PDA

نسخه کامل مشاهده نسخه کامل : مقالات علمي رياضي




    

Babak_King
30-12-2005, 18:23
سال ها پيش در يكي از كلاس هاي رياضيات مدارس آلمان، آموزگار براي اينكه مدتي بچه ها را سرگرم كند و به كارش برسد؛ از آنها خواست تا مجموع اعداد از يك تا صد را حساب كنند. پس از چند دقيقه يكي از شاگردان كلاس گفت: مجموع اين اعداد را پيدا كرده و حاصل عدد ۵۰۵۰ مي شود. با شنيدن اين عدد معلم با حيرت فراوان او را به پاي تخته برد تا روش محاسبه خود را توضيح دهد. به نظر شما اين شاگرد باهوش كه بعدها يكي از بزرگ ترين و معروف ترين رياضيدانان دنيا شد، چه روشي را به كار بست؟ او اعداد يك تا صد را به رديف پشت سرهم نوشت، سپس بار ديگر همين اعداد را بالعكس، اين بار از صدتا يك، درست در رديف زيرين اعداد قبلي نوشت. طوري كه هر عدد زير عدد رديف بالاتر قرار گرفت.وي مشاهده كرد كه مجموع هر كدام از ستون هاي به وجود آمده ۱۰۱ است. سپس نتيجه گرفت كه صد تا عدد ۱۰۱ داريم كه حاصل مجموع آنها مي شود ۱۰۱۰۰=۱۰۱*۱۰۰. پس از آن تنها كافي بود كه اين مجموع به دست آمده نصف شود يعني:
۵۰۵۰=۲/۱۰۱۰۰

شايد «شارل فردريك گاوس» شاگرد با ذكاوت كلاس كه اين روش جالب را به كاربرد، آن هنگام نمي دانست، روش بسيار كارا و مفيدي را براي جمع بستن رشته اي از اعداد ارائه داده است كه تا ساليان سال مورد استفاده رياضيدانان خواهد بود.اكثر مفاهيم رياضي به قدري با زندگي روزمره ما گره خورده است كه تمام مردم بدون آگاهي داشتن و واقف بودن به آن، از كنارش مي گذرند و تنها كاربر خوبي هستند و بس! حتماً تا به حال با اين عبارات در راديو، تلويزيون يا موارد مختلف ديگر برخورد كرده ايد: «وزارت آب و يا وزارت نيرو اعلام كرده است كه ميزان پرداختي قبض ها به صورت تصاعدي بالا مي رود و از مصرف كنندگان تقاضا نمود كه نهايت صرفه جويي را درمصرف آن داشته باشند.» حتماً در بيشتر موارد نيز از اينكه هزينه مصرف آب يا برق شما بسيار گران شده است گله مند و شاكي بوده ايد و بسيار تعجب كرده و يا شايد هم فكر كرد ه ايد كه اشتباهي رخ داده است! اما در واقع اين چنين نبوده است. بلكه اين وزارتخانه ها و جاهاي ديگر از اين قبيل با به كار بردن يك مفهوم ساده رياضي كه از روابط جالب بين اعداد نشات مي گيرد، تلاش نموده اند با اين روش اندكي از مصرف سرانه انرژي هاي مفيد در كشور بكاهند. بسياري از رشته هاي اعداد در رياضيات از قاعده و قانون خاصي پيروي مي كنند. بدين صورت كه مثلاً هر عدد نسبت به عدد قبلي خود به اندازه ثابتي كاهش يا افزايش مي يابد، به اين رشته از اعداد تصاعد «عددي» (حسابي) گويند. براي مثال در رشته اعداد ۱، ۴، ۷، ۱۰، ۱۳ و ... هر عدد نسبت به عدد قبلي خود سه واحد بيشتر است. حال رشته اي از اعداد را در نظر بگيريد كه در آن هر عدد نسبت به عدد ماقبل خود به اندازه توان هايي از يك عدد ثابت افزايش يا كاهش يافته باشد. به اين رشته از اعداد تصاعد «هندسي» گويند.

براي مثال رشته اعداد ۱، ۲، ۴، ۸، ۱۶ و... را در نظر بگيريد. اگر كمي دقت كنيد متوجه مي شويد كه هر عدد نسبت به عدد قبلي خود، دو برابر شده است. به عبارت ديگر در اين رشته از اعداد با توان هايي از عدد ۲ و يا اعداد ديگر مواجه هستيم.

يعني :...و۲۴، ۳ ۲، ۲ ۲۲۱۲۰،، به ترتيب از چپ به راست مي شود ...و ۱۶، ۸، ۴، ۲۱،

اگر كمي حوصله كنيد و با ما همراه باشيد مثال ها و داستان هاي جالبي از خاصيت شگفت آور اين رشته از اعداد خواهيد خواند كه حتماً متعجب مي شويد.

در گذشته هاي دور، يكي از پادشاهان هندوستان به ازاي ياد دادن سرگرمي خوبي به او، جايزه بزرگي تعيين كرد. مي دانيد كه هندي ها در ابداع و اختراع روابط شگفت انگيز بين اعداد بسيار توانا هستند و تاريخچه بلندي در اين زمينه دارند. روزي يكي از همين دانشمندان متبحر كار با اعداد، نزد پادشاه رفت و بازي شطرنج را به او آموخت. كسي چه مي داند، شايد بازي شطرنج از همان زمان اختراع شده باشد.اين مرد زيرك به ازاي سرگرمي خوبي كه به پادشاه آموخته بود از وي خواست تا به ازاي ۶۴ خانه شطرنج به او گندم دهد. بدين ترتيب كه از يك دانه گندم براي خانه اول آغاز كند و به هر خانه شطرنج كه رسيد تعداد دانه هاي گندم را نسبت به خانه قبل دو برابر افزايش دهد. مثلاً براي روز چهارم پادشاه مي بايست تعداد ۱۶=۲۴ دانه گندم به مرد فاضل بدهد. مرد خردمند شرط كرد كه در صورت عدم توانايي پرداخت اين گندم ها از سوي پادشاه مي بايد تاج و تخت هندوستان را براي هميشه ترك كند. پادشاه نيز با كمال ميل پذيرفت و در دل به بي خردي آن ناشناس خنديد. مسلماً در روزهاي اول مشكلي وجود نداشت. اما مشكل اصلي از آنجا شروع مي شد كه اين اعداد به صورت شگفت آوري بزرگ مي شدند. در روز دهم تعداد ۱۰۲۴=۲۱۰ دانه گندم بايد پرداخت مي شد كه تعداد زيادي نيست. اما روز بيستم تعداد قابل ملاحظه اي مي شود يعني ۵۷۶/۰۴۸/۱=۲۲۰ دانه گندم. فكر مي كنيد وقتي كه به روز آخر يعني خانه شصت و چهارم برسيد چه اتفاقي بيفتد. درست حدس زده ايد پادشاه ما به ....=۲۶۴ دانه گندم نياز دارد كه اين تعداد گندم با تمام دانه هاي شن و ماسه موجود بر روي زمين برابري مي كند! در روزهاي آخر اين شرط تازه پادشاه هند متوجه شد كه چه كلاه بزرگي سرش رفته است اما چاره اي جز كناره گيري از تاج و تخت نبود!مثال هاي بسياري از اين دست موجود است كه به قدرت شگرف اعداد و بيشتر از آن به قدرت تفكر انسان هايي كه راه سود بردن از آن را بدانند اشاره مي كند.

mehdi_7070
07-02-2006, 13:38
براي شروع اين را داشته باشيد :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

در اينجا به صورت ابتكاري جدول تناوبي را براي دانشمندان رياضي تنظيم كرده اند .

mehdi_7070
07-02-2006, 13:40
هندسه نااقليدسى و نسبيت عام اينشتين
============================
در قرن نوزدهم دو رياضيدان بزرگ به نام «لباچفسكى» و «ريمان» دو نظام هندسى را صورت بندى كردند كه هندسه را از سيطره اقليدس خارج مى كرد. صورت بندى «اقليدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترين كالاى فكرى بود و پنداشته مى شد كه نظام اقليدس يگانه نظامى است كه امكان پذير است. اين نظام بى چون و چرا توصيفى درست از جهان انگاشته مى شد. هندسه اقليدسى مدلى براى ساختار نظريه هاى علمى بود و نيوتن و ديگر دانشمندان از آن پيروى مى كردند. هندسه اقليدسى بر پنج اصل موضوعه استوار است و قضاياى هندسه با توجه به اين پنج اصل اثبات مى شوند. اصل موضوعه پنجم اقليدس مى گويد: «به ازاى هر خط و نقطه اى خارج آن خط، يك خط و تنها يك خط به موازات آن خط مفروض مى تواند از آن نقطه عبور كند.» هندسه «لباچفسكى» و هندسه «ريمانى» اين اصل موضوعه پنجم را مورد ترديد قرار دادند. در هندسه «ريمانى» ممكن است خط صافى كه موازى خط مفروض باشد از نقطه مورد نظر عبور نكند و در هندسه «لباچفسكى» ممكن است بيش از يك خط از آن نقطه عبور كند. با اندكى تسامح مى توان گفت اين دو هندسه منحنى وار هستند. بدين معنا كه كوتاه ترين فاصله بين دو نقطه يك منحنى است.
هندسه اقليدسى فضايى را مفروض مى گيرد كه هيچ گونه خميدگى و انحنا ندارد. اما نظام هندسى لباچفسكى و ريمانى اين خميدگى را مفروض مى گيرند. (مانند سطح يك كره) همچنين در هندسه هاى نااقليدسى جمع زواياى مثلث برابر با ۱۸۰ درجه نيست. (در هندسه اقليدسى جمع زواياى مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است.) ظهور اين هندسه هاى عجيب و غريب براى رياضيدانان جالب توجه بود اما اهميت آنها وقتى روشن شد كه نسبيت عام اينشتين توسط بيشتر فيزيكدانان به عنوان جايگزينى براى نظريه نيوتن از مكان، زمان و گرانش پذيرفته شد. چون صورت بندى نسبيت عام اينشتين مبتنى بر هندسه «ريمانى» است. در اين نظريه هندسه زمان و مكان به جاى آن كه صاف باشد منحنى است. نظريه نسبيت خاص اينشتين تمايز آشكارى ميان رياضيات محض و رياضيات كاربردى است. هندسه محض مطالعه سيستم هاى رياضى مختلف است كه به وسيله نظام هاى اصول موضوعه متفاوتى توصيف شده اند. برخى از آنها چندبعدى و يا حتى nبعدى هستند. اما هندسه محض انتزاعى است و هيچ ربطى با جهان مادى ندارد يعنى فقط به روابط مفاهيم رياضى با همديگر، بدون ارجاع به تجربه مى پردازد. هندسه كاربردى، كاربرد رياضيات در واقعيت است. هندسه كاربردى به وسيله تجربه فراگرفته مى شود و مفاهيم انتزاعى برحسب عناصرى تفسير مى شوند كه بازتاب جهان تجربه اند. نظريه نسبيت، تفسيرى منسجم از مفهوم حركت، زمان و مكان به ما مى دهد. اينشتين براى تبيين حركت نور از هندسه نااقليدسى استفاده كرد. بدين منظور هندسه «ريمانى» را برگزيد.
هندسه اقليدسى براى دستگاهى مشتمل بر خط هاى راست در يك صفحه طرح ريزى شده است اما در عالم واقع يك چنين خط هاى راستى وجود ندارد. اينشتين معتقد بود امور واقع هندسه ريمانى را اقتضا كرده اند. نور بر اثر ميدان هاى گرانشى خميده شده و به صورت منحنى در مى آيد يعنى سير نور مستقيم نيست بلكه به صورت منحنى ها و دايره هاى عظيمى است كه سطح كرات آنها را پديد آورده اند. نور به سبب ميدان هاى گرانشى كه بر اثر اجرام آسمانى پديد مى آيد خط سيرى منحنى دارد. براساس نسبيت عام نور در راستاى كوتاه ترين خطوط بين نقاط حركت مى كند اما گاهى اين خطوط منحنى هستند چون حضور ماده موجب انحنا در مكان - زمان مى شود.
در نظريه نسبيت عام گرانش يك نيرو نيست بلكه نامى است كه ما به اثر انحناى زمان _ مكان بر حركت اشيا اطلاق مى كنيم. آزمون هاى عملى ثابت كردند كه شالوده عالم نااقليدسى است و شايد نظريه نسبيت عام بهترين راهنمايى باشد كه ما با آن مى توانيم اشيا را مشاهده كنيم. اما مدافعين هندسه اقليدسى معتقد بودند كه به وسيله آزمايش نمى توان تصميم گرفت كه ساختار هندسى جهان اقليدسى است يا نااقليدسى. چون مى توان نيروهايى به سيستم مبتنى بر هندسه اقليدسى اضافه كرد به طورى كه شبيه اثرات ساختار نااقليدسى باشد. نيروهايى كه اندازه گيرى هاى ما از طول و زمان را چنان تغيير دهند كه پديده هايى سازگار با زمان - مكان خميده به وجود آيد. اين نظريه به «قراردادگرايى» مشهور است كه نخستين بار از طرف رياضيدان و فيزيكدان فرانسوى «هنرى پوانكاره» ابراز شد. اما نظريه هايى كه بدين طريق به دست مى آوريم ممكن است كاملاً جعلى و موقتى باشند. اما دلايل كافى براى رد آنها وجود دارد؟
منبع : روزنامه شرق

mehdi_7070
07-02-2006, 13:52
معماهاي جالب رياضي
=============
- بازي شطرنج باچند نفر به طور هم زمان :

پسربچه اي به نام علي را در نظر ميگيريم كه در دبستان درس ميخواند و استعداد رياضي فوق العاده اي دارد ولي بازي شطرنج را بتازگي آغاز كرده و تنها مي داند مهره ها را چگونه بايد حركت داد . در عوض 2 فرد دبيرستاني به نامهاي محسن و حسن ، افرادي هستن كه اميدهاي بزرگي براي شطرنجند و شطرنج بازان بزرگ آنها را مي شناسند و براي پيروزي به آنها ارزش قايلند .وقتي اين سه نفر دور هم جمع بودند و در مورد شطرنج صحبت ميكردند محسن و حسن روايت كردند كه چگونه استادان بزرگ شطرنج بدون هيچ زحمتي با 40 تا 50 نفر به طور هم زمان شطرنج بازي مي كنند .علي بلافاصله گفت : من همين حالا حاضرم در مقابل 2 نفر به طور هم زمان شطرنج بازي كنم ، نمي خواهيد با من بازي كنيد ؟؟
محسن و حسن مات و مبهوت شدند كه چگونه يك بچه دبيرستاني ، كه تازه با حركت مهره ها آشنا شده به خود جرات ميدهد تا 2 شطرنج باز قوي و پر تجربه را به مبارزه دعوت كند .علي پيشنهاد كرد تنها اجازه بدهيد نحوه انتخاب مهره ها براي بازي با من باشد.اما حسن قبول نكرد و مهره خود را انتخاب كرد و بعد علي انتخاب كرد و بعد محسن انتخاب كرد . محسن گفت : علي عزيز ، اگر تو بتواني دست كم در برابر يكي از ما 2 نفر شكست نخوري من حاضرم كلاه خودم را بخورم .در پايان مبارزه خطري جدي كلاه محسن را تهديد ميكرد و تنها بعد از آن كه علي از قرار اوليه و حق خود صرف نظر كرد ، كلاه محسن سالم ماند و خود محسن از خورد آن معاف شد . علي چگونه توانست دست كم در يكي از بازيها از شكست خود جلوگيري كند ؟؟علي در بازي تكي با هر كدام از آن دو شكست ميخورد اما حالا توانست يكي از آن دو را شكست دهد چگونه ؟؟در ضمن فرد چهارمي هم وجود نداشت كه علي را راهنمايي كند !!!!!!!

جواب --> اون فقط كاري كه ميكرد اين بود كه حركت هركدام را براي ديگري انجام ميداد ... يعني در اصل اون فقط يك واسطه بود و از خودش حركتي انجام نمي داد

- در يك مهماني كه من در آن شركت كرده بودم جز من كه فقط با يك نفر ديگر دست دادم هر يك از مهمانان با سه نفر ديگر دست داد. پرسش اول : ايا شما ميتوانيد دست كم تعداد حاضران در اين مهماني را حدس بزنيد؟ پرسش دوم:ايا تعداد شركت كنندگان در اين مهماني ميتواند ۲۱ نفر باشد؟

جواب --> دست كم ۶ نفر
اما بيست و يك نفر نميتوانند باشند زيرا 19*3+2=59 كه يك عدد زوج نيست.
اما درباره اينكه چرا نميتوانند بيست و يك نفر باشند.
اگر در شكل فوق مدير را كنار بگذاريم يك گراف خواهيم داشت با پنج گره .گره آبي از درجه دو(فراموش نكنيم كه مدير را كنار گذاشته ايم)و چهار گره سبز از درجه سه،پس مجموع درج هاي گره ها برابر ۳*۴+۲=۱۴ ميباشد.از طرفي مشخص است كه مجموع درجه هاي يك گراف بايد زوج باشد و نميتواند فرد باشد(در اين مثال چون دست دادن يك رابطه دوطرفه است پس مجموع دست دادن ها بايد يك عدد زوج باشد).
حال اگر شمار افراد برابر ۲۱ نفر باشد با كنار گذاشتن مدير بيست نفر خواهيم داشت كه يك نفر با دو نفر دست داده است و ۱۹ نفر با سه نفر دست داده اند كه مجموع دست دادن ها برابر ۲+۳*۱۹=۵۹ ميشود كه بطور روشن غير ممكن است.

- احتمالا تا به حال ايستادن يا نشستن بر روي چهار پايه اي كه طول پاهايش مساوي نيست تجربه كرده ايد.و لق زدن ان شما را هم كلافه كرده است. حالا فكر ميكنيد سه پايه هم ممكن است لق بزند؟

جواب --> هر جسمي داراي يك مركز ثقل (گرانيگاه ) ميباشد و بر حسب وضع قرارگيري جسم بر روي زمين نسبت به ماندگاري خود در آن وضعيت داراي دو نوع تعادل است يعني يا تعادل آن پايدار است يا نا پايدار .
مثلا يك كره همگن را اگر در نظر بگيريد درست در وسط آن مركز ثقل آن قرار دارد ولي به علت كروي بودن سطح آن تعادل آن نا پايدار است .حال براي اينكه جسمي داراي وضعيت تعادل باشد ميبايست :
۱- نيروي مركز ثقل عمور بر سطح زمين (هموار) يا در امتدار (در راستاي) جاذبه زمين باشد .۲- راستاي(بردار) مركز ثقل در وسط جسم و در مركز نقاط تماس جسم با زمين قرار بگيرد .
در نتيجه اگر بخواهيم سه پايه ما داراي وضعيت تعادل پايدار باشد (كاري به شكل ظاهري آن نداريم )
ميبايست آن را به گونه اي طراحي نمود كه فاصله مركز ثقل از پيرامون نشيمنگا (محل نشستن )سه پايه به يك اندازه باشد و اگر از اين فقطه فرضي (مركز ثقل ) ما شاقولي آويزان كنيم فاصله شاقول تا تكيه گاه هاي سه پايه به يك اندازه باشد .
با اين اوصاف حتي در سطوح شيبدار هم مي توان سازهاي ساخت كه داراي تعادل پايدار باشد يعني مركز ثقل در راستاي جاذبه وخط (بردار ) بيانگر مركزثقل درست در وسط تكيه گاهها باشد يعني فاصله آن از تمام تكيه گاه به يك اندازه باشد .

- كم كردن حجم مبادلات پول
در سيستم پول ايالات متحده امريكا هر دلار به 100 قسمت تقسيم ميشود .هر يك صدم دلار يك سنت است و سكه هاي 1- سنتي (پني )، 5- سنتي (نيكل )، 10 – سنتي (دايم) و 25 - (كوارتر ) رايج مي باشند . اگر شما خريدي 29 سنتي انجام دهيد و يك اسكناس يك دلاري خرج كنيد ، فروشنده به شما 2 كوارتر ، 2 دايم و 1 پني خواهد داد ، همچنين ميتواند 7 دايم و 1 پني به شما بدهد. بهر حال 5 سكه بايد مبادله شود . آيا راهي براي كم كردن حجم مبادلات وجود دارد؟؟

جواب --> بر اساس تحقيقي كه جفري شاليت از دانشگاه واترلو انجام داده است ،در سيستم چهار سكه اي جاري، به طور متوسط در هر مبادله 7/4 سكه رد و بدل مي شود شاليت كشف كرده است كه در سيستم 4 سكه اي ، تركيب 1- سنتي ، 5- سنتي، 18- سنتي و 25- سنتي حجم مبادلات را به 89/3 سكه در هر مبادله كاهش مي دهد . جالب اينجاست كه تركيب سكه هاي 1- سنتي، 5- سنتي ، 18- سنتي و 29- سنتي نيز نتيجه اي مشابه بدست مي دهد . بنابر اين با بكارگيري هر يك از سيستمهاي فوق 17 درصد در مبادلات سكه صرفه جويي خواهد شد .پس با عوض كردن دايم با سكه 18- سنتي خدمات سريعتري مي توان به مشتريان ارائه داد . البته نبايد فراموش كرد كه محاسبات ذهني با يك سكه 18 – سنتي مشكل تر و وقت گير تر از كار كردن با سكه هاي موجود است . به جاي تعويض دايم با يك سكه 18- سنتي ، تحقيق درباره امكان اضافه كردن يك سكه به سيستم موجود نيز قابل بررسي است:
اضافه كردن يك 32- سنتي ، حجم مبادلات را به 46/3 سكه در هر مبادله كاهش مي دهد.نكته جالب تر اينكه اگر استفاده از سكه غير معمول 50- سنتي نيز بيشتر شود، سكه اي كه حجم مبادلات را حداقل مي كند يك 18- سنتي است. براي اطلاعات بيشتر مي توانيد به مقاله : آنچه اين كشور احتياج دارد يك سكه 18 سنتي است . چاپ شده در شماره 2 جلد 25، مجلهMathematical Intelligencer يا به نشاني[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مراجعه كنيد.


- در قانوني در باره ئ پرچم فرانسه، نوشته شده بود كه اين سه رنگ عمودي در كنار هم، نبايد با پهناي يكسان، بلكه به نسبت آبي ٣٠ ؛ سفيد ٣٧ ؛ سرخ ٣٣ ،.دليل اين قانون چه بوده است؟

جواب -->به علت خطاي ديد، اگر پهناي سه نوار آبي، سفيد و قرمز يكسان باشد، چشم ما آنها را يكسان نخواهد ديد؛ بنا بر اين، فرانسوي ها خودشان اين خطا را اصلاح كرده اند و پهناي نوار ها را به گونه اي انتخاب كرده اند كه در عمل يكسان ديده مي شوند

منبع : سايت ملاصدرا

mehdi_7070
07-02-2006, 13:57
معماهای جالب رياضي به نقل از سايت ملاصدرا
==========================

- كدام واژه ي فارسي بسيار معروف را نه تنها فارسي زبانان بلكه عضوهاي انجمن بين الملي فارسي دوستان نيز بد تلفظ ميكنند؟

-> خب معلومه كلمه بد


شما گرفتار يك قبيله ي ادم خوار شده ايد ميگويند يك جمله بگو اگر دروغ باشد اب پز خواهي شد و اگر راست باشد كباب خواهي شد . چه جمله اي خواهيد گفت؟

-> تنها جمله هايي كه شما را نجات ميدهد:


من كباب نميشوم يا من ابپز ميشوم



- در عدد نويسيه رومي حرف X نشانه عدد 10 و حرف I نشانه عدد 1 است.اگر I پهلوي راست X نوشته شود به معنيه ۱+۱۰ و اگر I پهلوي چپ X نوشته شود به معنيه ۱- ۱۰ است اكنون اگر رابطه ي:

Xi+i=x

را روي يك صفحه كاغذ بنويسيد به معني ۱۱+۱=۱۰ و نادرست است بدون هيچ دستكاري در نوشته چه عملي را ميتوانيد انجام دهيد تا اين نوشته نشان دهنده ي رابطه اي درست باشد؟

->
******************صفحه ي كاغذ را سروته كنيد*******************



- مجموع سه عدد متوالي ۱و۲و۳ مساوي حاصلصربشان هست . آيا سه تائي متوالي ديگري در ميان اعداد صحيح وجود دارد كه اين خاصيت را داشته باشد ؟

->
* 1 , 0 , 1- *



- ايا ميدانيد كه به چند طريق ميتوان 20 جلد كتاب دايره المعارف را در 20 قفسه مرتب كرد؟
به نظر كار ساده اي است؟پس بقيه اش را بخوانيد:

ابتدا 20 فاكتوريل را حساب ميكنيم . ميشود چيزي در حدود :
2432902008176640000, ...... عدد بزرگي است!!!

پس تقريبا به 2.5 كوئينتلون طريق ميتوان اين كار را انجام داد.
حالا اگر در هر ثانيه يك روش را انجام دهيم 77 بيليون سال طول ميكشد تا همه ي روشها را انجام دهيم!

mehdi_7070
07-02-2006, 14:00
درباره عدد پي
=======
تربيع دايره:

يونان باستان مساحت هر شكل هندسي را از را تربيع ان يعني از راه تبديل ان به مربعي هم مساحت بدست مياوردند.از اين راه توانسته بودند به چگونگي محاسبه ي هر شكل پهلودار پي ببرند ان گاه كه محاسبه ي مساحت دايره پيش امد دريافتند كه تربيع دايره مساله اي نا شدني مينمايد.در هندسه ي اقليدسي ثابت شده بود كه نسبت محيط هر دايره به قطر ان عدد ثابتي است و مساحت دايره از ضرب محيط در يك چهارم قطر ان بدست مي ايد. و مساله بدان جا انجاميد كه خطي رسم كنند كه درازاي ان با ان مقدار ثابت برابر باشد رسم اين خط ناشدني بود. سرانجام راه چاره را در ان ديدند كه يك مقدار تقريبي مناسب براي ان مقدار ثابت بدست اورند.

ارشميدس كسر بيست و دو هفتم را بدست اورد كه سالين دراز ان را به كار ميبردند پس از ان و براي محاسبات دقيقتر كسر سيصد و پنجاه و پنج بر روي صد و سيزده را به كار بردند. اختلاف بين عدد پي و مقدار تقريبي سيصد و پنجاه و پنج بر روي صد و سيزده فقط حدود 3 ده ميليونيم است. رياضي دان بزرگ ايراني جمشيد كاشاني براي نخستين بار مقدار ثابت نسبت محيط به قطر دايره را بدست اورد كه تا 16 رقم پس از مميز دقيق بود. اين رياضي دان و منجم مسلمان ايراني توانست مقدار 2 را تا شانزده رقم اعشار در رساله ي محيطيه برابر: 6.2831853071795865 بدست اورد.

در جمله ي زير هر گاه تعداد حرفهاي كلمه ها را در نظر بگيريد مقدار عدد پي تا ده رقم پس از مميز بدست خواهد امد:



خرد و بينش و اگاهي دانشمندان ره سرمنزل مقصود بما اموزد
3...1...4...1....5........9.......2......6......5. ....3....4..


همچنين اگر اين معادله را براي حل كنيد ريشه ي مثبت اين معادله مقدار عدد پي را نشان ميدهد:

[img][ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][img/]
[img][ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](2).jpg[img/]

Hidden-H
14-02-2006, 19:41
ریاضیات عموما مطالعه الگوی ساختار، تحول، و فضا تعریف شده است؛ بصورت غیر رسمی تر، ممکن است بگویند مطالعهاعداد و اشکال است.تعریف ریاضیات بر حسب وسعت دامنة آن و نیز بسط دامنة فکر ریاضی تغییر کرده است.
ریاضیات زبانی خاص خود دارد،که در آن به جای کلمات و علائم نقطه گذاری از اعداد و نمادها استفاده میشود. در منظر صاحبان فکر، تحقیق بدیهیات ساختارهای مجرد تعریف شده، با استفاده از منطق و نماد سازی ریاضی میباشد.
نخستین اعداد ثبت شده خطوطی بودند که روی یک چوب کشیده میشدند،که اصطلاحا آنها را چوبخط مینامیدند.این خطوط به شکل دسته های کوچک دو یا پنج تایی کشیده میشدند.سرانجام به این دسته ها نمادهای خاصی اختصاص داده شد(5،2 و غیره)و یک دستگاه حساب ایجاد شد.
ریاضیدانان نمادهای خاصی را به جای کلماتی از قبیل به اضافه و مساوی است با وضع کردند،همچنین کلمات خاصی را برای بیان مفاهیم جدید ابداع کردند.
چنانکه زمانی آن ار علم عدد ، زمانی علم فضا ، گاه علم کمیات ، و زمانی علم مقادیر متصل و منفصل خوانده اند.ریاضیات درباره حساب ، هندسه ، جبر و مقابله بحث می کند که ما در اینجا به سراغ تاریخ هر یک از آنها می رویم.
ساختارهای بخصوصی که در ریاضیات مورد تحقیق و بررسی قرار میگیرند اغلب در علوم طبیعی منشاء دارند، و بسیار عمومی در فیزیک، ولی ریاضیات ساختارهای دلایلی را نیز بررسی می نماید که بصورت خالص در مورد باطن ریاضی است، زیرا ریاضیات می توانند برای مثال، یک عمومیت متحد شده را برای زیر-میدانهای متعدد، یا ابزارهای مفید را برای محاسبات عمومی، فراهم نماید. در نهایت، ریاضیدانان بسیاری در مورد مطالبی که مطالعه می نمایند که منحصرا دلایل علمی محض داشته، ریاضیات را بصورت هنری برای پروراندن علم، صرف نظر از تجربی یا کاربردی، می نگرند.
حساب ، علم اعداد است. واژه انگلیسی حساب ، از کلمه ای یونانی به معنای اعداد گرفته شده است.
در آغاز شهرنشینی ، انسان گوسفندان ، گاوها و سایر حیوانات خود را با انگشتانش می شمرد. در واقع کلمة دیژیت که برای شمارش اعداد از 0 تا 9 به کار می رود، از یک کلمة لاتین به معنای انگشت گرفته شده است.
بعدها انسان با علامت زدن روی چوب یا درخت ، اشیاء را می شمرد. اما این روش به زودی جای خود را به استفاده از علامتهایی باری هر یک از اعداد داد.
هندسه مطالعه انواع مختلف اشکال و خصوصیات آنهاست. همچنین مطالعه ارتباط میان اشکال ، زوایا و فواصـل است
منبع: سايت رشد

Hidden-H
14-02-2006, 19:45
كليك كنيد ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 7%D8%AA+%D8%AF%DB%8C%D9%81%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B3 %DB%8C%D9%84+%D9%85%D8%B9%D9%85%D9%88%D9%84%DB%8C)

mska
11-06-2006, 18:10
مقدمه
رياضی زبانيست كه خدا با آن جهان را به رشته تحرير درآورد۰
گاليله (ميلادى ۱۵۶۴-۱۶۴۲)
در زندگى هرانسان انديشمند زمانى فراميرسد كه دربارهٔ خلقت خود ،هرچه كه در پيرامون خود ميبيند و وجود خالق تعمق كند. تأمل انسان دربارەً مبداء و هدف وجود خود امرى كاملا طبيعيست. براى برخى، آنچه كه مذهب موروثيشان به آنها آموخته است كافيست، درحاليكه، عدەاىديگر ممكن است بافرضيهء تكامل انواع (درحد بوجود آمدن خودبخودى شرايط كافى شروع حيات در روى كرەً زمين)، خود را راضى كنند. اما عدەً زيادى از مردم، منجمله معتقدان مذهبى و طرفداران فرضيه هاى علمى (حتى شايد بطور ناخودآگاە) به توجيهاتى از اين قبيل مشكوك هستند. ولى تعداد قابل ملاحظه اى از اين افراد تابع اكثريت بودە و سوً۱لات بى پاسخ و ترديدهاى سركوب شدەً خود را ناديدە ميگيرند. فقط عدەً بسيار كمى مصرانه به جستجوى حقيقت و يافتن جواب براى اين سوًالات ديرينه ميپردازند.

براى خيليها، بواسطهء نظم و ترتيب مشهود و هماهنگى و طرح دقيق جهان پيرامون، احتمال قبول فرضيه تكامل خودبخودى انواع كاملا منتفى است. و اين عدە دراين باور پروفسورادوين كانكلين شريك هستند كه احتمال شروع حيات بصورت تصادفى قابل مقايسه با احتمال چاپ شدن يك لغتنامه كامل در اثرا نفجار در يك چاپخانه است. اما همين عده، هنگامی كه به باورهاى مذهبى مرسوم مراجعه ميكنند، اكثر سوًالات خود رابىجواب مييابند. مضاف براينكه در تعدد چنين بينشهايى كه هر يك مدعى بلامنازع درانحصار داشتن حقيقت است، دچار سردرگمى بيشترى ميشوند. تمام مذاهب رايج امروزەً دنيا (بعوض آنكه ارائه گر حقايقى باشند كه خميرمايهء پيغام شان است) تبديل به مجموعه هايى از رسم ورسوم و فرقه هاى سنتى شدەاند و با گذشت زمان پيغام اوليهً خود را از دست دادەاند. چنين فساد در اديان بواسطهً خودخواهى و نوآورى انسانهاى سودجو و قدرت طلب اتفاق افتاد وبه اين واسطه، كسانى كه قصد بازگشت و باز نگرى به مبانى و اصول دين خود را دارند، در تضاد باشيوهً حاكم بر اجتماع قرار ميگيرند.

بسيارى از ما باور داريم كه با ديدن معجزەاى ازقبيل آنچه كه بوسيلهء موسى و عيسى ارائه شد، جواب سوألهائى كه در مورد وجود خدا در ذهن داريم را خواهيم گرفت، در عين حال ممكن است چنين احساس كنيم كه چون خداوند در زمان حاضر معجزات را آشكار نميكند، پس ما مورد بيعدالتى واقع شدەايم! اما، از شوخى گذشته ، در دنياى امروزى، با وجود اكتشافات علمى و پيشرفتهاى پزشكى، چه كسى به واسطهء معجزات قديمى مانند شفاى مريضان و زندە كردن مردگان خدا را باور كردە و ايمان مياورد؟ منطقى تر بنظر ميرسد كه خداوند، معجزەاى كه هماهنگى بيشترى با سطح فكر و شيوەء زندگى مردم كنونى داشته باشد، بفرستد.

فقدان معجزەء مدرن، با اين باور كه خدا، خردمندترين است، مغايرت دارد؛ بعلاوە اين شبهه را بوجود مىآورد كه او قادر به همپائى با سطح بالاى فكرى ما نيست! آيا خداوند فقط قادر به توليد معجزات براى موجودات سادە ذهن ميباشد؟ آيا او، فقط معجزاتش را به عدەء معدودى از نسلهاى پيشين ارائه كرد ـباوجود آنكه نسل ما از نسلهاى گذشته به مراتب پر جمعيت تر است، و نسلهاى آيندە، كثيرتر هم خواهند بود؟

ما در عصر علم و كامپيوتر زندگى ميكنيم و خود را موجودات با هوشى مىانگاريم كه تا اثبات امرى را نبينيم، آنرا نميپذيريم، درعين حال، شگفت انگيز است كه بسيارى از مقولات را كه با عقل هم جور در نمىآيند، صرفاً بر پايه ايمان، بى چون و چرا ميپذيريم۰ ما بخود ميباليم كه بيشتر از پيشينيان خود در زمينهء علم و صنعت آگاهى داريم و دستاوردهاى خود را در اين زمينه ها، بدون هيچ شك و تأملى، بهتر از آنچه كه پيشينيان بجا گذاشته اند ميدانيم؛ اما، در قبول كوركورانهء باورهاى مذهبى آنها، هيچ ابائى به خود راە نميدهيم ـ حتى اگر اين بدان معنى باشد كه مراسم و سنتهائى را ارج بگذاريم كه ايمان چندانى بدانها نداريم۰

هدف اصلى اين كتاب، معرفى يك سيستم رياضى است كه توسط خداوند در يكى از كتابهاى آسمانى كارگزارى شدەاست، اين سيستم رياضى چنان در تار و پود اين كتاب آسمانى تنيدە شدە است كه احتمال تصادفى بودن آن، يا ساختهء دست بشر بودنش محال است، و به آسمانى بودن آن گواهى ميدهد؛ اين سيستم رياضى، اخيراً بدنبال تجزيه و تحليل متن زبان اصلى اين كتاب بتوسط كامپيوتر آشكار شد؛ اين خبر بسيار خوبى است براى كسانى كه ميخواهند از اعتقاد كوركورانه پرهيز كردە و ايمان خود را به خدا استحكام بخشند؛ تصوير روشنى كه از اين اثبات قابل لمس و اين كتاب آسمانى بدست مىآيد، مٶيد آنست كه تنها يك خداى واحد ، لايزال، آگاە و مهربان وجود دارد؛ يك خدا كه در كنترل كامل كوچكترين جزئيات امور آسمانهاست و ميتواند خود را براى همه آشكار سازد

متن كامل ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])

bb
13-07-2006, 06:47
"ریاضیات در سنگ نبشته ها "
در تمام تمدنهای دنیا , کتابت به صورت ناقص اغاز شد و در طول سیر خود,بصورت یکنواخت و تدریجی تکامل پیدا کرد . اما این امر در مورد مایاها صدق نمی کند, زیرا هنر کتابت انها از همان اغاز تمدنشان به حد کمال رسیده بود . در ریاضیات نیز مایاها از وجود صفر باخبر بوده اند , انها صفر را بصورت یک صدف ریز بکار میبردند . همچنین به سیستم اعشاری,لگاریتم و دیگر محاسبات ریاضی اشنا بوده اند پرفسور " انر " در این باره چنین نوشته است : موقعی که تصویری در یک کتیبه مثلا 10 مرتبه یا بیشتر تکرار میشود و یا تعداد پله های یک هرم تا انتهای بصورت دقیق و حساب شده محاسبه میگردد, این نشانه یک محاسبه دقیق ریاضی میباشد . تمام هنر مایاها در ریاضیات متمرکز شده بود که در نهایت به روی کتیبه های سنگی منتقل شده است . علم نجوم نیز در مایاها نسبت به بقیه اقوام ان سرزمین به مراتب پیشرفته تر بوده است, اگاهی انها به سیستم منظومه خورشیدی و صور فلکی تعجب برانگیز است . یک طاق با عظمت به یادبود کنگره ستاره شناسی که در 2 ماه سپتامبر 503 میلادی در "کوپان" ان سرزمین برپاگردید,بنا شده است ( واقعا جای تعجب دارد که این قوم اسرارانگیز این همه علم و معرفت را از کجا اموخته اند.؟. کتیبه ای که نشان از گرامی داشتن این کنگره ستاره شناسی که در ان بزرگترین عالمان و ستاره شناسان مایا در ان شرکت کردند با تاریخ مختص مایا بر طاق یکی از بناها نقش بسته است.!! ) ساختمان رصدخانهی انها بطور شگفت انگیزی مشابه رصدخانه های امروزی ما میباشد,منتهی بدون وجود دستگاه و الات مدرن ستاره شناسی امروز, و جای تعجب اینجاست که انها بدون داشتن این قبیل تجهیزات چگونه توانسته اند اطلاعات دقیقی در مورد اجرام سماوی کسب نمایند.!! ایا براستی انها " اربابان کره زمین " بوده اند.؟ اجازه دید یک نگاه کلی به شهرهای مایا بیندازیم . شهرهای انها با جلال و جبروت, تمیز و مرتب بوده است . میادین و چهارراه های انها وسیع و سطح خیابانها یا سنگفرش بوده و یا با ماده سفید سیمان مانندی پوشیده شده بود . معابد انها مزین به تصاویر عظیم موجودات عجیب و باغچه ها و اب نماهای زیبا در همه جا بچشم میخورد. یک سیستم فاضلاب بهداشتی تما شهر را در بر گرفته . جاده های انها بخوبی جاده های اینکاها نبوده ولی این چیزی از ارزش جاده های انها کم نمی کند . مثلا جادهء به طول 100 کیلومتر از کوبا به یاکزونا که با سیمان پوشیده شده و طرفین ان نرده کشی شده بود و تماما از یک منطقه صعب العبور باتلاقی گذشته است . سئوال این است که " مایاها که از چرخ استفاده نمیکردند و هیچ گاری و یا وسیله چرخداری در شهر انها نبوده این جاده ها را برای چه احداث کردند.؟" . مایاها انواع مختلف گیاهان را پرورش داده و رنگ های متنوع گیاهی تولید می کرده اند – مثل ابی , بنفش,نیلی و رنگهای دیگر . انها همچنین از لاستیک برای ساختن پای افزار,توپ بازی و ضد اب نمودن لباسهایشان استفاده میکردند ( البته منظور از لاستیک درختی میباشد که از ان ضمغی بدست می اید که خاصیت لاستیک دارد و به همین نام انرا میشناسند ) انها حتی از برگهای فندوق وحشی و با استفاده از چسب و صمغ , کاغذ و کتاب درست میکردند . با وجود اینها تفاوت تکنیک انها غیر عادی نبود . این خلاصه ای بود از تمدنی که "مایا "نام دارد و همچنان اسرار امیز باقی مانده . هنوز کسی نمیداند که انها این همه علم را از کجا بدست اوردند . چرا مهاجرت ملی کردند . و این تمدن عظیم چگونه از میان رفت . امیدوارم توانسته باشم با معرفی این قوم اسرار انگیز کمکی هر چند کوچک در جهت معرفی این قوم پر معما کرده باشم . پایان

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

Babak_King
27-07-2006, 07:30
جا نشد یکیشم تو پرشین گیگ آپلود کردم
موفق باشید :happy:


برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

Babak_King
27-07-2006, 09:20
برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

:happy:

bb
14-08-2006, 06:35
آیا تا به حال با عدد ...999/0 آشنا شده اید؟

در این مقاله ما به شما نشان می دهیم که این عدد همان عدد 1 است ، عددی که بارها و بارها آن را دیده اید و می شناسید ، ممکن است عده ای از شما آن را باور نکنید ولی ما این را ثابت خواهیم کرد .



