حد در تابع دو متغیره

[imana]

با سلام اگه ممکنه سوال زیر رو جواب بدید
حد تابع را در صورت وجود در مبدا مختصات بیابید

lim((x^2*y^2)/(x^2+y^2))

[davy jones]

با سلام اگه ممکنه سوال زیر رو جواب بدید
حد تابع را در صورت وجود در مبدا مختصات بیابید

lim((x^2*y^2)/(x^2+y^2))

سلام.
از تبدیل به مختصات قطبی استفاده میکنیم:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] rightarrow&space;%280,0%29%7D[%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7Dy%5E%7B2%7D%7D%7Bx%5E%7B2%7D+ y%5E%7B2%7D%7D]%5CRightarrow&space;x=r.%5Csin&space;%5Ctheta&space;%5C;&space;%5C;&space;,%5C;&space; y=r.%5Ccos&space;%5Ctheta&space;%5CRightarrow&space;A=%5Clim_%7B%28r ,%5Ctheta&space;%29%5Crightarrow&space;%280,0%29%7D%5Cfrac%7Br %5E%7B4%7D.%5Csin&space;%282%5Ctheta&space;%29%7D%7B2r%5E%7B2% 7D%7D=%5Clim_%7B%28r,%5Ctheta&space;%29%5Crightarrow&space;%28 0,0%29%7D%5Cfrac%7Br%5E%7B2%7D.%5Csin&space;%282%5Ctheta &space;%29%7D%7B2%7D=0


موفق باشین.
89/12/27

[imana]

با تشکر اگه ممکنه همینو با استفاده از تعریف حد اثبات کنید ؟ در مورد صورت هم فکر کنم sin(2θ)/2 باید به توان 2 برسه
در مورد این سه تا هم اگه ممکنه یه راهنمایی کنید .
1-lim((x*y)/(x^2+y^2))+(y*sin(1/x))
2-lim(x*sin(1/y)+y*sin(1/x))
3-lim((x+y)*sin(1/x)*sin(1/y))

[davy jones]

با تشکر اگه ممکنه همینو با استفاده از تعریف حد اثبات کنید ؟ در مورد صورت هم فکر کنم sin(2θ)/2 باید به توان 2 برسه
در مورد این سه تا هم اگه ممکنه یه راهنمایی کنید .
1-lim((x*y)/(x^2+y^2))+(y*sin(1/x))
2-lim(x*sin(1/y)+y*sin(1/x))
3-lim((x+y)*sin(1/x)*sin(1/y))
درسته. حق با شماست. باید به توان 2 میرسید. البته تاثیری در جواب نهایی نمیداره و باز هم حد به سمت صفر میره. در مورد تعریف حد هم باید بگم که اگه راستشو بخواین اصلا حوصله ی اون همه تایپ کردن رو ندارم.:31: خودتون بنویسین. به هر جاش که گیر کردین من در خدمتتونم:31:

------------
در مورد 3 تا سوالی که نوشتین با اینکه خودتون اشاره ای نکردین ولی فکر کنم منظورتون در هر سه سوال محاسبه ی حد در مبدا مختصات بوده. بنابراین با همین فرض سوالات رو حل میکنم:



1- سوال اولتون که دارای دو قسمت هستش و قسمت اولش دقیقا مشابه سوال پست قبلیتون قابل حله. فقط به یک نکته توجه کنین که حد عبارت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 7D%7Bx%7D%29 هم همواره در مبدا مختصات برابر با صفره. چرا که مقدار سینوس یک ایکسم در x=0 هر مقداری که باشه مطمئنا مقداری محدود بین یک و منفی یک هستش و مطمئنا حاصلضرب یک عبارت کراندار در صفر (y) برابر با صفر خواهد شد. پس حاصل نهایی سوال اول برابر با صفر خواهد بود.


