Bx-0%7D=0

[javad2015]

در مورد این تابع ظاهراً نمیشه این جوری توجیهش کرد.ولی یه تابع دیگه بود این جوری توجیه میشد.گفتم شاید مثل اونه.
عبارت دوم کراندار نیست.

[s.pollux]

دقت كنيد كه اين ضابطه مشتق براي نقاط مخالف صفر هستش و ما مجاز نيستيم در نقطه صفر اون رو بكار ببريم. مشتق پذيري در نقطه صفر تنها بايد با تعريف مشتق بررسي بشه


ببخشید من متوجه نمیشم که چرا با فرمول مشتق جواب نداره ولی با تعریف جوابش 0 میشه.مگه تعریف مشتق یه جور محاسبه حد نیست؟ خب اگه تابع در اطراف یه نقطه تعریف نشه چه جوری ممکنه تو اون نقطه حد داشته باشه؟

بدون این که دو ضابطه ای در نظر بگیریم هم (منظورم بدون ضابطه دومه) با تعریف مشتق همون 0 به دست میاد...

خب قضایای مشتق هم با استفاده از تعریف به دست میان ولی چرا اینجوری میشه؟ من که گیج شدم:n13:

[chekmate]

ببخشید من متوجه نمیشم که چرا با فرمول مشتق جواب نداره ولی با تعریف جوابش 0 میشه.مگه تعریف مشتق یه جور محاسبه حد نیست؟ خب اگه تابع در اطراف یه نقطه تعریف نشه چه جوری ممکنه تو اون نقطه حد داشته باشه؟

بدون این که دو ضابطه ای در نظر بگیریم هم (منظورم بدون ضابطه دومه) با تعریف مشتق همون 0 به دست میاد...

خب قضایای مشتق هم با استفاده از تعریف به دست میان ولی چرا این تناقض پیش میاد؟ من که گیج شدم:n13:
اون ضابطه در صفر قابل استفاده نيست چون [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] Bx%7D در صفر تعريف نشده است.

[s.pollux]

این که چرا دو ضابطه ای در نظر گرفتید رو متوجه شدم.مرسی.ولی هنوز هم برام سواله که چرا با تعریف به جواب میرسیم ولی با فرمول نه؟ ببخشید انقدر سوال میپرسم، این سوال رو از دبیرم پرسیدم ولی نتونست جواب بده. اگه ممکنه بیشتر توضیح بدید لطفا.

[chekmate]

بزاريد با ضابطه مشتق براتون توضيح بدم. مشتق اين تابع همانطور كه توي پست قبلي اشاره كردم به صورت زير است:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D&space;2x%5Csin%28%5Cfrac %7B1%7D%7Bx%7D%29-%5Ccos%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%29&space;&&space;%5C&space;%5C&space;%5C&space;x%5Cnot=&space;0%5C%5C&space;%5C%5C&space;0&space;&&space;%5C&space;%5C&space;%5C&space;x=&space;0&space;%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.


خوب حالا شما بگيد مشتق توي صفر چي ميشه؟
در حقيقت 'f در صفر ناپيوسته هست. يعني حد 'f در صفر با مقدار 'f در صفر برابر نيست. دليلي نداره كه يك تابع پيوسته حتماً داراي مشتق پيوسته در كليه نقاط باشه.

[s.pollux]

متوجه شدم، مرسی خیلی زیاد:n26:

[solid_engineer]

با سلام

توضیحات کافی و وافی رو دوستان زحمت کشیدن اما به عنوان یه جمع بندی:

نمودار تابع مورد نظر در زیر رسم شده:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

پرسش 1: مشتق تابع در نقطه 0=x را بیابید؟
پاسخ 1: تابع در 0=x تعریف نشده، بنابراین در این نقطه پیوسته نیست پس مشتق پذیر هم نیست!

پرسش 2: آیا تابع زیر در نقطه 0=x مشتق پذیر است؟ اگر هست مشتق آنرا بیابید:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
پاسخ 2: بله، تابع فوق در تمامی نقاط پیوسته بنابراین در تمامی نقاط مشتق پذیر است. برای بدست آوردن مشتق تابع از راه تعریف داریم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


پرسش 3: استفاده از تعریف، برای بدست آوردن مشتق چه زمانی معتبر است؟
پاسخ 3: استفاده از تعریف، همواره معتبر است.

پرسش 4: استفاده از فرمولهای مشتق گیری چه زمانی معتبر است؟
پاسخ 4: استفاده از این فرمول تنها زمانی معتبر است که ظابطه مورد نظر در دامنه تعرف اش پیوسته باشد.

تبصره: در یک تابع چند ظابطه ای برای بدست آوردن مقدار مشتق در نقاط شکستگی، از تعریف مشتق استفاده میکنیم. شکل زیر رو ببینید:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

موفق باشید/

[s.pollux]

کاملا متوجه شدم.از همه دوستان به خصوص آقا/خانم solid engineer بی نهایت سپاسگزارم.خیلی کامل بود.متشکرم.