(1) این عدد را برابر با x فرض کنید : ...999/0 =x



(2) طرفین تساوی را در عدد 10 ضرب کنید : ...999/0 = x10



حال اگر طرفین تساوی (1) را از تساوی (2) کم کنیم ، خواهیم داشت :



1 = x 9 = x 9 ...999/0 - ...999/9 = x – x 10



بنابراین داریم : ...999/0 = 1



حال اگر تساوی را در 1/0 ضرب کنیم داریم : ...0999/0 = 1/0



(3) ونیز با ضرب 01/0 در طرفین تساوی بالا خواهیم داشت : ...00999/0 = 01/0



و همین طور ال آخر



با استفاده از تساوی (3) ثابت می کنیم هر عدد با نمایش اعشاری متناهی ، دارای یک نمایش نامتناهی نیز هست .



به عنوان مثال عدد اعشاری 23/5 در نظر بگیرید ، همانگونه که ملاحظه می کنید این عدد دارای نمایش اعشاری متناهی است داریم :

01/0 + 22/5 = 23/5

...0099/0 + 22/5 =

...22999/5= از رابطه اخیر نتیجه می شود برای ساختن نمایش اعشاری نا متناهی برای یک عدد باید از آخرین رقم اعشاری سمت راست نمایش متناهی آن عدد یکی کم کنید و بعد از آن تعداد بی نهایت رقم 9 قرار دهیم .

با همین روش می توان برای بقیه اعداد صحیح و نیز اعشاری با نمایش متناهی ، یک نمایش اعشاری نامتناهی پیدا کرد .
نیلوفر صفری راد

همکلاسی

Mohammad Hosseyn
13-09-2006, 17:10
چند وجهي هاي افلاطوني
نوشته: نيلوفر بان

مجموعة اجسام منتظم از مشهورترين مجموعة چند وجهي ها در زمان باستان است. تائتتوس رياضيدان يوناني(369-415 ق.م ) اولين كسي است كه با آنها رياضي گونه برخورد كرد.افلاطون(347-427 ق. م ) دوست تائتتوس ،چند وجهي هاي منظم را با كيهان شناسي خود در آميخت.تيمائوس(كتاب افلاطون) در گفت گوي خود روي چهار عنصركه همه چيز از آنها تشكيل شده است،بحث مي كند. اجزاي زمين به شكل مكعب هستند و به حالتي استوار روي قاعده شان قرار دارند. اجزاي هوا كه هشت وجهي هاي منتظم هستند، و اگر روي رئوس مخالف قرار گيرند، به آزادي مي چرخند. اجزاي آتش ، چهاروجهي هاي منتظم هستند. اجزاي آب بيست وجهي و تقريبا" كروي هستند. و مانند مايعات مي توانند بغلتند. اجزاي تشكيل دهنده اتر 12 وجهي و بسيارسبك هستند. در قديم تصور مي شد تمام اجرام سماوي از مادة سبكي به نام اتر تشكيل شده اند كه خاصيت چرخندگي دارند.

در دوره رنسانس، زمانيكه نوشته هاي كلاسيك روم و يونان باستان با پشت سر گذاشتن سال هاي تاريك اروپادر دسترس قرار گرفت ، خداشناسان ، فلاسفه و دانشمندان كارهاي افلاطون و اقليدس را مورد مطالعه قرار دادند،و اين مطالعه ها علاقة آنها به چند وجهي ها بر انگيخت.

يوهانس كپلر آلماني(1630-1571 )آرزوي بزرگش در زندگي اين بود كه بتواند تئوري خورشيد مركزي را تكميل كند. او سادگي و هماهنگي اين تئوري را به صورت لذتي باورنكردني مي نگريست. براي كپلر چنان الگوهايي از انتظام هندسي و رابطه هاي عددي سر رشته اي بود براي شناخت انديشه خداوند او درصدد بود تا از راه تئوري خورشيد مركزي اين الگو ها را بيشتر نمايان كند .در نخستين اثر بزرگ خود كوشيد تا ترتيب و فاصله مدارهاي سيارات را چنان كه كپرنيك محاسبه كرده بود به نحوي از طريق اشكال هندسي توجيه كند كپلر به دنبال دلايلي مي گشت تا دريابد چرا فقط شش سياره قابل رويت وجود دارد و چرا با چنين ترتيبي قرارگرفته اند اينها مسائل ارزشمندي است كه حتي امروزه پاسخ دادن به آنها بسيار دشوار است.

كپلر فكر مي كردكه كليد حل اين مسائل در هندسه است.او به جستجويي ميان شش سيارة شناخته شده پنج چند وجهي منتظم برآمد. او با استفاده از روش آزمايش خطا راهي براي آرايش چند وجهي ها به دست آورد.كپلر چند وجهي هاي منتظم را به دستگاه كوپر نيك و سيارات وارد ساخت و از آنها براي توجيه ترتيب و اندازة مدار سيارات استفاده كرد. طرح او مانند شكل پشت جلد است. زحل در كرة خارجي حركت مي كند كه شامل يك مكعب است و يك كره در آن قرار دارد كه مشتري روي آن حركت ميكند وخود شامل يك چهار وجهي منتظم است كه كرة مريخ در آن قرار دارد.به همين ترتيب كرة مريخ شامل يك دوازده وجهي منتظم است،پس كرة زمين شامل يك بيست وجهي،كرة زهره شامل يك هشت وجهي و در نهايت كرة عطارد است. كپلركشف خود را اتحاد ميان عناصر زميني و آسمان ها ميدانست.

او چنان از طرح خود به وجد آمده بودكه از دوستش دوك خواست كه مدلي طلايي از چند وجهي هاي تودرتووكره ها براي نشان دادن طرح او به دنيا و توضيح جهان مرموز ساخته شود.كپلر مي نويسد من ابعاد مدارهاي سياره اي را براساس اخترشناسي كوپرنيكي در نظر گرفتم كه بر طبق آن خورشيد در مركز عالم ثابت است. و زمين هم به دور محور خود و هم به دور محور خورشيد مي چرخد، و نشان دادم كه اختلاف هاي مدار هاي آنها با پنج شكل منظم فيثاغورثي تطبيق مي كند.

ما امروزه مي دانيم كه اين آرايش كاملا تصادفي بوده است. براي كپلر اين الگو هم فاصلة سيارات و هم شش عدد بودنشان را توضيح مي داد و همچنين آن يگانگي را كه كپلر در ميان مشاهده هاي هندسي و علم جستجو مي كرد در برداشت.

نتيجه هاي كار كپلر كه در سال1597 منتشر شد،تخيل و توانايي رياضي او را نشان مي دهد.

منابع :

كتاب Mathematic نوشته Harold Jacobs

كتاب هندسه 2 نظام قديم

كتاب طرح فيزيك هاروارد (2)

كتاب چگونه مسئله حل كنيم؟

منبع :[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

soleares
28-09-2006, 18:34
نظریه گراف دانشی است که درباره موجوداتی به نام گراف بحث می‌کند. به صورت مرئی گراف «چیزی» است شامل تعدادی رأس که با یالهایی به هم وصل شده‌اند. تعریف دقیق‌تر نظریهٔ گراف به این صورت است که گراف مجموعه‌ای از رأس‌ها است که توسط خانواده‌ای از زوج‌های مرتب که همان یال‌ها هستند به هم ربط داده شده‌اند.

آغاز نظریهٔ گراف به سدهٔ هجدهم بر می‌گردد. اویلر ریاضیدان بزرگ این نظریه را برای حل مسئله پل‌های کونیگزبرگ ابداع کرد اما رشد و پویایی اصلی این بخش بسیار زیبا از این نظریه تنها مربوط به نیم سدهٔ اخیر و با رشد علم داده‌ورزی (انفورماتیک) بوده است.

مهم‌ترین کاربرد گراف مدل‌سازی از پدیده‌های گوناگون و بررسی بر روی آنهاست. با گراف می‌توان به راحتی یک نقشه بسیار بزرگ یا شبکه‌ای عظیم را در درون یک ماتریس ذخیره کرد و یا الگوریتمهای‌ مناسب را بر روی آن اعمال نمود.

یکی از قسمت‌های پركاربرد نظریهٔ گراف، گراف‌های مسطح است که به بررسی گراف‌هایی می‌پردازد كه می‌توان آن‌ها را به‌طوری روی صفحه كشید (با گذاشتن نقطه برای رأس‌ها و گذاشتن خم‌هایی كه اين نقاط را به هم وصل می‌كنند به جای یال‌ها) كه این یال‌ها یكدیگر را قطع نكنند.

soleares
28-09-2006, 18:36
نظریّۀ ریاضی ارسال، دریافت، و ذخیره‌سازی بهینۀ داده‌ها و اطّلاعات را نظریّهء اطّلاعات می‌نامند. در این نظریه، کلود شانون نحوه مدل سازی مساله ارسال اطلاعات در یک کانال مخابراتی را به صورت پایه ای بررسی نموده و مدل کاملی برای مدل سازی ریاضی منبع اطلاعات، کانال ارسال اطلاعات و بازیابی آن ارائه نموده است. او مساله ارسال اطلاعات از یک منبع به یک مقصد را به کمک علم احتمالات بررسی و تحلیل نمود. دو نتیجه بسیار مهم، معروف به قضیه های شانون، عبارت اند از: 1- حداقل میزان نرخی که می توان نرخ فشرده کردن اطلاعات یک منبع تصادفی اطلاعات را به آن محدود نمود برابر با آنتروپی آن منبع است؛ به عبارت دیگر نمی توان دنباله خروجی از یک منبع اطلاعات را با کمتر از آنتروپی ان منبع ارسال نمود. 2- حداکثر میزان نرخی که می توان بر روی یک کانال مخابراتی اطلاعات ارسال نمود به نحوی که قادر به آشکارسازی اطلاعات در مقصد، با احتمال خطای در حد قابل قبول کم، باشیم، مقداری ثابت و وابسته به مشخصات کانال است که به آن ظرفیت کانال می گوئیم. ارسال با نرخی بیشتر از ظرفیت یک کانال روی آن منجر به خطامی شود. این زمینه از علم مخابرات، به زیر بخش های کدگذاری منبع و کدگذاری کانال تقسیم می گردد. مباحث رمزنگاری مطرح شده توسط شانون نیز از این بنیان ریاضی بهره جسته است. از زیر شاخه های مرتبط با آن می توان نظریه کدینگ جبری کانال را نام برد.

soleares
28-09-2006, 18:39
نظریه احتمالات مطالعه رویدادهای احتمالی از دیدگاه ریاضیات است.

مفهوم احتمال در مورد ارتباط یا پیوند دو متغیر به کار می‌رود، به این معنی که ارتباط یا پیوند آنها به صورتی است که حضور، شکل، وسعت و اهمیت هر یک وابسته به حضور، شکل، و اهمیت دیگری است. این مفهوم به صورت محدودتر و در مورد ارتباط دو متغیر کمّی نیز به کار برده می‌شود.(مفاهیم اساسی جامعه شناسی، حمید عضدانلو).

ریاضی‌دانان عددی بین صفر و یک را به عنوان احتمال یک رویداد تصادفی به آن نسبت می‌دهند. رویدادی که حتما رخ دهد، احتمالش یک است و رویدادی که اصلاً ممکن نیست رخ دهد احتمالش صفر است.

احتمال شیر آوردن در پرتاب یک سکه سالم یک دوم است، همانطور که احتمال خط آوردن هم یک دوم است. احتمال این‌که پس از انداختن یک تاس سالم شش بیاوریم یک ششم است.

به زبان سادهٔ‌ ریاضی احتمال، نسبت تعداد اعضای مجموعهٔ پیشامدهای دلخواه به تعداد اعضای مجموعهٔ تمام پیشامدهای ممکن است. مثلاً در مورد تاس، برای محاسبهٔ‌ احتمال آوردن عددی زوج، مجموعهٔ پیشامدهای ممکن هست: {۱٫۲٫۳٫۴٫۵٫۶} و مجموعهٔ پیشامدهای دلخواه هست: {۲٫۴٫۶}. تعداد اعضای مجموعهٔ دلخواه هست ۳ و تعداد اعضای مجموعهٔ پیشامدهای ممکن هست ۶. پس احتمال هست: سه ششم مساوی با نیم

جمع احتمال رخ دادن یک رویداد با احتمال رخ دادن رویداد مکمل آن، عدد یک می‌شود. مثلاً در تاس ریختن جمع "احتمال آوردن شش" (که یک ششم است) با "احتمال نیاوردن شش" (که 5 ششم است) می‌شود یک.

soleares
28-09-2006, 18:41
اصل موضوع یا بُنداشت به حکمی گفته می‌شود که بدون اثبات پذیرفته شود. حکم‌هایی که به یاری اصل‌ها ثابت

می‌شوند،قضیه نام گرفته‌اند. در سیستم‌های مبتنی بر اصل موضوع چند اصل بدون اثبات پذیرفته می‌شود و بقیه

احکام و قضایا بر اساس این اصول و با توجه به قواعد منطقی اثبات می‌شود.



اصل‌هل و قضیه‌ها را برای نخستین بار، دانشمندان یونانی وارد دانش کردند.ارشمیدس (سده سوم پیش از میلاد) در

کتاب‌های خود، بارها از اصل و قضیه استفاده کرده است. تا سرانجام اقلیدس (سده سوم پیش از میلاد) در ّمقدمات ّ

خود در سیزده کتاب، اصل‌ها و قضیه‌های هندسی را منظم کرده است.



بعضی از اصل‌ها را، اقلیدس پوستلا (خواست) نامیده است. برای نمونه، نخستین پوستلا در ّمقدمات ّ اقلیدس، به

این ترتیب تنظیم شده است: ّدو نقطه را می‌توان به وسیله خط راست به هم وصل کرد.ّ

soleares
28-09-2006, 18:48
اثبات در ریاضیات به معنی نشان دادن درستی گزاره‌ای براساس استدلال منطقی و با فرض کردن درستی چند اصل اولیه (اصل موضوع) است. گزاره‌ای که بدین ترتیب ثابت می‌شود قضیه نام دارد و بعد از اثبات می‌توان از آن در دیگر اثبات‌ها استفاده کرد.

در کتاب تاریخ ریاضیات (تألیف:پرویز شهریاری) در رابطه با اثبات آمده است:

اثبات، عبارت از استدلالی است که به یاری آن و به یاری اصل‌ها، می‌توان قضیه را ثابت کرد.

soleares
28-09-2006, 18:49
قضیه در ریاضیات، گزاره‌ای است که بر اساس فرضیات دقیقی درستی آن ثابت شده یا باید ثابت شود.

قضیه، ترجمه‌ای است از واژه یونانی «ته‌ئورم» که به معنای «اندیشیدن» است.

اصل‌ها و قضیه‌ها را برای نخستین بار، دانشمندان یونانی وارد دانش کردند. ارشمیدس (سده سوم پیش از میلاد) در کتاب‌های خود، بارها از اصل و قضیه استفاده کرده است. تا سرانجام اقلیدس (سده سوم پیش از میلاد) در «مقدمات» خود در سیزده کتاب، اصل‌ها و قضیه‌های هندسی را منظم کرده است.

soleares
29-09-2006, 20:58
بینهایت مفهومی است که در رشته‌های مختلف ریاضیات (با تعبیرات مختلف) به‌کار می‌رود و معمولاً به معنای «فراتر از هر مقدار» است. معمولاً نشانه بینهایت در ریاضیات [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است.

در آنالیز حقیقی بینهایت به معنای حدی بی‌کران است. [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] یعنی متغیر x فراتر از هر مقدار در نظرگرفته شده رشد می‌کند.

در آنالیز مختلط نیز همین علامت با همین نام به‌کار می‌رود. در این رشته ايكس به سوي بي نهايت یعنی قدر متغیر مختلط x (که آن را با | x | نشان می‌دهند) بیش از هر مقدار در نظر گرفته شده رشد می‌کند.

در نظریه مجموعه‌ها مفهوم بینهایت با اعداد ترتیبی و اعداد اصلی مربوط است. عدد اصلی مجموعه اعداد طبیعی را با [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نمایش می‌دهند و می‌خوانند «الف صفر» (از اولین حرف الفبای عبری به‌نام «الف»). این عدد «تعداد» عددهای مجموعه اعداد طبیعی را نشان می‌دهد، که «بینهایت» است. جالب است که بدانید که عدد اصلی مجموعه‌های N و Z و Q یکسان هستند ولی عدد اصلی مجموعه R برابر عددی است که آن را الف می‌‌خوانند. خوب است بدانید که الف برابر دو به توان الف صفر می‌‌باشد. بینهایت دارای دو مفهوم فیزیکی و ریاضی است که کاملاً با یکدیگر متفاوتند.

مفهوم فیزیکی بینهایت، دارای تعریف دقیقی نیست و در جای‌های مختلف دارای تعاریف متفاوت است. به عنوان مثال، می‌‌گوییم که اگر جسم در کانون عدسی محدب قرار گیرد، تصویر در بینهایت تشکیل می‌شود. حال دو عدسی با فواصل کانونی متفاوت در نظر بگیرید و اجسامی را روی کانون این دو عدسی قرار دهید. طبق قاعده، تصاویر هر دو در بینهایت تشکیل می‌شود. اما قطعا تصویر این دو دقیقا در یک نقطه تشکیل نمی‌شود؛ یعنی بینهایت برای این دو عدسی متفاوت است.

به عنوان مثالی دیگر، دو منبع گرمایی، مثلاً دو اتو با درجه حرارتهای متفاوت را در نظر بگیرید. فاصله‌ای که در آن، دیگر اصلاً گرمای اتو را احساس نکنیم، برای این دو اتو متفاوت است، به عبارت دیگر، بینهایت برای این دو اتو تفاوت دارد.


اما مفهوم بینهایت، در ریاضیات کاملاً متفاوت با بینهایت فیزیکی است. علامت بینهایت در ریاضیات، است. در ریاضیات می‌‌گوییم: «بینهایت مقداری است که از هر مقدار دیگر بیشتر است.» به عنوان مثال، بینهایت را در اعداد طبیعی در نظر می‌‌گیریم و می‌‌گوییم: بینهایت از ۱، ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰ و هر عدد دیگر که در نظر بگیرید، بزرگ‌تر است.


این مفهوم، دقیقا همان مفهومی است که در «حد در بینهایت» در نظر گرفته می‌شود. به عنوان مثال، در تابع، وقتی می‌گوییم، یعنی این که x از هر عدد انتخاب شده بزرگ‌تر است.

یکی از مهم‌ترین مباحثی که بینهایت درآن دارای کاربرد است، نظریه مجموعه هاست. به عنوان مثال می‌‌دانیم که تعداد اعضای مجموعه اعداد حقیقی و مجموعه اعداد صحیح و طبیعی و ... بینهایت است. (تعداد اعضای هر مجموعه را عدد اصلی می‌نامند) در ریاضیات پیشرفته ثابت می‌شود که عدد اصلی مجموعه اعداد حقیقی و صحیح با یکدیگر برابر نیست.

soleares
01-10-2006, 21:02
تثلیث زاویه

تثلیث زاویه از مسائل قدیمی و حل ناشده ریاضی است.

بزرگان ریاضی در طی دوران براحتی می‌توانستند با کشیدن نیمساز، هر زاویه دلخواه را به دو بخش برابر قسمت کنند، ولی در سه قسمت کردن کمان عاجز بودند. بنابراین تثلیث یا سه بخش کردن زاویه یکی از مسائل عهد باستان گردید.

با آشنایی در حد مثلثات دبیرستانی می‌شود ثابت کرد این مسئله ‌که جزء مسئله‌های طرح شده در شاخه ساختمان‌های هندسی است با کمک پرگار و ستاره (خط‌کش غیر مدرج) قابل حل نیست. ولی با حل یک معادله درجه ۳ ساده می‌توانیم دریابیم که بی‌نهایت زاویه وجود دارد که با کمک ستاره و پرگار قابل تثلیث است، از جمله زاویه‌های ۹۰ درجه یا ۴۵ درجه؛ و بی‌نهایت زاویه وجود دارد که با کمک ستاره و پرگار قابل تثلیث نیست، از جمله زاویهٔ ۶۰ درجه. بنابراین، زاویهٔ ۶۰ درجه را نمی‌توان، به کمک پرگار و خط‌کش، به سه بخش برابر تقسیم کرد.

تثلیث زاویه، به همراه تربیع دایره، تضعیف مکعب و چندضلعیهای منتظم محاط در دایره از مسائل سه‌گانه عهد باستان است طی قرن‌ها حل نشده باقی‌مانده بود.

با وجود اثبات امکان ناپذیری حل این مسئله و مسئله‌های مشابه با استفاده از ستاره و پرگار، عده‌ای تلاش می‌کنند این مسائل را حل کنند. در اصطلاح ریاضی‌کاران ایرانی، این عده نوابیغ نامیده می‌شوند.

soleares
01-10-2006, 21:03
ترکیبیات

شمارش و شمردن حالات انجام یک کار از زمانهای دور مورد بررسی بوده‌است. گویا این کار بیش از همه در جنگها برای شمارش سربازان به کار می‌رفته‌است. در این قسمت روشهایی را برای شمردن بدون شمارش دانه به دانه معرفی می‌کنیم.البته باید یاد آوری کنیم که مبحث شمارش همهٔ ترکیبیات را در بر نمی‌گیرد بلکه ترکیبیات یکی از شاخه‌های بسیار وسیع عالم ریاضی است و شمارش بخشی از آن است. ابتدا از دو اصل پر کاربرد شروع می‌کنیم: ۱)اصل ضرب:اصل ضرب می‌گوید که «اگر ما k شی داشته و هر یک را به m شی قسمت کنیم آنگاه mk شی خواهیم داشت».این اصل بسیار بدیهی است.حال ما آن را به صورتی پر کاربرد تر بیان می‌کنیم: «اگر پیشامدی به 2 پیشامد پشت سر هم تقسیم گردد و پیشامد اول به k حالت و پیشامد دوم به m حالت واقع شود آنگاه کل پیشامد به mk حالت واقع می‌شود.» مثال:شخصی قصد سفر از شهر A به شهر B و سپس شهر C را دارد.از شهر A به شهر B,پنج جاده و از B به C چهار راه وجود دارد.اگر از A به C جادهٔ مستقل وجود نداشته باشد به چند طریق می‌توان از A به C رفت؟جواب:واضح است که بنا بر اصل ضرب پاسخ برابر 20 می‌باشد. این ساده‌ترین نوع سوال ترکیبیات است. در اصل شمارش اگر کاری را بتوان به m طریق وکار دیگری را بتوان به nطریق انجام داد واگر این دو کار را نتوان هم‌زمان انجام داد آنگاه این یا آن کار را می‌توان به m+n طریق انجام داد.

soleares
01-10-2006, 21:03
تضعیف مکعب

تضعیف مکعب از مسائل باستانی ریاضیات است. یونانیان و قبل از آن‌ها هندیان این مسئله را می‌شناختند. صورت مسئله این است:

«فقط با به‌کار بردن ستاره و پرگار، مکعبی بسازید که حجم آن دوبرابر حجم مکعبی داده شده باشد.»

ثابت شده است که این مسئله جوابی ندارد[نیاز به ذکر منبع].

این مسئله به همراه تثلیث زاویه و تربیع دایره از مسائل مورد توجه نوابیغ بوده است.

soleares
01-10-2006, 21:05
توپولوژی

توپولوژی شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی فضاهای توپولوژیک می‌پردازد.

تعریف
مجموعه X به همراه گردایه T از زیرمجموعه‌های X را یک فضای توپولوژیکی گویند هر گاه:


مجموعه تهی و X عضو T باشند.
اجتماع هر گردایه از مجموعه‌های عضو T در T قرار دارد.
اشتراک هر دو مجموعه عضو T در T قرار دارد.
مجموعه T را یک توپولوژی روی X می‌گوییم. همچنین اعضای T مجموعه‌های باز در X و متتم آنها مجموعه‌های بسته در X هستند.

اعضای X را نقاط می‌‌نامیم.


ارتباط بین دو فضای توپولوژیک
روی یک مجموعه مانند X توپولوژیهای متعددی می‌توان تعریف کرد (حداقل دو توپولوژی گسسته و ناگسسته را می‌توانیم روی X تعریف کنیم). حال فرض کنید T1 و T2 دو توپولوژی روی X هستند. اگر هر عضو T1، عضوی از T2 نیز باشد آنگاه می‌گوییم T2 ظریفتر از T1 است. در این صورت اثباتی که برای وجود یک مجموعه باز معین ارائه می‌‌دهیم در مورد توپولوژی ظریفتر هم برقرار است.



توابع پیوسته
فرض می‌‌کنیم (X,T)و(Y,U) دو فضای توپولوژیک دلخواه باشند:
تابع f:X − > Y در نقطهٔ x واقع در X را پیوسته گوییم، هرگاه به ازای هر مجموعهٔ باز شامل f(x) مانند YB، مجموعهٔ بازی مانند XB شامل x وجود داشته باشد به طوری که [XB]f زیر مجموعهٔ YB باشد.
به همین ترتیب می‌‌گوییم تابع f:X − > Y در مجموعهٔ A واقع در X پیوسته است رد صورتی که در تمام نقاط A پیوسته باشد.

قضیه : تابع f:X − > Y در X پیوسته است اگر و تنها اگر به ازای هر زیر مجموعه باز در Y مانند YB، مجموعه ی1-[YB]f زیر مجموعهٔ باز X باشد.

به طور خلاصه : فرض کنید X و Y دو فضای توپولوژیکی هستند. یک تابع بین X و Y را پیوسته می‌گوییم اگر تصویر معکوس هر مجموعه باز در X یک مجموعه باز در Y باشد. در واقع نشان می‌‌دهیم که هیچ شکستگی یا انفصال در تابع وجود ندارد.


مثال
R یک فضای توپولوژیکی است و مجموعه‌های باز در آن بازه‌های باز هستند. به طور کلی فضای اقلیدسی Rn یک فضای توپولوژیکی است و مجموعه‌های باز در آن گوی‌های باز هستند.


چند قضیه توپولوژی
هر بازه بسته با طول متناهی در Rn فشرده است. و معکوس
تصویر پیوسته یک فضای فشرده، فشرده است.
قضیه تیخونوف: حاصلضرب فضاهای فشرده، یک فضای فشرده است.
زیر مجموعه فشرده یک فضای هاسدورف، بسته است.
هر فضای متری هاسدورف است.

Marichka
02-10-2006, 15:53
1. قدرت اعداد ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
2. معرفي لينك ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
3. هندسه نااقليدسى و نسبيت عام اينشتين ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
4. معماهاي جالب رياضي ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
5. معماهای جالب رياضي به نقل از سايت ملاصدرا ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
6. درباره عدد پي ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
7. ریاضیات ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
8. معدفي لينك ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
9. رياضی زبانيست كه خدا با آن جهان را به رشته تحرير درآورد۰ ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
10. ریاضیات در سنگ نبشته ها ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
11. تعدادی مقاله فارسی ریاضی از دانشگاه صنعتی شریف ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
12. 20 مقاله فارسی ریاضی از دانشگاه قزوین ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
21. آیا تا به حال با عدد ...999/0 آشنا شده اید؟ ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
22. بی‌نهایت در رياضي به چه معناست ؟ ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
23. تثلیث زاویه ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
24. ترکیبیات ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
25. تضعیف مکعب ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
26. توپولوژی ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
27. مثلث خیام ، پاسکال ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
28. عدد e ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
29. Cos x + i Sin x )n = Cos nx + i Sin nx ) ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
30. قضیه اساسی حساب ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
31.بینهایت ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
32. قضیه ی 4 رنگ ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
33. تاريخچه عدد صفر ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
34. پيدايش مثلثات ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
35.هندسه نتاری ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
36. هندسه‌ هذلولوی ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
37. Hyperbolic geometry ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
38. هندسه کاوالیری ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
39. سیری در نظریه گراف ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
40. هندسه ی فراکتالی ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
41. نقاط انگاری و مثلثهای امگا ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
42. ضرب در عدد یازده ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
43. ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])اعداد فرما ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])

soleares
04-10-2006, 19:25
بسیاری عقیده دارند که مثلث حسابی پاسکال را باید مثلث حسابی خیام نامید و برخی پا را از این هم فراتر گذاشته اند و معتقد اند که دو جمله ای نیوتون را باید دوجمله ای خیام نامید . اندکی در این باره دقت کنیم.

همه کسانی که با جبر مقدماتی آشنایی دارند ،"دستور نیوتن" را درباره بسط دوجمله ای میشناسند. این دستور برای چند حالت خاص (وقتی n عددی درست و مثبت باشد) چنین است:


(a+b)0 = 1 (1)
(a+b)1 = a+b (1,1)
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (1,2,1)
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (1,3,3,1)
(a+b)4 = a4+4a3b2+6a2b2+4a2b3+b4 (1,4,6,4,1)
. . .

اعداد داخل پرانتزها، معرف ضریبهای عددی جمله ها در بسط دوجمله ای است.

بلیز پاسکال (Blaise Pascal) فیلسوف و ریاضی دان فرانسوی که کم وبیش با نیوتون همزمان بود، برای تنظیم ضریبهای بسط دوجمله ای، مثلثی درست کرد که امروز به "مثلث حسابی پاسکال" مشهور است. طرح این مثلث برای نخستین بار در سال 1665 میلادی در "رساله مربوط به مثلث حسابی "چاپ شد.مثلث حسابی چنین است:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

دراین مثلث از سطر سوم به بعد هر عددبرابر با مجموع اعداد بالا و سمت چپ آن در سطر قبل است و بنابراین میتوان آنرا تا هر جا که للازم باشدادامه داد. هرسطر این مثلث ضریبهای بسط دوجمله ای را در یکی از حالتها بدست میدهد بطوری که n همان شماره سطر باشد.

ضریبهای بسط دوجمله ای (برای توانهای درست و مثبت) حتا در سده دوم پیش از میلاد البته به صورت کم و بیش مبهم برای دانشمندان هندی روشن بوده است .باوجود این حق این است که دستور بسط دو جمله ای با نام نیوتن همراه باشد زیرا نیوتن آن را برای حالت کلی و وقتی n عددی کسری یا منفی باشد در سال 1676میلادی بکاربرد.که البته در این صورت به یک رشته بی پایان تبدیل میشود.

اما در باره مثلث حسابی وضریبهای بسط دوجمله ای در حالت طبیعی بودن n. از جمله، دستور بسط دو جمله ای را میتوان در "کتاب حساب مخفی" میخائیل شتیفل جبردان آلمانی (که در سال 1524 چاپ شد) پیدا کرد.

در سال 1948 میلادی،پاول لیوکی آلمانی،مورخ ریاضیات،وجود دستور نیوتن را برای توانهای طبیعی ،دز کتاب "مفتاح الحساب"(1427 میلادی) غیاث الدین جمشید کاشانی کشف کرد. بعدها س.آ.احمدوف ،مورخ ریاضیات و اهل تاشکند، دستور نیوتون وقانون تشکیل ضریبهای بسط دوجمله ای را،در یکی از رساله های نصر الدین توسی،ریاضیدان بزرگ سده سیزدهم میلادی ،کشف کرد (این رساله توسی درباره محاسبه بحث میکند). چه جمشید کاشانی وچه نصرالدین توسی ،این قاعده را ضمن بررسی قانون های مربوط به ریشه گرفتن از عددها آورده اند.

همچنین براساس آگاهی هایی که داریم حکیم عمر خیام رساله ای داشته که خود رساله تاکنون پیدا نشده ولی از نام آن "درستی شیوه های هندی در جذر وکعب "اطلاع داریم ،کهدر آن به تعمیم قانونهای هندی درباره ریشه دوم و سوم ،برای هر ریشه دلخواه پرداخته.لذا خیام از "دستور نیوتن" اطلاع داشته.

اما بنا به اسناد تاریخی معتبر قانونهای مربوط بهضریبهای بسط دوجمله ای وطرح مثلث حسابی تا سده دهم میلادی(برابر چهارم هجری) جلو میرود و به کرجی (ابوبکر محمد بن حسن حاسب کرجی ریاضیدان سده ده و یازده میلادی) پایان میپذیرد .بنابراین حتی" مثلث حسابی پاسکال" را هم از نظر تاریخی نمیتوان "مثلث حسابی خیام " نامید.










با تلخیص از کتاب سرگذشت ریاضی نوشته پرویز شهریاری

soleares
04-10-2006, 19:30
پایه لگاریتم طبیعی (~ 2.71828)، اولین بار توسط لئونارد اولر (Leonhard Euler 1707-83) یکی از باهوشترین ریاضی دانان تاریخ ریاضیات مورد استفاده قرار گرفت. در یکی از دست خطهای اولر که ظاهرا" بین سالهای 1727 و 1728 تهیه شده است با تیتر Meditation on experiments made recently on the firing of cannon اولر از عدی بنام e صحبت می کند. هر چند او رسما" این نماد را در سال 1736 در رساله ای بنام Euler's Mechanica معرفی میکند.


در واقع باید اعتراف کرد که اولر کاشف یا مخترع عدد e نبوده است بلکه سالها قبل فردی بنام جان ناپیر (John Napier 1550-1617) در اسکاتلند هنگامی که روی لگاریتم بررسی می کرده است بحث مربوط به پایه طبیعی لگاریتم را به میان کشیده است. فراموش نکنید که شواهد نشان میدهد حتی در قرن هشتم میلادی هندی ها با محاسبات مربوط به لگاریتم آشنایی داشته اند.

در اینکه چرا عدد ~ 2.71828 بصورت e توسط اولر نمایش داده شده است صحبت های بسیاری است. برخی e را اختصار exponential می دانند، برخی آنرا ابتدای اسم اولر (Euler) می دانند و برخی نیز میگویند چون حروف a,b,c و d در ریاضیات تا آن زمان به کررات استفاده شده بود، اولر از e برای نمایش این عدد استفاده کرد. هر دلیلی داشت به هر حال امروزه اغلب این عدد را با نام Euler می شناسند.

اولر هنگامی که روی برخی مسائل مالی در زمینه بهره مرکب در حال کار بود به عدد e علاقه پیدا کرد. در واقع او دریافت که در مباحث بهره مرکب، حد بهره به سمت عددی متناسب (یا مساوی در شرایط خاص) با عدد e میل میکند. بعنوان مثال اگر شما 1 میلیون تومان با نرخ بهره 100 درصد در سال بصورت مرکب و مداوم سرمایه گذاری کنید در پایان سال به رقمی حدود 2.71828 میلون تومان خواهید رسید.

در واقع در رابطه بهره مرکب داریم :


P = C (1 + r/n) nt

که در آن P مقدار نهایی سرمایه و بهره است، C مقدار اولیه سرمایه گذاری شده،r نرخ بهره، n تعداد دفعاتی است که در سال به سرمایه بهره تعلق می گیرد و t تعداد سالهایی است که سرمایه گذاری می شود.

در این رابطه اگر n به سمت بی نهایت میل کند - حالت بهره مرکب - فرمول را می توان بصورت زیر ساده کرد :


P = C e rt

اولر همچنین برای محاسبه عدد e سری زیر را پیشنهاد داد :


e = 1+ 1/2 + 1/(2 x 3) + 1/(2 x 3 x 4) + 1/(2 x 3 x 4 x 5) + . . .

لازم است ذکر شود که اولر علاقه زیادی به استفاده از نمادهای ریاضی داشت و ریاضیات امروز علاوه بر عدد e در ارتباط با مواردی مانند i در بحث اعداد مختلط، f در بحث توابع و بسیاری دیگر نمادها مدیون بدعت های اولر است.

soleares
04-10-2006, 19:31
سده هجدهم برای اولین بار شاهد عمومی شدن ریاضیات در بریتانیا بود. روزهای یکشنبه برای فقرا مدرسه هایی تاسیس شد، زیرا تنها در این روزها بود که امکان تخصیص مدارس برای آنها وجود داشت. هرچند این موضوع خشم کلسیاها را برانگیخت اما بتدریج کتابخانه های سیار تاسیس شد و چاپ از انحصار لندن بیرون آمد و امکانات آن در سراسر کشور مهیا شد.


کتابهای درسی مقدماتی منتشر شد و نشریات ریاضی برای عامه بوجود آمدند. دیگر ریاضیات یک دانش اشرافی نبود، حتی آثار کلاسیک از قبیل کتاب اصول نیوتن به زبان انگلیسی منتشر شد و دموکراسی علاوه بر سیاست در سایر زمینه ها از جمله علم نمود پیدا کرد.

نگاهی به فهرست بلند ریاضیدانان انگلیسی در این دوران نشان از اهمیت و نقش انگلستان در پیشبرد ریاضیات در این قرن است. یکی از این ریاضیدانان که کمتر آشنای عموم است آبراهم دو موار (A. De Movier) است که با وجود آنکه اصلا" متولد فرانسه بود اما در نوجوانی به لندن آمد و در آنجا مشغول زندگی شد و باید انصافا" آنرا یک ریاضی دان انگلیسی به حساب آورد.

برای مثال به رباتی هوشمند بیاندیشید که بتواند اعضای بدن خود را به حرکت درآورد، او نسبت به این حرکت خود آگاه بوده و با سعی و خطا، دامنه حرکت خود را گسترش می دهد، و با هر حرکت موفقیت آمیز یا اشتباه ، دامنه تجربیات خود را وسعت بخشیده و سر انجام راه رفته و یا حتی می دود و یا به روشی برای جابجا شدن، دست می یابد، که سازندگانش، برای او، متصور نبوده اند.

هر چند مثال ما در تولید ماشینهای هوشمند، کمی آرمانی است، ولی به هیچ عنوان دور از دسترس نیست. دانشمندان، عموما برای تولید چنین ماشینهایی، از تنها مدلی که در طبیعت وجود دارد، یعنی توانایی یادگیری در موجودات زنده بخصوص انسان، بهره می برند.

آنها بدنبال ساخت ماشینی مقلد هستند، که بتواند با شبیه سازی رفتارهای میلیونها سلول مغز انسان، همچون یک موجود متفکر به اندیشیدن بپردازد.

مباحث هوش مصنوعی قبل از بوجود آمدن علوم الکترونیک، توسط فلاسفه و ریاضی دانانی نظیر بول (Boole) که اقدام به ارائه قوانین و تئوری هایی در باب منطق نمودند، مطرح شده بود. در سال 1943، با اختراع کامپیوترهای الکترونیکی، هوش مصنوعی، دانشمندان را به چالشی بزرگ فراخواند. بنظر می رسید، تکنولوژی در نهایت قادر به شبیه سازی رفتارهای هوشمندانه خواهد بود.

با وجود مخالفت گروهی از متفکرین با هوش مصنوعی که با دیده تردید به کارآمدی آن می نگریستند تنها پس از چهار دهه، شاهد تولد ماشینهای شطرنج باز و دیگر سیستمهای هوشمند در صنایع گوناگون هستیم.

هوش مصنوعی که همواره هدف نهایی علوم کامپیوتر بوده است، اکنون در خدمت توسعه علوم کامپیوتر نیز می باشد. زبانهای برنامه نویسی پیشرفته، که توسعه ابزارهای هوشمند را ممکن می سازند، پایگاههای داده ای پیشرفته، موتورهای جستجو، و بسیاری نرم افزار ها و ماشینها از نتایج تحقیقات هوش مصنوعی بهره می برند. (ادامه دارد ...)

attractive_girl
07-10-2006, 21:47
سلام درباره ي رياضي و يكي از فرمولاش و كاربردش(مثلا اتحاد اولر) ميخواستم مقاله اي برام بزارين ممنون ميشم

soleares
08-10-2006, 16:52
زاویه یک زاویه به راس A عبارت است از نقطه A و دو نیم‌خط Ab و Ac (به نام ضلع‌های زاویه) که از نقطهٔ A خارج شده‌اند.

در فارسی به آن گوشه نیز می‌گویند.

