PDA

نسخه کامل مشاهده نسخه کامل : درخواست یک اثبات هندسه


surpriser
21-10-2009, 20:20
سلام دوستان.من خیلی رو این کار کردم ولی فقط قسمت اولش رو با استفاده از قضیه حمار اثبات کردم ولی دومیشو نتونستم حل کنم.لطفا کمک کنید!

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اینم لینک عکس شکل :
برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

حکم 1 (اینو اثبات کردم): AB+BC+AC < 2AP+2BP+2PC
حکم2 (اینو گیر کردم!!!) : AP+PB+PC < AB+BC+AC

مسئله هیچ فرضی جز مثلث بودن ABC نداده است.
لطفا کمک کنید حکم دوم رو اثبات کنم.

با تشکر
ali_hp
21-10-2009, 22:06
سلام دوستان.من خیلی رو این کار کردم ولی فقط قسمت اولش رو با استفاده از قضیه حمار اثبات کردم ولی دومیشو نتونستم حل کنم.لطفا کمک کنید!

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اینم لینک عکس شکل :
برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

حکم 1 (اینو اثبات کردم): AB+BC+AC < 2AP+2BP+2PC
حکم2 (اینو گیر کردم!!!) : AP+PB+PC < AB+BC+AC

مسئله هیچ فرضی جز مثلث بودن ABC نداده است.
لطفا کمک کنید حکم دوم رو اثبات کنم.

با تشکر
سلام
بعضی وقتها ضعیف بودن حکم یک مساله باعث سختیه اون میشه!
AP وBP و CP را امتداد دهید تا اضلاع را در M و N وK قطع کنند،حال ثابت می کنیم :
AM+BN+CK<AB+BC+AC
حال AM را به اندازه خودش تا نقطه X ادامه دهید،دقت کنید که دو مثلث AMC و BXM همنهشتند و BX=AC .
حال از قضیه حمار در مثلث ABX نتیجه می شود:
2AM<AB+XB=AB+AC
و به طریق مشابه داریم:
2BN<AB+BC
2CK<AC+BC
که باجمع زدن این سه نامساوی حکمی قویتر از حکم 2 ثابت می شود!
البته با رسم یک خط به موازات BC از نقطه P و استفاده از قضیه حمار نیز می توان این مساله را حل کرد.
ali_hp
21-10-2009, 22:10
ببخشید!دو بار فرستاده شد!
surpriser
21-10-2009, 22:43
آقا دمت گرم.خیلی جالب بود.توضیحات هم خیلی کامل بود.فقط یه سوال کوچولو واسم پیش اومد.دو مثلث AMC و BXM چطور متشابه میشند؟

با تشکر
ali_hp
22-10-2009, 10:09
آقا دمت گرم.خیلی جالب بود.توضیحات هم خیلی کامل بود.فقط یه سوال کوچولو واسم پیش اومد.دو مثلث AMC و BXM چطور متشابه میشند؟

با تشکر
آقا راه حل اشتباهه!لزوما همنهشت نیستند،نامساویهایی هم که ثابت کردم لزوما درست نیستند!
راه حل درست:
از نقطه M خطی به موازات BC رسم کنید تا AB و AC را به ترتیب در M و N قطع کند!
دقت کنید که AP از یکی از دو ضلع AM و AN کوچکتر است!(چون حداقل یکی از زاویه های APM یا APN منفرجه است!)همچنین به وضوح MN از BC کوچکتر است.پس داریم:
AP<MAX{AM,AN}<AM+AN
BP<PM+BM
CP<PN+CN
با جمع زدن نامساویهای بالا بدست می آید:
AP+BP+CP<AB+AC+MN<AB+AC+BC
surpriser
23-10-2009, 09:01
تشکر.نفهمیدم AP<MAX{AM,AN}<AM+AN چطور اثباتش کنم؟
ali_hp
26-10-2009, 11:08
تشکر.نفهمیدم AP<MAX{AM,AN}<AM+AN چطور اثباتش کنم؟
در هر مثلث ضلع روبرو به زاویه منفرجه از بقیه اضلاع بزرگتر است.در اینجا مجموع دو زاویه APM و APN برابر 180 است،پس حداقل یکی از آنها منفرجه(یا قائمه) است.مثلا اگر APM منفرجه(یا قائمه) باشد،نتیجه می شود که AP<AM پس به وضوح AP<AM+AN .