2- سوال دوم هم که کاملا مشابه نکته ای هستش که در سوال 1 به اون اشاره شد و حاصل هر دو قسمت حد به طور جداگانه برابر با صفر هستش و در نتیجه حاصل کل حد هم در مبدا برابر با صفر هستش. برای درک بهتر از منظورم به نمودارهایی که در اسپویلر زیر آوردم دقت کنید:


شکل نمودار sin1/x از نقطه ی صفر تا 10:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


شکل همین تابع با زوم بیشتر (از صفر تا یک) همونطور که مشخصه باز هم نمیتوان تشخیص داد که مقدار تابع در صفر به چه عددی میل میکند:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




زوم را بیشتر میکنیم (از صفر تا 0.1) باز هم قابل تشخیص نیست:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


از صفر تا 0.01 که باز هم نتیجه معلوم است:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


--------

اما هنگامی که این تابع در x ضرب میشود داستان عوض میشود. چرا که تابع x در مبدا مختصات باعث میشود تا تابع sin1/x بین دو خط y=x و y=-x اصطلاحا منگنه شود (شکل تابع x*sin1/x از صفر تا 10) :


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


زوم را 10 برابر میکنیم:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


باز هم زوم را 10 برابر میکنیم:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


و باز هم 10 برابر بزرگتر:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



بنابراین حد تابع مورد نظر ما مطمئنا در x=0 برابر با صفر است چرا که حاصلضرب یک عبارت کراندار در عدد صفر، همواره برابر با صفر میشود:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
















3- سوال سوم هم به همون صورت سوال دوم.:31:


موفق باشین.
89/12/27

[imana]

با تشکر در مورد lim((x*y)/(x^2+y^2)) در (0,0) استادمون گفته با انتخاب y=mx به عبارت m/1+m^2 می رسیم و چون حد این تابع به امتدادهایی که از مبدا می گذره بستگی داره بنابراین حد مذکور وجود نداره . درسته ?

[davy jones]

با تشکر در مورد lim((x*y)/(x^2+y^2)) در (0,0) استادمون گفته با انتخاب y=mx به عبارت m/1+m^2 می رسیم و چون حد این تابع به امتدادهایی که از مبدا می گذره بستگی داره بنابراین حد مذکور وجود نداره . درسته ?
نمیدونم. چی بگم والا...:31: استادتون نگفت که رو چه حسابی میشه اصلا y رو برابر با mx گرفت؟

موفق باشین.
89/12/27

[imana]

نمیدونم. چی بگم والا...:31: استادتون نگفت که رو چه حسابی میشه اصلا y رو برابر با mx گرفت؟

موفق باشین.
89/12/27

چون y=mx از مبدا می گذره دیگه کلا اگه y=x هم بگیریم به عدد 1/2 می رسیم که یه مثال نقض برای حده بازم شما بیشتر می دونین

[logos]

با تشکر در مورد lim((x*y)/(x^2+y^2)) در (0,0) استادمون گفته با انتخاب y=mx به عبارت m/1+m^2 می رسیم و چون حد این تابع به امتدادهایی که از مبدا می گذره بستگی داره بنابراین حد مذکور وجود نداره . درسته ?

بله کاملا درسته
طبق تعریف حد ، تابعی حد داره که در بازه کوچکی حول اون نقطه دارای مقدار ثابتی باشه
در این مثال یک سری از نقاط حول مبدا با معادله y=mx هستند که با قرار دادن این دسته نقاط در حد می بینیم برای این دسته مقادیر مختلفی داده میشه پس تابع حد نداره (این روش فقط برای اثبات حد نداشتن تابع استفاده میشه)

[City 17]

چون y=mx از مبدا می گذره دیگه کلا اگه y=x هم بگیریم به عدد 1/2 می رسیم که یه مثال نقض برای حده


درسته. طبق تعریف حد برای توابع دو متغیره باید دنباله های مختلفی که در همسایگی نقطه مذکورند جواب یکسانی بدن و اگه حداقل دو جواب متفاوت از دو دنباله مختلف بدست بیان میشه گفت اون حد وجود نداره.