زاویه حادّه (تندگوشه) به زوایای کمتر از نود درجه گفته می‌شود.
زاویه قائمه (راست‌گوشه) به زوایای 90 درجه گفته می‌شود.
زاویه مُنفَرجه (بازگوشه) به زوایای بیشتر از نود درجه گفته می‌شود.
تندگوشه، راست‌گوشه و بازگوشه برابرهای فارسی این مفاهیم‌اند که در دوره پهلوی در کتاب‌های ریاضی بکار می‌رفتند. پس از انقلاب 1357خ این واژه‌های فارسی از کتاب‌ها برداشته شد و بجای آنها برابرهای عربی گذاشته شد.

soleares
08-10-2006, 17:07
قضیه اساسی حساب

قضیه اساسی حساب در نظریه اعداد به این شکل بیان می‌شود:

هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک را می‌توان به طور یکتا به صورت حاصلضربی از اعداد اول نوشت. به عنوان مثال:

172 * 3 * 23 = 6936

حال اگر ترتیب نوشتن عاملها را در نظر نگیریم این تنها تجزیه از عدد ۶۹۳۶ به عوامل اول است که می‌توانیم بنویسیم.



اثبات
اثبات این قضیه شامل دو قسمت است. ابتدا نشان می‌دهیم هر عدد را می‌توان به صورت حاصلضربی از اعداد اول نوشت و سپس ثابت می‌کنیم این تجزیه یکتاست.

برهان: فرض می‌‌کنیم عدد صحیح مثبتی مانند x وجود دارد که نمی‌توان آن را به حاصلضرب اعداد اول تجزیه کرد. مجموعهٔ A را به این شکل تعریف می‌‌کنیم:
«مجموعه n‌های عضو اعداد طبیعی به طوریکه 1<n بوده و n تجزیه‌پذیر نباشد.»
A مخالف تهی است زیرا x عضوی از A است. پس بنا به اصل خوش ترتیبی اعداد طبیعی A عضو ابتدا دارد.

فرض می‌کنیم m ابتدای A باشد (یعنی m عضوی از A است و در نتیجه قابل تجزیه به اعداد اول هم نیست). بنابراین m اول نیست پس عددی مرکب است یعنی:

m = d1 * d2;1 < d1 < m,1 < d2 < m

بدیهی است که d1 و d2 عضو A نیستند زیرا از m کوچک‌ترند لذا هر دو تجزیه‌پذیرند. بنابراین:

d1 = p1 * p2 * ... * pk

d2 = q1 * q2 * ... * qs

به طوری که p‌ها و q‌ها اول هستند. در نتیجه:

m = p1 * p2 * ... * pk * q1 * q2 * ... * qs

می‌بینیم که m تجزیه‌پذیر شده و این با فرض ما در تناقض است.

Boye_Gan2m
19-10-2006, 13:25
بی نهایت از واژه لاتین "finitus" به معنی "محدود" گرفته شده ( علامت ∞ ) چیزی است که "محدود" نیست، که در آن هیچ محدودیت فضایی و زمانی وجود ندارد.

نگرش باستانی در مورد بی نهایت
نگرش باستانی از ارسطو آغاز شده است :
"تفکر درباره یک عدد بزرگ همیشه ممکن است: چون تعداد دفعاتی که میتوان یک مقدار را به دو نیمه تقسیم کرد، بی نهایت است. بنابراین بی نهایت، امکان بالقوهای است که هرگز بالفعل نمی گردد؛ تعداد اجزایی را که می توان به دست آورد، همیشه از هر عدد معینی بیشتر است."
به این مورد اغلب بی نهایت "بالقوه" اطلاق می شود، بهرحال دو نظریه در این مورد با هم ترکیب شده اند. یکی اینکه همیشه پیدا کردن چیزی هایی که تعداد آنها از هر عددی بیشتر باشد ممکن است، اگرچه آن چیزها عملا وجود نداشته باشند. دیگر اینکه ما می توانیم بدون محدودیتی، اعداد بالاتر از محدود را شمارش کنیم.

مثلا "برای هر عدد صحیح n، یک عدد صحیح m (m > n وجود دارد. دومین نگرش را بصورت واضحتر در آثار نویسندگان قرون وسطایی مثل William of Ockham میتوان یافت :
:"Sed omne continuum est actualiter existens. Igitur quaelibet pars sua est vere existens in rerum natura. Sed partes continui sunt infinitae quia non tot quin plures, igitur partes infinitae sunt actualiter existentes."
( هر زنجیره حقیقتا وجود دارد. بنابراین هر یک از اجزاء آن واقعا در طبیعت وجود دارد. اما اجزاء زنجیره نامحدود هستند چون هیچ عدد بزرگی نیست که عددی بزرگتر از آن نباشد، پس اجزاء نامحدود واقعا وجود دارند.)
اجزاء از بعضی جهات واقعا وجود دارند. بهرحال، در این نگرش، هیچ بزرگی بی نهایتی نمی تواند یک عدد داشته باشد، چون هر عددی را که تصور کنیم، همیشه عددی بزرگتر از آن وجود دارد: "هیچ بزرگی (از لحاظ عددی ) نیست که بزرگتر از آن نباشد. ( Aquinas همچنین بر ضد این نظریه که بینهایت میتواند از هر جهت کامل یا کلی باشد بحث کرده است.
نگر ش های نوین آغازین
گالیله در زمان بازداشت طولانی در خانه اش در Sienna بعد از محکومیتش توسط استنطاق مذهبی اولین کسی بود که متوجه شد می توان مجموعه ای از بی نهایت عدد را بصورت تناظر یک به یک با یکی از زیر مجموعه های حقیقی آن در کنار هم قرارداد.

با این استدلال مشخص می شود، اگرچه طبیعتا یک مجموعه که بخشی از مجموعه دیگر بوده، کوچکتر است(چون تمام اعضاء آن مجموعه را شامل نمی شود) از بعضی جهات هم اندازه اند. او معتقد بود این یکی از مشکلاتی است که وقتی ما میخواهیم "با ذهن محدود خود" یک امر نامحدود را درک کنیم، پیش می آید
ادراک ریاضی
درک ریاضی مدرن از بینهایت در اواخر قرن نوزدهم توسط کارهای Georg Cantor ،
Richard Dedekind , Gottlob Frege و دیگران با استفاده از ایده مجموعه ها، توسعه یافت. برخورد آنها در اصل به قبول ایده ««تناظر یک به یک بعنوان یک استاندارد برای مقایسه سایز مجموعه ها بود، و رد کردن نظر گالیله (که از اقلیدس ناشی شده بود) مبنی بر اینکه کل نمیتواند هم اندازه جزء باشد. یک مجموعه نامحدود را میتوان بصورت ساده طوری تعریف نمود که هم اندازه حداقل یکی از اجزاء "مناسب" آن باشد.
دینسان کانتور نشان داد که مجموعه های بینهایت میتوانند اندازه های متفاوت داشته باشند، با تمایز بین مجموعه های بینهایت قابل شمارش و بینهایت غیر قابل شمارش، و یک فرضیه اعداد کاردینال را حول این مطلب توسعه داد. نظر او غالب گردید و ریاضیات مدرن عملا بینهایت را پذیرفت. سیستمهای اعداد توسعه یافته مشخصی، مانند اعداد حقیقی، اعداد معمولی(محدود) و اعداد نامحدود را با سایزهای مختلف، متحد می نمایند.


وقتی سروکارمان با مجموعه های نامحدود می افتد، بصیرت کسب شده ما از مجموعه های محدود ازکار میافتد. یک مثال برای این پارادوکس گراند هتل هیلبرت است.


یک سوال فریبکارانه این است که آیا بینهایت عملی در کیهان مادی وجود دارد: آیا تعداد ستاره ها نامحدود است؟ آیا کیهان دارای حجم نامحدود است؟ آیا فضا "تا ابد ادامه" دارد؟ این یک سوال باز مهم در کیهان شناسی است. توجه داشته باشید که سوال از نامحدود بودن بصورت منطقی، غیر از سوال در مورد داشتن مرز می باشد. سطح دو بعدی زمین، برای مثال، محدود است، در حالیکه هیج مرزی ندارد. با راه رفتن / دریانوردی / رانندگی به اندازه کافی طولانی در مسیر مستقیم، شما درست به همان نقطهای که شروع کرده بودید، باز می گردید. کیهان، حداقل در مبادی و اصول، ممکن است بر اساس یک اصل مشابه عمل نماید؛ اگر شما با فضاپیمای خود به اندازه کافی طولانی در مسیر مستقیم و روبروی خود پرواز کنید، شما اتفاقا و بصورت ناگهانی دوباره از همان نقطه ایی که از آن شروع کرده بودید، می گذرید.

نظریات مدرن

مباحث مدرن درباره بینهایت، امروزه بصورت بخشی از تئوری مجموعه و ریاضیات مورد توجه قرار گرفته است، و کلا فلاسفه از بحث درباره آن احتراز می کنند. Wittgenstein یک استثناء بوده است، کسی که حملات مهیجی را علیه بدیهیات تئوری مجموعه، و ایده بینهایت عملی، در "اواسط عمر خود" انجام داد.
بینهایت امروزه به انواع مجموعه های نامحدود زیادی تقسیم شده است، مانند aleph-null ، یک سری قابل شمارش از اعداد طبیعی، و beth-one ، یک سری غیر قابل شمارش مانند تعداد کمانهای موجود در یک دایره یا تعداد نقاط روی یک خط، و یک تعداد نامحدود از چیزهای دیگر.
آیا معادله m = 2n گروه تمام اعداد را با زیرگروههایش مرتبط می کند؟ خیر. آن هر عدد دلخواهی را با دیگری مرتبط می سازد، و بدین ترتیب ما به گروههای زوج نامحدود وارد می شویم، که هرکدام به دیگری مرتبط میباشد، ولی هرگز به گروه یا زیرگروهی مرتبط نیستند. هیچیک از این دو، یکجوری خودش یا دیگر گونه از یک زوج گروه،فرآیند نامحدود نمی باشند ... در موهومات که m = 2n یک گروه را به زیر گروه هایش مرتبط میسازد، هنوز ما صرفا یک حالت از دستور زبان دوپهلو را خواهیم داشت.
مطلق

سوال دیگر این است که آیا ادراک ریاضی از بینهایت ارتباطی با ادراک مذهبی از خدا دارد؟ این سوال هم کانتور را، با عقیده اش در مورد بینهایت مطلق که با خدا برابر قرارداده شده است، و هم Kurt Godel را با اثبات Godel's ontological??? اش از وجود یک نهاد که او آنرا به خدا وابسته کرد، مخاطب خود قرار داده است.

Boye_Gan2m
19-10-2006, 13:33
قضیه چهار رنگ به صورت ساده این است: یک نقشه داریم. ثابت کنید می توان کشورها را با 4 رنگ، رنگ کرد به صورتی که هر دو کشور مجاور ناهمرنگ باشند. این مسله برخلاف ظاهر ساده اش سال ها فکر دانشمندان را به خود مشغول داشت تا در حدود 1976 چند دانشمند بعد از این که 25 سال از عمرشان را وقف اثبات این نظریه کردند، توانستند ثابت کنند که اگر برای حدود 10000 نقشه (گراف) ای که لیست شده بودند این کار امکان پذیر باشد آنگاه برای همه ی نقشه ها این کار ممکن است. این تعداد نقشه با کمک کامپیوتر و برنامه ای که آن ها نوشته بودند ، طی روزها تلاش کامپیوتر حل شد. آن ها در واقع در ابتدا قصد استفاده از کامپیوتر را نداشتند ولی ناچار به این کار شدند. بعد کسانی پیدا شدند و گفتند این که نشد اثبات و این دو نفر کلی تلاش کردند که آن ها را قانع کنند که این هم اثبات است و از اثبات 1000 صفحه ای یک قضیه بدتر نیست. ولی هنوز هم دانشمندان در حسرت یک اثبات ساده برای این قضیه هستند. اثباتی که روی کاغذ باشد!
نکته ی دیگر این که این مسله با کمک نظریه گراف حل شد.

Moh3en_DDD
22-10-2006, 19:58
يکی از معمول ترين سوال هايی که مطرح ميشود اين است که: چه کسی صفر را کشف کرد ؟ البته برای جواب دادن به اين سوال به دنبال اين نيستيم که بگوييم شخص خاصی صفر را ابداع کرد و ديگران از آن زمان به بعد از آن استفاده ميکردند.

اولين نکته شايان ذکر در مورد عدد صفر اين است که اين عدد دو کاربرد دارد که هر دو بسيار مهم تلقی می شود. يکی از کاربرد های عدد صفر اين است که به عنوان نشانه ای برای جای خالی در دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) به کار می رود. بنابر اين در عددی مانند ۲۱۰۶ عدد صفر استفاده شده تا جايگاه اعداد در جدول مشخص شود که به طور قطع اين عدد با عدد ۲۱۶ کاملا متفاوت است. دومين کاربرد صفر اين است که خودش به عنوان عدد به کار می رود که ما به شکل عدد صفر از آن استفاده می کنيم.

هيچکدام از اين کاربرد ها تاريخچه پيدايش واضحی ندارند. در دوره اوليه تاريخ کاربرد اعداد بيشتر به طور واقعی بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعی دارند. به طور مثال مردم دوران باستان اعداد را برای شمارش تعداد اسبان، ...به کار می بردند و در اين گونه مسايل هيچگاه به مساله ای برخورد نمی کردند که جواب آن صفر يا اعداد منفی باشد.

بابلی ها تا مدتها در جدول ارزش مکانی هيچ نمادی را برای جای خالی در جدول به کار نمی بردند. می توان گفت از اولين نمادی که آنها برای نشان دادن جای خالی استفاده کردند گيومه (") مثلا عدد ۶"۲۱ نمايش دهنده ۲۱۰۶ بود. البته بايد در نظر داشت که از علا‌‌ئم ديگری نيز برای نشان دادن جای خالی استفاده می شد وليکن هيچگاه اين علائم به عنوان آخرين رقم آورده نمی شدند بلکه هميشه بين دو عدد قرار می گرفتند. به طور مثال عدد "۲۱۶ را با اين گونه علامت گذاری نداريم. به اين ترتيب به اين مطلب پی می بريم که کاربرد اوليه عدد صفر برای نشان دادن جای خالی اصلا به عنوان يک عدد نبوده است.

البته يونانيان هم خود را از اولين کسانی می دانند که در جای خالی از صفر استفاده می کردند. اما يونانيان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) مثل بابليان نداشتند. اساسا دستاورد های يونانيان در زمينه رياضی بر مبنای هندسه بوده و به عبارت ديگر نيازی نبوده است که رياضيدانان يونانی از اعداد نام ببرند؛ زيرا آنها اعداد را به عنوان طول خط مورد استفاده قرار ميدادند.

البته بعضی از رياضيدانان يونانی ثبت اطلاعات نجومی را بر عهده داشتند. در اين قسمت به اولين کاربرد علامتی اشاره می کنيم که امروزه آن را به اين دليل که ستاره شناسان يونانی برای اولين بار علامت 0 را برای آن اتخاذ کردند، عدد صفر می ناميم. تعداد معدودی از ستاره شناسان اين علامت را به کار بردند و قبل از اين که سر انجام عدد صفر جای خود را به دست آورد، ديگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در رياضيات هند ظاهر شد.

هنديان کسانی بودند که پيشرفت چشمگيری از اعداد و جدول ارزش مکانی اعداد ايجاد کردند. هنديان نيز از صفر برای نشان دادن جای خالی در جدول استفاده می کردند.

اکنون اولين حضور صفر را به عنوان يک عدد مورد بررسی قرار می دهيم: اولين نکته ای که می توان به آن اشاره کرد اين است که صفر به هيچ وجه نشان دهنده يک عدد به طور معمول نمی باشد. از زمان های پيش اعداد به مجموعه ای از اشياء نسبت داده می شدند و در حقيقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفی که از ويژگی های مجموعه اشياء نتيجه نمی شدند، ممکن شد. هنگامی که فردی تلاش می کند تا صفر و اعداد منفی را به عنوان عدد در نظر بگيرد با اين مشکل مواجه می شود که اين عدد چگونه در عمليات محاسباتی جمع، تفريق، ضرب و تقسيم عمل ميکند. رياضيدانان هندی سعی بر آن داشتند تا به اين سوالات پاسخ دهند و در اين زمينه نيز تا حدودی موفق بوده اند.

اين نکته نيز قابل ذکر است که تمدن ماياها که در آمريکای مرکزی زندگی می کردند نيز از دستگاه اعداد استفاده می کردند و برای نشان دادن جای خالی صفر را به کار می بردند.

بعد ها نظريات رياضيدانان هندی علاوه بر غرب، به رياضيدانان اسلامی و عربی نيز انتقال يافت. فيوناچی، مهم ترين رابط بين دستگاه اعداد هندی و عربی و رياضيات اروپا می باشد.

Moh3en_DDD
22-10-2006, 19:59
تاريخ علم به آدمى يارى مى رساند تا «دانش» را از «شبه دانش» و «درست» را از «نادرست» تشخيص دهد و در بند خرافه و موهومات گرفتار نشود. در ميان تاريخ علم، تاريخ رياضيات و سرگذشت آن در بين اقوام مختلف ، مهجور واقع شده و به رغم اهميت زياد، از آن غافل مانده اند. در نظر داريم در اين فضاى اندك و در حد وسعمان برخى از حقايق تاريخى( به خصوص در مورد رشته رياضيات) را برايتان روشن و اهميت زياد رياضى و تاريخ آن را در زندگى روزمره بيان كنيم.
براى بسيارى از افراد پرسش هايى پيش مى آيد كه پاسخى براى آن ندارند: چه شده است كه محيط دايره يا زاويه را با درجه و دقيقه و ثانيه و بخش هاى شصت شصتى اندازه مى گيرند؟ چرا رياضيات با كميت هاى ثابت ادامه نيافت و به رياضيات با كميت هاى متغير روى آوردند؟ مفهوم تغيير مبناها در عدد نويسى و عدد شمارى از كجا و به چه مناسبت آغاز شد؟ يا چرا در سراسر جهان عدد نويسى در مبناى ۱۰ را پذيرفته اند، با اينكه براى نمونه عدد نويسى در مبناى ۱۲ مى تواند به ساده تر شدن محاسبه ها كمك كند؟ رياضيات از چه بحران هايى گذشته و چگونه راه خود را به جلو گشوده است؟ چرا جبر جانشين حساب شد، چه ضرورت هايى موجب پيدايش چندجمله اى هاى جبرى و معادله شد؟ و… براى يافتن پاسخ هاى اين سئوالات و هزاران سئوال مشابه ديگر در كليه رشته ها، تلاش مى كنيم راه را نشان دهيم، پيمودن آن با شماست…

• پيدايش مثلثات
از نامگذارى «مثلثات» مى توان حدس زد كه اين شاخه از رياضيات دست كم در آغاز پيدايش خود به نحوى با «مثلث» و مسئله هاى مربوط به مثلث بستگى داشته است. در واقع پيدايش و پيشرفت مثلثات را بايد نتيجه اى از تلاش هاى رياضيدانان براى رفع دشوارى هاى مربوط به محاسبه هايى دانست كه در هندسه روبه روى دانشمندان بوده است. در ضمن دشوارى هاى هندسى، خود ناشى از مسئله هايى بوده است كه در اخترشناسى با آن روبه رو مى شده اند و بيشتر جنبه محاسبه اى داشته اند. در اخترشناسى اغلب به مسئله هايى بر مى خوريم كه براى حل آنها به مثلثات و دستورهاى آن نيازمنديم. ساده ترين اين مسئله ها، پيدا كردن يك كمان دايره (بر حسب درجه) است، وقتى كه شعاع دايره و طول وتر اين كمان معلوم باشد يا برعكس، پيدا كردن طول وترى كه طول شعاع دايره و اندازه كمان معلوم باشد. مى دانيد سينوس يك كمان از لحاظ قدر مطلق برابر با نصف طول وتر دو برابر آن كمان است. همين تعريف ساده اساس رابطه بين كمان ها و وترها را در دايره تشكيل مى دهد و مثلثات هم از همين جا شروع شد. كهن ترين جدولى كه به ما رسيده است و در آن طول وترهاى برخى كمان ها داده شده است متعلق به هيپارك، اخترشناس سده دوم ميلادى است و شايد بتوان تنظيم اين جدول را نخستين گام در راه پيدايش مثلثات دانست. منه لائوس رياضيدان و بطلميوس اخترشناس (هر دو در سده دوم ميلادى) نيز در اين زمينه نوشته هايى از خود باقى گذاشته اند. ولى همه كارهاى رياضيدانان و اخترشناسان يونانى در درون هندسه انجام گرفت و هرگز به مفهوم هاى اصلى مثلثات نرسيدند. نخستين گام اصلى به وسيله آريابهاتا، رياضيدان هندى سده پنجم ميلادى برداشته شد كه در واقع تعريفى براى نيم وتر يك كمان _يعنى همان سينوس- داد. از اين به بعد به تقريب همه كارهاى مربوط به شكل گيرى مثلثات (چه در روى صفحه و چه در روى كره) به وسيله دانشمندان ايرانى انجام گرفت. خوارزمى نخستين جدول هاى سينوسى را تنظيم كرد و پس از او همه رياضيدانان ايرانى گام هايى در جهت تكميل اين جدول ها و گسترش مفهوم هاى مثلثاتى برداشتند. مروزى جدول سينوس ها را تقريبا ۳۰ درجه به ۳۰ درجه تنظيم كرد و براى نخستين بار به دليل نيازهاى اخترشناسى مفهوم تانژانت را تعريف كرد. جدى ترين تلاش ها به وسيله ابوريحان بيرونى و ابوالوفاى بوزجانى انجام گرفت كه توانستند پيچيده ترين دستورهاى مثلثاتى را پيدا كنند و جدول هاى سينوسى و تانژانتى را با دقت بيشترى تنظيم كنند. ابوالوفا با روش جالبى به يارى نابرابرى ها توانست مقدار سينوس كمان ۳۰ دقيقه را پيدا كند و سرانجام خواجه نصيرالدين طوسى با جمع بندى كارهاى دانشمندان ايرانى پيش از خود نخستين كتاب مستقل مثلثات را نوشت. بعد از طوسى، جمشيد كاشانى رياضيدان ايرانى زمان تيموريان با استفاده از روش زيبايى كه براى حل معادله درجه سوم پيدا كرده بود، توانست راهى براى محاسبه سينوس كمان يك درجه با هر دقت دلخواه پيدا كند. پيشرفت بعدى دانش مثلثات از سده پانزدهم ميلادى و در اروپاى غربى انجام گرفت. يك نمونه از مواردى كه ايرانى بودن اين دانش را تا حدودى نشان مى دهد از اين قرار است: رياضيدانان ايرانى از واژه «جيب» (واژه عربى به معنى «گريبان») براى سينوس و از واژه «جيب تمام» براى كسينوس استفاده مى كردند. وقتى نوشته هاى رياضيدانان ايرانى به ويژه خوارزمى به زبان لاتين و زبان هاى اروپايى ترجمه شد، معناى واژه «جيب» را در زبان خود به جاى آن گذاشتند: سينوس. اين واژه در زبان فرانسوى همان معناى جيب عربى را دارد. نخستين ترجمه از نوشته هاى رياضيدانان ايرانى كه در آن صحبت از نسبت هاى مثلثاتى شده است، ترجمه اى بود كه در سده دوازدهم ميلادى به وسيله «گرادوس كره مونه سيس» ايتاليايى از عربى به لاتينى انجام گرفت و در آن واژه سينوس را به كار برد. اما درباره ريشه واژه «جيب» دو ديدگاه وجود دارد: «جيا» در زبان سانسكريت به معناى وتر و گاهى «نيم وتر» است. نخستين كتابى كه به وسيله فزازى (يك رياضيدان ايرانى) به دستور منصور خليفه عباسى به زبان عربى ترجمه شد، كتابى از نوشته هاى دانشمندان هندى درباره اخترشناسى بود. مترجم براى حرمت گذاشتن به نويسندگان كتاب، «جيا» را تغيير نمى دهد و تنها براى اينكه در عربى بى معنا نباشد، آن را به صورت «جيب» در مى آورد. ديدگاه دوم كه منطقى تر به نظر مى آيد اين است كه در ترجمه از واژه فارسى «جيپ»- بر وزن سيب- استفاده شد كه به معنى «تكه چوب عمود» يا «ديرك» است. نسخه نويسان بعدى كه فارسى را فراموش كرده بودند و معناى «جيپ» را نمى دانستند، آن را «جيب» خواندند كه در عربى معنايى داشته باشد.

M O H S E N
05-11-2006, 00:15
قضیه چهار رنگ به صورت ساده این است: یک نقشه داریم. ثابت کنید می توان کشورها را با 4 رنگ، رنگ کرد به صورتی که هر دو کشور مجاور ناهمرنگ باشند. این مسله برخلاف ظاهر ساده اش سال ها فکر دانشمندان را به خود مشغول داشت تا در حدود 1976 چند دانشمند بعد از این که 25 سال از عمرشان را وقف اثبات این نظریه کردند، توانستند ثابت کنند که اگر برای حدود 10000 نقشه (گراف) ای که لیست شده بودند این کار امکان پذیر باشد آنگاه برای همه ی نقشه ها این کار ممکن است. این تعداد نقشه با کمک کامپیوتر و برنامه ای که آن ها نوشته بودند ، طی روزها تلاش کامپیوتر حل شد. آن ها در واقع در ابتدا قصد استفاده از کامپیوتر را نداشتند ولی ناچار به این کار شدند. بعد کسانی پیدا شدند و گفتند این که نشد اثبات و این دو نفر کلی تلاش کردند که آن ها را قانع کنند که این هم اثبات است و از اثبات 1000 صفحه ای یک قضیه بدتر نیست. ولی هنوز هم دانشمندان در حسرت یک اثبات ساده برای این قضیه هستند. اثباتی که روی کاغذ باشد!
نکته ی دیگر این که این مسله با کمک نظریه گراف حل شد.


داستان جالبي بود...
البته من شنيده بودم.....

ali_hp
06-11-2006, 20:56
قضیه چهار رنگ به صورت ساده این است: یک نقشه داریم. ثابت کنید می توان کشورها را با 4 رنگ، رنگ کرد به صورتی که هر دو کشور مجاور ناهمرنگ باشند. این مسله برخلاف ظاهر ساده اش سال ها فکر دانشمندان را به خود مشغول داشت تا در حدود 1976 چند دانشمند بعد از این که 25 سال از عمرشان را وقف اثبات این نظریه کردند، توانستند ثابت کنند که اگر برای حدود 10000 نقشه (گراف) ای که لیست شده بودند این کار امکان پذیر باشد آنگاه برای همه ی نقشه ها این کار ممکن است. این تعداد نقشه با کمک کامپیوتر و برنامه ای که آن ها نوشته بودند ، طی روزها تلاش کامپیوتر حل شد. آن ها در واقع در ابتدا قصد استفاده از کامپیوتر را نداشتند ولی ناچار به این کار شدند. بعد کسانی پیدا شدند و گفتند این که نشد اثبات و این دو نفر کلی تلاش کردند که آن ها را قانع کنند که این هم اثبات است و از اثبات 1000 صفحه ای یک قضیه بدتر نیست. ولی هنوز هم دانشمندان در حسرت یک اثبات ساده برای این قضیه هستند. اثباتی که روی کاغذ باشد!
نکته ی دیگر این که این مسله با کمک نظریه گراف حل شد.
سلام
دوست عزيز اين مطلب را از كجا اورده ايد؟

soleares
19-11-2006, 17:05
هندسه نتاری
اقلیدس 28 قضیه نخست اصول خود را بر اساس چهار اصل موضوع نخست اثبات کرد و از قضیه 29 بود که استفاده از اصل پنجم آغاز می‌شود. در واقع پس از آن که اصل توازی موجب انشقاق هندسه شد ریاضی‌دان‌ها هندسهٔ بدون استفاده از اصل توازی ابداع کردند که به آن هندسهٔ نتاری می‌گویند. اگر به خواهیم بر اساس "مبانی هندسه" هیلبرت تعریف خود را گسترش دهیم. هندسهٔ نتاری مربوط به آن قضایای می‌شود که با استفاده از بنداشت‌های وقوع، میانبود، قابلیت انطباق و پیوستگی و بدون استفاده از بنداشت توازی ثابت شوند. یانوش بویویی به این نوع هندسه، هندسهٔ مطلق می‌گفت اما و. پرنوویچ و م. جردن نام نتاری را برای آن برگزیدند.

soleares
19-11-2006, 17:07
هندسه‌ هذلولوی یکی از هندسه‌های نااقلیدسی است که به هندسه‌ لباچفسکی نیز مشهور است. نام انگلیسی این نوع هندسه, یعنی (Hyperbolic), از کلمهٔ یونانی هیپربالئین به معنی "افزایش یافتن" گرفته شده است که در آن فاصلهٔ میان نیم‌خط‌ها در اصل توازی افزایش می‌یابد.

soleares
19-11-2006, 17:08
Hyperbolic geometry

Hyperbolic geometry is a non-Euclidean geometry, meaning that the parallel postulate of Euclidean geometry is rejected. The parallel postulate in Euclidean geometry states (for two dimensions) that given a line l and a point P not on l, there is a unique line through P that does not intersect l. In hyperbolic geometry, this postulate is false in the following way: there are at least two distinct lines through P which do not intersect l. Upon assuming this, we can prove an interesting property of hyperbolic geometry: that there are two classes of non-intersecting lines. Let B be the point on l such that the line PB is perpendicular to l. Consider the line x through P such that x does not intersect l, and the angle theta between PB and x (counterclockwise from PB) is as small as possible (i.e., any smaller an angle will force the line to intersect l). This is called a hyperparallel line (or simply parallel line) in hyperbolic geometry. Similarly, the line y that forms the same angle theta between PB and itself but clockwise from PB will also be hyper-parallel, but there can be no others. All other lines through P not intersecting l form angles greater than theta with PB, and are called ultraparallel (or disjointly parallel) lines. Notice that since there are an infinite number of possible angles between theta and 90 degrees, and each one will determine two lines through P and disjointly parallel to l, we have an infinite number of ultraparallel lines.

Thus we have this modified form of the parallel postulate: In Hyperbolic Geometry, given any line l, and point P not on l, there are exactly two lines through P which are hyperparallel to l, and infinitely many lines through P ultraparallel to l.

The differences between these types of lines can also be looked at in the following way: the distance between hyper parallel lines goes to 0 as you move on to infinity. However, the distance between ultraparallel lines does not go to 0 as you move to infinity.

The angle of parallelism in Euclidean geometry is a constant, that is, any length BP will yield an angle of parallelism equal to 90°. In hyperbolic geometry, the angle of parallelism varies with what is called the Π(p) function. This function, described by Nikolai Ivanovich Lobachevsky produced a unique angle of parallelism for each given length BP. As the length BP gets shorter, the angle of parallelism will approach 90°. As the length BP increases without bound, the angle of parallelism will approach 0°. Notice that due to this fact, as distances get smaller, the hyperbolic plane behaves more and more like Euclidean geometry. So on the small scale, an observer within the hyperbolic plane would have a hard time determining they are not in a Euclidean plane.

عزیزان این مربوط به پست بالا بود ...

najmeh_vahed
24-11-2006, 12:00
درباره عدد پي
=======
تربيع دايره:

يونان باستان مساحت هر شكل هندسي را از را تربيع ان يعني از راه تبديل ان به مربعي هم مساحت بدست مياوردند.از اين راه توانسته بودند به چگونگي محاسبه ي هر شكل پهلودار پي ببرند ان گاه كه محاسبه ي مساحت دايره پيش امد دريافتند كه تربيع دايره مساله اي نا شدني مينمايد.در هندسه ي اقليدسي ثابت شده بود كه نسبت محيط هر دايره به قطر ان عدد ثابتي است و مساحت دايره از ضرب محيط در يك چهارم قطر ان بدست مي ايد. و مساله بدان جا انجاميد كه خطي رسم كنند كه درازاي ان با ان مقدار ثابت برابر باشد رسم اين خط ناشدني بود. سرانجام راه چاره را در ان ديدند كه يك مقدار تقريبي مناسب براي ان مقدار ثابت بدست اورند.

ارشميدس كسر بيست و دو هفتم را بدست اورد كه سالين دراز ان را به كار ميبردند پس از ان و براي محاسبات دقيقتر كسر سيصد و پنجاه و پنج بر روي صد و سيزده را به كار بردند. اختلاف بين عدد پي و مقدار تقريبي سيصد و پنجاه و پنج بر روي صد و سيزده فقط حدود 3 ده ميليونيم است. رياضي دان بزرگ ايراني جمشيد كاشاني براي نخستين بار مقدار ثابت نسبت محيط به قطر دايره را بدست اورد كه تا 16 رقم پس از مميز دقيق بود. اين رياضي دان و منجم مسلمان ايراني توانست مقدار 2 را تا شانزده رقم اعشار در رساله ي محيطيه برابر: 6.2831853071795865 بدست اورد.

در جمله ي زير هر گاه تعداد حرفهاي كلمه ها را در نظر بگيريد مقدار عدد پي تا ده رقم پس از مميز بدست خواهد امد:



خرد و بينش و اگاهي دانشمندان ره سرمنزل مقصود بما اموزد
3...1...4...1....5........9.......2......6......5. ....3....4..


همچنين اگر اين معادله را براي حل كنيد ريشه ي مثبت اين معادله مقدار عدد پي را نشان ميدهد:

[img][ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][img/]
[img][ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](2).jpg[img/]






اصل شعر اينه :
گر كسي از تو بپرسد ره آموختن پي پاسخي ده كه خردمند تو را آموزد
خرد و بينش و اگاهي دانشمندان ره سرمنزل مقصود بما آموزد

life_have_1way
08-01-2007, 02:08
سلام

اين كار خوبيه .. منتظر بقيه اش هستيم.

Boye_Gan2m
10-01-2007, 09:14
*هندسه ی کاوالیری*

بوتاون تورا کاوالیری (1564-1642) اهل میلان، از همان سال های نخستین به ریاضیات علاقه مند بود،و به ظاهر زیر تاثیر گالیله، روش « غیر قابل تقسیم ها» را در هندسه بوجود آورد که در اثر بزرگ او در سال 1635، با عنوان «هندسه، با طرح تازه ای بر اساس غیر قابل تقسیم های پیوسته»، به شهرت رسید.
غیر قابل تقسیم ها، از نظر کاوالیری، وترهای موازی در درون شکل روی صفحه، و صفحه های موازی در درون جسم بود. او برای مقایسه ی شکل های روی صفحه و جسم های فضایی، مفهوم « مجموع همه ی غیر قابل تقسیم ها» را آورد که تماس سطح و فضای جسم را پر می کردند.
برای کاوالیری، نسبت این مجموع ها، همان نسبت مساحت ها و حجم ها بود. او شکل های روی صفحه را، بین دو خط راست موازی در نظر گرفت.
اصل کاوالیری درباره مساحت:
اگر فرض کنیم قاعده های دو شکل بر روی یک خط قرار گرفته باشند. اگر هر خطی موازی قاعده های دو شکل در آنها قطعه هایی با طول های مساوی ایجاد کند، مساحت های آن دو شکل برابر است.
با توجه به شکل دو شکل بر روی افق قرار گرفته اند. اگرهر خطی به موازات قاعده مانند d رسم کنیم و داشته باشیم: AB=CD، MN=PE ، آنگاه دو شکل هم مساحت هستند.
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اصل کاوالیری در باره حجم ها:
دو شکل فضایی و صفحه ای که قاعده های دو شکل در آن قرار گرفته باشد را نظر بگیرید. اگر هر صفحه ای موازی با این صفحه که یکی از این دو شکل را قطع می کند، دیگری را نیز قطع می کند و سطح مقطع های حاصل دارای مساحت های برابر باشند، آنگاه این دو شکل فضایی حجم یکسان دارند.
خود کاوالیری در این زمینه می نویسد: «دو جسمی که قاعده ی آنهای بر یک صفحه و ارتفاعشان برابر باشد، به شرطی هم ارزند یعنی حجم های برابر دارند که مقطع های آنهابا صفحه های موازی با قاعده باشد.»
این نظام کار، به نام «نظام کاوالیری» معروف است.
کاوالیری بر پایه ی این نظام، قضیه های زیادی را اثبات می کند. برای نمونه، ثابت کرد نسبت مساحت های دو مثلث متشابه برابر است با نسبت مجذور ضلع های متناظر آن ها.
ابهامی که در مفهوم «مجموع غیر قابل تقسیم ها» وجود دارد، موجب اعتراض و انتقاد سخت بعضی از هم عصران کاوالیری شد. به همین خاطر کاوالیری کتاب دیگری با نام «شش طرح هندسی» را نوشت که در آن، تلاش کرد مفهوم هایی را که بکار می برد، دقیق تر کند، با وجود این، خود کاوالیری تا پایان زندگی نسبت به کافی بودن استدلالهای خود در تردید باقی بود، گرچه به درستی آن ها اعتقاد داشت.
طرح کاوالیری در هندسه و آموزش او درباره ی غیر قابل تقسیم ها، تنها برای درک بهتر هندسه ی مقدماتی سودمند نبود. این آموزش، یعنی جمع کردن غیر قابل تقسیم ها، پیش در آمدی برای انتگرال گیری بود. کاوالیری نماد انتگرال را بکار نمی برد، ولی در واقع از انتگرال گیری استفاده می کرد...
به جز این، در هندسه ی کاولیری به قضیه هایی بر می خوریم که برای پیدایش محاسبه ی دیفرانسیلی، ارزش معینی دارند. از آن جمله، نخستین گزاره ای که در هندسه آمده، هم ارز با قضیه رول است، و به دنبال آن گزاره ای آمده است که مضمون آن اینست: در نقطه های ماکزیمم و می نیمم تابع، مماس بر نمودار با محور طول ها موازی است.
یکی از کمبود های جدی هندسه ی کاوالیری این است که مولف از بکارگیری جبر فراری است و همه جا به هندسه دانان قدیمی تکیه می کند. بی تردید، بکار گیری نمادهای جبری که در زمان کاوالیری رایج شده بود، می توانست کارهای او را دقیق تر، کامل تر و قابل درک تر کند.

Boye_Gan2m
10-01-2007, 09:32
سیری در نظریه گراف
مقدمه:
اندک زمانی است که واژه گراف در ادبیات ریاضی وارد شده است، گرچه شروع آن را می توان از زمان لئناردو اویلر ریاضیدان سوئیسی (1707-1783) دانست. اما علاقه ی شدید و مداوم به نظریه ی گراف ، بعنوان شاخه ای از ریاضیات ، از سال 1930 به بعد، آشکار گردید و امروزه این نظریه یکی از پربارترین و محبوب ترین شاخه های ریاضیات و علوم کامپیوتر است و علت آن نیز به خاطر قابلیت کاربرد آن در بسیاری از مسائل گسترده ی جامعه مدرن امروزی است.هنگامی که مساله ای به زبان گراف فرمول بندی شد، درک آن بسیار آسان تر خواهد شد. امروزه نظریه ی گراف یکی از موضوعات مهم دئر ریاضیات گسسته است. گرافها، مدل های راضی برای یک مجموعه گسسته هستند، که اعضای آن به طریقی با هم مرتبط می باشند. اعضای این مجموعه می توانند انسان ها یا رابطه ی خویشاوندی ، یا دوستی و… باشد. اعضای این مجوعه می توانند، محل اتصالهای سیم های یک شبکه ی برق و رابطه ی آنها، سیم های واصل بین دو مقطه باشد و یا عناصر مجوعه می توانند اتم های یک مولکول و ارتباط آن ها، اتصالهای شیمیایی باشد. نظریه گراف ریشه در بازیها و معما ها نیز دارد، اما امروزه این نظریه نه تنها در ریاضیات بلکه در سایر علوم مانندا اقتصاد، روانشناسی،ژنتیک و باستان شناسی کاربرد فراوانی دارد.
مفهوم گراف:
واژه گراف، نه تنها در ریاضیات، بلکه در سایر علوم و حتی در زندگی روزانه به نام های گوناگون مانند طرح دیاگرام، نگاره، نقشه، ماز و… بکار می رود. مثلا ممکن است به بهانه های مختلف شکلی رسم کنیم که از نقطه هایی تشکیل شده باشد و اگر چند نقطه، رابطه هایی با هم داشته باشند این روابط را با کشیدن خط بین آن ها نشان دهیم. نیز می توانیم تیم های ورزشی را در نظر بگیریم و آن ها را با نقاط A,B,C,… روی صفحه رسم کنیم و خطوط را با این شرط وصل کنیم که آن تیم ها با هم بازی داشته باشند، در ابتدا که بازی صورت نگرفته فقط چند نقطه داریم، ولی وقتی تیم ها باهم بازی کردند، بین تمام نقاط خط هایی وصل کنیم، بدین ترتیب یک گراف ساخته ایم، که با یک نگاه، راحت متوجه رابطه بین نقاط می شویم. بدیهی است که در انتخاب مکان نقاط در صفحه و طرز رسم کردن خطوط آزاد بوده ایم. اگر هیچ تیمی بازی نکرده باشد، هیچ خطی وصل نمی شود و در این صورت گراف، گراف صفحه نخواهد بود و اگر با هم بازی کنند، گراف کامل بوجود می آید.
قابل ذکر است که اگر نقاط را رئوس گراف و خطوط را یال بنامیم داریم: G(V.E) که آن را گراف G با رئوس V. و یال های E می نامیم.
اکنون به معرفی چند نوع گراف می پردازیم:
1) گراف های یکریخت: اگر در دو گراف، تعداد راس ها برابر بوده، بطوریکه هر دو راس متناظر، با یک حرف نام گذاری شده باشد، آن گاه وقتی دو راس بوسیله ی یالی بهم مربوط باشند، راس های هم نام آن ها در گراف دوم نیز بوسیله ی یالی بهم مربوط شوند.
2) گراف همبند و ناهمبند: اگر از هر دو راس دلخواه گراف، بتوان با حرکت روی یال ها، به راس دلخواه دیگر رسید، چنین گرافی همبند و در غیر این صورت ناهمبند است، یعنی گراف همبند از یک قطعه و ناهمبند از چند قطعه تشکیل می شود.
مرتبه، اندازه و درجه گراف:
به تعداد رئوس هر گراف مرتبه و به تعداد یالهای آن، اندازه و تعداد یال های منتهی به یک راس را درجه ی آن گراف گوییم.
بدیهی است که در گراف صفر درجه، هر راس برابر صفر است و در گراف کامل با n راس درجه، هر راس برابر با n-1 خواهد بود. راس هایی که درجه زوج دارند راس های زوج و راس هایی که درجه فرد دارند راس های فرد، نامیده می شوند. مساله حایز اهمیت این است که در هر گراف، تعداد رئوس فرد، زوج هستند، یعنی نمی توان گرافی رسم کرد که مثلا: 3 تا راس فرد داشته باشد. بعنوان مثال نمی توان گرافی رسم کرد که درجه راس های آن 5،0،2،2،5،8،7،6 باشد زیرا تعداد رئوس فرد 3 تا هستند یعنی(5،7،5)!

