ثابت كنيد

[manya-atashin]

سلام
لطفا اين دو تمرين رو ثابت كنيد
بعد از بسط دادن هست ...


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 0

و

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] B1%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7B2%7D+...+%5Cbinom%7Bn%7D%7 Bn%7D=2%7B_%7B%7D%7D%5E%7Bn%7D

[hts1369]

من اولي رو بلد نيستم
ولي در مورد دومي اينو ميدونم که مجموع تعداد زيرمجموعه هاي يک مجموعه n عضوي از 2 به توان n بدست مياد.(طرف دوم رابطه ی شما)
از طرفي تعداد زيرمجموعه هاي يک عضوي همون مجموعه از(c (n,1 و تعداد زيرمجموعه هاي دو عضوي از( c (n,2 و ...
طرف اول رابطه ي شما مجموع تعداد زير مجموعه ها هست که با طرف دوم برابر هست.

[davy jones]

سلام
لطفا اين دو تمرين رو ثابت كنيد
بعد از بسط دادن هست ...


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 0

و

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] B1%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7B2%7D+...+%5Cbinom%7Bn%7D%7 Bn%7D=2%7B_%7B%7D%7D%5E%7Bn%7D
سلام.

سوال اولتون فقط برای n ها فرد درسته و در مورد n ها زوج صدق نمیکنه. (مثال نقض خیلی ساده اش n=0 یا n=2 ) هستش.
برای اثبات سوال اول در حالت n های فرد هم باید به این نکته دقت کنین که در ترکیب داریم:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] Bn-k%7D ( چرا؟ )

بنابراین جملات از ابتدا و انتها یکی یکی با هم خنثی میشن و حاصل نهایی برابر با صفره.

----------------------------------------------

برای حل سوال دوم، ابتدا خودمون میایم و یک مساله طرح میکنیم که به درک بهتر از مساله شما کمک میکنه و اون سوال اینه:
به چند روش میشه از یک مجموعه با n عضو متمایز، یک زیر مجموعه درست کرد؟

حالا این مساله رو به دو روش حلش میکنیم:
* روش اول :
زیر مجموعه ای که میخواهیم بسازیم:

الف) ممکنه تهی باشه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %7B0%7D%5Cleftarrow

ب) ممکنه فقط یه عضو داشته باشه که در اون صورت برای درست کردن یک زیر مجموعه ی یک عضوی از مجموعه ای n عضوی، [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %7B1%7D تا انتخاب داریم.

ج) ممکنه زیر مجموعه دو عضوی باشه. بنابراین باید دو عضو از مجموعه ی مرجع رو انتخاب کنیم که تعداد کل حالات میشه: [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %7B2%7D

.
.
.
؟؟؟ ) ممکنه زیر مجموعه ی ما دقیقا برابر با خود مجموعه ی مرجع باشه. بنابراین باید همه ی اعضای مجموعه ی مرجع رو برای زیر مجموعه ی مورد نظرمون انتخاب کنیم: [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %7Bn%7D

حالا حاصل کل برابر با مجموع تعداد زیر مجموعه هاییه که تا اینجا محاسبه کردیم: [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %7B0%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7B1%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7B2 %7D+...+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bn%7D


* روش دوم :
فرض کنین که میخوایم یک زیر مجموعه ی دلخواه از مجموعه ی n عضوی مرجعمون داشته باشیم. خب توی این زیر مجموعه، عضو اول مجموعه ی مرجع میتونه باشه و میتونه هم نباشه. پس برای عضو شماره ی یک از مجموعه ی مرجع، 2 حالت داریم. برای عضو دوم از مجموعه ی مرجع هم همین حالت برقراره، یعنی میتونه در زیرمجموعه ی دلخواه ما باشه و میتونه هم نباشه. بنابراین برای عضو شماره دو هم 2 حالت داریم. برای همه ی اعضاء مجموعه ی مرجع همین استدلال برقراره و برای حضور یا عدم حضور هر یک از اونها 2 حالت وجود داره. و چون حضور یا عدم حضور هر یک از اعضا ربطی به بقیه ی اعضا نداره و از هم مستقلند، بنابراین حالتها در هم ضرب میشند و جواب کل برابر با حاصلضرب تعداد حالات حضور همه ی اعضا است. که میشه: [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] imes&space;...%5Ctimes&space;2=2%5E%7Bn%7D


نتیجه گیری:
اگه یه مساله ی یکتا رو با دو روش بشه حل کرد، پس مطمئنا جوابهایی که از راه های متفاوت بدست اومده با هم یکسان و برابر است.

در نتیجه:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] olden%7D&space;%5Cbinom%7Bn%7D%7B0%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7B 1%7D+...+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bn%7D=%5Csum_%7Bi=0%7D%5 E%7Bn%7D%5Cbinom%7Bn%7D%7Bi%7D=2%5E%7Bn%7D%7D


موفق باشین.
90/9/9

[manya-atashin]

واقعا ممنونم
خيلي لطف كردين (((:

[lebesgue]

سلام
لطفا اين دو تمرين رو ثابت كنيد
بعد از بسط دادن هست ...


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 0

و

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] B1%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7B2%7D+...+%5Cbinom%7Bn%7D%7 Bn%7D=2%7B_%7B%7D%7D%5E%7Bn%7D

سوال اول قبلاً در انجمن مطرح شده بود. این رابطه برای همه n های صحیح مثبت برقرار هست. اثبات رو در زیر میتونید ببینید:

سلام
سوال اول نتیجه ای از بسط دو جمله ای نیوتونه.
بسط دو جمله ای نیوتون:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x+y)^n=\sum_{k=0}^n&space;{n&space;\choose&space;k}x^ky^{ n-k}

اگه در رابطه بالا x=1 , y=-1 قرار بدیم حکم ثابت میشه!


برای سوال دوم هم کافیه x=1 , y=1 قرار بدیم حکم ثابت میشه!