Boye_Gan2m
10-01-2007, 09:45
هندسه ی فراکتالی
فراكتال يك شكل يا الگوي هندسي ساخته شده از قسمتهاي يكسان است كه در برگشت به داخل جزئيات نشان دهنده الگوي كلي است .
-به عبارت ديگر به هر جزء از شيء كه نگاه كنيم تصوري از كل شيء در ذهن ما ايجاد ميشود –واژه فراكتال در سال 1975 توسط بنويت مندلبرات براي توصيف اشياء هندسي پيچيده كه درجه بالائي از خودتشابه دارد تشكيل شده است .
واحد اساسي برفدانه كخ كه توسط هلگ ون كخ رياضيدان(1870-1824) رسم شده مثلث متساوي الاضلاعي است كه ميتواند وسعت پيدا كند اما در عين حال هنوز شبيه الگوي اوليه است .هر قسمت از برفدانه در هر مقياس از ان كه ديده ميشود به طور يكنواخت در كنار هم واقع شده اند. بعضي از فراكتالهاي فوق العاده قابل ملاحظه مجموعه هاي جوليا است كه توسط رياضيدان فرانسوي گالتون جوليلا (1893-1978) اختراع شد . مجموعه جوليا با كاربرد قانون غير خطي مكرر توليد ميشود كه بر اساس يك تابع قانون مربعي خيلي ساده است.
C ) = 2Z +C Z, F(
كه در ان Z يك نقطه روي صفحه Xoy است و C يك نقطه ثابت با هر دو مؤلفه X و Y است .CX و CY نتايج خيلي جالب وشگفت انگيز بودند . هيچكس گمان نميكرد كه چنين تابع ساده اي بتواند به شكل گيري تصاوير پييچيده اي كه تحليل و تفسير آن كار اساني نيست منجر شود .
نظريه رياضي مدرن كه به طور ريشه اي از هندسه اقليدسي باستاني جدا ميشود , هندسه فراكتالي است كه به توصيف اشيائي مي پردازد
كه خود متشابه يا متقارن اند . اين بدان معنا است كه وقتي اين اشياء بزرگنمائي شوند به نظر ميرسد كه بين اجزاي انها تشابه دقيقي برقرار است و اين شباهت جزء به جزء تا بينهايت ادامه مي دهند.
و اما ماهيت فراكتالها كه در واقع در خود كلمه منعكس شده, اين واژه توسط مندلبرات رياضيدان از فعل لاتين شكستن گرفته شده و منسوب به صفت فراكتوس به معني سنگي كه به طور نامنظم شكسته و خرد شده است مي باشد .
فراكتالها شكلهايي هستند كه برعكس شكلهاي هندسه اقليدسي به هيچ وجه منظم نيستند . اين شكلها اولا سراسر نامنظم اند ثانيا ميزان بي نظمي انها در همه مقياسها يكسان است.

Boye_Gan2m
10-01-2007, 09:49
نقاط انگاری و مثلث های امگا
در هندسه هذلولوی، دو خط موازی نقطه مشترک معمول ندارند، اما گفته میشود که در منقطه ای انگاری تلاقی می کنند.
تعریف: در هندسه هذلولوی می گوییم که دو خط موازی در یک نقطه انگاری(Ideal point ) تقاطع می کنند.
گسترش خواص خطوط موازی در هندسه ی هذلولوی با بررسی مثلث امگا، شکلی سه ضلع با که راس انگاری ادامه می یابد. مثلث امگا گرچه مثلثی به مفهوم معمول نیست، اما بعضی از همان خاصیت های مثلث با سه راس معمولی را داراست بعنوان مثال اینجا شرایط همنهشتی مثلث های امگا را می آوریم:
همنشتی مثلث های امگا
همنهشت مثلث های امگا اندکی ساده تر از آن مثلث های معمولی است. زیرا به اطلاعات کمتر نیاز دارد.
قضیه 1) مثلث های امگای ΩAB و ′B ′A Ω′همنهشتند اگر اضلاع به طول متناهی آن هم نهشت باشند و اگر زوج زوایای متناظر در Aو′ A و یاB و ′B هم نهشت باشند.
قضیه 2) مثلث ها امگای ΩAB و ′B ′A Ω′همنهشتند اگر زوج زاویه Aو′ A همنهشت باشند و اگز زوج زاویه B و ′B همنهشت باشند.

m_honarmand_j
12-01-2007, 14:58
سلامsoleares
کار جالبیه .
فقط یه انتقاد داشتم در مورد مطلبی که برای گراف نوشتی . به نظر من می شه خیلی بیشتر رو اون موضوع کار کرد و مطلب بیشتری در موردش نوشت . موفق باشی .

Boye_Gan2m
12-01-2007, 18:56
می‌دونستيد مازها از نظر رياضی، قابل مطالعه هستند؟
اگر اين راه‌های تو در تو را به اندازه‌ای ساخته باشند که بتونيد واردش شويد، آن وقت، اگر دست راست خود را به ديوار سمت راست (يا بالعکس!) بگيريد و تا آخر مسير دست خود را جدا نکنيد حتماً می توانيد از ماز خارج شويد و در آن گم نشويد.
البته مسير شما، يک مسير بهينه نيست. يعنی الزاماً از بهترين راه عبور نکرده‌ايد و ممکن است وارد يک راه فرعی شويد و پس از طی کردن کامل آن مسير، از آن خارج شويد.
اما مهم اين‌است:... بالاخره خارج می‌شويد و گير نمی‌افتيد.


آيا همه مازها با اين روش جواب می‌دهند؟
برخی از مازها، مازهای آشوبناک يا Chaotic Maze نام دارند. در انواع اين مازها،‌ گاهی با گرفتن دست راست (يا دست چپ) نمی توانيد به جواب برسيد و لازم است که يا جهت دست‌تان را عوض کنيد يا در يک نقطه از مسير دست خود را از ديوار برداريد و روی ديوار مقابل بگذاريد.
اين حالت وقتی پيش می‌آيد که در سمت راست (يا چپ) شما يک محوطه مربعی شکل وجود داشته باشد، با گرفتن دست راست يا چپ، فقط دور ديوار بصورت حلقه‌وار تا بی‌نهايت خواهيد چرخيد!!

نگاه رياضياتی برای حل مساله...!
يک زوج مرتب را بصورت (۰و۰) در نظر بگيريد. مولفه اول برای جهت‌های بالا و پايين و مولفه دوم برای جهت‌های راست و چپ... چون در شروع حرکت هستيم هر دو مولفه را صفر در نظر می‌گيريم. اکنون در هر تقاطع:
اگر به سمت بالا رفتيد مولفه اول را ۱+ کنيد و اگر به سمت پايين رفتيد آن را ۱- کنيد.
همينطور مولفه دوم را اگر به سمت راست رفتيد ۱+ کنيد و اگر به سمت چپ رفتيد ۱- کنيد.
در اين روش اگر برای ۲ بار - بجز هنگام شروع - به زوج مرتب (۰و۰) رسيديد، متوجه‌ميشويد که در يک حلقه گرفتار شديد (آيا می‌توانيد بگوييد چرا؟) و بايد دست‌تان را عوض کرده يا در يک نقطه از مسير، پيوستگی مسير حرکت را بشکنيد.

توجه به اين نکته ضروری است که شما در طی مسير حرکت همواره روی خود را به طرف شمال ماز نگه می‌داريد و با پيچيدن در راهروها جهت صورت تغيير نمی‌کند.
* اين يکی از الگوريتم‌هايی است که ربات‌های مازپيما، برای خارج شدن از آن، به کار می‌برند.

روبات‌های مازپيما...
يکی از مسائلی که امروزه دنيای روبوتيک را مشغول خود ساخته طراحی الگوريتمی هرچه کاراتر برای خروج موفقيت‌آميز يک روبات از هر نوع ماز است. در برخی از اين تحقيقات، عملکرد بهينه روبات‌ها نيز مد نظر قرار داده می‌شود که اين مساله در دو حالت ۱- با آگاهی قبلی ربات از نقشه راه ۲- بدون آگاهی ربات از نقشه، انجام می‌شود..
حتماً می‌تونيد حدس بزنيد که ربات‌های امدادگر که به يافتن يا نجات مجروحان يک حادثه مانند زلزله می‌پردازند، بايد در ميان تل خاک و مصالح ساختمانی، عملکردی شبيه حرکت در بين راهروهای ماز را داشته باشند.
معروفترين مازی که وجود دارد در پارکی در انگليس است که در آن پس از طی راه‌های متمادی به يک محوطه در وسط می‌رسند که در آن يک نيمکت دونفره قرار داده‌اند برای استراحت!!

vahid_reza
20-01-2007, 12:30
--------------------------------------------------------------------------------

فرق کاربرد سیمپلکس دوگان در جبر خطی و تحقیق در عملیات چیست ؟

Boye_Gan2m
23-01-2007, 19:45
در هندسه ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) ،قضیه ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) تالس این مطلب را بیان میکند که اگر A و B و C نقاط روی دایره ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) باشند و خط AC ،قطر دایره باشد آن وقت زاویه ABC یک زاویه قائم خواهد بود. به بیان دیگر مرکزدایره محیطی یک مثلث روی یکی از اضلاع مثلث ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) قرار میگیرد اگر وتنها اگرآن مثلث قائم الزاویه باشد.



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


اثبات

فرض کنیم O مرکز دایره باشد در آن موقع OA=OB=OC
به این ترتیب OAB و OBC مثلث متساوی الساقین خواهند بود.در نتیجه زوایای OCB=OBC و BAO=ABO.
فرض کنیم Y=BAO و X=OBC ، چون جمع زوایای داخلی مثلث برابر 180 درجه است پس

2Y+Z=180 2X+Q=180
همچنین میدانیم Z+Q=180 .حال اگر دو رابطه اول را با هم جمع و رابطه سوم را از آنها کم نماییم خواهیم داشت:

2Y+Z+2X+Q-(Z+Q)=180
پس خواهیم داشت:

Z+Q=90_________________
تالس اولین کسی نبود که این قضیه را کشف کرد قبل از او مصریان و بابلیان این قضیه را میدانستند ولی آنها نتوانسته بودند اثباتی برای آن بیان کنند. چون این قضیه اولین بار توسط تالس به اثبات رسید به نام او نیز معروف شد.البته تالس با استفاده از تعریف مثلث متساوی الساقین و نیز علم به این موضوع که جمع زوایای یک مثلث، 180 درجه است ،این قضیه را اثبات کرد.

Boye_Gan2m
23-01-2007, 19:48
ضرب در عدد یازده

ضرب در عدد ۱۱ خیلی ساده است!

برای ضرب ۱۱ در یک عدد دو رقمی، حاصل‌جمع دو رقم را بین آن دو قرار دهید:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

در مورد آخر (12=7+5)، باید رقم ۱ را حذف کنید.و به رقم اول آن اضافه کنید(6=5+1)

در مورد یک عدد سه رقمی چطور؟ می‌توانید کشف کنید چه روی می‌‌دهد؟

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

attractive_girl
21-02-2007, 15:02
سلام کاربرد عدد 7 رو اگه کسي ميدونه لطفا زحمت بکشه بنويسه.ممنون

Hazy
17-03-2007, 07:10
منبع شو اگه ميشه معرفي كن!!!

only4you_mehr
17-03-2007, 21:01
سلام
از دوستان کسی یه مقاله در هر زمینه از ریاضیات ( زیاد مهم نیست ) در حدود 10 صفحه سراغ نداره من بدم استاد ریاضی دومون ؟ اگه متن انگلیسی هم باشه اشکالی نداره ها

mathcom
14-04-2007, 12:45
با سلام
مطالب خوبي نوشتي. بهتره كه عادت كنيم منابع رو هم ذكر نماييم. با تشكر فراوان.

mehdi_z
08-05-2007, 09:47
سلام كسي در مورد انتگرال وكاربرد انتگرال اگه چيزي ميدونه تو وب سايت قرار بده تا هم من وم همه ازاون بهره مند بشن چرا كه استاد مون هزمون يه مقاله در مورد موضوعي كه گفتم خواسته با تشكر

pp8khat
20-08-2007, 20:19
سلام.
ببینید چه مطلب جالبی رو گیر آوردم...
حسابی آدمو به فکر می اندازه...
البته مجبور بودم بعضی از پرانتز ها رو حذف کنم...
عجب استادی بوده این دکارت واقعاً...
حتماً تا آخر بخونید(اگه 75% بفهمید خیلی خوبه..)
منبع:سهیل اسدی

رنه دکارتمقدمه مترجم: آنچیز که در ادامه از نظرتان میگذرد به دکارت منسوب است. اولین بار در قرن بیستم دستنوشته های پراکنده و آسیب دیده ای از زیر راه پله های منزلی در محله تاریخی لاتین تباران پاریس پیدا می شود. پس از بررسی اهل فن آنرا به دستنوشته های ابتدایی دکارت منسوب می دانند که جز این چند برگ مابقی عملا از بین رفته، مخدوش و پاره پاره می باشند. آن منزل از 1615 میلادی به روسپی خانه تبدیل می گردد. یا دکارت پیش از آن، دوران جوانی اش را در آن منزل میگذرانده است و یا به هر تقدیر نوشته ها بدانجا راه یافته، بدون توجه متاسفانه به گوشه ای پرتاب شده اند و گذر زمان و کم لطفیها صفحات را ناخوانا کرده است. دردناکتر اینکه احتمال دارد همانند باخ که برای گذران زندگی دستنوشته های موسیقی باارزش خود را به کاسبان در عوض اندک غذایی می فروخته است، دستنوشته های دکارت برای امرار معاش روزانه اش به ناحق بدست نااهلان گاهاً بی صفت می افتاده است. از خط سیر تکامل تفکر دکارتی مشهود است که در این صفحات جرقه افکاری زده شده است که بعدها در "گفتمان در روش" و "تعمقات در فلسفه اول" شفاف و واضح میگردند و نهایتاً تفکر دکارتی[2] را بر جهان ارایه می دهند. دکارت جوان در اینجا دودل بنظر می رسد. قدرت تام اثبات نظرش را ندارد و به بازی فلسفی دست می زند که تا بدان جا که ما اطلاع داریم در دفترچه اش به نتایج مشخصی نمی رسد. اما همانگونه که اشاره شد این مجادلات شخصی زمینه ظهور استدلال منطقی را در او بوجود می آورند و از او ابرفیلسوفی می سازند که جهان می شناسد.
آندرو بلسی[3] محقق و مدرس کالج کاردیف دانشگاه ولز[4] برگردان انگلیسی از متن اصلی فرانسوی را بر عهده گرفته است. در برگردان پارسی به این ترجمه استناد کرده ام. گاهاً برای سهولت متن پارسی ترجمه نیاز بر بکار بردن عباراتی دیده ام که برای مخدوش نشدن متن اصلی از آنان در [ ] استفاده کرده ام. اما مابقی علامات استفاده شده در متن و بویژه پرانتزها از دکارت می باشند.



شبی دیرهنگام در اتاقم نشسته بودم، به تفکر در باب موجودیت خویشتن، و هر آنچیز از تفکرات آشفته ام که بر ذهن وارد می شد به کاغذ می سپردم. به آرامی مومی را در میان زانوهایم نرم میکردم و لابه لای ورقه ها بر روی میز تکه نانهای خشک شده ای پراکنده بودند و در کناری بطری نیمه خالی روینا ماتریس[5]، که از برای احترام به لیاقت بالای تولیدکنندگان هلندی در آنجا نهاده بودم. به میزان برطرف شدن نیاز از آن بهره بردم، که نمی بایست به آرامی نوشیده شود، و برای ارضای هر انسانی که از استدلال خردورزی صحیح برخوردار است در جهت تشخیص قوای اندیشه های شفاف و متمایز به او کمک میکند، و [از این رو] موجودیت ذهن خویشتن و خداوند را بر من اثبات کرد، (در آن مسیر)، در یک استدلال حلقه وار از موجودیت اندیشه های شفاف و متمایز خدا در ذهنم به موجودیت حقیقی خداوند رسیدم، و از موجودیت پروردگاری کریم به صحت و صداقت اندیشه های شفاف و متمایزم راه بردم. پر واضح است که پدر مرسنه[6] باهوش و دیندار و جناب هابز[7] خداناباور و زیرک در برابر این استدلال مقاومت کنند، اما در ذهن بنده و فهم الاهی تردیدی بدانها راه نمی یابد، پس اعتنایی به آنها نمی کنم. اما آیا بدن من عینیت دارد؟ در ذهنم که پیکره ام موجودیت داشته است، پس گزاره را اینچنین نگاشتم: "پیکره من موجودیت دارد." بدون شک پیکره ام موجودیت دارد. بنابراین فراتر که رفتم چنین یافتم که ذهنم در جهت استدلال صحیح حرکت کرده است که کلام "بدون تردید" را به گزاره نوشته شده اضافه کنم، بنابراین: "پیکره من بدون تردید موجودیت دارد." اما آنهنگام ترس سهمگینی بر ذهنم حمله می برد. آیا کاملاً غیر ضروری خویشتن را در مسیر انتقادات شدید پدر مرسنه باهوش و دیندار و جناب هابز خداناباور و زیرک قرار دادم؟ بطور حتم اشارات آنان منوط بر همچنان تردید پذیر بودن گزاره ای که بدون تردید دانسته ام می باشد. آنگاه راه حلی در ذهنم تجلی یافت. اجازه بدهید تا که عدم تردید را پرانتزوار اثبات کنم، با قرار دادن پرانتزها به دور عبارت "بدون تردید"، بنابراین: "پیکره من (بدون تردید) موجودیت دارد." آنگاه شک دیگری بر من وارد شد. آیا اطمینان حاصل کرده بودم از پرانتزهایی که متعارض در برابر یکدیگر قرار گرفتند؟ اینگونه راه حل دیگری در ذهنم رشد میکند. پرانتزها را نیز می توان پرانتزوار ثابت کرد. اینگونه می شود که، پرانتزها در سری دیگری از پرانتزها قرار گیرند، بنابراین: "(()" و "())". حال گزاره ام این شده بود: "پیکره من (() بدون تردید ()) موجودیت دارد." به نظرم که رضایتمندانه آمد، تا اینکه شک دیگری بر ذهنم قالب شد. آیا واقعاً با "("ها و ")"ها بدور "(" و ")" رضایت یافتم؟ اما آنگاه راه حل دیگری در ذهنم تجلی یافت که مرا از گمراهی جزم گرایانه ای آگاه ساخت، [فقط] اگر بنده اجازه داشته باشم از بیانی وارونه استفاده کنم. روش پرانتزی تکرار پذیر است. بنابراین می توانم پرانتزها بدور پرانتزها بدور پرانتزها بگذارم. حال گزاره ام این شده بود: "پیکره من (()(()) بدون تردید (())()) موجودیت دارد." این رضایت بخش بنظر می رسید، و [اما] همچنان ترس داشتم از روحیه مشتاق انتقاد پدر مرسنه باهوش و دیندار و جناب هابز خداناباور و زیرک در امان نباشم. برای در امان ماندن تصورم بر ضروری بودن تکرار تاکید پرانتزی تاکید پرانتزی پرانتزها بود، و بنابراین می بایست پرانتزها بدور پرانتزها بدور پرانتزها بدور پرانتزها قرار دهم. حال گزاره ام این شده بود: "پیکره من (()(())((())()) بدون تردید (()(()))(())()) موجودیت دارد." این رضایت بخش بنظر می رسید، و [اما] همچنان احساس میکردم بر ادعایم استوار نیستم. خواست استدلال صحیح بر تکرار تاکید پرانتزی و تاکید پرانتزی و تاکید پرانتزی پرانتزها بود، و بنابراین می بایست پرانتزها بدور پرانتزها بدور پرانتزها بدور پرانتزها بدور پرانتزها قرار دهم. حال گزاره ام این شده بود: "پیکره من (()(())((())())((()(()))(())()) بدون تردید (()(())((())()))(()(()))(())()) موجودیت دارد." نیاز دارد بگویم که دریافتم تکرار تاکید پرانتزی و تاکید پرانتزی و تاکید پرانتزی و تاکید پرانتزی پرانتزها مطلقاً ضروری است، و بنابراین می بایست پرانتزها بدور پرانتزها بدور پرانتزها بدور پرانتزها بدور پرانتزها بدور پرانتزها قرار دهم. حال گزاره ام این شده بود:

"پیکره من (()(())((())())((()(()))(())())((()(())((())()))(( )(()))(())()) بدون تردید (()(())((())())((()(()))(())()))(()(())((())()))(( )(()))(())()) موجودیت دارد."

و همچنان با گزاره ام احساس آرامش خیال نداشتم. بنظر می آمد که امنیت فکری را، تنها در تکرار تاکید پرانتزی و تاکید پرانتزی و تاکید پرانتزی و تاکید پرانتزی و تاکید پرانتزی پرانتزها بدست آورد، و اینگونه می بایست پرانتزها بدور پرانتزها بدور پرانتزها بدور ...

{مابقی صفحه کاملا مخدوش شده است و قابل دریافت نمی باشد. با بررسی های بعمل آمده نظر بر این است که دکارت همین روش را ادامه میدهد و احتمال زیاد مطلب جدیدی بجز تسلسل تصاعدی پرانتزهای متعارض نمی افزاید.}

... بدور پرانتزها بدور پرانتزها بدور پرانتزها بدور پرانتزها بدور پرانتزها بدور پرانتزها بدور پرانتزها. حال گزاره ام این شده بود:

"پیکره من ())()))(()(())((())())((()(()))(())())((()(())((() )()))(()(()))(())()))(()(())((())())((()(()))(())( )))(()(())((())()))(()(()))(())()) بدون تردید ))()))(()(())((())())((()(()))(())())((()(())((()) ()))(()(()))(())()))(()(())((())())((()(()))(())() ))(()(())((())()))(()(()))(())()) موجودیت دارد."

و همچنان احساس آرامش خیال نمی کردم. گیج کردن پدر مرسنه باهوش و دیندار و جناب هابز خداناباور و زیرک! در این لحظه از تفکراتم اما ذهنم بر چیز چسبناکی آگاه شد که از ساق پاهایم به [آرامی] پایین می رفت، و دریافتم که موم آب شده بود. با ناخن به بهترین نحوی که می توانستم، جمعش کردم به روی نان و مصرفش کردم، برای رفع اشتهای بدنی ام که برانگیخته شده بود (توسط ابزاری که همچنان برای ذهنم ناشناس مانده است) توسط این ممارست استدلال صحیح. با مقدار باقی مانده روینا ماتریس مابقی را خوردم، و زود به خلسه عمیقی فرور رفتم. هنگامی که هوشیار شدم دریافتم که تمامی رویا بوده است. واقعاً چنین بوده؟ بله، آن رویا بوده است. بدون تردید. آن بدون تردید رویا بوده است. آن (بدون تردید) رویا بوده است. آن (() بدون تردید ()) رویا بوده است. آن (()(()) بدون تردید (())()) رویا بوده است. آن (()(())...

{اثری از مابقی در دسترس نمی باشد.}
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

Balrog
29-09-2007, 13:12
چكيده
احتمالاً تا به حال شنيده ايد كه حدس معروف گلدباخ هنوز اثبات نشده است. پس رياضي دان ها چه مي كنند؟ آيا كسي را مي شناسيد كه به فكر اثبات آن باشد؟ تابعي سراغ داريد كه به كمك آن بتوان اعداد اوّل را تشخيص داد؟ اگر كسي ادّعا كند كه مي تواند هر زاويه دلخواه را تنها با كمك خط كش و پرگار به سه قسمت مساوي تقسيم كند در مورد او چه فكر مي كنيد؟ آيا او يك نابغه است؟

مقدّمه
مي خواهيم در مورد نوابيغ صحبت كنيم. نه اشتباه نكنيد نوابيغ جمع نابغه نيست. در واقع نوابيغ افرادي هستند كه ادّعاي نبوغ دارند و معمولاً يك جايي يك مسأله با جايزه 1 ميليون دلاري ديده اند يا در دبيرستان از دبير رياضي خود شنيده اند كه فلان مسأله قرن ها حل نشده باقي مانده است. بعد سعي مي كنند آن را حل كنندو حتّي ممكن است سال هاي سال عمر عزيزشان را بر سر اين كار تلف كنند. اين اشخاص در تمام كشورها يافت مي شوند. در كشور ما نيز نوابيغ پيدا مي شوند. تجربه چند سال اخير، ما را بر آن داشت كه به دلايلي كه توضيح خواهيم داد اين مقاله را بنويسيم. در اين مقاله حروف لاتين را براي ارجاع به بعضي از اين اشخاص به كار برده ايم و به دلايلي كه در متن مقاله روشن خواهد شد از آوردن مشخصات آنان خودداري كرده ايم.

1. دسته بندي نوابيغ
ما نوابيغ را به سه دسته تقسيم مي كنيم :

* كساني كه سعي مي كنند ناممكن ها را ممكن سازند!
اين دسته به تثليث گرها يا Trisectne معروفند. تثليت گر يعني كسي كه سعي مي كند فقط با كمك خط كش و پرگار زاويه را به سه قسمت مساوي تقسيم كند. امّا غير از اين ها افراد ديگري هم جزء اين دسته هستند. مثلاً كساني كه سعي مي كنند فرمول محيط بيضي را كشف كنند يا بر روي روش تربيع دايره و تضعيف مكعب و ... كار كنند. براي اطّلاع از ناممكن بودن اين ها به كتاب مرجع مراجعه شود. يا حتّي هستند كساني كه سعي مي كنند فقط با دو رنگ هر نقشه اي را رنگ كنند!

* مدّعيان حل مسأله هاي حل نشده معروف
اين دسته نسبت به دسته اوّل كمي معقول ترند. ايشان آدم هايي هستند كه سعي مي كنند مسأله هاي بزرگ حل نشده را كه به پيش زمينه هاي رياضي قوي نياز دارند، بدون داشتن آن پيش زمينه ها حل كنند. مثلاً فرضيه كلدباخ، فرمول توليد اعداد اول و ....

* بنيان گذاران نظريه هاي بي اساس
اين افراد مدّعي بنيان گذاري نشريه هاي بي پايه ولي از نظر خودشان بسيار مهم هستند، كه حتّي مي تواند رياضي را متحوّل كند. در بين اين دسته كساني هستند كه با شنيدن ادّعايشان عصبي مي شويد. شايد هم كلّي بخنديد. مثل كسي كه ادّعا مي كند :
«پايان امسال مي توانم نظريه نامرئي كردن فيزيكي اشياء را كامل كنم.» (X) و يا «شايد برايتان باور نكردني باشد كه اين كتاب و اين تحقيقات را يك جوان بيست ساله انجام داده باشد كه حتّي اثبات رياضي وجود وجدانيّت خداوند كه بزرگترين آرزوي يكتا پرستان جهان اسلام است را از طريق اين نظريه كشف نموده باشد. (Y)
يكي از كارمندان دبيرخانه انجمن رياضي ايران نقل مي كند : چندي پيش شخصي متولد 1291 (با حدود 91 سال سن) باتّفاق دخترش به انجمن رياضي ايران مراجعه كردند كه مدعي بودند :
«براي هر عدد، عددي يافته است كه حاصل جمع آن با عدد داده شده و حاصل ضرب آن با همان عدد، يكسان است متشابهاً، حاصل تفريق و حاصل تقسيم.»
او مدّعي بود كه اين آموزش رياضي را متحوّل مي كند و جوان ها را از آلودگي نجات مي دهد. (مي گفت: با اين روش آموزش، جوان ها تا قبل از 18 سالگي دكتراي خود را مي گيرند و ديگر آلوده نمي شوند!). هم چنين همين شخص جداولي با اعداد چندين رقمي عجيب (جداول مربعي) رسم كرده بود كه به اين اعداد نام «نيرو» داده بود و مي گفت اين نيروها از تمام جهات با هم برابرند. ايشان مايل بودند كه اين اكتشافات به نام خودشان ثبت شود و دنبال راهي بودند كه از اين مطالب شخص ديگري به نام خود سوء استفاده نكند. (اين نكته در اغلب اين افراد مشابه است.)

2. كالبد شكافي نوابيغ
البته نوابيغ در رشته هاي ديگر نيز وجود دارند. همكاري تعريف مي كرد كه يك نفر در مراجعه حضوري به شوراي شهر تقاضا كرد كه از طرح پژوهشي ايشان حمايت شود. اين طرح روش آموزش صحبت كردن به بلبل ها بود! ايشان بلبلي را هم همراه برده بود و ادّعا مي كرد كه حرف مي زند ولي به خاطر ترس از جمعيّت از نطق كردن وامانده است.
مقاله هايي وجود دارند كه در آن ها رفتار نوابيغ مورد بررسي قرار گرفته اند. مثل مقاله ]يك[ كه در آن چنين آمده است : «يكي از مشخصه هاي نوابيغ رياضي، مانند ساير انواع نوابيغ، اين است كه به موفّقيت هاي كوچك قانع نيستند. حل مسائل معمولي آن ها را راضي نمي كند چرا كه دون شأن آن هاست. مي خواهند حرف مهم بزنند يا پنبه حرف هاي مهم را بزنند. بيشتر دوست دارند مسائلي را حل كنند كه ديگران ثابت كرده اند نمي توان آن ها را حل كرد ... خلاصه مي خواهند كاري بكنند كارستان. و از حيث شجاعت و بلند پروازي دست كمي از دانشمندان درست و حسابي ندارند. ولي متأسفانه شباهتشان با نوابغ واقعي، در همين يك صفت خلاصه مي شود.» براي علاقه مندان، مطالعه اين مقاله را پيشنهاد مي كنيم. نويسنده آن Underwood Dudley همان نويسنده كتاب هاي ]1[ و ]2[ است. ايشان بيش از ربع قرن است كه مشغول مطالعه رفتار و كردار نوابيغ رياضي هستند.

3. نوابيغ و پخش نظراتشان
* مراجعه به هر جا و هر كس
اغلب نوابيغ چيز زيادي از رياضي نمي دانند ولي علاقه مندند در اين زمينه كار كنند. شايد بپرسيد اصلاً چرا رفتيم سراغ اين آدم ها؟ جواب را بايد مراجعه بيش از حدّ اين افراد به انجمن رياضي و نشريات وابسته به آن و مديران گروه هاي رياضي دانست. مثلاً به عنوان رئيس انجمن رياضي لااقل از دفتر پنج مقام مختلف مملكتي براي بررسي ادّعاي فقط يكي از ايشان نامه هائي همراه با ضمايم فراوان رسيده است (به پيوست 3 مراجعه شود). راستش اين افراد خيلي تنها هستند. يكي از آنها (X) نوشته بود : «از اين كه با شما بزرگوار در ارتباط هستم از ته دل خوشحالم و اميدوارم اين ارتباط هم چنان پايدار باشد و از اين حالت يك طرفه شدن خارج شده و .... رياضيدان هاي بزرگ به حق نمي توانند وقت كافي براي رسيدگي به اين موضوعات بگذارند. دانشجويان رياضي نيز اغلب نمي دانند كه چنين افرادي هم وجود دارند. البته مشكل به اين جا ختم نمي شود. بين نوابيغ بعضاً كساني يافت مي شوند كه مستعد ايجاد مشكلات بسيار بزرگي براي رياضيدانان و بقيّه آدم ها هستند و اگر در برخورد با اين افراد دقّت لازم را به عمل نياورند بايد منتظر يك دردسر خيلي بزرگ باشيد كه در ادامه مقاله بيشتر متوجّه اهميّت موضوع خواهيم شد.
همان طور كه قبلاً اشاره شد يك گروه عمده از نوابيغ، تثليت گرها هستند كه اغلب آنها در دوران دبيرستان با مسأله تثليث مواجه مي شوند. مي دانيم كه ثابت شده است تيليث زاويه تنها با خط كش و پرگار امكان پذير نيست. مثلاً به كتاب «رياضيات چيست» (دو) فصل سوّم صفحات 147 و 148 رجوع كنيد. ولي اين افراد يا نمي دانند كه چنين اثباتي وجود دارد و يا نمي توانند معناي «امكان پذير بودن» در رياضيات را درك كنند. آيا تا به حال با كسي مواجه شده ايد كه متوجّه نشود فقط با يك شمع و يا با يك چراغ موشي نمي توان يك تيرآهن را گداخت؟!
در برخورد با يك تثليت گر، خواندن روش تثليت وي عملاً كار بيهوده اي است. علاوه بر اين، اين افراد معمولاً نمودارهاي پيچيده اي رسم مي كنند كه سر درآوردن از آن ها كار سختي است. جالب اينجاست كه حتّي وقتي اثبات امكان ناپذير بودن تثليت را برايشان بفرستيد باز هم اصرار دارند كه روش آن ها مورد مطالعه قرار بگيرد! نمونه اي از اين افراد خانم Z (دبير رياضي) بود كه پس از ارائه برهان توسّط يكي از نويسندگان (پيوست 2) باز هم اصرار بر خواندن مقاله اش داشت. ايشان حتّي تهديد كرد كه اگر مقاله اش را نخوانيم ما را به صاحب شب قدر مي سپارد.
* مراجعه به مقامات
يكي ديگر از ويژگي هاي نوابيغ اين است كه براي ثبت تئوري خود سراغ مقامات و مسئولين رده بالاي كشوري مي روند و حتّي ممكن است به بالاترين مقام كشور نيز رجوع كنند. يك نمونه از اين افراد آقاي U است كه ادّعا مي كند فرضيه گلدباخ را ثابت كرده است. ايشان براي اثبات ادّعاي خود حتّي به رهبر و رئيس جمهور و رئيس قوّه قضائيه نيز نامه نوشته اند. گوشه هايي از نامه پرسوز و گداز اين سودازده رياضي را برايتان مي آوريم :
« ... كار جديدم اثبات فرضيه تاريخي گلدباخ است. اين فرضيه به مدّت 261 سال لاينحل باقي مانده بود و دانشمندان نامداري چون اولر، گاوس، ويتوگرادف و هزاران رياضي دان ديگر در طول اين 5/2 قرن براي حل آن كوشيدند ولي ناكام ماندند .... بنده پس از دوازده سال تلاش در سال 1380 (سال مولي علي (ع)) موفق به اثبات قطعي آن گرديدم. اثبات بنده در 286 مركز علمي و دانشگاهي جهان بررسي و كوچكترين ايرادي بر آن وارد نگرديد. البتّه آمريكا پرداخت جايزه 1 ميليون دلاري بنده را مشروط به پذيرش تبعيت آمريكا نمود ....»
نوابيغ ممكن است هر كدام به تنهائي به مراجع زيادي رجوع كنند كه با اين عمل با توجّه به نامهه اي مختلف موجب اتلاف وقت بزرگي مي شوند. مثلاً موردي به نام آقاي X مقاله خود را به 100 مرجع مختلف فرستاده بود كه به قول خود چون از نوشتن همه آن ها عاجز بود به ناچار به دستگاه كپي متوسّل شده بود! اين آدم ها از رجوع به مقامات و مسئولين خسته نمي شوند و اگر در برخورد با اين آدم ها دقّت نكنيم ممكن است دچار يك دردسر اساسي شويم. مثلاً يكي از اساتيد دانشگاه در جواب يكي از همين نوابيغ مقاله اي را برايش فرستاده بود كه به خاطر اين كار آن شخص ايشان را به دادگاه كشاند.
* انتشار جزوات و كتاب ها
در برخي موارد نوابيغ براي عرضه نظريه هاي به قول خود «شگفت انگيزشان» دست به نشر كتاب در تيتراژ چند هزار جلدي مي زنند. حداقل دو مورد آن را اخيراً در كشورشاهد هستيم. يكي از اين دو نفري كه كتاب منتشر كرده است يك دانش آموز مقطع پيش دانشگاهي به نام Y است كه ادّعا مي كند :
«جلد اوّل اين كتاب علاوه بر بعد رياضياتش، بعد ديگري نيز دارد كه استفاده از آن در بحث هاي فلسفي و عرفاني از جمله اثبات روح، برزخ و حقيقت زنده شدن مردگان مي توان نام برد و ....»
و ديگري نيز كه كتاب خود را در دوران دبيرستان نوشته است، ادّعا مي كند كه :
«... در خلال اين تحقيقات موّفق به كشف رياضي اثبات وجود وحدانيّت خداوند متعال نيز شدم كه اميدوارم جوّ به خواب رفته علمي كشور را بيدار نمايد و ....» (X).
حتماً تا به حال خبر كشفيّات جديد در علم را از رسانه هاي گروهي از جمله اخبار سراسري شنيده ايد. ما مواردي را سراغ داريم كه اين افراد از طريق همين رسانه ها كه مردم، بسياري به بخش خبرهاي علمي آنها اعتماد دارند، خبر به اصطلاح كشفيات خود را به اطلاع عموم مي رسانند. مثل خبر حل فرضيه گلدباخ توسط آقاي X كه حداقل از يكي از شبكه هاي تلويزيوني پخش شده است. هم چنين ايشان چندين مصاحبه مطبوعاتي چاپ شده در روزنامه هاي كثيرالانتشار را در پرونده خود دارد.
خلاصه اين كه اگر پاي درددل بعضي از آن ها بنشينيد، ممكن است يك نطق مفصّل در مورد فرار مغزها به خاطر عدم حمايت از نابغه هائي مثل ايشان بكنند. اخيراً اغلب آن ها اين ادّعا را نيز بر ادّعاهاي فبلي خود اضافه كرده اند. مثل آقاي U كه حتّي ادّعا مي كرد از كشور آمريكا و انگلستان دعوتنامه براي ايشان و خانواده شان فرستاده شده و به ايشان ويزاي آمريكا همراه با چهار بليط مجّاني هواپيما پيشنهاد كرده اند. وي يك ديسكت حاوي اين ادّعا را به همه جا فرستاده بود كه ما با ديدن يك ديسكت متوجّه شديم موضوع چيزي نيست به جز چند پيام تبليغاتي كه براي شركت در قرعه كشي براي اخذ ويزا و يا مسافرت تفريحي معمولاً به تمامي كاربران Yahoo فرستاده مي شود!

راه هاي پيشنهادي براي مواجهه با نوابيغ
با توضيحاتي كه مطرح شد، حدس مي زنيم همه شما خوانندگان مثل ما معتقديد بهتر است فكري به حال اين افراد بكنيم تا هم بسياري را از درگير شدن با آن ها نجات دهيم و هم خود اين افراد دست از «آب در هاون كوبيدن» بردارند. مثلاً يكي از ايشان كه دبير رياضي هم است، ابراز مي دارد :
«اكنون بنده نه تنها از سال ها زحمت و تحقيقات ام خوشحال نيستم بلكه به شدّت غمگينم و فكر مي كنم راه اشتباهي رفته ام كه جذب علم و دانش و افتخار آفريني براي كشورم شده ام. چون از اوّلين روز اتمام اثبات و اعلام آن به دانشگاه ها تمام اضافه كاري ها و كمك درآمدها و كلاس هاي اضافه ام را تعطيل كرده و علاوه بر آن مخارج بسياري نيز در اين راه هزينه نمودم. البتّه هراسي نداشتم چون علاوه بر افتخار كشورم، يك ميليون دلار جايزه را نيز در دستم مي ديدم. لذا از قرض كردن نيز هراسي نكردم. امّا اكنون خوار و خفيف شده ام. هر روز از صاحب خانه فرار مي كنم كه اجازه چند ماه را نپرداخته ام. به اكثر آشنايان بدهكارم و شايد چند روز ديگر جهت بدهي به زندان هم بروم ... به زندان بروم يا به آمريكا بروم و تبعه آنجا شوم (البته بليط هواپيما و كارت اعتباري نيز برايم فرستاده اند كه در ديسك همراه نامه موجود است) يا در كشورم بمانم و اثبات قطعي فرضيه گلدباخ را با خودم به آن دنيا ببرم ....» (U).

ما مخاطبين اين افراد را به چهار دسته تقسيم مي كنيم :
* دسته اوّل، كساني كه وقت كافي براي پاسخ گويي به اين افراد را ندارند. به ايشان توصيه مي كنيم همين مقاله را در پاسخ آن ها ارسال كنند. چه بسا با مطالعه اين مقاله بسياري از مدّعيان پي به اشتباه خود برده و كار خاتمه يابد.

* دسته دوّم، بعضي از رسانه ها هستند كه با پخش خبرهاي غلط يا چاپ كتاب هاي خالي از هر گونه بار علمي موجب گمراهي اذهان عمومي مي شوند. با توجّه به رسالت مهم رسانه ها در اطلاع رساني چاپ اين گونه خبرها از طرف برخي از اين رسانه ها بسيار تأسف برانگيز است. رسانه ها قبل از نشر هر گونه خبر علمي بايد آن را توسط يك كارشناس مورد بررسي قرار دهند و در صورت اطمينان از صحّت، اقدام به پخش آن نمايند.

* دسته سوّم، دفاتر مقامات و مسئولين مملكتي است كه تصوّر مي كنيم در موارد بسياري تشخيص اين عدّه از نوابيغ برايشان كاري دشوار است. مثلاً يكي از مسئولان با ارسال ادّعاي آقاي X كه قبلاً ديديم ادّعاي «نامرئي كردن فيزيكي اشيا را» داشت به وزير علوم، تحقيقات و فن آوري، نوشته بودند «به پيوست تصويرنامه آقاي X از محققين، نظريه پردازان و طراحان رياضي كشور تقديم مي گردد. نامبرده از نوجواني تا كنون موفّق به كشفيات و ارائه طرح هايي در زمينه علوم رياضي گرديده اند ليكن براي ادامه فعّاليت هاي خود نيازمند مساعدت و حمايت مي باشند. نامه پيوست و ضميمه آن خود گوياي تمام توانايي ها و نبوغ نامبرده است. انتظار دارم درخواست ايشان مورد نظر قرار بگيرد كه قطعاً در پيشبرد اهداف علمي ايشان در نگاهي وسيع تر، كشور ايران بسيار سودبخش خواهد بود.»
هم چنين از طرف دفتر يكي از مقامات بلندپايه كشور پي نوشتي درباره ادّعاي آقاي X به انجمن رياضي ايران نوشته اند : «از ارسال كتاب تأليفي آقاي X محقق جوان و عزيزمان تشكر و قدرداني مي شود. براي ايشان از خداوند بزرگ آرزوي توفيق بيشتر را دارم.» لذا به دفتر مقامات پيشنهاد مي كنيم اگر بررسي اين ادعاها برايشان مهم است، از تعدادي از كارشناسان دعوت كنند كه به رسيدگي آن ها بپردازند. انجمن هاي علمي مي توانند معرّف اين كارشناس ها باشند.

* دسته چهارم، كساني كه علاقه مند به اين مسائل هستند و وقت كافي براي رسيدگي به آن ها را دارند. اگر شما هم جزء اين گروه هستيد، پيشنهاد مي كنيم مقاله (يك) را مطالعه كنيد. همان طور كه گفتيم نويسنده مقاله فوق حدود 25 سال در اين زمينه كار كرده و راه هاي مختلفي را در برخورد با اين افراد امتحان كرده است. ايشان نتيجه تجربيّات خود را در اين مقاله چنين بيان مي كند :
«سرانجام وقت آن رسيده كه بگويم با تثليت گرها چگونه بايد برخورد كرد. امّا بگذاريد اوّل بگوييم چگونه نبايد برخورد كرد. يك راه خلاصي موقّت از چنگ تثليت گرها آن است كه بگوييد : خوب تا اينجايش قبول، امّا مي دانيد كه بايد براي درست بودنش برهان داشته باشيد. يعني يك سري حكم ها و استدلال هايي نظير آنچه در كتاب هندسه قديميتان داشتيد. تثليث گر از نزدتان مي رود ولي به همراه برهان برمي گردد. در اين مرحله ممكن است بگوييد : خوب، حالا نگاهي به آن بياندازيم، اشتباه آن را بيابيد و به تثليت گر گوشزد كنيد.
تثليث گر اين بار هم مي رود ولي باز همراه با برهان تجديدنظر شده اي برمي گردد كه طولاني تر، پچيده تر و يافتن اشتباهش دشوارتر است. تجديدنظرهاي پياپي در برهان، كار را به جايي مي كشاند كه ديگر نتوانيد يا نخواهيد اشتباه آن را پيدا كنيد. قدم بعدي كه آن نيز خطاست، اين است كه بگوييد :
راستش من وقت بررسي اين برهان را ندارم ولي مي دانيد كه شخصي به نام وانيتيسل در سال 1837 ثابت كرده كه زاويه را نمي توان با خط كش و پرگار تثليث كرد. برهان او موجود است، اين هم برهان شما؛ هر دوي اين ها نمي توانند درست باشند؛ پس چاره اي نيست جز اين كه شما در برهان وانيتيسل اشتباهي پيدا كنيد. اين كار هم تثليثت گر را از سرتان باز مي كند. ولي او دير يا زود بر مي گردد با رديه اي بر برهان وانتسل در قالب چنان عباراتي كه درك معني شان ناممكن است. هيچ چيز نمي تواند راه را بر تثليث گر از خود گذشته ببندد.
پس در برخورد با تثليث گر چه بايد كرد؟ به اوّلين نامه تثليث گر، اگر مطمئن شديد كه خوبي تقريب يا سادگي روش يا هوشمندي او در يافتن تقريبي جديد قابل توجه است، مودّبانه جواب بدهيد. به همراه نامه، برايش فهرستي كامپيوتري از اشتباهات موجود در ترسيم براي زاويه هاي مختلف بفرستيد. من معمولاً فهرست را براي 0 تا 180 درجه، با فواصل 3 درجه اي تهيّه مي كنيم. اين كار مهم است زيرا هنوز كامپيوتر قدرت آن را دارد كه احساس احترام و ابهتي در افراد ايجاد كند. همچنين با آن نامه چند تثليث تقريبي ديگر را بفرستيد با تذكّري از اين قبيل كه فكر كردم شايد علاقه مند باشيد ديگران چه تثليث هاي تقريبي به دست آورده اند. در سال هاي اخير با استفاده از اين روش ميزان موفّقيتم بالا رفته است. يادم هست كه اوّلين موفّقيّت تا چه حد مايه رضايت خاطرم شد. مهندسي در شهر نيوجرسي كتاب بزرگي با جلد مقوّايي در حجم بيش از 250 صفحه تهيّه كرده بود كه عنوان ماجراهاي هندسه روي جلد آن با حروف زركوب نقش بسته بود. به نظرم رسيد كسي كه اين همه براي تثليث مايه گذاشته باشد، راه نجاتي ندارد. ولي او ضمن پاسخ نامه ام نوشت : همين قدر كه توانسته ام به تقريبي برسم راضي هستم و ديگر آن را كنار مي گذارم. اين بار روحم از نفرين به دور ماند! اخيراً چند موفّقيّت ديگر هم داشته ام و شايد برخي از اين تثليت گرهاي لب فرو بسته، متقاعد هم شده باشند، اگر با اين روش كاري از پيش نرفت، آن وقت بي رحم باشيد. نامه و برخورنده اي بنويسيد، به اين قصد كه طرف از شما بدش بيايد. ديگر به هيچ قيمتي مزاحم شما نخواهد شد و شايد بخشي از نفرتش منجر به بي علاقگي نسبت به رياضيدانان و بي ميلي به ادامه كار تثليث شود، زيرا معمولاً انسان اگر بتواند، از كاري كه مايه آزارش شود خودداري مي كند. اگر همه همين روش را در پيش مي گرفتند نسل تثليث گرها تحليل مي رفت و منقرض مي شد. در آن صورت كساني كه سودازدگي جزء سرشتشان است مزاحم اقتصاد دان ها، فيزيك دان ها يا علماي الهيّات مي شدند و ما مي توانستيم در آرامش و امنيّت زندگي كنيم و مطمئن باشيم كه از اين پس هيچ سودازده اي به سراغمان نخواهد آمد. در اين جا به طور خاص در مورد تثليث گرها صحبت شده است، امّا حتماً شما آنقدر وارد هستيد كه با استفاده از آن، روش برخورد با ساير نوابيغ را نيز بيابيد.»
موخره، از خوانندگان محترم تقاضا مي شود اگر خاطره اي از نوابيغ دارند حدود يك يا دو صفحه به اينجانبان ارسال دارند تا در ضميمه اين مقاله بيايد. به پيوست نمونه اي از نامه هاي ارسال شده در رابطه با نوابيغ ضميمه شده است.

پيوست : چند نمونه از نامه هاي ارسالي درباره مدّعيان
* پيوست 1 : آقاي ... مقاله شما را در ادعاي كشف فرمول محاسبه محيط بيضي مشاهده كردم. به اطلاع مي رساند كه انجمن رياضي ايران بر اساس تجربه هاي قبلي به اين گونه مدعيان پيشنهاد مي كند كه با اساتيد دانشگاه ها مستقيماً مكاتبه نمايند. اما اين جانب خود به عنوان يك عضو هيأت علمي دانشگاه، نظرم را ذيلاً مكتوب مي نمايم.
لازمه محاسبه فرمول دقيق محيط بيضي محاسبه انتگرال هايي مانند انتگرال زير است كه ثابت شده است محاسبه آن بر حسب توابع معمولي امكان پذير نيست.

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اين فرمول با استفاده از فرمول پارامتري بيضي كه به صورت

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

است به دست مي آيد. و اين موضوع تقريباً در هر كتاب رياضيات عمومي (CALCULUS) نيز آمده است.
متأسفانه بعضي از افراد معني امكان ناپذير بودن را متوجه نمي شوند و اغلب تلاش بيهوده در يافتن چنان فرمولهائي مي نمايند. اميدوارم كه جنابعالي معني آن را دريافته باشيد. باعث تأسف است كه بعضي از رسانه ها نيز بدون مشورت با متخصصين اقدام به چاپ يا نشر بعضي از «كشفيّات» مي كنند كه باعث توهم بعضي از افراد مي شود.
با احترام، سيد عباداله محموديان، رئيس دانشكده علوم رياضي، دانشگاه صنعتي شريف و رئيس انجمن رياضي ايران.

* پيوست 2 : خانم ... با سلام، مقاله شما را مشاهده كرديم و به اطلاع شما مي رسانيم كه ثابت شده است تثليت زاويه به كمك خط كش و پرگار امري است امكان ناپذير. بدين منظور شما را مثلاً به صفحات 147 و 148 از «كتاب رياضيات چيست؟» تأليف ريچارد كورانت كه ضميمه نامه است ارجاع مي دهيم. براي اطّلاع بيشتر پيشنهاد مي كنيم فصل سوم كتاب فوق را مطالعه بفرمائيد.
با اميد سلامتي روزافزون شما، سيد عباداله محموديان، استاد دانشكده علوم رياضي دانشگاه صنعتي شريف.

* پيوست 3 : استاد محترم جناب آقاي دكتر ... معاون محترم پژوهشي وزارت ...
با سلام، احتراماً عطف به نامه مورخه ... شماره ... به استحضار مي رسانم كه كتاب ارسالي (تأليف آقاي ...) توسط دو نفر داور مورد بررسي قرار گرفت. نظر ايشان در ضميمه آمده است. متأسفانه ظرف چند ماه اخير كه اينجانب رياست انجمن رياضي ايران را به عهده گرفته ام چند مورد مشابه اين نامه به بنده ارسال شده است (بعضي از آن ها مانند كتاب فوق الذكر از چندين اداره مختلف). رسيدگي به آنها بسيار وقت گير است. در صورتي كه خود مكتوبات نشان از بي اساس بودن «نظريه» دارد. مثلاً همين نويسنده ادعا دارد كه تا پايان سال (1382) «تئوري نامرئي كردن فيزيكي اشياء را كامل» مي كند. جالبتر اين كه بعضي از مقامات نيز اين ادعا را «گوياي تمام توانائي ها و نبوغ نامبرده» مي دانند.
پيشنهاد اينجانب اين است كه اگر اين گونه ادعاها براي دفتر جنابعالي مهم است، موسسه اي تأسيس بفرمائيد تا آن ها را بررسي كند. در آن صورت اگر لازم تشخيص بدهيد انجمن مي تواند متخصصين امر را براي آن موسسه پيشنهاد كند.
با تقديم احترام، سيد عباداله محموديان، رئيس انجمن رياضي ايران و رئيس دانشكده علوم رياضي، دانشگاه صنعتي شريف
رونوشت : به چهار مرجع ديگر كه كتاب فوق را فرستاده بودند.

مراجع
]يك[ اندروود دادلي، با تثليث گرها چگونه برخورد كنيم، (ترجمع محمد باقري) نشر رياضي : مجله رياضي مركز نشر دانشگاهي، سال 2 شماره 3 آذر 1368 صفحه 227- 222.
]دو[ ريچارد كورانت و هربرت رابينز، رياضيات چيست؟ ترجمه سيامك كاظمي. تهران : نشر ني، 1379.

[1] Underwood Dudley, A Budget of Trisections, Springer-Verlag, New York, 1987.
[2] Underwood Dudley, Mathematical Cranks, Mathematical Association of America, Washington, D.C. 1992.


-------------------------------------------------------------------------
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



پاکر
02-11-2007, 01:53
دنباله فيبوناچي

لئوناردو فيبوناچي ايتاليايي، حدود سال 1200 ميلادي دنباله اي رامعرفي كردكه اكنون بنام خودش معروف است. 38جمله اول دنباله فيبوناچي درزيرآمده است .دراين دنباله ازجمله سوم به بعدهرجمله ازجمع دوجمله قبلي بدست مي آيد. بنابراين بافرضF1=F2=1برايn³3 داريم: Fn=Fn-1+Fn-2 .معمولاشروع آن باعدديك است ولي گاهي بافرض F0=0دنباله راازصفرشروع مي كنند.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169
مي توان نشان داد كه F6nبراي هرnÎNبرعدد4قابل قسمت است.بعلاوه F25nبرعدد25 قابل قسمت است.درزيرنشان مي دهيم كه هرگاه مرتبه جمله مضرب3باشد آن جمله برجمله سوم دنباله بعني 2 قابل قسمت است.باتوجه به اصل استقراي رياضي هرگاه n=1باشد F3n=F3و درنتيجه برآن قابل قسمت است.حال فرض كنيم حكم برايn-1 برقرارباشديعنيF3(n-1) برF3قابل قسمت باشد.داريم:
F3n = F3n-1+F3n-2
= (F3n-2+F3n-3)+F3n-2
= 2F3n-2 +F3(n-1)
درتساوي آخرهردوجمله برF3=2قابل قسمت اند.درنتيجهF3nبردوقابل قسمت است وحكم درحالت كلي برقراراست.آيا بااستفاده ازاين روش اثبات، مي توانيد ثابت كنيدكه درحالت كلي هرگاهkÎNباشد، Fknبر Fkقابل قسمت است؟
ميتوان دنباله فيبوناچي رابراي اعدادصحيح منفي بصورت F-n=(-1)n+1Fnتعريف كرد.
1, -1, 2, -3, 5, -8, 13, -21, 34, -55, 89, -144, 233, -377, 610,...


منبع:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

پاکر
05-11-2007, 01:23
اعداد فرما
عدد فرما عدد صحیح و مثبتی است بصورت
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]که در آن n عددی صحیح و غیر منفی است.
اگر چنین عددی اول هم باشد آنرا «عدد اول فرما» می نامند.
این اعداد را بنام پییر دو فرما نام‌گذاری کرده‌اند.

اگر 2m + 1 اول باشد، می‌توان نشان داد m = 2n.
اثبات (با عکس نقیض): فرض کنید m توانی از 2 نباشد، لذا m دارای یک شمارنده فرد مانند 2k + 1 (بزرگتر از یک) است. بنابراین
m = (2k + 1)rحال خواهیم داشت که 2m + 1 با استفاده از اتحاد دارای تجزیه‌ی غیر بدیهی می‌شود. که این خلاف اول بودن این عدد است، پس این عدد به صورت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است. بنابراین هر عدد اولی که بصورت 2m + 1 باشد، عدد فرما است.
فرما که اغلب حدس‌هایش برای ریاضیدانان در خور توجه و قابل اعتماد بود مشاهده کرد که با گذاشتن چند عدد ۰ و ۱ و ۲ و ۳ و ۴ به جای n در فرمول بالا F اول است.
در سال ۱۷۳۲ اویلر نشان داد که (5)F مرکب است. تاکنون فقط به ازای n =0,...,۴ عدد اول فرما یافت شده است.

مارپیچ فرما

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


نقطه فرما
بر روی هر مثلث دلخواه، مثلثهای متساوی الاضلاع ' ABC' ,ACB' و BCA' را رسم کنید. نقطه F همان نقطه فرما می باشد.

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



منبع:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

behroozifar_s
12-11-2007, 17:54
چرا باید ریاضیات بخوانیم؟



(ولادیمر ارنولد)


چرا باید ریاضیات بخوانیم؟راجر بیکن فیلسوف انگلیسی در سال 1267 میلادی پاسخ این سوال را چنین داده است:((کسی این کار را نکند نمیتواند چیزی از بقیه علوم و هر آنچه دراین جهان است بفهمد...چیزی که بدتر است این است که کسانی که ریاضیات نمیدانند به جهالت خودشان پی نمی برند ودر نتیجه در پی چاره جویی بر نمی آیند.))
می توانم همین جا سخنرانیم را پایان دهم اما ممکن است بعضیها فکر کنند که شاید خیلی چیزها در هفت قرن گذشته تغییر کرده باشد....
شاهدی تازه تر می آورم پال دیراک از خالقان مکانیک کوانتومی معتقد است که وقتی تئوری فیزیکی ای را پایه ریزی می کنید نبایدبه هیچ شهود فیزیکی ای اعتماد کنید.پس به چه چیزی اعتماد کنید؟به گفته ی این فیزیکدان مشهور فقط به برنامه ای متکی بر ریاضیات _ولو اینکه در نگاه اول ربطی به فیزیک نداشته باشد.
در حقیقت در فیزیک تمامی ایده های صرفا فیزیکی رایج در ابتدای این قرن را کنار گذاشته اند در حالی که الگوهای ریاضی ای که به زرادخانه فیزیکدان ها راه یافته اند به تدریج معنای فیزیکی یافته اند.در اینجاست که قابل اعتماد بودن ریاضیات به روشنی رخ می نمایاند.
بنابراین الگوسازی ریاضی روشی پربار برای شناخت در علوم طبیعی است.اکنون می خواهیم الگوهای ریاضی را از نگاهی دیگر یعنی مسئله ی آموزش ریاضی بررسی کنیم.
سه روش اموزش ریاضیات
در اموزش ریاضیات روسی (هم در دبیرستان و هم در مقاطع بالاتر) ما پیرو نظام اموزشی اروپایی هستیم که بر اساس ((بورباکی ای سازی))ریاضیات بنا شده است (نیکلاس بورباکی نام مستعار گروهی از ریاضیدانان فرانسوی است که ازسال 1939 به انتشار مجموعه ای از کتابها دست زده اندکه در انها شاخه های اصلی ریاضیات جدید به طور اصولی یعنی به روش اصل موضوعی براساس نظریه ی مجموعه ها شرح داده شده است.)
اصولی کردن ریاضیات به نوعی تصنعی کردن آموزش آن منجر می شود واین زیانی است که بورباکی سازی به آموزش ریاضیات وارد کرده است.نمونه ای شگرف مثال زیر است:
از دانش آموز سال_دومی مدرسه ای در فرانسه پرسیده اند:"دو بعلاوه ی سه چقدر میشود؟" پاسخ چنین بود:" چون جمع تعویض پذیر است می شود سه بعلاوه ی دو."
پاسخی واقعا قابل تامل! کاملا درست است اما دانش آموزان حتی به جمع کردن ساده ی این دو عدد هم فکر نکرده اند زیرا در تعلیم انها تکیه بر ویژگی های عملها بوده است. در اروپا معلمان متوجه نارساییهای این روش شده اند و بورباکی سازی را کنار گذاشته اند.
طی چند سال گذشته آموزش ریاضیات روسی دستخوش تغییراتی به سبک آمریکایی شده است.اساس این سبک این اصل است: آنچه را که برای کاربردهای عملی لازم است آموزش بدهید.در نتیجه کسی که فکر می کند به ریاضیات احتیاجی نخواهد داشت اصلآ لازم نیست ان را بخواند.ریاضیات درسی اختیاری در دوره ی راهنمایی و دبیرستان است_مثلآ یک سوم دانش آموزان دبیرستانی جبر نمی خوانند.نتیجه ی این امر را در مثال زیر روشن کرده ایم:
در آزمونی برای دانش آموزان چهارده ساله ی آمریکایی از آنها خواسته شده بود که برآورد کنند (نه اینکه حساب کنند بلکه برآورد کنند) که اگر 80 درصد از عدد 120 رابرداریم این عدد چه تغییری می کند.سه نوع پاسخ را می توانستند انتخاب کنند: زیاد میشود،تغییری نمیکند،کمتر میشود.تقریبآ 30 درصد دانش آموزان سوال شونده پاسخ درست را برگزیده بودند.یعنی اینکه پاسخها را تصادفی انتخاب کرده بودند.نتیجه: هیچ کس هیچ چیز نمی داند.دومین ویژگی شاخص روش آموزش ریاضی آمریکایی،کامپیوتری کردن آن است.
جذابییت کار با کامپیوتر به خودی خود به گسترش تواناییهای فکری کمکی نمی کند.مثالی دیگر از یکی از آزمونهای آمریکا میاوریم:
کلاسی 26 دانش آموز دارد.این دانش آموزان می خواهند با اتومبیل به مسافرت بروند.در هر اتومبیل یک نفر از اولیا و چهار دانش آموزجا می شوند.چند نفر از اولیا را میتوانیم دعوت کنیم؟
جوابی که همه داده بودند 65 نفر بود جواب کامپیوتر :


است،ودانش آموزان می دانستند که اگر جواب باید عددی صحیح باشد،می توان بلایی سر ممیز آورد_مثلآ می توان اصلآ آن را برداشت.
نمونه ی دیگری از یکی از آزمونهای رسمی دانش آموزی در سال 1992 می آوریم:
رابطه ی کدام زوج شباهت بیشتری به رابطه ی میان زاویه و درجه دارد:
الف) زمان وساعت
ب) شیر وکوارت ((واحد اندازه گیری مایعات برابر با 44/1 لیتر))
ج) مساحت و اینچ مربع
پاسخ،مساحت و اینچ مربع است،زیرا درجه ی کوچکترین واحد اندازه گیری زاویه و اینچ مربع کوچکترین واحد اندازه گیری مساحت است،اما ساعت را می توان به دقیقه هم تقسیم کرد.
طراح این مسئله مسلمآ مطابق نظام امریکایی می اندیشیده است.می ترسم که طولی نکشد که ما هم به چنین سطح نازلی برسیم.( جو برمن،استاد ریاضی در نیویورک توضیح داده که( از نظر او که آمریکایی است) ،پاسخ درست این مسئله کاملآ روشن است.او گفت که ((اصل مطلب این است که من می توانم میزان حماقت طراح این مسئله را دقیقآ تصور کنم.))_) مایه ی شگفتی است که تعداد زیادی ریاضیدان و فیزیکدان برجسته در ایالات متحده وجود دارد.
امروزه آموزش ریاضیات ما آرام آرام از نظام اروپایی به نظام آمریکایی تبدیل می شود.مطابق معمول ،باز هم عقبیم،حدود سی سال از اروپا عقبتریم و بنابراین سی سال بعد زمان آن فرا میرسد که اوضاع را سروسامان بدهیم و از چاهی که با ظناب نظام آموزشی آمریکایی به آن رفته ایم بیرون بیاییم.
سطح آموزش ریاضی سنتی ما بسیار بالا و بر اساس آموزش مسئله های حساب بوده است.حتی تا همین بیست سال پیش هم خانواده هایی بودند که نسخه هایی از کتابهای قدیمی مربوط به مسئله های ((سود و زیان)) را داشتند.در حال حاضر، همه ی اینها از بین رفته است.در آخرین اصلاحات آموزش ریاضی،جبری سازی، دانش آموزان را به روبات تبدیل کرده است.
مساله های حساب است که ((بی محتوایی)) ریاضیاتی را که تدریس می کنیم نشان می دهند مثلآ این مسئله را در نظر بگیرید:
1.سه تا سیب داریم.یکی را برمی داریم.چند تا باقی مانده است؟
2.چند برش با اره لازم است تا تکه ای هیزم را به سه بخش تقسیم کنیم؟
3.تعداد خواهران بوریس از تعداد برادرانش بیشتر است.در خانواده ی او تعداد دختران چند تا بیشتر از تعداد پسران است؟
از منظر حساب اینها مساله های متفاوتی هستند،زیرا محتوایشان فرق می کند.همچنین،تلاش فکری لازم برای حل کردن مسئله ها هم کاملآ متفاوت است،هر چند که الگوی جبری هر یک از آنها یکی است: 2=1-3 جالب توجه ترین نکته در ریاضیات،فراگیر بودن شگفت آور الگوها و کارایی نامحدود انها در مساله های علمی است.
به قول ولادیمیر مایاکوفسکی،شاعر بزرگ روس: ((کسی که اولین بار دو بعلاوه ی دو می شود چهار را، مطرح کرده است حتی اگر با جمع کردن دو تا ته سیگار با دو تا ته سیگار دیگر به این حقیقت رسیده باشد،ریاضیدان بزرگی بوده است.هر کس پس از او به این نتیجه رسیده باشد،حتی اگر چیزهای بسیار بزرگتری،مثل لوکوموتیوها را با هم جمع کرده باشد،ریاضیدان نیست)) لوکوموتیو شماری،روش آمریکایی آموزش ریاضیات است.چنین چیزی مصیبت بار است.طرز پیشرفت فیزیک در ابتدای سال اخیر نمونه ای است که نشان می دهد ریاضیات لوکوموتیوی به مراتب از ریاضیات ته سیگاری به درد نخورتر است:ریاضیات کاربردی نتوانسته همگام با فیزیک پیشترفت کند،در حالی که ریاضیات نظری هر آنچه را که فیزیکدانان برای بسط بیشتر دانش خودشان نیاز داشته اند برایشان فراهم کرده است.ریاضیات لوکوموتیوی از روال معمول عقب می ماند: تا حساب کردن با چرتکه را آموزش بدهیم،سر و کله ی کامپیوترها پیدا می شود .باید شیوه ی فکر کردن را آموزش بدهیم،نه طرز فشار دادن دکمه ها را.



پیروز باشید

behroozifar_s
13-11-2007, 15:51
مطلب زیر قسمتی از یک مقاله تحت عنوان " چرا پدران و مادران نمی توانند مساله حل کنند ؟؟؟ " می باشد . به امید مفید بودن آن .

در سالهای اخیر ، گفت و گوهای زیادی درباره روش جدید آموزش ریاضیات پیش آمده است . هر کسی نظر خود را در این باره ابراز داشته است که چرا " جان " نمی تواند از عهده محاسبه بر آید . اشکال را باید در این جست و جو کرد که پدران و مادران از عهده کمک به درسهای بچه هایشان بر نمی آیند .

در روزهای خوش گذشته ، وقتی که هنوز خبری از " ریاضیات جدید " نبود ، بچه ها تکلیف هایشان را در منزل انجام می دادند ، اشتباه های آنها تصحیح می شد و تنبیه یا تشویق می شدند . . ولی حالا طوی شده که دانش آموز و نه پدر و مادر ، حتی گمان نمی کنند که از عهده حل آنها بر آیند .


به این تر تیب ، مشکل اصلی تعلیم و تربیت ریاضی را مطرح کرده است : مشکل اصلی فقط این نیست که پدران و مادران نمی دانند : یعنی مطابق با پیشرفت علم پیش نرفته اند ، بلکه مشکل این نیز هست که بچه ها نمی دانند . به عبارت بهتر : " چون مسئله یاد دادن حل نشده ، مساله یاد گرفتن هم لاینحل مانده است . "


پیروز باشید

SuB
16-11-2007, 16:45
مطلب زیر قسمتی از یک مقاله تحت عنوان " چرا پدران و مادران نمی توانند مساله حل کنند ؟؟؟ " می باشد . به امید مفید بودن آن .

در سالهای اخیر ، گفت و گوهای زیادی درباره روش جدید آموزش ریاضیات پیش آمده است . هر کسی نظر خود را در این باره ابراز داشته است که چرا " جان " نمی تواند از عهده محاسبه بر آید . اشکال را باید در این جست و جو کرد که پدران و مادران از عهده کمک به درسهای بچه هایشان بر نمی آیند .

در روزهای خوش گذشته ، وقتی که هنوز خبری از " ریاضیات جدید " نبود ، بچه ها تکلیف هایشان را در منزل انجام می دادند ، اشتباه های آنها تصحیح می شد و تنبیه یا تشویق می شدند . . ولی حالا طوی شده که دانش آموز و نه پدر و مادر ، حتی گمان نمی کنند که از عهده حل آنها بر آیند .


به این تر تیب ، مشکل اصلی تعلیم و تربیت ریاضی را مطرح کرده است : مشکل اصلی فقط این نیست که پدران و مادران نمی دانند : یعنی مطابق با پیشرفت علم پیش نرفته اند ، بلکه مشکل این نیز هست که بچه ها نمی دانند . به عبارت بهتر : " چون مسئله یاد دادن حل نشده ، مساله یاد گرفتن هم لاینحل مانده است . "


پیروز باشید
1- خیلی وقتها دبیران همون درس از عهده حل مسائل اون درس برنمی‌آیند.
برای نمونه پارسال ما یه دبیر هندسه داشتیم که فقط روخونی کتاب رو بلد بود و اثبات‌ها رو حفظ کرده بود. امسال گذاشتندش که جبر و احتمال درس بده!

یا برای نمونه دبیر پیشدانشگاهی خودمون که هم گسسته درس میده و هم دیفرانسیل و هم هندسی تحلیلی. وقتی یه دبیر رو برای چند درس غیر تخصصی اون استفاده کنند، دانش‌آموز دیگه درس رو به اون خوبی که باید، یاد نمی‌گیره. این دانش‌آموزان امروزی، پدران و مادران فردا هستند که در آینده نخواهد توانست کمک به فرزندانشان بکنند.

2- مباحث موجود در کتاب‌های ابتدایی و راهنمایی، معمولاً مطالبی هستند که تمام افراد آنها را خوب می‌فهمند (اگه نفهمند، باید یه فکر اساسی به حال خودشون بکنند!:27:) ولی درسهای دبیرستان، مطالبی نیستند که هر کسی آنها را بلد باشد و بفهمد چون مطالب تخصصی هستند (البته نه مثل دانشگاه) و نیاز به شخص مخصوص به این کار را دارند.
:11:

behroozifar_s
18-11-2007, 13:22
نظریه‌های هوش- چقدر با انواع هوش‌های انسانی آشنایی د ارید؟
با وجودی که «هوش» یکی از آن موضوعاتی است که در حوزه روان‌شناسی، بسیار مورد بحث قرار گرفته است امّا تعریف استانداردی از این که چه چیزی دقیقاً تشکیل دهنده «هوش» است وجود ندارد. برخی پژوهشگران هوش را یک قابلیت منفرد و عمومی می‌دانند در حالی که برخی دیگر اعقتاد دارند که هوش دربرگیرنده دامنه‌ای از مهارت‌ها و استعدادهاست.

آنچه در زیر می‌آید، برخی از نظریه‌های عمده درباره هوش است که ظرف 100 سال اخیر ارائه گشته‌اند:

چارلز اسپیرمن – هوش عمومی
چارلز اسپیرمن (1945-1863)، روان‌شناسی انگلیسی، به تشریح مفهومی پرداخته است که آن را هوش عمومی یا «عامل g » نامیده است. او پس از استفاده از روشی به نام «تحلیل عوامل» برای بررسی تعدادی از آزمون‌های استعداد روانی، متوجه شد که امتیاز این آزمون‌ها به نحو قابل ملاحظه‌ای به یکدیگر شبیه هستند. کسانی که نتایج خوبی در یک آزمون شناختی کسب کرده بودند، در سایر آزمون‌ها نیز نتایج خوبی به دست آورده بودند و برعکس. اسپیرمن نتیجه‌گیری کرد که هوش یک قابلیتِ شناختی عمومی است که قابل ارزیابی و کمّی‌شدن می‌باشد. (اسپیرمن، 1904)

لوئیس تورستون – قابلیت‌های اولیه ذهن
لوئیس تورستون (1955-1887)، روان‌شناس، نظریه متفاوتی را درباره هوش ارائه کرده است. نظریه او به جای در نظر گرفتن هوش به عنوان یک قابلیت منفرد و عمومی، بر 7 قابلیت اولیه ذهنی تمرکز دارد (تورستون 1938). قابلیت‌هایی که او تشریح کرده عبارتند از:

* درک کلامی
* استدلال
* سرعت ادراک
* توانایی عددی
* سیالی واژگانی (بیان سلیس)
* حافظه تداعی
* تجسّم فضایی

هاوارد گاردنر – هوش چندگانه
یکی از جدیدترین ایده‌ها، نظریه هوش چندگانه هاوارد گاردنر است. گاردنر به جای تمرکز بر تحلیل امتیاز آزمون‌ها، عقیده دارد که مقدار عددی هوش انسان، بیانگر دقیق و کامل توانائی‌های او نیست. نظریه او 8 هوش مختلف را بر پایه مهارت‌ها و توانائی‌هایی که در فرهنگ‌های مختلف ارزش گذاری شده‌اند، توصیف می‌کند.
این 8 هوش عبارتند از:

* هوش تصویری – فضایی
* هوش کلامی - زبانی
* هوش اندامی – جنبشی
* هوش منطقی – ریاضی
* هوش میان فردی
* هوش موسیقیائی
* هوش درون فردی
* هوش طبیعی

رابرت استرن برگ- نظریه سه وجهی هوش
رابرت استرن برگ، روان‌شناس، هوش را بدین صورت تعریف می‌کند: «فعالیت ذهنی، در جهت انطباق هدفمند با محیط واقعی مربوط به زندگی شخص یا انتخاب و شکل دهی آن» (استرن برگ، 1985). با وجودی که او با گاردنر موافق است که هوش، بسیار فراتر از یک قابلیت منفرد و عمومی است، امّا عقیده دارد که برخی از انواع هوش‌های گاردنر، بهتراست به عنوان استعدادهای فردی در نظر گرفته شوند. آنچه استرن برگ «هوش موفق» نامیده از سه عامل متفاوت تشکیل شده است:

* هوش تحلیلی: این مؤلفه به قابلیت‌های حل مسأله اشاره می‌کند.
* هوش مولّد: این جنبه از هوش شامل قابلیت برخورد با شرایط جدید با استفاده از تجربیات گذشته و مهارت‌های فعلی است.
* هوش عملی: این عنصر به قابلیت انطباق و وفق‌پذیری با یک محیط در حال تغییر اشاره می‌کند.

با وجودی که بحث‌های زیادی بر سر طبیعت واقعی و دقیق هوش وجود دارد، هنوز هیچ تصوّر قطعی حاصل نگشته است. امروزه روان‌شناسان به هنگام بحث درباره هوش، غالباً دیدگاه‌های نظری مختلف را در نظر می‌گیرند و تصدیق می‌کنند که این بحث همچنان ادامه دارد.

منبع: سایت کلینیک روانیار ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])

کمی توضیح: احتمالاً شما نیز زمانی که دانش آموز بودید آزمون هوشی را گذرانده‌اید که در آن تعدادی سوال هوش که شامل اشکال و تصاویر است وجود داشت. اکثر این قبیل آزمون‌های هوش که از افراد به عمل می‌آید یک یا چند هوش محدود فرد را ارزیابی می‌کنند. اغلب افراد نابغه را به علّت داشتن هوش منطقی- ریاضی بالا به عنوان نابغه می‌شناسند. این در حالی است که همان‌طور که گاردنر بیان داشته در حدود ۸ نوع هوش برای انسان تصور شده است. تمامی انسان‌های سالم از هر یک از این ۸ نوع هوش مقداری را بهره برده‌اند امّا در برخی یک یا چند نوع از این هوش‌ها بسیار قوی‌تر است. مثلاً حافظ هوش بالای منطقی- ریاضی نداشته است امّا هوش کلامی- زبانی بسیار بالایی داشته است. موسیقیدان معاصر یونانی، یانی، نیز از هوش موسیقیایی بالایی برخوردار است به طوری که بدون آموزش دیدن توانسته است آهنگ‌های بسیار زیبایی بسازد و اجرا کند و یا بازیگر فیلم‌های رزمی، جکی چان از هوش اندامی- جنبشی بالایی برخوردار است.
با توجّه به این مطالب می‌بینیم که متاسفانه در جامعه بشری بیشتر افرادی را که توانایی منطقی- ریاضی بالایی دارند به عنوان نابغه می‌شناسند و به دیگر جنبه‌های توانایی فرد توجّه لازم را ندارند.


منبع : سایت فیزیک دانشگاه شریف


پیروز باشید

h_duel
18-11-2007, 23:14
حالا چجوری میشه فهمید چقدر از کدوم هوش داریم ؟

behroozifar_s
20-11-2007, 10:10
حالا چجوری میشه فهمید چقدر از کدوم هوش داریم ؟



فکر کنم هر کس به دورن خودش مراجعه کنه ، با بهترین قضاوت توسط وجدان مواجه می شه . می تونید نظر نزدیکانتون رو هم بپرسید که روی شما شناخت علمی و درستی دارن . البته نه شناخت احساسی .


یروز باشید

Boye_Gan2m
25-11-2007, 21:21
سه قرن اول ریاضیات یونانی که با تلاشهای اولیه در هندسه برهانی بوسیله تالس در حدود ۶۰۰ سال قبل از میلاد شروع شده و با کتاب برجسته اصول اقلیدس در حدود ۳۰۰ سال قبل از میلاد به اوج رسید، دوره‌ای از دستاوردهای خارق العاده را تشکیل می‌دهد.
در حدود ۱۲۰۰ سال قبل از میلاد بود که قبایل بدوی “دوریایی” با ترک دژهای کوهستانی شمال برای دستیابی به قلمروهای مساعدتر در امتداد جنوب راهی شبه جزیره یونان شدند و متعاقب آن قبیله بزرگ آنها یعنی اسپارت را بنا کردند. بخش مهمی از سکنه قبلی برای حفظ جان خود ، به آسیای صغیر و زایر یونانی و جزایر یونانی دریای اژه گریختند و بعدها در آنجا مهاجرنشنهای تجاری یونانی را برپا کردند. در این مهاجرنشینها بود که در قرن ششم (ق.م) اساس مکتب یونانی نهاده شد و فلسفه یونانی شکوفا شد و هندسه برهانی تولد یافت. در این ضمن ایران بدل به امپراطوری بزگ نظامی شده بود و به پیروزی از یک برنامه توسعه طلبانه در سال ۵۴۶ (ق.م) شهر یونیا و مهاجرنشینهای یونانی آسیای صغیر را تسخیر نمود. در نتیجه عده‌ای از فیلسوفان یونانی مانند فیثاغورث موطن خود را ترک و به مهاجرنشینهای در حال رونق جنوب ایتالیا کوچ کردند. مدارس فلسفه و ریاضیات در “کروتونا” زیر نظر فیثاغورث در “الیا” زیر نظر کسنوفانس ، زنون و پارمیندس پدید آمدند.

در حدود۴۸۰ سال قبل از میلاد آرامش پنجاه ساله برای آتنیها پیش آمد که دوره درخشانی برای آنان بود و ریاضیدانان زیادی به آتن جذب شدند. در سال ۴۳۱ (ق.م) با آغاز جنگ “پلوپونزی” بین آتنیهای و آسپارتها ، صلح به پایان رسید و با شکست آتنیها دوباره رکورد حاصل شد.
ظهور افلاطون و نقش وی در تولید دانش ریاضی
اگرچه با پایان جنگ پلوپرنزی مبادله قدرت سیاسی کم اهمیت تر شد، اما رهبری فرهنگی خود را دوباره بدست آورد. افلاطون در آتن یا حوالی آن و در سال ۴۲۷ (ق.م) که در همان سال نیز طاعون بزرگی شیوع یافت و یک چهارم جمعیت آتن را هلاک رد و موجب شکست آنها شد، به دنیا آمد، وی فلسفه را در آنجا زیر نظر سقراط خواند و سپس در پی کسب حکم عازم سیر و سفرهای طولانی شد. وی بدین ترتیب ریاضیات را زیر نظر تیودوروس در ساحل آفریقا تحصیل کرد. در بازگشت به آتن در حدود سال ۳۸۷ (ق.م) آکادمی معروف خود را تاسیس کرد.
تقریبا تمام کارهای مهم ریاضی قرن چهارم (ق.م) بوسیله دوستان یا شاگردان افلاطون انجام شده بود. آکادمی افلاطون به عنوان حلقه ارتباط ریاضیات فیثاغورثیان اولیه و ریاضیات اسکندریه در آمد. تاثیر افلاطون بر ریاضیات ، معلول هیچ یک از کشفیات ریاضی وی نبود، بلکه به خاطر این اعتقاد شورانگیز وی بود که مطالعه ریاضیات عالیترین زمینه را برای تعلیم ذهن فراهم می‌آورد و از اینرو در پرورش فیلسوفان و کسانی که می‌بایست دولت آرمانی را اداره کنند، نقش اساسی داشت. این اعتقاد ، شعار معروف او را بر سر در آکادمی وی توجیه می‌کند: “کسی که هندسه نمی‌داند، داخل نشود.” بنابراین به دلیل رکن منطقی و نحوه برخورد ذهنی نابی که تصور می‌کرد مطالعه ریاضیات در شخص ایجاد می‌کند، ریاضیات به نظر افلاطون از بیشترین اهمیت برخوردار بود، و به همین جهت بود که جای پر ارزش را در برنامه درس آکادمی اشغال می‌کرد. در بیان افلاطون اولین توضیحات درباره فلسفه ریاضی موجود هست.

bb
11-12-2007, 19:00
قبل از تاریخ

انسان اولیه نسبت به اعداد بیگانه بود و شمارش اشیاء اطراف خود را به حسب غریزه یعنی همانطور که مثلاً مرغ خانگی تعداد جوجه‌هایش را می‌داند انجام می‌داد. اما بزودی مجبور شد وسیلة شمارش دقیقتری بوجود آورد. لذا، به کمک انگشتان دست دستگاه شماری پدید آورد که مبنای آن 60 بود. این دستگاه شمار که بسیار پیچیده می‌باشد قدیمی‌ترین دستگاه شماری است که آثاری از آن در کهن‌ترین مدارک موجود یعنی نوشته‌های سومری مشاهده می‌شود.

سومریها که تمدنشان مربوط به حدود هزار سال قبل از میلاد مسیح است در جنوب بین‌النهرین، یعنی ناحیه بین دو رود دجله و فرات ساکن بودند. آنها در حدود 2500 سال قبل از میلاد با امپراطوری سامی، عکاد متحد شدند و امپراطوری و تمدن آشوری را پدید آوردند.

در این موقع مصریها نیز در سواحل سفلای رود نیل تمدنی درخشان پدید آورده بودند. طغیان رود نیل هر سال حدود و ثغور زمینهای زراعتی این قوم را محو می‌کرد. احتیاج به تقسیم مجدد این اراضی موجب رهبری آنها به اولین احکام سادة هندسی گردید. همچنین مبادلات تجارتی و تعیین مقدار باج و خراج سالیانه آنها را وادار به توسعه علم حساب نمود این اطلاعات همگی از روی پاپیروسها و الواحی است که در نتیجه حفاریها بدست آمده و به خط هیروگلیفی می‌باشد. قدیمی‌ترین آنها که مربوط به 1800 سال قبل از میلاد است شامل چند رساله دربارة علم حساب و مسائل حساب مقدماتی می‌باشد، از آن جمله رسالة پاپیروس آهس است که درسال 1868 توسط ایسنلر مصرشناس مشهور ترجمه شد. سایر تمدنهای شرقی نظیر چینی و هندی در ترویج دانش نقش مؤثری نداشته‌اند و جز برخی نتایج پراکنده که در زیر فشار مفاهیم ماوراءالطبیعه خرد شده است چیزی از آنان در دست نیست.

قریب هزار سال پس از نابودی فرهنگ قدیم مصر و محو تمدن آَشور، یونانیان از روی مقدمات پراکنده و بی‌شکل آنها علمی پدید آوردند که در واقع به عالیترین وجه مرتب و منظم گردیده و عقل و منطق را کاملاً اقناع می‌نمود.

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنیدوشروع فعالیت دانشمندان معروف

نخستین دانشمند معروف یونانی طالس ملطلی (639_548ق.م) است که در پیدایش علوم نقش مهمی بعهده داشته و می‌توان ویرا موجد علوم فیزیک ، نجوم و هندسه «تشابه» به او کاملاً بی‌اساس است.

در اوایل قرن ششم ق.م. فیثاغورث (572_500 قبل از میلاد) از اهالی ساموس یونان کم‌کم ریاضیات را بر پایه و اساسی قرار داد و به ایجاد مکتب فلسفی خویش همت گماشت. فیثاغورثیان عدد را بخاطر هم‌آهنگی و نظمی که دارد اساس ومبدأ همه چیز می‌پنداشتند و بر این عقیده بودند که تمام مفاهیم را به کمک آن می‌توان بیان نمودپس از فیثاغورث باید از زنون فیلسوف و ریاضیدان یونانی که در 490ق.م در ایلیا متولد شده است نام ببریم.

در اوایل نیمه دوم قرن پنجم بقراط از اهالی کیوس فضاهایی متفرق آن زمان را گردآوری کرد و در حقیقت همین قضایا است که مبانی هندسة جدید ما را تشکیل می‌دهند.در قرن چهارم قبل از میلاد افلاطون در باغ آکادموس در آتن مکتبی ایجاد کرد که نه قرن بعداز او نیز همچنان برپا ماند. وی ریاضیات مخصوصاً هندسه را بسیار عزیز می‌داشت، تا جائی که بر سردر مکتب خود این جمله را حک کرده بود: «هرکس هندسه نمی‌داند به اینجا قدم نگذارد». این فیلسوف بزرگ به تکمیل منطق که رکن اساسی ریاضیات است همت گماشت و چندی بعد منجم و ریاضیدان معاصر وی ادوکس با ایجاد تئوری نسبت‌ها نشان داد که کمیات اندازه نگرفتنی که تا آن

زمان در مسیر علوم ریاضی گودالی حفر کرده بود هیچ چیز غیر عادی ندارد و می‌توان مانند سایر اعداد قواعد حساب را در مورد آنها بکار برد.

در این احوال اسکندر کشورها را یکی پس از دیگری فتح می‌کرد و هرجا را که بر روی آن انگشت می‌نهاد مرکزی از برای پیشرفت تمدن یونانی می‌شد.

پس از مرگ این فاتح مقتدر در 323ق.م و تقسیم امپراطوری عظیم او، مصر بدست بطلیموس افتاد و امپراطوری بطالسه را تشکیل داد. بطالسه که اسکندریه را به پایتختی برگزیده بودند تمام دانشمندان را بدانجا پذیرفتند و همین دانشمندان در صدد ایجادکتابخانة بزرگی در این شهر ساحلی برآمدند و به توسعه و تکمیل آن همت گماشتند





دوران طلایی و شکوفایی ریاضی

اکنون به زمانی رسیده‌ایم که بایستی آنرا عصر طلائی ریاضیات یونان نامید. اهمیت فوق‌العاده این دوره به سبب ظهور سه عالم بزرگ ریاضی یعنی اقلیدس ، ارشمیدس و آپولونیوس است که هم در دوران خود و هم برای قرون بعد از خویش شهرتی عالمگیر کسب نمودند.

درقرن دوم ق.م نام تنها ریاضیدانی که بیش از همه تجلی داشت ابرخس یا هیپارک بود. این ریاضیدان و منجم بزرگ که بین سالهای 161تا 126ق.م در رودس متولد شد گامهای بلند و استادانه‌ای در علم نجوم برداشت و مثلثات را نیز اختراع کرد.هیپارک نخستین کسی بود که تقسیم‌بندی معمولی بابلی‌ها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به 360 درجه و درجه را به 60 دقیقه و دقیقه را نیز به 60 قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی تابع شعاع دایره بدست آورد که وترهای بعضی از قوسها را می‌داد و این قدیمی‌ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.

در سال 47ق.م که ژول سزار نیروی دریایی مصررا آتش زد، در کتابخانه بزرگ اسکندریه نیز حریقی ایجاد شد که قسمت اعظم آنرا نابود ساخت. بالاخره در سال 30ق.م به هنگام امپراطوری ملکه کلئوپاترا کشور مصریکی از ایالات امپراطوری روم شد.

در این دوره کوتاه از کشفیات جدید خبری نبود و دانشمندان متوسطی نظیر بطلیموس، منلائوس و باپوس نیز که ظهور کردند تنها به تعلیم و انتشار آثار قدما اکتفا نمودند.بطلیموس که به احتمال قوی با امپراطوران بطالسه هیچگونه ارتباطی ندارددر تعقیب افکار هیپارک کوشش بسیار کرد.

کتاب مشهور او به نام اصلی«ترکیب ریاضی» شامل یک دستگاه هیأت بیان حرکت دورانی اجسام سماوی و یکدورة کامل مثلثاتکروی و مستقیم‌الخط و توضیح و محاسبة نمودهای حرکت بومی است. این کتاب را درسال 827 از یونانی به عربی ترجمه کردند ونام آنرا مجسطی یعنی «بسیار بزرگ» نهادند و از آن پس به همین نام باقی ماند.







منلائوس که در اواخر قرن اول میلادی در اسکندریه می‌زیست به امر امپراطور دومی سین کتابی تألیف کرد که قضیه معروف منلائوس دربارة چهارضلعی محاطی در آن ذکر شده است.

پاپوس که دورة زندگانیش در حدود 350 میلادی بوده است دارای کتابی است به نام «مجموعة ریاضیات». هدف وی از تدوین این کتاب آن بوده است که به اختصار نتایجی را که از بدو پیدایش علم هندسه تا آن زمان حاصل شده بود برای خود بیان نماید. با این حال در موارد بسیار احکام جدید و جالبی که از اکتشافات خودش می‌بود و بر آن افزود. مسألة معروف پاپوس که در همه کتابهای هندسة ما وجود دارد و قضیه بسیار مهم تعیین مرکز نقل سطوح و احجام که برخلاف واقع آنرا به گولدن نسبت داده‌اند.

در این احوال هندوستان به منزلة یک مرکز جدید روشنفکری توسعه می‌یافت و چنین به نظر می‌رسید که علم بدانجا فرار کرده و یا به عبارت بهتر فقط آنجا را مقام خود ساخته است. زیرا سابق براین در زمان یونانی‌ها نیز در آنجا وجود داشته است. علوم هندی بیش از علوم تمام ممالک دیگر که تاکنون از ایشان سخن گفتیم در خدمت مذهب بود وشامل بعضی مقدمات علم طب یعنی همانقدر که برای ساختن مشروبات مقدس کفایت می‌کردو مختصری از علوم نجومیعنی درست همان اندازه که برای تشکیل تقاویم مذهبی مورد نیاز است و اندکی هندسه، مرکب از بعضی طرق عملی که برای ساختن مسجد و محراب لازم است بیش نبود.

در نخستین قرون تاریخ چهار ریاضی‌دان مشهور در این کشور وجود داشت که عبارت بودند از:

آپاستامبا(قرن پنجم)، آریاب هاتا (قرن ششم)، براهماگوپتا (قرن هفتم) و بهاسکارا (قرن نهم) که در کتب ایشان بخصوص قواعد تناسب ساده و ربح مرکب مشاهده می‌شود. محاسبات در این کتابها جنبه شاعرانه داشت و حتی نام علم حسابرا (لیلاواتی) گذارده بودندکه معنی دلبری و افسونگری دارد. با شروع قرن دهم پیشرفت کشفیات ریاضی در هندوستاننیز متوقف گردید و مشعل فروزان علم بدست اعراب افتاد.

در سال 622م که حضرت محمدصلی الله علیه و آله وسلم از مکه هجرت فرمود در واقع آغاز شگفتی تمدن اسلام بود. اعراب که جنبش شدید خود را از سدة هفتم آغاز کرده بودند پس از رحلت پیغمبر اسلام در 632 به توسعه سرزمینهای خود پرداختند و بزودی تمام ممالک آفریقائی ساحل مدیترانه را متصرف شدند.

و این توسعه‌طلبی ایشان را در اروپاتا اسپانیاو در آسیاتا هندوستانکشانید و در نتیجه تماس با کشورهای مغلوب که مردم آنها غالباً دارای تمدن عالی بودند ذوق شدیدی به آموختن در ایشان بوجود آمد. لذا با سهولت و چالاکی فرهنگ ممالک دست نشانده را پذیرفتند.

در زمان مامون خلیفه عباسی تمدن اسلام بحد اعتلای خود رسید بطوری که از اواسط قرن هشتم تا اواخر قرن یازدهم زبان عربی علمی بین‌المللی گردید.

از ریاضی‌دانان بزرگ اسلامی یکی خوارزمی می‌باشد که در سال 820 به هنگام خلافت مأمون در بغدادکتاب مشهورالجبر و المقابله را نگاشت.وی در این کتاب بدون آنکه از حروف و علامات استفاده کند، حل معادلة درجه اول را بدو طریقی که ما امروزه جمع جبری جمل و نقل آنها از یکطرف بطرف دیگر می‌نامیم، انجام داده است دیگر ابوالوفا (998_ 938) است که جداول مثلثاتی ذیقیمتی پدید آورده و بالاخره محمدبن هیثم(1039_ 965) معروف به الحسن را باید نام بردکه صاحب تألیفات بسیاری در ریاضیات و نجوم است.قرون وسطی از قرن پنجم تا قرن دوازدهم یکی از دردناکترین ادوار تاریخی اروپاست. عامة مردم در منتهای فلاکت و بدبختی بسر می‌بردند. جنگهای متوالی و قتل و غارت و از طرف دیگر نفوذ کلیسا آنچنان فکر مردم را به خود مشغول داشته بود که هیچ کس فرصت آنرا نمی‌یافت که در فکر علم باشد، آری مدت هفت قرن تمام اروپا محکوم به این بود که بار گران جهل و نادانی را بر دوش کشد. در اواخر قرن دهم ژربر فرانسوی کوشید تا به کمک مطالبی که در چند مدرسه از کلیساهای بزرگ اروپا آموخته بود پیشرفت جدیدی به علوم مقدماتی بدهد. وی دستگاه مخصوص را که برای محاسبه بکار می‌رفت اصلاح کرد. این دستگاه همان چرتکه بود.برجسته‌ترین نامهائی که در این دوره ملاحظه می‌نمائیم، در مرحله اول لئوناردیوناکسی (1220_1170) ریاضی‌دان ایتالیائی است. وی که مدتهادر مشرق زمین اقامت کرده بود، آثار برخی از دانشمندان اسلامی را از آنجا به ارمغان آورد. همچنین برای اولین بار علم جبررا در هندسهمورد استفاده قرار داد. دیگر نیکلاارسم فرانسوی می‌باشد که باید او را پیشقدم هندسه تحلیلیدانست. وی اولین کسی است که نه تنها مجذور و مکعب و توانهای چهارم و پنجم اعدادرا در نظر گرفت بلکه اعدادرا بقوای کسری از قبیل یک دوم و دو سوم و یک هفتم و غیره نیز رسانید و به عبارت دیگر وانهای کسری اعدادرا بدست آورد.

در قرن پانزدهم ترقی فنی، پیشرفت علوم نظری را تحت‌الشعاع خود را قرار داد. اختراع چاپ در سال 1440 بوسیله گوتنبرگ سبب آن شد که تعداد کتاب در جهان با سرعتی صاعقه‌آسا رو به افزایش نهد و زمینه برای مطالعة منابع علمی گذشته که کم و بیش فراموش شده بود مهیا گردد.

در قرون پانزدهم و شانزدهم دانشمندان ایتالیائی و شاگردان آلمانی آنها در حساب عددی جبر و مکانیک ترقیات شایان نمودند. تارتاگلیا و کاردان در ایتالیا سنن ریاضی‌دانان عهد عتیق را از سر گرفتند.

رژیمن تانسوس آلمانی که از جمله بزرگترین منجمان این دوره است کتاب قدیمی‌ترین کتاب جالبی دربارة مثلثات نگاشت. این کتاب قدیمی‌ترین کتاب کامل مثلثات است که در مغرب‌زمین انتشار یافت. همچنین ژان‌ورتر از اهالی نورنبرگ آلمان که به هندسه قدما به خوبی مسلط بود راه‌حل عالمانه و بدیعی از یکی از مسائل ارشمیدس که موضوع آن تقسیم کره به کمک صفحه به نسبت معلومی بود بدست داد. وی در تمام قسمتهای ریاضی بخصوص مثلثات تألیفات بسیار دارد..

ریاضی‌دانان فرانسوی در اوایل قرن شانزدهم عموماً مادون ایتالیائی‌ها بودند. مشهورترین آنها یکی اورنس فین است که در هندسه بویژه در موردتربیع دایره اکتشافات تازه‌ای کرد. دیگر پی‌یرلارامه موسوم به راموس است که بیشتر از لحاظ آثار فلسفی خود شهرت یافت. با وجود این به ریاضیات نیز علاقه فراوان نشان داد تا جائی که کتابی در ستایش ریاضیات و کتاب دیگری در مقدمات حسابو هندسهتألیف کرد. بالاخره کاندال را باید نام ببریم که در مطالعات مخصوص به چند وجهی‌ها تخصص یافت.

در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه شخصی بنام فرانسواویت (1603_1540م) به پیشرفت علوم ریاضی خدمات ارزنده‌ای نمود. وی یکی از واضعین بزرگ علم جبر و مقابلة جدید و در عین حال هندسه ‌دان قابلی بود. مثلثات جدید فقط متکی‌بر زحمات اوست. هر چند بسیاری از قدما و دانشمندان جدید باری پایه‌گذاری اساس آن زحماتی کشیده‌اند، اما ترقی آن کاملاً مرهون وی است. او اولین کسی است که مثلث کروی را با معلوم بودن سه ضلع آن حل کرد و در عین حال نخستین ریاضی‌دانی است که برای حل مسأله ترسیم دایره مماس بر سه دایرة دیگر راه‌حل هندسی بدست داد و ریشه‌های معادلة درجه چهارم را ساخت.

sanatoramir
14-12-2007, 09:53
جا نشد یکیشم تو پرشین گیگ آپلود کردم
موفق باشید :happy:


برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید


اگر کسی درباره کاربرد ریاضایت در حسابداری یا مدیریت؟؟؟؟؟:40:

pp8khat
30-03-2008, 17:09
سلام.
«جلوه ای دیگر از علم ریاضیات در طبیعت»
موضوع:
آشنایی با نسبت طلایی،عدد طلایی(عدد فی)،دنباله فیبوناتچی،حد دنباله فیبوناتچی،کاربرد نسبت طلایی وعدد طلایی و روش محاسبه ی آن

رشته اعداد فیبوناتچی:
لئوناردو فيبوناچي ايتاليايي حدود سال 1200 ميلادي مساله اي طرح كرد : فرض كنيد كه يك جفت خرگوش نر و ماده در پايان هر ماه يك جفت خرگوش نر و ماده جديد بدنيا بياورند ... اگر هيچ خرگوشي از بين نرود , در پايان يك سال چند جفت خرگوش وجود دارد؟؟؟

معمای زاد و ولد خرگوش!

در واقع فیبوناچی در سال 1202 به مسئله عجیبی علاقمند شد. او می خواست بداند اگر یک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاری برای زاد و ولد آنها تعریف کند در نهایت نتیجه چگونه خواهد شد. فرضیات اینگونه بود :

- شما یک جفت خرگوش نر و ماده دارید که همین الآن بدنیا آمده اند.
- خرگوشها پس از یک ماه بالغ می شوند.
- دوران بارداری خرگوشها یک ماه است.
- هنگامی که خرگوش ماده به سن بلوغ می رسد حتما" باردار می شود.
- در هر بار بارداری خرگوش ماده یک خرگوش نر و یک ماده بدنیا می آورد.
- خرگوش ها هرگز نمی میرند.

حال سئوال اینجاست که پس از گذشت یکسال چه تعداد خرگوش نر و چه تعداد خرگوش ماده خواهیم داشت؟ (پاسخ را شما بدهید)
فيبوناچي تصميم گرفت براي محاسبه تعداد انها Fn را تعداد جفتها در شروع ماه N ام فرض كند.
پس F1 =1 و F2 =2 خواهد بود ... چون در شروع ماه اول فقط يك جفت اصلي وجود دارد...اما با شروع ماه دوم جفت اول جفت دوم را درست ميكند.
سپس او متوجه شد كه با شروع ماه N ام جفتها به دو گروه تقسيم مي شوند: Fn-1 تعداد جفتهاي قديمي و تعداد جفتهاي جديد پس از N-1 ماه است .چون جفت جديد پس از يك ماه توليد ميشود و بعد از يك ماه ديگر اولين جفت خود را توليد ميكند ... تعداد جفتهاي جديد برابر تعداد جفتهاي دو ماه قبل است كه با Fn-1 نشان داده ميشود .
پس :

Fn= Fn-1 + Fn-2

با استفاده از اين فورمول و مقادير اوليه F1 =1 و F2 =2 ميتوان تعداد جفتها را پس از يك سال بدست اورد و نوشت F12=233 .
سري اعداد Fn را دنباله فيبوناتچي مي نامند. با يك توافق عمومي مقادير اوليه از 1 و 1 بجاي 1و 2 شروع ميشود (بطوري كه جمله هاي دنباله بصورت زير نوشته ميشوند)


... ,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

حد دنباله فیبوناتچی:
حالا اگر در اين دنباله هر عدد را به عدد قبليش تقسيم كنيم يك همچين سري را خواهيم داشت:

1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1?5, 5/3 = 1?666... 8/5 = 1?6, 13/8 = 1?625, 21/13 = 1?61538 و ...

كه هرچه جلو بريم بنظر مي ايد كه به يك عدد مخصوص ميرسيم . براي بهتر ديدن موضوع به نمودار زير توجه كنيد:
ما اين عدد را عدد طلايي ميناميم كه اين عدد تقريبا برابر است با : ... 1.618033
به عبارتي ديگر حد اين دنباله به عدد طلايي مي رسد.

بعدها محاسبات و استدلال های ریاضی نشان داد که این سری همگرا به سمت نسبت طلایی می باشد و جمله عمومی آنرا با بتقریب می توان اینگونه نمایش داد :
fn = Phi n / 5½
O
که در آن Phi عدد طلایی میباشد. البته فرمول های دقیق دیگری وجود دارند که اعداد سری و یا اعداد بعدی (Successor) این سری را نمایش می دهند که دراین مطلب به آن نخواهیم پرداخت.

عدد طلایی(عدد فی):
قبلا در مورد چگونگي بدست اوردن عدد طلايي از طريق دنباله فيبوناچي صحبت شد.حالا در مورد راههاي ديگر بدست اوردن اين عدد صحبت ميكنيم ...

در زمانهاي قديم هنرمندان يوناني به خوبي رياضي دانان مستطيل زيبايي مي شناختند كه از نظر هنري عرض 1 و طول X داشت در اين مستطيل هر وقت مربعي به ضلع 1 را از ان جدا كنند باز همان مستطيل با همان نسبتهاي مستطيل اصلي باقي ميماند .
چون مستطيل جديد عرض 1-X و طول 1 دارد و چون نسبت ضعلهاي دو مستطيل با هم برابر است :
x^2-x-1=0
حالا اگر در معادله ي بالا براي X حل كنيم ريشه ي مثبت معادله همان عدد طلايي است:
x=(1+5^0.5)/2
در دنياي رياضي اين عدد را با نشانه يوناني (خوانده ميشود في ) نمايش مي دهند ...

آشنایی با نسبت طلایی:
Golden Ratio
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
پاره خطی را در نظر بگیرید و فرض کنید که آنرا بگونه ای تقسیم کنید که نسبت بزرگ به کوچک معادل نسبت کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد. به شکل توجه کنید. اگر این معادله ساده یعنی a2=a*b+b2 را حل کنیم (کافی است بجای b عدد یک قرار دهیم بعد a را بدست آوریم) به نسبتی معادل تقریبا" 1.61803399 یا 1.618 خواهیم رسید.
شاید باور نکنید اما بسیاری از طراحان و معماران بزرگ برای طراحی محصولات خود امروز از این نسبت طلایی استفاده می کنند. چرا که بنظر میرسد ذهن انسان با این نسبت انس دارد و راحت تر آنرا می پذیرد. این نسبت نه تنها توسط معماران و مهندسان برای طراحی استفاده می شود بلکه در طبیعت نیز کاربردهای بسیاری دارد که به تدریج راجع به آن صحبت خواهیم کرد.
جواهر هندسه:
کپلر (Johannes Kepler 1571-1630) منجم معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت بگونه ای که در یکی از کتابهای خود اینگونه نوشت : "هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می باشد که یکی از آنها قضیه فيثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلايي می باشد. اولین گنج را می توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد".
تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف می باشد. کپلر پی به روابط بسیار زیبایی میان اجرام آسمانی و این نسبت طلایی پیدا کرد.

کاربرد های نسبت طلایی:
اهرام مصر یکی از قدیمی ترین ساخته های بشری است که در آن هندسه و ریاضیات بکار رفته شده است. مجموعه اهرام Giza در مصر که قدمت آنها به بیش از 2500 سال پیش از میلاد می رسد یکی از شاهکارهای بشری است که در آن نسبت طلایی بکار رفته است. به این شکل نگاه کنید که در آن بزرگترین هرم از مجموعه اهرام Giza خیلی ساده کشیده شده است.

مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا" 1.61804 می باشد. این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد یعنی چیزی حدود یک صد هزارم. باز توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که اگر معادله فیثاغورث را برای این مثلث قائم الزاویه بنویسم به معادله ای مانند phi2=phi+b2 خواهیم رسید که حاصل جواب آن همان عدد معروف طلایی خواهد بود. (معمولا" عدد طلایی را با phi نمایش می دهند)
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
طول وتر برای هرم واقعی حدود 356 متر و طول ضلع مربع قاعده حدودا" معادل 440 متر می باشد بنابر این نسبت 356 بر 220 (معادل نیم ضلع مربع) برابر با عدد 1.618 خواهد شد.

هرم " ريم پاپيروس " در اهرام ثلاثه يكي از قديمي ترين مثالها از استفاده از اين عدد در ساخت بناهاست ...
اگر عرض يكي از شالهاي اين هرم را بر فاصله نوك هرم تا نقطه وسط كف هرم تقسيم كنيم جواب 1.6 خواهد بود ...
باستان شناسان مطمئن نيستند كه ايا اين كار از قصد انجام شده يا اتفاقي بوده است !
مطلب جالب ديگر اين است كه اگر قطر اين هرم را به دوبرابر ارتفاع ان تقسيم كنيم جواب عدد پي (3.14) خواهد بود .

مثال ديگر در بناي پارتنون در يونان وجود دارد .براي ساخت اين بنا كه در 440 BC ساخته شده است از مستطيل طلايي استفاده شده است.

مارپیچ فیبوناچی:
ه شکل زیر نگاه کنید و ببینید که به چه زیبایی از کنار هم قرار دادن تعدادی مربع می توان رشته فیبو ناچی را بصورت هندسی نمایش داد. حال اگر در هر یک از این مربع ها از نقاط قرمز ربع دایره هایی رسم کنیم در نهایب به نوعی از مارپیچ حلزونی شکل می رسیم که به مارپیچ فیبوناچی (Fibonacci Spiral) معروف می باشد. بدیهی است که نرخ رشد و باز شدن این مارپیچ متناسب با نرخ بزرگ شدن اعداد در سری فیبوناچی می باشد.
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سری فیبوناچی چه در ریاضیات چه در فیزک و علوم طبیعی کاربردهای بسیار دیگری دارد، ارتباط زیبای فاصله های خوش صدا در موسیقی، چگونگی تولد یک کهکشان و ... که کاربرد این سری جادویی را بیش از پیش نشان می دهد.

طریقه رسم نسبت طلایی با گونیا و پرگار :
اره خط AB را در نظر بگیرید. مساله ما یافتن نقطه E بر روی این پاره خط می باشد به طوری که نسبت AE به EB یک نسبت طلایی باشد.

مرحله ۱ : از نقطه B خط BC را عمود بر آن طوری رسم کنید که اندازه BC نصف اندازه AB باشد. ( به کمک پرگار می توانید این کار را انجام بدهید.)

مرحله ۲ : نقطه A را به نقطه C وصل کنید.

مرحله ۳ : از نقطه C دایره ای به شعاع BC رسم کنید. این دایره خط AC را در نقطه D قطع می کند.

مرحله ۴ : از نقطه A یک دایره به شعاع AD رسم کنید. این دایره خط AB را در نقطه E قطع می کند به طوری که نسبت AE به EB همان نسبت طلایی است.
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
طریقه رسم مستطیل طلایی با گونیا و پرگار:

مستطیل CBGD را در نظر بگیرید. مساله ما یافتن مستطیلی است که نسبت اضلاع آن یک نسبت طلایی باشد.

مرحله ۱ : نقطه A را در وسط DG پیدا کنید.

مرحله ۲ : از نقطه A یک دایره به شعاع AB رسم کنید.

مرحله ۳ : خط DG را ادامه داده تا دایره به مرکز A را در نقطه E قطع کند. نسبت DE به DC همان نسبت طلایی است و مستطیل CFED یک مستطیل طلایی می باشد.
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نسبت طلایی در خوشنویسی:
استاد میرعماد با پالایش خطوط پیشینیان و زدودن اضافات و ناخالصی‌ها از پیکره نستعلیق و نزدیک کردن شگرف نسبت‌های اجزای حروف و کلمات، به اعلا درجه زیبایی یعنی نسبت طلایی رسید و قدمی اساسی در اعتلای هنر نستعلیق برداشت. با بررسی اکثریت قاطع حروف و کلمات میرعماد متوجه می‌‌شویم که این نسبت به عنوان یک الگو در تار و پود حروف و واژه‌ها وجود دارد و زاویه ۴۴۸/۶۳ درجه که مبنای ترسیم مستطیل طلایی است، در شروع قلم گذاری و ادامه رانش قلم، حضوری تعیین کننده دارد. این مهم قطعاً در سایه شعور و حس زیبایی‌شناسی وی حاصل آمده، نه آگاهی از فرمول تقسیم طلایی از دیدگاه هندسی و علوم ریاضی. میرعماد این نسبت‌ها را نه تنها در اجزای حروف بلکه در فاصله دو سطر و مجموعه دو سطر چلیپاها و کادرهای کتابت و قطعات رعایت می‌‌کرده است.
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نسبت طلایی در عکاسی:
ترکیب بندی تصویر، در کتابها و مجلات تخصصی عکاسی، اغلب به شکل یک نسخه تجویزی ارائه میشود. انگار که پیروی از تعدادی قاعده میتواند نتیجه قانع کننده ای را تضمین کند. شاید بهتر باشد این قواعد را تنها به عنوان چکیده ایده هایی در نظر گرفت که عکاسان (و البته نقاشان و سایر هنرمندان قرنها پیش از اختراع دوربین) آنها را برای خلق یک تصویر تاثیر گذار، مفید یافته اند.
هر ترکیب بندی عکسی را میتوان کارآمد دانست به شرط این که عناصر صحنه به طور موثر با بینندگان مورد نظر آن عکس، ارتباط برقرار کند. در اغلب موارد، نکته اساسی در شناسایی عناصر کلیدی صحنه نهفته است تا با تنظیم محل دوربین و میزان نور دهی، آنها را از دل سایر اطلاعات تصویری متفرقه، بیرون بکشید. همین اشیاء مزاحم، بسیاری از عکسها را خراب میکنند. اگر عکاسی را تازه شروع کرده اید، بهتر است به جای تمرکز زیاد روی جزییات خیلی خاص، تنها روی ساختار کلی صحنه تمرکز کنید. چرا که تاثیر آنها در مقابل ترکیب بندی عمومی عکس، بسیار سطحی است.


در این مقاله به معرفی سه روش کاربردی در امر ترکیب بندی تصویر پرداخته خواهد شد. در آغاز به معرفی کلی تکنیکی میپردازیم که قرنهاست شناخته شده است یعنی قانون تعادل (یا قانون طلایی - Golden Mean). این قانون در واقع یک فرمول هندسی است که توسط یونانی های باستان ابدا شده.استدلال بر این است که ترکیب بندی ای که بر اساس این تئوری تشکیل شده باشد، تاثیرگذار و قوی مینماید. ایده اصلی که در پس این تئوری است در واقع استفاده از خطوط هندسی است که به سادگی توسط چشم بیننده دنبال شوند. طی قرون متمادی، قانون تعادل (یا قانون طلایی - Golden Mean) راهبردی مهم و ابزاری کارآمد برای هنرمندان و نقاشان به حساب می آمد. امروزه با توجه به ارزش این ابزار، آشنایی با آن به عکاسان نیز توصیه میشود.


قانون یک سوم (خطوط و نقاط طلایی):
قانون یک سوم در واقع مختصر شده مفهوم طلایی است. فلسفه اصلی که در پشت این مفهوم قرار دارد از یک ترکیب و کادر بندی متقارن و مستقر در مرکز کادر که معمولا کسل کننده است جلوگیری می کند. 4 خط تقسیم کننده کادر، خطوط طلایی و محل برخورد این خطوط، نقاط طلایی نامیده میشوند. (شکل های شماره یک و دو)


از بین بردن تقارن با استفاده از قانون یک سوم به دو شکل می تواند صورت بگیرد. در یک روش می توان تصویر را به دو بخش مجزا تقسیم کرد به نحوی که یک قسمت یک سوم و قسمت دیگری دو سوم تصویر را شامل شود (شکل شماره یک).
شکل شماره یک
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
در روشی دیگر، تمرکز مستقیما بر روی نقاط طلایی است. فرض کنید که منظره ای بسیار زیبا و بدیع پیش رو دارید اما این منظره فاقد یک نمای هندسی و به اصطلاح Geometric خوب و جذاب است. به عبارت دیگر در عین اینکه منظره بسیار خاص و زیبا است اما اگر به صورت تصویر در بیاید تا حدودی کسل کننده خواهد شد.
راه حل چیست؟ سعی کنید در این منظره یکنواخت یک نقطه عطف و تمایز پیدا کنید، نقطه ای که بتواند یکنواختی و یکدستی نما را از بین ببرد. سپس این سوژه را روی یکی از نقاط طلایی قرار دهید. این نقطه اولین نگاه بیننده را جذب کرده و مخاطب را به دیدن باقی تصویر دعوت میکند. (شکل شماره دو)

شکل شماره دو
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
برای تعیین برخی از اندازه ها به نسبتهای شکیل و زیبا، معروفترین فرمول، شیوه ای است که یونانیان باستان ابداع کرده اند و به " نسبت طلایی" معروف است . نسبت طلایی در اصل، فرمولی ریاضی و دارای زیبایی بصری است. در این روش : ابتدا مربع را با خطی عمود بر دو ضلع مربع به دو مستطیل مساوی تقسیم می کنند، سپس محل تقاطع آن خط با یکی از اضلاع مربع ( نقطه X) را مرکز دایره ای به شعاع قطر مستطیل قرار می دهند ( فاصله X تا Y) و با ترسیم این دایره و تعیین محل تقاطع آن با امتداد ضلع مربع ( نقطه Z) طول مستطیلی معروف به "مستطیل طلایی" به دست می آید که عرض آن برابر ضلع مربع و است و نسبت این طول و عرض ثابت و دارای زیبایی خاصی است (نسبت اندازه پاره خط C به A با نسبت اندازه A به B یکی است) یونانیان در ساخت بسیاری از اشیا و ابینه و معابد و کوره ها و ... آن را به کار می بستند.
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
قانون یک سوم کادر نیز در واقع همان مفهوم طلایی است. 4 خط تقسیم کننده یک کادر، خطوط طلایی و محل برخورد این خطوط، نقاط طلایی نامیده میشوند.
مارپیچ طلایی:
یکی از ابزارهای ترکیب بندی عکس برای هدایت چشم بیننده به نقطه مورد نظر عکاس، مارپیچ طلایی است. استفاده از این تکنیک در سوژه هایی که با نقاط طلایی سازگار نبوده اند قابل استفاده است. نحوه رسم مارپیچ طلایی نیز به این صورت است.

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][/IMG
[IMG][ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نسبت طلایی در بدن انسان:
دانشمندان گذشته نیز از نسبت طلایی استفاده های زیادی کرده اند. به عنوان مثال لئوناردو داوینچی در ترسیم نقاشی معروف خود از بدن انسان از نسبت طلایی بهره گرفته است.

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
عکسی دیگر در رابطه با نقاشی که با استفاده از نسبت طلایی بر زیبایی آن افزوده شده:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
در بدن انسان مثالهای بسیار فراوانی از این نسبت طلایی وجود دارد. در شکل زیر نسبت M/m یک نسبت طلایی است که در جای جای بدن انسان می توان آنرا دید. به عنوان مثال نقاطی از بدن که دارای نسبت طلایی هستند:

نسبت قد انسان به فاصله ناف تا پاشنه پا

نسبت فاصله نوک انگشتان تا آرنج به فاصله مچ تا آرنج

نسبت فاصله شانه تا بالای سر به اندازه سر

نسبت فاصله ناف تا بالای سر به فاصله شانه تا بالای سر

نسبت فاصله ناف تا زانو به فاصله زانو تا پاشنه پا

اینها تنها چند مثال از وجود نسبت طلایی در بدن انسان بود که بدن انسان را در حد کمال زیبایی خود نشان می دهد.
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
در تصاویر زیر نسبت خط سفید به آبی، آبی به زرد، زرد به سبز و سبز به بنفش یک نسبت طلایی است!!

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید
عکس های تحقیقات دکتر لوین(Dr.Levin):
دکتر لوین یک دندانپزشک است که روی رابطه نسبت طلایی با موضع اعضای دهان و دندان تحقیقاتی انجام داده است.(سایت در بالا معرفی شد)
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

عکس های دیگری درباره ی رابطه نسبت طلایی و طبیعت:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

منابع و مآخذ:(با اندکی تلخیص،تصرف و ویرایش)

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

موفق باشید.

pp8khat
31-03-2008, 15:45
در اصل باید این نرم افزار ها را در تاپیک"نرم افزار های ریاضیات"می گذاشتم،اما می خواستم این تاپیک هم از همه لحاظ کامل باشد.بنابراین تصمیم گرفتم این پست را در هر دو جا کپی کنم.

نرم افزار هایی در مورد نسبت طلایی:
-1
:PhiMatrix
PhiMatrix is a graphic analysis and design tool that lets you see and apply phi proportions to any image. PhiMatrix software unveils the phi proportions that can be found in DNA, sea shells, plants, animals and human faces and even in the stock market. It features a grid that can be locked to golden section proportions or unlocked to vary height and width while still showing phi proportions on each axis. The grid overlays any other program you have on your computer, provides a variety of controls to analyze any image, and then lets you save your analyzed image to disk. It can be used for educational purposes, design and layout, stock market analysis. Applications include any design application your mind can conceive, whether laying out a canvas for painting, cropping a photo, creating marketing materials or designing anything from clothes to cars to furniture to buildings. Designed by Gary Meisner, author and developer of this site.
PhiMatrix یک نرم افزار گرافیکی تحلیلی و وسیله ی طراحی است که شما را قادر می سازد تا بودن نسبت طلایی را روی اجزای هر عکسی تست کنید......

لینک دانلود:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید


Dr. Levin's Phi Dental Grid (PhiDental)

Dr. Levin's Phi Dental Grid is a phi-based software grid that provides a guide to application of phi, 1.618 ..., the golden proportion, to cosmetic dental aesthetics. The program provides a transparent overlay to any digital image on your PC's screen, which for dental applications is generally a digital photo of the frontal view of a patient's teeth, mouth, lips and tip of the nose. The overlay incorporates the proportions and principles Dr. Eddy Levin, whose work is compulsory study in many American Dental Schools and is applied in dental cosmetics and surgeries. The grid can be resized to match any photo. Designed by Gary Meisner, author and developer of this site.

صفحه شطرنجی عدد فی دکتر لوین(دندانپزشک) یک نرم افزار طراحی شده بر پایه ی عدد فی است که ما را قادر می سازد تا برای زیبایی دندان ها و عمل زیبایی و.. و نسبت طلایی را به کار ببریم و.....

سایت دانلود:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

Bob:
Bob - A free program by Stephen Collins which generates Penrose tiling with a variety of user controls that determine its output. See the Penrose Tiles page for examples.
از ترجمه این متن معذوریم!(؟؟)
سایت دانلود:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

PhiBar:
PhiBar - A free program by Michael Semprevivo which applies phi relationships to the spectrum of colors in visible light. Colors in the spectrum that are related by distances based on phi or the golden section produce very rich and visually appealing combinations. See the Colors page for details.

نوار فی یک نرم افزار رایگان است که توسط آقای مایکل سمپرویو نوشته شده است.این نرم افزار رابطه ی نسبت طلایی و طیف رنگ های مرئی را نشان می دهد.فاصله رنگ های طیف نور که بر پایه ی عدد طلایی و نسبت طلایی
است باعث یک ترکیب بسیار خوشایند شده است.

لینک دانلود:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید


Power Retouche Golden Section Plugin for Photoshop:

Power Retouche Golden Section Plugin for Photoshop - Draw golden sections, golden spiral and the golden triangles. In addition it also can draw the harmonious triangles and the rule of thirds - based on composition through identity. The best way to use the plugin is to output the drawing to a transparent top layer you can move around. Available for Mac and PC.

این فایل یک پلاگی برای نرم افزار فتوشاپ هست که با استفاده از این فایل شما می توانید نسبت طلایی را برای عکس ها،طرح ها یا تصویر های خود به کار ببرید.

سایت دانلود:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

Golden Rectangular Solid:
Golden Rectangular Solid - The 3D analogue to the 2D golden rectangle spiral is depicted by this application. You can rotate a golden rectangle in 3D and use 3D glasses to see the effect.

این هم یک نرم افزار در مورد رابطه نسبت طلایی با هندسه است.

سایت دانلود:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

منبع:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

رابطه نسبت طلایی با ریاضیات:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید
موفق باشید.




ممنون خیلی جالب هستند
عدد طلایی واقعا طلاییه!!!!!

سلام.خواهش می کنم.
من هم اول که این مطلب رو دیدم برام خیلی جالب بود.بعدش خواستم درموردش تحقیق کنم.اما مطالبش توی سایت ها پراکنده بود برای همین این تاپیک رو زدم تا همه مطالبش یکجا استفاده بشه.
موفق باشید.

ztab
03-04-2008, 20:58
لطفا بفرمایید با عضویت در این انجمن هم می توان برای شرکت در کنفرانس های آموزش ریاضی از تسهیلاتی مانند تخفیف هزینه های شرکت در کنفرانس برخوردار شد ؟ اگر می شود چگونه؟ باتشکرztab

pp8khat
08-04-2008, 19:59
فايده پارادوکسها

۱) ايجاد انگيزه براي گسترش مرزهاي دانش؛

۲) تعميق بينش؛

۳) تعميم شيوه هاي استدلال؛

۴) افزايش دقت؛

۵) وضع قوانين زبان شناختي جديد.



بعضي پارادوكسها که متضمن تناقض اند صادق به نظر مي رسند وحتي اين ايده را به ذهن نزديك مي كنند كه چرا تناقضها را نپذيريم! درمنطق پيراسازگار (paraconsistent) مي توان تناقض داشت و بر خلاف رياضيات کلاسيک، چنين نيست كه از تناقض هر چيزي نتيجه شود.


پارادوکس روز تولد

اگر ۲۳ نفر در اين سخنراني شرکت کرده باشند، احتمال اين که حداقل ۲ نفر روز تولدشان يکي باشد حدود ۵۰% است، اگر ۲۲ نفر شرکت کرده باشند اين احتمال حدود ۰۵/۰% و اگر بيش از ۶۰ نفر حضور داشته باشند اين عدد بزرگتر از ۹۹% است.

درحقیقت این مساله پارادوکس نیست و اثبات ریاضی خوبی هم دارد. ولی چون ممکن است برای فردی که با احتمال آشنایی نداشته باشد، تناقض آمیز به نظر برسد.
لینک:[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])


پاردوكسهاي زنون Zenons Paradoxes

در صورتي كه پاره خط بينهايت بار تقسيم پذير باشد، حركت ناممكن است، زيرا براي اين كه پاره خطي مانند ABرا با شروع از نقطه A بپيماييم، ابتدا بايد به نقطة وسط آن Cبرسيم. براي اين كه ACپيموده شود، بايد به نقطة وسط آن D برسيم و قس عليهذا. پس نمي توان حتي از نقطة A حركت كرد . A---D---C-------B

در مسابقه دو بين آشيل تندرو و لاك پشت كندرو، آشيل كه كمي عقب تر از لاك پشت است، هيچگاه به او نمي رسد. زيرا ابتدا بايد به نقطه اي برسد كه لاك پشت از آنجا حركت كرده است. اما وقتي به آنجا مي رسد لاك پشت قدري جلوتر رفته است و همان وضعيت قبل روي مي دهد و با تكرار اين روند، گرچه آشيل به لاك پشت نزديك مي شود ولي هيچگاه به او نمي رسد. A------------T------



پارادوكس لامپ تامسون (Tompson Lamp Paradox )

لامپي به مدت يک دوم دقيقه روشن مي شود، سپس براي يک چهارم دقيقه خاموش مي شود، به مدت يک هشتم دقيقه روشن مي‌شود و قس عليهذا. درست بعد از يك دقيقه لامپ روشن خواهد بود يا خاموش؟



پارادوكس دار غيرمنتظره ( Unexpected Hanging Paradox )

به يك زنداني گفته مي شود كه او در يكي از روزهاي بين شنبه و پنجشنبه به دار آويخته خواهد شد، اما تا روز به دار آويخته شدن، وي نخواهد دانست كه كدام روز اعدام مي شود.او روز پنجشنبه به دار آويخته نمي شود، زيرا اگر او تا چهارشنبه زنده باشد مي فهمد كه اعدام در روز پنحشنبه صورت خواهد گرفت، اما به او گفته شده است كه وي از

روزي كه به دار كشيده مي شود پيشاپيش آگاه نيست. او روز چهارشنبه نيز اعدام نمي شود زيرا اگر تا سه شنبه زنده بماند، با توجه به اين كه بنا به استدلال بالا روز پنجشنبه اعدام نمي شود، مي فهمد كه روز چهارشنبه اعدام انجام خواهد شد. استدلال مشابه نشان مي دهد كه او در هيچيك از روزهاي ديگر نيز نمي تواند اعدام شود.اما در روزي غير از پنجشنبه جلاد وارد مي شود و وي را اعدام مي كند.



پارادوكس توده ( Sorites Paradox )

يك دانة گندم يك تودة گندم نيست. با اضافه كردن يك دانه گندم، به دو دانه دست مي يابيم كه باز هم تودة گندم نيست. با اضافه كردن يك دانه گندم ديگر، سه دانه گندم خواهيم داشت كه توده محسوب نمي شود. اگر اين عمل را تكرار كنيم، هيچگاه به تودة گندم نمي رسيم.اما زماني كه اين گرداية گندم به قدر كافي بزرگ شود، توده ناميده مي

شود.



پارادوكس ريچارد (Jules Richard"s Paradoxesَ)

آيا كوچكترين عدد طبيعي كه نتوان آن را با كمتر از صد حرف فارسي نمايش داد وجود دارد؟ چون تعداد اعداد طبيعي نا متناهي و تعداد حروف فارسي متناهي است پس عددي وجود دارد كه نمي توان آن را با عبارتي شامل كمتر از صد حرف فارسي تعريف كرد. بنا به اصل خوش ترتيبي در اعداد طبيعي، كوچكترين عدد طبيعي كه نتوان آن را با كمتر از صد حرف فارسي نمايش داد وجود دارد. اما عبارت بالا كه بين دو نماد ? و ? قرار دارد كمتر از صد حرف ( يعني پنجاه و سه حرف ) دارد، يعني عدد ارائه شده با كمتر از صد حرف فارسي تعريف شد!



پارادوکس خداوند قادر مطلق

آيا خداوند مي تواند سنگي بسازد که نتواند بلند کند؟
در اینجا نکته ی ظریفی وجود دارد:
مردي 1400 سال پيش همين سوال را از امام علي عليه السلام پرسيد . حضرت امیر المومنین علی بن ابی طالب (ع) در پاسخ آن مرد فرمود: قَالَ إِنَّ اللَّهَ تَبَارَکَ وَ تَعَالَی لَا یُنْسَبُ إِلَی الْعَجْزِ وَ الَّذِی سَأَلْتَنِی لَا یَکُونُ (توحید صدوق باب 9 حدیث 9)
یعنی همانا خداوند به عجز و ناتوانی متصف نمی گردد، بلکه آنچه تو از من درباره آن پرسیدی موجود نمی شود (و قابلیت وجود ندارد.)
در این بیان امام دو مطلب را بیان کرده است الف: عجز و ناتوانی به خداوند نسبت داده نمی شود. ب: آنچه سؤال کردی امری محال و ناشدنی است.
آیا این دو جمله با هم ناسازگارند؟ نه بلکه به نکته لطیفی اشاره دارند و آن این است که این محال و ناشدنی بودن، ضعف و عجز امری است که ذاتا محال است و این عجز و ضعف به خداوند نسبت داده نمی شود. چون قصور و تقصیر و نقص و عجز متوجه فاعل (خداوند) نخواهد بود؛ بلکه قصور و نقص و نارسایی و عدم قابلیت برای وجود متوجه قابل (امری که ذاتا محال است) می باشد و خداوند هم فرمود ان الله علی کل شیء قدیر؛ یعنی خداوند بر هر چیزی قادر است. اما محال ذاتی، شیء نیست بلکه لاشیء است.
اگر یک کوزه ساز زبردست از آب یک کوزه خوش رنگ و لعاب نمی سازد ضعف و عجز به کوزه ساز منسوب نیست بلکه به آب منسوب است که قابلیت تبدیل شدن به کوزه (در حالی که مایع است) را ندارد.
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



پارادوكس تخته سياه

تخته سياهي را در نظر بگيريد كه روي آن علاوه بر اعداد ۱، ۲، ۳، جملة كوچكترين عدد طبيعي كه روي اين تخته سياه ارائه نشده است. نوشته شده است. در اين صورت گرچه عدد ۴ روي تخته سياه نمايش داده نشده است، ولي عبارت مذكور روي تخته سياه، مبين ۴ است.



پارادوكس بوچوفسكي ( Buchowski Paradox )

فرض كنيد شما فقط دو برادر داريد كه هر دو از شما مسن تر هستند. در اين صورت جملة به ظاهر غلط ذيل، راست است: برادر جوانترم از من مسن تر است?



پارادوكس دروغگو( Liar"s Paradox) يا پارادوكس ائوبوليدس (Eubulides" Paradox )

مي گويند روزي ائوبوليدس، متفكر يوناني قرن چهارم قبل از ميلاد، گفت: چيزي كه آلان مي گويم دروغ است. اگر گفتة او درست باشد، آنگاه بنا به آنچه گفته است، بايد گفته اش دروغ باشد، واگر گفتة او دروغ باشد، دوباره بنابر آنچه گفته است نتيجه مي شود كه گفته اش درست است.



پارادوكس دور

اين پارادوكس توسط آلبرت ساكسوني در قرون وسطي طرح گرديده است:

جملة P اين است: q دروغ است.

جملة q اين است: P راست است.

نکته جالب اين است كه اگر ما داراي يك نوع منطق سه ارزشي باشيم كه در آن گزاره ها بتوانند فقط يكي از ارزشهاي راست، دروغ و نه راست ـ نه دروغرا داشته باشند آنگاه گزارةP به صورت P دروغ يا نه راست ـ نه دروغ است نمي تواند هيچيك از ارزشهاي راست ، دروغ و نه راست نه دروغ را به خود بگيرد.



پارادوكس تابلو

اين پارادوكس در ۱۹۱۳ توسط رياضيدان انگليسي جردن (P. E. B. Jourdain) ارائه شد:

تابلوئي داريم كه در يك طرف آن جمله پشت اين تابلو راست است. و در طرف ديگر آن جمله پشت اين تابلو دروغ است نوشته شده است!



پارادوكس سقراط ( Socrates Paradox )

نقل شده است كه ســـــقراط روزي گفته است: چيزي كه مي دانم اين اسـت كه من هيـچ چيز نمي دانم ?.



پارادوكس جزيرة وحشي ها

در جزيره اي قبيله اي وحشي زندگي مي كردند كه دو خدا، خداي راستي و خداي دروغ داشتند. آنها هر كس را كه به جزيره مي آمد قرباني مي كردند، به اين ترتيب كه از وي سوالي مي پرسيدند، اگر راست مي گفت او را قرباني خداي راستي و اگر دروغ مي گفت، او را قرباني خداي دروغ مي كردند. روزي شخصي وارد جزيره شد. او را گرفتند و از او

پرسيدند? سرنوشت تو چه خواهد بود؟ آن شخص جواب داد : شما من را قرباني خداي دروغ خواهيد كرد. با اين جواب وحشي ها مستاصل شدند زيرا خواه راست گفته باشد و خواه دروغ بايد هم قرباني خداي راستي شود و هم قرباني خداي دروغ!



پارادوكس فهرست ( Catalogue Paradox )

كتابداري در حال تدوين يك فهرست كتابشناسي از تمام فهرستهاي كتابشناسي و تنها آنهايي است كه نام خود را در فهرست ذكر نكرده اند. آيا فهرست اين كتابدار، نام خودش را نيز در بر مي گيرد؟



پارادوكس خود نا توصيف ( Heterological Paradox )

خود ناتوصيف، كلمه اي است كه خودش را توصيف نميكند. پس كلمة "خود ناتوصيف" خود ناتوصيف است اگر و فقط اگر خود ناتوصيف نباشد.



پارادوكس اسمارانداچ (Smarandache Paradox )

فرض كنيد A يكي از عبارات ممكن، كامل و . . . باشد. در اين صورت همه چيز A است ايجاب مي كند که ~A نيز A باشد. مثلاً ‌وقتي مي گوييم همه چيز ممكن است ، نتيجه مي شود كه غير ممكن نيز ممكن است ، يا از هيچ چيز كامل نيست اين كه كامل نيز كامل نيست مستفاد مي شود.



پارادوكس كانتور( Cantor"s Paradox )

فرض كنيد Aمجموعه همة مجموعه ها باشد، پسP(A)=A و لذا ( card(P(A))=card(A از طرفي بنا به قضية کانتور( card(P(A))



پارادوکس نيوکام

فرض کنيد دو جعبه A و B داده شده باشد. سر جعبه A باز و سر جعبه B بسته باشد. A شامل ۱۰۰۰ دلار و B شامل ۱۰۰۰۰۰۰ دلار است و يا شامل هيچ چيز نيست. شما بايد فقط جعبه B را انتخاب کنيد و يا هر دو جعبه A و B را. اما قبل از اين که شما انتخاب خود را انجام دهيد، پيشگويي بر اساس انتخابي که شما انجام خواهيد دا د در جعبه ‌‌ B ،

۱۰۰۰۰۰۰د اگر شما فقط جعبه B را انتخاب کنيد و هيچ چيز نمي گذارد اگر شما هر دو جعبه A وB را انتخاب کنيد.

سوال: اگر شما به انتخاب فقط B تمايل داشته باشيد، مي توانيد A را نيز انتخاب کنيد؟

منبع:
آقای علی آل کثیر
societymath85.blogfa.com

H M R 0 0 7
09-04-2008, 18:00
خيلي عالي يود دوست عزيز. ممنون.
با اجازه شما و نويسنده مطلب از روش كپي برداري كردم

Sajad2006
09-04-2008, 18:05
خیلی عالی بود.
دستت درد نکنه.

pp8khat
12-04-2008, 19:54
ريشه‌هاي تاريخي اين مسأله برمي‌گردد به بحثي كه بيش از 50 سال پيش، بين دو رياضي‌دان مشهور به نام هاي استانيسلاو اولام و جان فون نويمان درگرفت و...

نویسنده:مريم حيدري
گروه مقاله:
سطح متوسطه- رياضيات و علوم ديگر-

دو دوست با هم قرار گذاشتند كه سوار دوچرخه‌‌هايشان با حداكثر سرعت كه مي‌توانند به سمت يكديگر ركاب بزنند و بعد از طي فاصله ي ميانشان كه برابر ‌L است با يكديگر برخورد كنند.
وقتي دو دوست حركت خود را آغاز مي‌كنند، سگ آن‌ها كه دوست‌دار هر دو است، با حداكثر سرعتي كه مي‌تواند از نزد دوچرخه‌سوار اول شروع به دويدن مي‌كند تا به دوچرخه‌سوار ديگر برسد و مجدداً بلافاصله تغيير مسير مي‌دهد و نزد دوچرخه‌سوار اول برمي‌گردد و اين كار را آن قدر تكرار مي‌كند تا دو دوچرخه‌سوار با هم برخورد ‌كنند. به نظر شما اين سگ چه مسافتي را دويده است؟
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
ريشه‌هاي تاريخي اين مسأله برمي‌گردد به بحثي كه بيش از 50 سال پيش، بين دو رياضي‌دان مشهور به نام هاي استانيسلاو اولام و جان فون نويمان درگرفت و به «مسأله‌اي كه جان فون نويمان را فريفت» مشهور شد،چرا كه اولام تصور كرد كه ايده ي حل اين مساله به وسيله ي سري كه توسط فون نويمان ارائه شد بسيار پيچيده است و فون نويمان متوجه حقه ي حل مساله نشده است.
فرض كنيد كه دو دوچرخه سوار با سرعت يكسان V حركت كنند و هم‌چنين تندي سگ را U در نظر بگيريم و در ضمن فرض كنيد كه سگ مي‌تواند در يك آن، جهت حركت خود را تغيير دهد.
اجازه دهيد قبل از هر بحثي منظورمان از تندي را روشن‌تر بيان كنيم. در اين جا ما از تندي حركت سگ صحبت مي‌كنيم نه از سرعت آن، تندي حركت سگ ثابت است اما هر بار كه با يكي از دوچرخه‌سواران برخورد مي‌كند تغيير مسير مي‌دهد، سرعت او تغيير مي‌كند، سرعت كميتي برداري است كه هم تندي حركت و هم جهت حركت را نشان مي‌دهد. پس هميشه به تفاوت موجود بين تندي و سرعت توجه داشته باشيد!
بررسي مسير رفت و برگشت سگ به يك سري نامتناهي منتهي مي‌شود. امّا اجازه دهيد نگاهي به ابتدا و انتهاي وضعيت بيندازيم.
چه مدت طول خواهد كشيد تا دوچرخه‌سواران با يكديگر برخورد كنند؟ زمان موردنظر به اين قرار است: [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

از آن جا كه سگ با تندي ثابتU مي‌دود،‌فاصله‌اي كه سگ طي مي‌كند، چنين مي‌شود:[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
خب حالا بياييد استدلال نويمان را در خصوص حركت اين سگ ببينيم، كه درحقيقت به يك سري نامتناهي منتهي مي‌شود:
نمودار زير را كه فاصله‌ي ميان دوچرخه‌سواران و مسافت طي شده توسط سگ را بر حسب زمان نشان مي‌دهد ، ملاحظه كنيد:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مثلث هاي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و ... همه مثلث‌هايي متشابه هستند. نسبت تشابه اين مثلث ها را q مي‌ناميم. هنگامي كه دوچرخه‌سواران به فاصله‌ي L از هم قرار دارند، سگ به زمان [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] جهت رسيدن از دوچرخه سوار اول (A) به دوچرخه سوار دوم ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) نياز دارد[چرا؟] و مسافت[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]را در اين زمان مي دود . طي اين زمان دوچرخه‌سواران به يكديگر نزديك‌تر شده‌اند كه اين ميزان برابر با [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]است. بنابراين فاصله ي جديد ميان آن‌ها چنين خواهد بود:[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ، از اين رو،نسبت تشابه برابر است با: .[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
در نتيجه، طول مسافت دويدن بار دوم سگ(از[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) ، برابر با [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]خواهد بود. [چرا؟] . ما مي‌بايست اين وضعيت را دوباره و دوباره تكرار كنيم. در واقع ما سري نامتناهي براي كل مسافت طي شده توسط سگ را داريم:

مسافت طي شده[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

از طرفي :[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

پس فاصله‌ي طي شده توسط سگ برابر با[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است كه دقيقاً همان چيزي است كه با نگاهي كوتاه به ابتدا و انتهاي مسير در بالا به‌دست آمد.
پس در حقيقت،فون نويمان فريب نخورده بود.


منبع :
100 مساله ومعماي جالب فيزيك و رياضي
ترجمه ي: بهداد بسيجي

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

iman_n21
01-05-2008, 15:44
خيلي جالب بود
دستت درد نكنه
دادم بابام خوند حال كرد

forum.irannab
30-05-2008, 13:43
روشهای حل واثبات گویا نبودن رادیکال 2 را برای من بزارید عجله ای لازم دارم لطفا 10 تا شم باشه بسه این مسله 70 تا راه حل داره

sherlockholmz
31-05-2008, 08:48
روشهای حل واثبات گویا نبودن رادیکال 2 را برای من بزارید عجله ای لازم دارم لطفا 10 تا شم باشه بسه این مسله 70 تا راه حل داره

به روش برهان خلف،فرض مي كنيم كه عدد فوق الذكر گويا باشد، پس مي توان آن را بصورت تقسيم دو عدد صحيح كه نسبت به هم اولند بصورت زير نوشت:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




زوج بودن p و q بطور هم زمان، فرض اول بودن اين دو عدد نسبت به هم را نقض مي كند پس فرض گويا بودن عدد صحيحج نمي باشد.
69 راه حل ديگر هم با خودت!:46:

t.s.m.t
30-07-2008, 01:33
در مورد مسأله خاصی نمی خوام بحث کنم ،ولی چیزایی می نویسم که به درد علاقه مندان ریاضی بخوره،در ضمن سعی میشه تا حد امکان ساده و روون باشه!

t.s.m.t
30-07-2008, 10:24
بسم الله الرحمن الرحیم



((متأسفانه به علت امکانات سایت در اینجا نمیشه ریاضی رو به زبون خودش نوشت))


وقتی که برای اولین بار مفهوم حد و پیوستگی رو برام گفتن متوجه نشدم که واقعأ متوجه نشدم ! تا سالها بعدشم ،از حد و پیوستگی، جز یه مشت ε وδ چیزی یادم نبود،شاید به خاطر این بود که بعضیا بدون اینکه به علت چیزی اشاره کنن شالاپ اونو میارن روی تخته. البته باید به اونا هم حق بدیم چون بعضی از مطالب رو عمیقأ فهمیدن، سخت تر از اونی هست که تصوّر میشه و به پیشنیازهای غالبأ پیچیده ای نیاز داره . واسه همین اینجا می خوام توضیح بدم که چرا برای اینکه نشون بدیم f در a (عضو X)پیوسته است معادلأ رابطه زیر(*) رو اثبات می کنیم: اگر به ازای هر عدد مثبت ε عددی مثبت مانندδ یافت شود به طوری که به ازای هرx عضو X فاصله ی a از x کمتر از δ)δ بزرگتر از صفر) نتیجه بدهد فاصله ی f(a ازf(x کمتر از ε است. (*)


((در اینجا فاصله ی a از b برابر است با فاصله ی b ازa))

با این فرض که مخاطبین،دانشجویان مبتدی ریاضی و یا علاقه مند به ریاضی باشند،بحث رو شروع می کنیم:برای اثبات ابتدا نیاز به پیشنیاز هایی (فقط در حد آشنایی) هست که در مورد آنها توضیحاتی می دهیم.



تعریف1: فرض کنیم X مجموعه ای و τ گردایه ای از زیر مجموعه های X باشد،یعنی اعضای τ خود به فرم مجموعه اند که در هر یک از آنها از اعضای X قرار دارند ( τ زیر مجموعه ی مجموعه توانی X است). τ را توپولوژی در X خوانیم در صورتی که تابع شرایط سه گانه زیر باشد:


1. ø و X هر دو عضو τ.
2.همواره اگرA وB عضوτ ، آنگاه A اشتراک B عضو τ.
3.به ازای هر زیر گردایه τ مانند Ә ،اجتماع دلخواه از Ә ها نیز عضو τ باشد.

تذکر:از تعریف 2 بر می آید که اگر n عضو متعلّق به τ باشد آنگاه اشتراک n تا نیز در τ است(برخلاف شرط 3 برای تعداد نامتناهی نمی توان گفت)

تعریف2: اگر τ توپولوژی درX باشد،زوج مرتب( τ وX ) را یک فضای توپولوژیک می نامند.
تعریف3:اعضای τ را مجموعه های باز می نامند و F زیر مجموعه ای از X را بسته خوانیم در صورتی که متمم آن (X منهای F ) باز باشد،به عبارتی X ­-F عضو توپولوژی باشد.

تعریف4:فرض کنیم X مجموعه ای باشد، و ς زیر مجموعه ای ازمجموعه ی توانی X باشد،مجموعه های ςσ و ςδ را به صورت زیر تعریف می کنیم:
(A زیر مجموعه ی X است)
A هایی که Aمقطع تعدادی متناهی از اعضای ς است
A هایی که Aاجتماع دلخواهی از اعضای ς است
اولین مجوعه همان ςδ

دومین مجموعه ςσ است.
تعریف5:فرض کنیم X مجموعه ای باشد، و β زیر مجموعه ای از مجموعه ی توانی X باشد. در این صورت گردایه ی β را یک پایه ی توپولوژیک درX گوییم هرگاهβσ یک توپولوژی باشد.در این صورت گوییم β، توپولوژی βσ را تولید می کند.


مثال1:فرض کنیم{a وb و X={c مجموعه ی مفروض باشد،کدام یک از مجوعه های زیر یک توپولوژی( در X) است.
{τ1:{ø,X
{τ2:{ø,}a},{b},X
{τ3:{ø,{b},{c},{b,c},{a,b,c


حل: τ1 به وضوح یک توپولوژی در X است زیرا:
ø,Xєτ1
ø ∩ X= øєτ1
ø U X= Xєτ1


τ2 توپولوژی در X نیست زیرا:

{b وa} عضو τ2 نیست.زیرا{a,b} هست اجتماع aوb که در توپولوژی دومی نیست.


وτ3 یک توپولوژی در X است؟


مثال2: اگر {a وb و X={cو{{a وb وc}و{}و{a وb}و{b}و{a}}=τ باشد آنگاه ø ={}و {b}و{a}و{a وb}و {a وb وc} همگی در X بازند و{b وc }و{a وc}و{c}و ø وX بسته اند .



مثال3:مثالی بزنید که در آن عضوی باشد که نه باز باشد و نه بسته؟
حل:با X مثال 2 و{{a وb وc}و{}و{a وb}و{b} }= τ.در این صورت {cوb}نه باز است زیرا عضو توپولوژی نیست ونه بسته است(زیرا متمم آن که a باشد باز نیست)

مثال4: اجتماع دلخواه از بازه های حقیقی را یک پایه برای توپولوژی معمولی خوانیم،توپولوژی معمولی همان R است.

تذکر:بر روی این جمله تأکید می کنیم که توپولوژی که تعریف می شود بر روی یک مجوعه ی مفروض است،به عبارتی اگرτ در X توپولوژی نباشدبه معنی آن نیست که در هر مجوعه ی غیر از X نیز توپولوژی نیست،ممکن است τ در X توپولوژی نباشدولی درY توپولوژی باشد.

لم1:فرض کنیم (τ وX) یک فضای توپولوژیک باشد وβ زیر مجموعه ای از مجموعه ی توانی X باشد. در این صورت،β پایه برای توپولوژی است اگر و تنها اگر در عین حال


1) β زیر مجموعه τ
2)به ازای هرU از τ، و هرx ازU،گردایه β عضوی مانند B داشته باشد به طوری کهxمتعلق به B و B زیر مجموعه ای از U باشد.
اثبات(چون هدف تنها اثبات رابطه ی اول بحث می باشد لذا از اثبات این لم صرف نظر می کنیم)

تعریف:فرض کنیم f تابعی ازX به توی Y باشد و نیز x عضوی ازX باشد،در این صورت f را در x پیوسته گوییم هرگاه به ازای هر مجموعه ی باز شامل f(x مانند V،مجموعه ی بازی مانند U شامل x وجود داشته باشد به طوری که f(U زیر مجموعه ی V باشد.

تعریف:باشرایط فوقfدر A)A زیر مجموعه ی X است) راپیوسته گوییم هر گاه f در هر نقطه از A پیوسته باشد بالاخص A=X.

لم2:فرض کنیم γ پایه ای برای توپولوژی Y یعنیυ باشد در این صورت f در x پیوسته است هرگاه به ازای هر عضو γ شامل f(x مانند В،مجموعه ی بازی مانند U شامل x وجود داشته باشد به طوری که f(U زیر مجموعه ی В باشد.

اثبات:برای این که ثابت کنیم f در x پیوسته است بنابر تعریف باید مجموعه ی بازی مانند U شامل x پیدا کنیم به طوری که f(Uزیر مجموعه ی V باشد. بنا بر فرض لم2 مجموعه ی بازی مانند U شامل x وجود دارد و بنا بر فرض(تعریف) V در Y بازاست و f(x عضو Vو همچنین γ پایه ای برای توپولوژی Y است در این صورت شرط 2 لم1 برقرار است یعنی گردایه γ عضوی مانند B داردبه طوری که f(x متعلق به B و B زیر مجموعه ای از V است اما f(U زیر مجموعه ی В است پس f(U زیر مجموعه ی V است.

تا اینجا مفهوم دقیق پیوستگی را آموختیم،در شماره بعد نشان خواهیم داد که اگر f در X پیوسته باشد آنگاه گزاره(*) برقرار است و بر عکس. به همین دلیل برای اثبات پیوستگی f در X از رابطه * استفاده می کنند.

t.s.m.t
01-08-2008, 08:58
با سلام
-------------
ادامه بده

(در این اثبات پیش نیاز همان مطلب قبل است در اکثر مواردبرهان، اشاره ای به نام تعریف ها و لم ها نخواهیم کرد تا خواننده خود پی به این مهم ببرد)
فرض کنیم R=X وY=R و توپولوژیهایX وY را معمولی در نظر میگیریم(به شماره ی قبلی مراجعه کنید).فرض کنیمf تابعی ازX به تویY باشد و۪ x عضوX وf در ۪x پیوسته باشد. به علاوه فرض کنیم ε عدد مثبت دلخواهی باشد.در این صورت،بازه ی B برابر با اف ایکس صفر منهای اپسیلون و اف ایکس صفر به علاوه ی اپسیلون ،عضوی از پایه برای توپولوژی Y است که شامل اف ایکس صفر است.(دقت کنید که در توپولوژی معمولی مجموعه های باز همان بازه ها ی بازند و عضو پایه توپولوژی معمولی اند، منتهی با شرایط خاص، ولی در هر صورت عضو توپولوژی هستند چون هر مجموعه ی بازی عضو توپولوژی خاص مجوعه ی مرجعِ مد نظر است)اینک از پیوستگی f در ۪ x معلوم می شود که مجمو عه ی بازی مانندU درX هست که۪ x متعلق بهU وB شامل اف یواست.اینک گوییم چونU باز و ۪ x متعلق بهU است،بازه ی بازی مانند (dوc) وجود دارد که زیر مجموعه ی U و شامل ۪ x است.قرار می دهیم δ را برابر با مینیمم ایکس صفر منهای سی و دی منهای ایکس صفر . در این صورت ملاحظه خواهد شد که(d وc) شامل بازه ی ایکس صفر منهای دلتا و ایکس صفر به علاوه ی دلتا است.حال اگرx عضو دلخواهی ازX باشد که فاصله ی x از ۪ x کمتر از δ باشد آنگاهx عضو(d وc) و بنابراین عضوU است. از آنجااف ایکس متعلق به اف یو می باشد . پس اف ایکس عضوB . یعنی فاصله اف ایکس از اف ایکس صفر کمتر است از ε .
به طور خلاصه ملاحظه کردیم اگرf در۪ x پیوسته باشد،آنگاه به ازای هر عدد مثبت مانند ε عدد مثبتی مانند δ یافت می شود که به ازای هرx اگر فاصله ی x از۪ x کمتر از δ باشد آنگاه فاصله ی اف ایکس از اف ایکس صفر کمتر است از ε.
در ادامه نشان خواهیم داد عکس این مطلب را...

t.s.m.t
01-08-2008, 10:49
برای درک بهتر خودتان به زبان ریاضی بنویسید،اینجا که چنین نوشتن مشکله!

Maxwell_1989
07-08-2008, 13:02
فاعله(نابغه)>>>فواعل(نوابغ))
نوابیغ دیگه چیه؟!لطفا توضیح بفرمایید.
با تشکر

shape
07-08-2008, 13:50
منظورش افراد بیغ هستن
تازه دسته ی نوابوغ رو فراموش کرده
ولی این مطلب نشون میده نویسندش خیلی دوست داره پیش داوری بکنه

* مدّعيان حل مسأله هاي حل نشده معروف
اين دسته نسبت به دسته اوّل كمي معقول ترند. ايشان آدم هايي هستند كه سعي مي كنند مسأله هاي بزرگ حل نشده را كه به پيش زمينه هاي رياضي قوي نياز دارند، بدون داشتن آن پيش زمينه ها حل كنند. مثلاً فرضيه كلدباخ، فرمول توليد اعداد اول و ....
همونطور که (ن)میدونید قضیه برتران(چبیشف) 5 سال حل نشده بود ولی اگه راه حل های اردوش و رامانوجان رو واسه این قضیه
بخونید , می فهمید که به هیچ چیز پیچیده ای احتیاج ندارن فقط با ایده های نابی حل میشن

sherlockholmz
09-08-2008, 08:54
باسلام و تشكر از پستتان،
من با اجازه شما فقط چند نكته را در اين زمينه يادآوري ميكنم:
1- عمل تفكر و تعقل در يك مسئله رياضي به نوبه خود باعث انبساط خاطر ،فعاليت مغزي،افزايش قدرت استدلال،بالا رفتن توان ذهني و ... مي شود وحتما" لازم نيست كه آن مسئله حل شده و يا به يك نتيجه معقول برسد.
2- كم نيستند مسائل رياضي كه درامتداد تفكر برروي مسائل ديگر حل شده اندواين موضوع مهمي است.
3-گاه باشد كه كودكي نادان به خطا بر هدف زند تيري
البته با نظر شما نسبت به شيادان و سوء استفاده كنندگان (كه در تمام موارد و زمينه ها و در تمام قرون و اعصار حضوري مستمرو پررنگ دارند) كاملا" موافقم.
با تشكر

note
26-08-2008, 18:39
سلام کسی می تونه گراف چهار رنگ و رنگ آمیزی گراف ها را را متن انگلیسی ان را بزاره شدیدا نیاز دارم :20:

riazicenter.net
10-09-2008, 16:36
احتمالاً معروف ترين مجادله در تاريخ علم مربوط به نيوتن و لايب نيتز در مورد اختراع حساب ديفرانسيل و انتگرال مي شود.
نيوتن در سال 1669 ميلادي متني را در مورد تجزيه ي معادلات عددي نامتناهي مي نويسد که اين متن را به رياضي دان مشهور انگليسي يعني ايساک بارو مي دهد تا او اين متن را مطالعه کند . ايساک بارو نيز اين متن را به يک رياضي دان ديگر يعني جان کولينز مي دهد ، که جان کولينز ، اين متن را براي خود کپي مي کند .
وقتي لايب نيتز در سال 1675 به طور مستقل به روي حساب ديفرانسيل کار مي کند، نه تنها با نيوتن به عنوان شخص ثالث مکاتبه مي کند ، بلکه با جان کولينز هم رابطه بر قرار مي کند .
برخي محققان معتقدندکه به راستي ، لايب نيتز به طور مستقل به روابط موجود در حساب ديفرانسيل دست پيدا کرد و برخي ديگر ، خلاف اين نظر را دارند .
با اين وجود لايب نيتز ، کتابي را در سال 1684 ميلادي منتشر مي کند ولي در اين کتاب ، هيچ صحبتي از مکاتبه با نيوتن و يا مبادله ي اطلاعات با جان کولينز نمي کند .
اين موضوع به رياضي دانان اروپايي اين احساس را القا کرد که ، لايب نيتز يگانه مخترع حساب ديفرانسيل و انتگرال است ؛ چون در 20 سال قبل ، نيوتن هيچ کتابي در اين رابطه منتشر نکرده بود .
در واقع نيوتن بسياري از مطالب خود را مدت ها بعد منتشر مي کرد و هميشه در انتشار مطالب خود کوتاهي به خرج مي داد .
در اين ميان رياضي داناني چون ، جان کيل و يوهان برنولي هر يک نوشته هايي را در دفاع از استادان خود ، به ترتيب ، نيوتن و لايب نيتز منتشر کردند . هر گروه ، ديگري را به سرقت آثار و فريب کاري متهم کردند و رسوايي بزرگي را رقم زدند .
به هر حال آلفرد هال ، محقق اروپايي در مقدمه ي کتاب خود يعني " جنگ فيلسوفان " مي نويسد : "به طور حتم نيوتن اولين کسي بود که طرح هاي فراگيري رابراي محاسبه هاي بي نهايت کوچک با روشي استادانه طرح ريزي کرد ، ولي حساب ديفرانسيل و انتگرالي که هم چون فواره اي سبب توسعه هاي فراوان و پي در پي از سال 1684 تا به امروز شده است ، به طور مستقل توسط لايب نيتز به وجود آمده است . "
منبع : [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])

ir1369
20-10-2008, 02:52
خیلی ببخشید وللی تلاش برای اثبات مسایل سخت که جرم نیست بالاخره یکی بایداونهارواثبات کنه درضمن دراین جهان همه چی نظم داره اعداداول هم مینطورفقط پیداکردن نظم بین اعداداول غیرممکن نیست ویکی بایداین کارروبکنه

mahdi.a81
21-11-2008, 00:46
سلام . دنيا به رياضيات فازي خيلي وابسته شده و آشنايي با اون ميتونه خيلي موثر باشه و راه پيشرفت رو هموارتر كنه . آناليز فازي ، جبر فازي ، انتگرال فازي ، توپولوژي فازي محاسبات عددي فازي و..........
مطالب مربوط به رياضيات فازي رو اينجا بگذاريد .از كاربردها گرفته تا سوالات مهم فازي و تاريخچه و هر چيز ديگه .

mahdi.a81
21-11-2008, 10:42
اولين فايل آموزشي رو براتون ميزارم . البته خودم تهيه نكردم ، و در صفحه اول نوشته كار كي هست .
اميدوارم استفاده كنيد و لذت ببريد .


برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

m1367m2006
21-11-2008, 11:52
مهدی جان
اینا با چی باید باز کرد؟

mahdi.a81
21-11-2008, 11:59
فايل زيپ شده با "وينزيپ" يا" وينرر" يا هر فشرده سازي آنزيپ كن .بعدش يه فايل پاور پوينت داري كه بايد با اون باز ميشه ."از نرم افزارهاي آفيس " .

mahdi.a81
22-11-2008, 22:15
ریاضیات فازی ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])
رياضيات فازي يک فرا مجموعه از منطق بولي است که بر مفهوم درستي نسبي، دلالت مي کند. منطق کلاسيک هر چيزي را بر اساس يک سيستم دوتائي نشان مي دهد ( درست يا غلط، 0 يا 1، سياه يا سفيد) ولي منطق فازي درستي هر چيزي را با يک عدد که مقدار آن بين صفر و يک است نشان مي دهد. مثلاً اگر رنگ سياه را عدد صفر و رنگ سفيد را عدد 1 نشان دهيم، آن گاه رنگ خاکستري عددي نزديک به صفر خواهد بود. در سال 1965، دکتر لطفي‌زاده نظريه سيستم‌هاي فازي را معرفي کرد. در فضايي که دانشمندان علوم مهندسي به دنبال روش‌هاي رياضي براي شکست دادن مسايل دشوارتر بودند، نظريه فازي به گونه‌اي ديگر از مدل‌سازي، اقدام کرد.
منطق فازي معتقد است که ابهام در ماهيت علم است. بر خلاف ديگران که معتقدند که بايد تقريب‌ها را دقيق‌تر کرد تا بهره‌وري افزايش يابد، لطفي‌زاده معتقد است که بايد به دنبال ساختن مدل‌هايي بود که ابهام را به عنوان بخشي از سيستم مدل کند. در منطق ارسطويي، يک دسته‌بندي درست و نادرست وجود دارد. تمام گزاره‌ها درست يا نادرست هستند. بنابراين جمله «هوا سرد است»، در مدل ارسطويي اساساً يک گزاره نمي‌باشد، چرا که مقدار سرد بودن براي افراد مختلف متفاوت است و اين جمله اساساً هميشه درست يا هميشه نادرست نيست. در منطق فازي، جملاتي هستند که مقداري درست و مقداري نادرست هستند. براي مثال، جمله "هوا سرد است" يک گزاره منطقي فازي مي‌باشد که درستي آن گاهي کم و گاهي زياد است. گاهي هميشه درست و گاهي هميشه نادرست و گاهي تا حدودي درست است. منطق فازي مي‌تواند پايه‌ريز بنياني براي فن‌آوري جديدي باشد که تا کنون هم دست‌آورد‌هاي فراواني داشته است.
کاربردها:
از منطق فازي براي ساخت کنترل کننده هاي لوازم خانگي از قبيل ماشين رختشويي (براي تشخيص حداکثر ظرفيت ماشين، مقدار مواد شوينده، تنظيم چرخهاي شوينده) و يخچال استفاده مي شود. کاربرد اساسي آن تشخيص حوزه متغيرهاي پيوسته است. براي مثال يک وسيله اندازه گيري دما براي جلوگيري از قفل شدن يک عايق ممکن است چندين عضو مجزا تابعي داشته باشد تا بتواند حوزه دماهايي را که نياز به کنترل دارد به طور صحيح تعريف نمايد. هر تابع، يک ارزش دمايي مشابه که حوزه آن بين 0 و 1 است را اختيار مي کند. از اين ارزشهاي داده شده براي تعيين چگونگي کنترل يک عايق استفاده مي شود.
حال با مثال ديگري اهميت اين علم را بيشتر درک مينمائيم:
يک انسان در نور کافي قادر به درک ميليونها رنگ ميباشد.ولي يک روبوت چگونه ميتواند اين تعداد رنگ را تشخيص دهد؟ حال اگر بخواهيم روباتي طراحي کنيم که قادر به تشخيص رنگها باشد از منطق فازي کمک ميگيريم و با اختصاص اعدادي به هر رنگ آن را براي روبوت طراحي شده تعريف ميکنيم.
از کاربردهاي ديگر منطق فازي ميتوان به کاربرد اين علم در صنعت اتومبيل سازي(در طراحي سيستم ترمز ABS و کنترل موتور براي بدست آوردن بالاترين راندمان قدرت)،در طراحي بعضي از ريزپردازنده ها و طراحي دوربينهاي ديجيتال اشاره کرد
منبع :وبلاگ دادمنش

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

mahdi.a81
24-11-2008, 18:18
این مطلب رو تو همین سایت پیدا کردم . از eh_mn تشکر میکنم که این مطلب رو تو سایت گذاشتند . در انتها لینک اصلی رو هم میذارم.

منطق فازي(1)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
پروفسور لطفي زاده

منطق فازي در سال 1965 ميلادي تولد يافت. در آن سال لطفي زاده از دانشگاه كاليفرنيا در بركلي ، مقاله اي با عنوان "مجموعه هاي فازي" در مجله اطلاعات و كنترل به چاپ رساند. اين مقاله گويا دو سال قبل از چاپ و انتشارش تدوين و تكميل شده بود اما بخاطر نظرات و انديشه هاي اساسي و ريشه اي ارائه شده در آن هيچ مجله علمي پژوهشي جرات پذيرش و چاپ آن را نداشت. تنها مجله اطلاعات و كنترل كه سردبير آن خود لطفي زاده بود مبادرت به چاپ اين مقاله نمود.
تئوري مجموعه هاي فازي بدليل موفقيت هاي زياد در كاركردهاي گوناگون در سالهاي اخير مورد توجه فراوان قرار گرفته است. يكي از موفق ترين حوزه هاي كاربردي منطق فازي در تدوين و طراحي سيستم هاي كنترل فازي بوده است. كنترل كننده هاي كلاسيك براساس مدل هاي رياضي فرآيند كنترل طراحي مي گردند در حاليكه كنترل كننده هاي فازي اصولا بر پايه دانش اتخاذ شده بوسيله عمل كننده هاي انساني طراحي و ساخته مي شوند. در سال 1974 ابراهيم ممداني از دانشگاه لندن نخستين بار منطق فازي را در زمينه كنترل بكار گرفت. (كنترل يك موتور بخار ساده) در سال 1980 اسميت از دانمارك براي نخستين بار از منطق فازي براي كنترل كوره سيمان استفاده كرد. در دهه 1980 موسسه فوجي الكتريك منطق فازي را براي كنترل يك فرآيند تصفيه آب بكار گرفت. در اوايل دهه 1990 با بكار گيري منطق فازي در ساخت لوازم خانگي عموم نيز با منطق فازي آشنا شدند.
طيف كاربردهاي فازي در كنترل كننده ها بسيار متنوع است. در يك طرف طيف كنترل كننده هاي فازي ساده قرار دارند كه در كالاهاي مصرفي بكار رفته اند. ماشين هاي لباس شويي ، جارو برقي ها ، ريش تراش ها ، ظرف شويي ها ، پلوپز ها ، اتوبوس ها ( براي كنترل ترمز ، نيروهاي محركه اتوماتيك ، كنترل سرعت و ساير اجزاء ماشين) ، يخچال ها ، مرطوب كننده ها ، دستگاههاي تهويه مطبوع و ... تنها نمونه هايي كوچك از كاربرد هاي سيستم هاي فازي اند. در كنترل كننده هاي پيچيده تر نيز تئوري فازي كاربرد هاي فراوان داشته است. مثلا كنترل آسانسور ها ، سيستم هاي قطار زيرزميني ، ترافيك شهر ها ، فرآيند هاي صنعتي و .. نمونه هايي از اين نوعند. يكي از پيچيده ترين نوع كنترل كننده هاي فازي كه با موفقيت امتحان شده و بكار رفته است كنترل هليكوپتر بدون سرنشين است. در اين نوع هليكوپتر ها دستورها با زبان محاوره اي طبيعي بوده و ارتباط با آن از طريق بي سيم است.



--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
منبع

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

mahdi.a81
26-11-2008, 19:40
این مطلب رو تو همین سایت پیدا کردم . از eh_mn تشکر میکنم که این مطلب رو تو سایت گذاشتند . در انتها لینک اصلی رو هم میذارم.
به نام خدا
در چند دهه اخير كاربردهاي منطق فازي بيش از پيش آشكار شده است. برخي از آنها در اين پست آمده است.



منطق فازي(2)


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------




تئوري مجموعه هاي فازي در زمينه هاي گوناگون علوم كامپيوتري بويژه در نگهداري و آمائيدن اطلاعات و دانش بروش تفكر انساني (Human Thinking) نقش مهمي را ايفا نموده است. پايگاه هاي داده فازي ، سيستم هاي تهذيب و بازيافت اطلاعات (Fazzy Information Retrieval Systems) و سيستم هاي خبره فازي (Fuzzy Expert Systems) نمونه هايي از اين كاربرد هاست. مزيت اصلي كاربرد مجموعه هاي فازي در سيستم هاي كامپيوتري ، قدرت و قابليت نمايش و آمائيدن اطلاعات و دانشي است كه بصورت زبان طبيعي بيان شده اند. اين ويژگي ، سيستم هاي فوق الذكر را منعطف تر و واقعي تر مي كند.
اخيرا استفاده از مجموعه هاي فازي در تشخيص الگو (Pattern Recoginition) و شاخه هاي مربوط بدان نظير تجزيه و تحليل خوشه ها (Cluster Analysis) ، پردازش صدا (Voice Processing) ، پردازش تصوير (Image Processing) و ... بسيار رايج شده است.
قابل ذكر است كه كاربرد تئوري فازي در مهندسي بيش از ساير علوم بوده است. عمده ترين اين كاربرد در تدوين و طراحي كنترل كننده هاي فازي است. از ميان شاخه هاي مختلف مهندسي ، مهندسي ساختمان در بكار بردن تئوري فازي پيش قراول بوده است. اين موضوع تعجب آور نيست زيرا همه پروژه مهندسي ساختمان يك پروژه مستقل بوده و اتكاء آن به قضاوت انسان (Human Judgment) و قواعد تقريبي انگشت (Approximate Rule of Thumb)(!!) بيش از ساير رشته هاي مهندسي است. مثلا ، كاربرد اين تئوري در ارزيابي زير بناها مثل پل ها ، زير سازي شهرها ، ساختمان ها و... بسيار موفقيت آميز بوده است. تخمين و ارزيابي اختصاصي اجزا و مصالح ساختمان و شكل مناسب آنها را مي توان بصورت اعداد فازي مناسب بيان نمود.



--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

mahdi.a81
27-11-2008, 11:07
با سلام به دوستان
مطلبي كه ميذارم نوشته دكتر علي وحيديان كامياد هست كه در مجله رياضي تاريخ 8 مرداد 1384 به چاپ رسيده بود . با تشكر از اين استاد گرامي به خاطر اين مطلب .

منطق فازی، منطق بکاررفته در آیات قرآن


ابتدا به چند تعریف زیر توجه کنید.
منطق کلاسیک: منطقی ست که در آن گزاره ها فقط ارزش راست یا دروغ دارند که آنرا منطق ۰ و ۱ می نامند.
منطق چند مقداره: منطقی که علاوه بر ۰ و ۱ چند مقدار دیگر را نیز اختیار می کند.
منطق بینهایت مقداره: در این منطق ارزش گزاره ها می تواند هر عدد حقیقی بین ۰ تا ۱ باشد.
منطق فازی: نوعی از منطق بینهایت مقداره و در حقیقت یک ابتکار برای بیان رفتار مطلوب سیستم ها با استفاده از زبان روزمره. در واقه منطق فازی یک منطق پیوسته است که از استدلال تقریبی بشر الگوبرداری کرده است.
جایگاه منطق در برداشت از قرآن کریم
منطق صحیح و مناسب به عنوان مبنا و زیربنای فکری در علوم و بویژه در علوم اسلامی نقش اساسی دارد. از این رو تفسیر برخی آیات قرآن بدلیل عدم استفاده از منطق مناسب امکان پذیر نیست. آیات بسیاری در قرآن از مخاطب برهان و دلیل تقاضا کرده است که نشان از حاکم بودن منطق در قرآن است. زیرا بدون منطق نمی توان برهان آورد و استدلال استنتاج نمود. برای نمونه می توانید به آیات ۱۱۱ بقره - ۱۰۴ و ۱۰۵ اعراف - ۲۴ انبیا - ۱۷۴ نسا و …. مراجعه کنید. پس تقریبا جایگاه منطق قرآن برایمان روشن است.
منطق قرآن نمی تواند دو ارزشی باشد. به مثال زیر توجه کنید:
در آیه ۴۵ سوره عنکبوت آمده است: … ان الصلوه تنهی عن الفحشا و المنکر … - یعنی همانا نماز است که اهل نماز را از هر کار زشت و منکر باز می دارد. اگر به صورت جمله منطقی این مطلب را بیان کنیم داریم: اگر فردی نماز بجای می آورد آنگاه آن فرد از هر کار زشت و منکر باز داشته می شود. حال سوال اینست که اغلب افراد نماز بجا می اورند ولی بعضی اعمال که خود فحشا و منکرند نیز مرتکب می شوند. توجیه این عمل چیست؟ پاسخ این است که نماز خواندن یک مفهوم بینهایت ارزشیست. یعنی ارزش نماز اغلب نمازگزاران بین صفر و یک است. از طرف دیگر دوری از فحشا و منکر نیز می تواند بینهایت ارزشی باشد. یعنی ممکن است یک فرد مرتکب فحشا کوچک و یا متوسط و یا بزرگ و یا خیلی بزرگ شود. به عبارت دیگر اعمال منکر یا فحشا درجات بسیار زیاد دارند. لذا براساس یک منطق فازی می توان نتیجه گرفت که اگر درجه قبولی نماز یک فرد فرضا ۵۰٪ باشد این فرد حداقل به اندازه ۵۰٪ از فحشا و منکر به دور است و هر چقدر درجه قبولی نماز افزایش یابد حداقل به همان اندازه از فحشا و منکر دور می شود. تا جاییکه اگر درجه قبولی ۱۰۰٪ باشد این فرد ۱۰۰٪ از فحشا و منکر به دور است.برای اثبات این حرف به زندگی امامان و معصومین توجه کنید.
برای مثال هایی دیگر از این دست می توان به آیه الا بذکر الله تطمئن القلوب نیز اشاره کرد. گزاره شرطی این آیه را می توان به صورت “اگر انسان خداوند را یاد کند آنگاه به آرامش می رسد” بیان کرد. از شما می خوام که تحلیلی فازی برای این آیه بیان کنید….

لينك منبع :

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

mahdi.a81
05-12-2008, 22:24
منطق فازی و بازی نویسی
منطق فازی آخرین تکنولوژی است که به وجود آمده که امیدوارم بتوانم این قسمت را به خوبی توضیح دهم چون بسیار مهم است . که استفاده می‌شود برای استنتاجهایی که بر اساس تئوری فازی بیان شده است . به عبارت دیگر منطق فازی متدی است برای ارزش نهادن بر اطلاعات به صورتی که اجزای ما منحصرا دارای دو مقدار نباشند . بیشتر مردم از منطق کریسپ استفاده می‌کنند که میتواند شامل چیزی باشد یا نباشد . برای مثال اگر قرار باشد مجموعه ای از کودکان و بزرگسالان تشکیل دهیم من داخل گروه بزرگسالان جای میگیرم و برادر زاده سه ساله من در گروه کودکان جای خواهد گرفت این منطق کزیسپ است .از طرف دیگر منطق فازی به اشیاء اجازه می‌دهد که در داخل مجموعه ای قرار بگیرند حتی اگر به طور کامل در آن مجموعه نباشند برای مثال من ممکن است بگویم که من ۱۰٪ در مجموعه کودکان قرار دارم و ۱۰۰٪ در مجموعه بزرگسالان . به طریق مشابه برادر زاده من ۲٪ در گروه بزرگسالان قرار دارد و ۱۰۰٪ در گروه کودکان . اینها مقادیر فازی بودند . شاید این نکته را یادآوری کنید که ما نمیتوانیم به ۱۰۰٪ برسیم چون نمیتوان به صورت کامل در یک مجموعه قرار گرفت و ما فقط میتوانیم در حدود ۱۰۰٪ باشیم اما بیشتر در منطق فازی بر خلاف این گفته است .
نکته جالب در باره منطق فازی این است که این توانایی را به شما می‌دهد که تصمیم بگیرید در نوع منطق فازی که کمتریم مقدار خطا را به شما می‌دهد و به راحتی میتوانید از آن استفاده کنید که این کار را نمیتوان با سیستم‌هایی که از منطق کرسپ پیروی می‌کنند انجام داد . اگر که ورودی ها یا اطلاعاتی را از دست دادید با منطق فازی احتیاج به اضافه کاری ندارید اما یک سیستم مبتنی بر منطق فازی میتواند تابعی باشد بر متغییرهای از دست رفته دقیقا شبیه به مغز انسان . منظورم این است که که چقدر از تصمیماتی که در روز میگیرید احساس میکنید که از منطق فازی استفاده کردید؟ شما تمام حقایق را در اختیار ندارید با این وجود نسبت به تصمیمی که میگیرید مطمئن و دلگرم هستسد .
تا اینجا ۲٪ در منطق فازی سیر و سفر کردیم این برنامه ها در هوش مصنوعی قدرت تصمیم گیری به سیستم می‌دهد و همچنین انتخابات رفتاری وفیلتر کردن ورودی/ خروجی های قابل مشاهده . با این مطالب که در ذهنتان جای گرفت سری به بقیه قسمت‌های منطق فازی میزنیم

تئوری مجموعه های نرمال
یک مجموعه نرمال به سادگی مجوعه ای از اشیاء است . برای نوشتن یک مجموعه از حروف بزرگ استفاده می‌کنند و جای اجزای مجموعه در درون علامت مجموعه قرار میگیرد ( براکت ) مجموعه میتواند شامل هر چیزی باشد : رنگها و اسمها و حیوانات و شماره ها و ... شکل ۱۲٫۳۵ چند نوع مجموعه را نشان می‌دهد

برای مثال مجموعه A = { ۳٬۴,۵٬۲۰ } و مجموعه B = { ۱, ۳, ۹ } . در اینجا تعدادی عملیاتی که میتوان انجام داد را آورده ایم :
== اجزاء (є ) ==
وقتی در مورد مجموعه صحبت میکنیم شما میخواهید بدانید اگر شیئی وجود دارد که مجموعه آن را در بر بگیرد چی شیئی است مثلاً ایا ۳ جزو مجموعه A است ؟ که میتوان آن را اینگونه بیان کرد : ۳ є A که جواب درست است یا ۲ Є b که جواب نا درست است چون ۲ جزو مجموعه B نیست

اجتماع (U)
این عملگر تمام اجزایی که در مهر دو مجموعه وجود دارد را با هم جمع می‌کند و در مجموعه جدیدی میریزد اگر یک شیی هم در مجموعه اول وجود داشت و هم در مجموعه دوم تکرار شده بود فقط یک باردر مجموعه جدید نوشته می‌شود برای مثال : A U B = {۱٬۳,۴٬۵,۹٬۲۰} .

اشتراک (Π)
این عملگراشیائی را انتخاب می‌کند که که در دو مجموعه وجود داشته باشد و با هم برابر باشد بنابر این A Π B = {۳}

زیر مجموعه (C)
بعضی وقتها شما میخواهید بدانید که آیا یک مجموعه در درون مجموعه دیگر وجود دارد یا اینکه یک مجموعه شامل مجموعه دیگر می‌شودکه در اصطلاح میگویند مجموعه ای زیر مجموعه مجموعه دیگر است بنا بر این {۱٬۳ } C B و میخوانیم که مجموعه {۱و ۳ } زیر مجموعه مجموعه B است هر چند که A !C B که خوانده میشو.د A زیر مجموعه B نیست






خوب این مقداری از تئوری مجموعه ها بود که اصلاً پیچیده نبود و تنها حاوی یک سری سمبل بود که هر کسی در طول روز با این تئوری کار می‌کند و از این موضوع غالبا خبر ندارند
تئوری مجموعه های فازی مشکل بزرگ کامپیوتر ها این است که آنها دقیقا ماشین هستند تا زمانی که آنها قابلیت این را داشته باشند که بتوانند مسائل فازی را تجزیه تحلیل و حل کننند حدود ۷۰ ٪ کامپیوتر ها برای عملیات محاسباتی خود از تکنیکهای منطق فازی استفاده می‌کنند که این عملیات در نرم افزارها و حل مسائل استفاده می‌شوند منطق فازی که ما در موردش صحبت میکنیم برنامه هایی است که در انها تئوری منطق فازی را استفاده می‌کنند . بگذارید نگاهی به تئوری مجموعه های فزی بیندازیم .
در تئوری مجموعه های فازی نمیتوان بر روی یک شیئ تمرکز کرد اشیاء در درون مجموعه وجود دارند اما شما با روابط بین اشیاء کار میکنید نه خود اشیاء برای مثال اجازه بدهید یک کلاس مجموعه فازی ترتیب دهیم به نام Computer special FX سپس چند فیلم فیلم مورد علاقه شما را انتخاب کنیم و درجه عضویت در این کلاس را تعیین کنیم




میبینید چگونه تمام جدول از منطق فازی استفاده می‌کنند ؟ همچنین فیلم ماتریکس واقعا از کامپیوتر زیاد بهره بردا برای جلوه های ویژه و کل فیلم آنتز توسط کامپیوتر تولید شده منصفانه قضاوت کنید آیا شما با درصد هایی که در جدول فوق ارائه شدخ موافقید ؟ فیلم آنتز از تکنواوژی پیشرفته ساخت کامپیوتر استفاده کرده و یک فیلم یک ساعت و بیست دقیقه ای است و فرست کامپ فقط در کل پنج دقیقه به وسیله کامپیوتر تصاویر اصلاح شده است . ایا این منصفانه است که فرست کامپ ۲۰٪ باشد ؟ من نمیدانم . شاید علتش این است که داریم از منطق فازی استفاده میکنیم .
در هر صورت هر وقط که شروع به نسبت دادن درجه فازی کردید در هر مجموعه ای درصد عضو بودن هر شیئ در مجموعه فازی با قوانین خاصی قابل اعمال میباشند بنابر این برای مثال فیلمهای جدول بالا را به صورت فازی در میاوریم " {ANTZ,۱٫۰۰}, { FORREST COMP , ۰٫۲۰}, {TERMINATOR , ۰٫۷۵}, {ALIENS, ۰٫۵۰} , {THE MATRIX , ۰٫۹} " در آخر اگر شما یک کلاس فازی بارانی داشته باشید امروز را جزو چه قسمتی از مجموعه می‌شود ؟ جایی که ما زندگی میکنیم برای مثال " { امروز , ۱٫۰۰ } " !
اکنون خود شما میتوانید اشیاء جدیدی را به مجموعه فازی اضافه کنید در اغلب اوقات درجه عضویت مجموعه را DOM مینامند برای مثال درجه عضویت مجموعه A = { ۱٫۰, ۰٫۴۵ , ۰٫۵ , ۰٫۹۰ } در این مجموعه برای هر فیلم فقط یک ورودی وجود دارد هر متغییر یک دووم را نشان میدهند .
حال تصور کنید شما مجموعه دیگری از فیلمها دارید که خودتان درجه عضویت هر سیئ را تعیین کردید مانند : B = { ۰٫۲ , ۰٫۴۵ , ۰٫۵ , ۰٫۹ , ۰٫۱۵ } . اجازه بدهید در مورد این مجموعه ها اعمال تعریف شده را توضیح دهیم چون میدانم که مفهوم مجموعه های فازی را به خوبی یاد گرفتید قبل از اینکه شروع کنیم یک بار دیگر توضیح میدهم که مجموعه های فازی درجه عضویت دارند شما میتوانید برای آگاهی از اشیاء آنها را درون یک بردار بریزید باید توضیح دهم که اشیاء در مجموعه های فازی ثابت هستند معنی این عبارت را تا دقایق دیگر متوجه خواهید شد .

اجتماع فازی (U)
اجتماع دو مجموعه فازی مکزیمم هر جزء از دو مجموعه است A = (۱٫۰ , ۰٫۲۰ , ۰٫۷۵ , ۰٫۵۰ , ۰٫۹۰ ) B = { ۰٫۲ , ۰٫۴۵ , ۰٫۵ , ۰٫۹ , ۰٫۱۵ نتیجه این اجتماع می‌شود :
A U B = { MAX(۱٫۰٬۰٫۲) , MAX(۰٫۲۰ , ۰٫۴۵) , MAX ( ۰٫۷۵ , ۰٫۵) , MAX (۰٫۹۰ , ۰٫۱۵)} = {۱٫۰ , ۰٫۴۵ , ۰٫۷۵ , ۰٫۹۰ }

اشتراک فازی (Π)
برای اشتراک دو مجموعه فازی فقط کافی است که از هر جزء مینیمم گیری کنیم و از یک جزء در هر دو مجموعه جزء کوچک‌تر را انتخاب کنیم
A = (۱٫۰ , ۰٫۲۰ , ۰٫۷۵ , ۰٫۵۰ , ۰٫۹۰ ) B = { ۰٫۲ , ۰٫۴۵ , ۰٫۵ , ۰٫۹ , ۰٫۱۵ نتیجه این اشتراک می‌شود :
A Π B = { MIN(۱٫۰٬۰٫۲) , MIN(۰٫۲۰ , ۰٫۴۵) , MIN ( ۰٫۷۵ , ۰٫۵) , MIN (۰٫۹۰ , ۰٫۱۵)} = {۰٫۲ , ۰٫۲۰ , ۰٫۵ , ۰٫۱۵ }


زیر مجموعه ها و دیگر روابط مربوبه مجموع ها چیزهاییست که نادیده میگیرم به دلیل اینکه بتوانیم زودتر به اصل موضوع برسیم فقط در اینجا مجموعه مکمل فازی را توضیح میدهم : مجموعه مکمل فازی مجموعه ایست که اعضای آن اگر اعضای مجموعه اصلی را X بگیریم مجموعه مکمل اعضایش برابر با (۱-X) میباشد که مکمل مجموعه A را به صورت A’ نشان میدهند
A = (۱٫۰ , ۰٫۲۰ , ۰٫۷۵ , ۰٫۵۰ , ۰٫۹۰ ) بنابر این
A’ = ( ۱٫۰ – ۱٫۰ , ۱٫۰ – ۰٫۲۰ , ۱٫۰ – ۰٫۷۵ , ۱٫۰ -۰٫۵۰ , ۱٫۰ -۰٫۹۰ ) A’={ ۰٫۰ , ۰٫۸ , ۰٫۲۵ , ۰٫۵ , ۰٫۱ } متغییرهای فازی و قوانین آن خوب تا حالا همه چیز خوب پیش رفته ! شما اطلاعاتی در مورد متغییر های فازی و مجموعه های فازی دارید حال میخواهیم نگاهی بیندازیم به اینکه چگونه باید از این اطلاعات در بازی نویسی هوشمند استفاده کرد . شما باید یک موتر فازی بسازید که بتوانداز قوانین فازی استفاده کند و ورودی فازی داشته باشد و خروجی را یا به صورت فازی یا کریسپ تولید کند نگاهی به شکل ۱۲٫۳۶ بیندازید

وقتی دو نوع منطق مختلف با هم مخلوط شوند احتیاج به خروجیهای زیادی دارند
IF X AND Y THEN Z
OR
IF X OR Y THEN Z
متغییر های X و Y را مقدم میگویند و متغییر Z را تالی میگویند هرچند در منطق فازی X و Y جزو مقدمهای فازی میباشند که به اختصار به آن FLV میگویند همچنین متغییر Z میتواند هم FLV باشد هم از مقادیر کریسپ باشد اما نکته ای که در اینجا وجود دارد این است که متغییرهای X و Y نشاندهنده متغییر های فازی میباشند و به هیچ و جه از نوع کریسپ نیستند قسمت‌های فازی این فرم را قنون های فازی مینامند
IF EXPLOSION AND DAMAGE THEN RUN
زمانی این قسمت اجرا می‌شود که قسمت اول و آخر AND درست باشد در غیر این صورت قسمت THEN اجرا نمیشود با منطق فازی قوانین فقط قسمتی از راه حل هستند یعنی توابع فازی یا توابع غیر فازی جواب را تولید نمیکنند .
FLV ها نشاندهنده مفهوم فازی در یک محدوده خاص میباشد برای مثال اجازه بدهید بگوییم شما میخواهید کلاسبندی کنیدمسافت بین بازیکنان و اشیاء هوش مصنوعی به شکل ۱۲٫۳۷ نگاه کنید




متغییر ورودی بر روی بردار X میباشد که حدود آن بین ۰ تا ۱۰۰۰ میباشد که آتها را دامنه مینامند . و خروجی فازی بر روی محور Y ها نمایش داده می‌شوند که حدود آن از ۰٫۰ تا ۱٫۰ میباشد برای هر متغییر ورودیx درجه عضویت (دووم ) با یک خط مستقیم به صورت برجسته مشخص می‌شود متوانید شکل ۱۲٫۳۸ را ببینید و مقدار یا مقادیر Y ها را حساب کنید.

منبع : سایت "ویکی پدیا"

من این مطالب رو پیدا میکنم و میذارم . اگه دوستان هم لطف کنند و کمک کنند خیلی خوب میشه .
ممنون از لطف شما

حامدرضائی
29-01-2009, 16:53
راسل معتقد است ریاضیات خود دانشی است كه می بایست توسط اصول منطق مورد مداقه قرار گیرد. این نظر به دسته ای تعلق دارد كه به «منطق گرایان» شهرت یافته اند. در مقابل چنین اندیشه ای متفكرانی نظیر دكارت قرار دارند. «دكارت چنین تفكری را تلقین كرده بود كه فلسفه هنگامی صحیح و درست خواهد شد كه مانند ریاضیات ثابت شود، هرچند خود هیچ گاه این فكر را عملی نكرده بود.»
باروخ اسپینوزا - متفكر شهیر هلندی - تلاش كرد این تفكر را عملی سازد.
۱) «دور نیست كه شمردن اعداد، قدیمی ترین شكل سخن گفتن بوده باشد.» این جمله را «ویل دورانت» در اثر مهم خود «تاریخ تمدن» می گوید. یعنی مدت زمانی طولانی پیش از آنكه حكمای قدیم قائل به اقسام سه گانه و حكمت شوند كه «ریاضی» از جمله آنهاست. ۱ در واقع ریاضیات نه متولد كه كشف می شود. البته در باب ادعای ویل دورانت كه خود نیز با تردید ابراز می شود، نمی توان با قاطعیت بحث كرد اما حتی صرف نظر كردن از دیدگاه دورانت، خدشه ای به منظور نهایی كه مدنظر او نیز هست، وارد نمی كند. «ریاضیات زاییده احتیاج است از این روی در آغاز عینی و مبتنی بر تجربه بود.»۲ «حفظ حیات» پس از تولد، بدیهی ترین نیاز بشر است كه با اتكا به ابزار و شیوه های گوناگون در رسیدن به آن می كوشید. پیش از آنكه انسان پا از غار بیرون نهد و در اعماق تاریخ به كشف كشاورزی و شیوه های نوینی از رفع نیاز دست یابد، تجربه با او بود. هرچند تجربه ای ابتدایی اما محاسبه می كرد كه چه تعداد شكار برای مدتی معین او را سرپا نگه خواهد داشت.
مجموعه «فرهنگ بشری» به صورت مدون، تاریخی به قدمت غارنشینی یا حتی كشف كشاورزی ندارد اما شالوده ای است كهن كه مایه مباهات بشریت است زیرا از طریق یكی از مشتقات خود به نام «تكنولوژی» جهانی برای انسان ساخته است تا آسوده تر از پیش زندگی كند.
صرف سخن گفتن از نقش ریاضیات در تكنولوژی و فناوری های نوین و اتكای علوم مختلف بر آن، به قصد نمایش اهمیت ریاضی، هرچند بیان بخشی از واقعیت است اما در واقع فروكاستن نقش آن به همین جنبه عینی از «فرهنگ بشری» كه روزمره با آن سروكار داریم، غفلت از بخش مهم تر است كه تاریخ طولانی ریاضیات آن را تصدیق می كند زیرا «ریاضیات به علت داشتن تاریخ طولانی، انبوه متراكمی از دانسته ها گرد آورده كه بخش مهمی از فرهنگ بشری را تشكیل می دهد.»۳
ریاضیات به مفهوم امروزین، و به خودی خود، علمی است به غایت مجرد. آنچه كه در دانشكده های علوم ریاضی و به عنوان یك علم پایه تدریس می شود به ظاهر ارتباطی با دنیای بیرون ندارد. عده ای دانشجو با استادشان، تنها اتاقی را خواهانند با صفحه ای نصب بر دیوار و قلم و كاغذی كه به دنیای خود پردازند. نه نیازی به آزمایشگاه های بزرگ و مجهز شیمی، فیزیك، زیست شناسی یا زمین شناسی دارند و نه سروصدای كارگاه های فنی و مهندسی را تحمل می كنند و البته نیازی به زمین های وسیع رشته های كشاورزی احساس نمی كنند. زیرا خود را بی نیاز از همه چیز، متصل به علمی اشرافی می كنند كه در عین بی نیازی و دارایی، سخاوتمندانه گنج های باارزش خود را از محیطی آرام و كوچك به كارگاه ها، آزمایشگاه ها و دنیای رنگارنگ و پرسر و صدا تقدیم می كند بی آنكه چشمداشتی بدان ها داشته باشد و در عین حال در نمایش تفاوتش با دیگر علوم و به رخ كشیدن جایگاه رفیع خود نیز تردیدی نشان نمی دهد.
۲) ریاضیات در آغاز اینچنین مجرد نبود و چندان با مفاهیم انتزاعی سر و كاری نداشت. پس از دوران اوج پیشرفت علم یا «عصر طلایی» در یونان یعنی دوره مردانی چون «اقلیدس»، «ارشمیدس» و «آپولونیوس» و با افول این دوره و هجرت ریاضیات از یونان به هندوستان، این علم به شدت عینی بود و كمتر مجرد. ریاضیات كهن پس از هندویان، در قرن هفت میلادی و با ظهور اسلام، پیشرفت خود را مدیون همت مسلمانان در ترجمه گنجینه های یونان و هند به زبان عربی و گستردن آن در اقطار جهان می داند. با تولد دانشگاه ها در قرن ۱۳ و ترجمه متقابل كتاب های علمی مسلمانان و با وجود سپری شدن دوران فترت پیش از رنسانس و حتی تا پیش از قرن هفدهم، ریاضیات همچنان عینیت خود را حفظ كرده بود. اما این قرن كه آن را «قرن گذار از ریاضیات كهن به ریاضیات نوین» می نامند آغاز تحولات بسیار مهمی در ریاضیات بود. پیشرفت های عظیمی در رشته های گوناگون ریاضیات رخ داد: هندسه تحلیلی فرما و دكارت، محاسبه جامعه و فاضله نیوتن و لایب نیتس، آنالیز تركیبی و حساب احتمالات فرما و پاسكال، حساب عالی فرما و... قرن نوزدهم اتفاقات تازه ای را نوید می داد.
رستن هندسه از قیود قوانین هندسه اقلیدسی و این یعنی پایان حكمفرمایی هندسه اقلیدس و به وجود آمدن هندسه های نااقلیدسی، استقلال جبر از حساب كه پیش از این دنباله ای از آن به شمار می رفت و حال به طور مستقل به پیشرفت اعجاب انگیز خود ادامه می داد. البته تمامی این تحولات شگرف مساوی بود با دور شدن ریاضیات از عینیت و گراییدن آن به تجرید و نیز از میان رفتن بداهت و قطعیت در آن. به قول برتراند راسل ریاضیات موضوعی است كه در آن هرگز نمی دانیم از چه سخن می گوییم و به درستی آنچه هم می گوییم، اطمینان نداریم.
و یا نابغه ریاضی قرن نوزدهم و اوایل قرن ۲۰ هانری پوانكاره ریاضیات را «اطلاق یك نام بر چیزهایی بسیار» می داند. توجه به نكته ای در این سخنان مهم است. نباید قول برتراند راسل چنین تصوری را ایجاد كند كه ریاضیات علم غیردقیقی است. شاید معنای این سخن را بیش از هر كس، دانشجویی درك كند كه كلاس هایی نظیر «جبر» در دوره كارشناسی را تجربه كرده است یا آن دسته از دانشجویانی كه در دوره های كارشناسی ارشد و یا دكترا به صورت تخصصی به گرایشی چون «جبر» یا «آنالیز» می پردازند. اظهارات ریاضیدان برجسته ای چون «جان فون نویمان» درباره حساب دیفرانسیل و انتگرال، كمی به درك این مطلب كمك می كند: «حساب دیفرانسیل و انتگرال نخستین دستاورد ریاضیات نوین است و درك اهمیت آن كار آسانی نیست. به عقیده من این حساب روشن تر از هر مبحث دیگری مرحله آغازی ریاضیات نوین را توصیف می كند و نظام آنالیز ریاضی كه توسیع منطقی آن است، هنوز بزرگ ترین پیشرفت فنی در تفكر دقیق به شمار می آید.»۴
۳) ریاضیات به همان اندازه كه «بزرگ» و «پرابهت» است، مناقشه در اطرافش نیز بسیار. «ریاضیات با مفاهیم انتزاعی سرو كار دارد و كاربرد این مفاهیم انتزاعی در مورد واقعیت های مشخصی كه در علوم دیگر مورد بحث و بررسی هستند، مستلزم ندیده گرفتن ویژگی های خاص و تجربی و مشخص آن واقعیت ها است.»۵ به همین دلیل عامه مردم آن را سخت و معضل می دانند و عمدتاً ضرورتی نمی بینند كه ریاضیات را به عنوان یك مطالعه جنبی و در برنامه روزانه خود بگنجانند و حال آنكه اطلاع از اخبار پیشرفت های سایر علوم جذابیت بیشتری برای آنها دارد. علومی كه متكی به ریاضیات هستند.
آنها مثل فردی هستند كه از كاركردن با سیستم عامل رایانه خود لذت می برد و با نرم افزارهای گوناگون به فعالیت كاری می پردازد، موسیقی گوش داده و فیلم تماشا می كند اما علاقه ای به تخصصی چون «برنامه نویسی» از خود نشان نمی دهد و البته شاید متوجه نیست كه در پس هر «كلیك» و گوش فرادادن به نوای موسیقی آرام بخش، دستان پرتوان یك برنامه نویس و نقش اساسی برنامه ای مدون، پیچیده و دقیق كامپیوتری وجود دارد. هرچند، نظر عامه، دخیل در مناقشات عمده درباره ریاضیات نیست. سرچشمه اختلاف دیدگاه ها را باید در بین روشنفكران یا بهتر است بگوییم فلاسفه جست وجو كرد. همانان به ریاضیات اهمیت زیادی قائلند و تقریباً تمامی فلاسفه اگر به صورت مستقیم ارتباطی با این علم نداشته اند، دست كم دغدغه ریاضیات یا روش ریاضی وار را در ذهن داشته اند. مثلاً افرادی چون افلاطون و برتراند راسل (هر دو از نام آوران فلسفه، یكی در قدیم و دیگری دوران متاخر) معتقدند: «ریاضیات مقدمه ضروری فلسفه و شكل عالی تر آن است [چنان كه] بر سردر آكادمی افلاطون این جمله محكم نوشته شده بود، آنكه هندسه نداند، اینجا نباید بیاید» یا ارسطو - شاگرد افلاطون - معتقد است: «افلاطون از مثل همان را قصد كرده است كه فیثاغورث از اعداد می كند و اعداد را اصل و جوهر اشیا می داند (احتمال می رود كه مقصودش آن بود كه عالم بالتمام با قوانین ریاضی اداره می شود).»۶ با این حال، راسل معتقد است ریاضیات خود دانشی است كه می بایست توسط اصول منطق مورد مداقه قرار گیرد. این نظر به دسته ای تعلق دارد كه به «منطق گرایان» شهرت یافته اند. در مقابل چنین اندیشه ای متفكرانی نظیر دكارت قرار دارند. «دكارت چنین تفكری را تلقین كرده بود كه فلسفه هنگامی صحیح و درست خواهد شد كه مانند ریاضیات ثابت شود، هرچند خود هیچ گاه این فكر را عملی نكرده بود.» ۷ باروخ اسپینوزا - متفكر شهیر هلندی - تلاش كرد این تفكر را عملی سازد.
او معتقد بود: «بالاترین علم، علم حضوری و استدلال بی واسطه است مانند آن كه از ملاحظه ۳‎/x=۴/۲ فوراً درمی یابیم كه جای X باید عدد شش باشد و یا مثل علم به اینكه كل بزرگ تر از جزء خویش است. به عقیده وی ریاضیدانان بیشتر قضایای اقلیدس را از روی این علم شهودی حضوری درمی یابند.» ۸ اسپینوزا با همین اندیشه به تالیف اثر عظیم خود یعنی «رساله اخلاق» همت گماشت كه «البته این عمل ایجاز و درهم فشردگی معضلی بار آورده است كه برای هر سطر كتاب یك شرح كش سان لازم است.» ۹
بعدها و در اوایل قرن بیستم، فلسفه جدیدی به نام «شهودگرایی» شكل گرفت كه به زعم خویش بدعت منطق گرایان را رد كرده و رجعتی به گذشته داشت. آنان مبتنی بودن ریاضیات بر منطق را رد كرده و آن را متكی بر شهود و تجربه دانستند.
بانی این تفكر هموطن اسپینوزا یعنی لوتیسن اگبر توس یان بروئور ریاضیدان بود. در نگاه اولیه، این فلسفه بیشتر به عینیت هندویان نزدیك است و از تجرید به دور. شاید بتوان گفت به نوعی شهودگرایان، هندویان جدید هستند یا پیروان هندویان قدیم و منطق گرایان، یونانیان جدید یا پیرو یونانیان قدیم.
البته زمانی كه پا به دوران جدید می گذاریم می بایست محتاطانه با مسئله برخورد كرد. چون به طور عام، علوم و به خصوص علم ریاضیات در مسیر خود، به اندازه ای دچار تحول شده اند كه جز شباهت اسمی، در بسیاری موارد هیچ قرابتی بین آنچه اكنون در دست است با آنچه به فرض در دوران باستان در جریان بوده، نمی توان مشاهده كرد. مشابه همان مطلبی كه ویل دورانت در «تاریخ فلسفه» و درباره ارسطو مطرح می كند یعنی دانش ارسطو در زمینه علم سماوی در برابر واقعیات آن یا آنچه اكنون و به پشتوانه پیشرفت های علمی در این باره حاصل شده را جز جهالت بی انتها نمی داند. شاید بهتر است بگوییم منطق گرایی و شهودگرایی به ترتیب مفاهیمی استحاله یافته از تجرید گرایی یونانی و عینیت هندویان هستند.
گروهی دیگر نیز، البته هستند كه هر دو این مفاهیم را رد می كنند. «صورت گرایی» همان گرایشی در ریاضیات است كه هواخواهانش بنیان ریاضیات را نه بر منطق می دانند و نه بر شهود، بلكه آن را مشتی علامت می دانند كه با آنها اعمال ریاضی به جا می آیند.
با وجود تمامی دعواها و تمجیدهایی كه در حاشیه این پیكره عظیم در جریان است، ریاضیات بی اعتنا به راه خود ادامه می دهد. این آفریده سترگ الهی غیر از مقصود ظاهری كه وسیله ای است در دست انسان برای حیات معنایی ژرف در درون دارد. ابزاری است برای كسب معرفت. ابزاری كه «هم مورد نیاز مردان جنگی است و هم مورد نیاز فلاسفه تا بدان وسیله بتوانند از جهان كون و فساد درگذشته و به عالم وجود ارتقا یابند. زیرا شرط حسابدان حقیقی همین است.»۱۰ و در ورای خدمات خود وسیله ای است كه انسان بدان «روح خود را از محیط عالم فانی به مقام ادراك حقیقت وجود ارتقا می دهد.»۱۱ افلاطون در راه ساختن آرمان شهر خود و وصول به «اصل خیر» بر حساب و هندسه تكیه دارد. او موضوع هندسه را كه آن را به كل بزرگتر خود یعنی ریاضیات تعمیم می دهیم چنین برمی شمارد: «موضوع هندسه همانا شناخت وجود لایزال است نه شناخت آن چیزهایی كه در زمان و مكان معینی تولید و سپس فانی می شوند.»۱۲
ریاضیات به واقع رب النوع علوم دنیا است و آبشخور همگی به شمار می آید. فلاسفه در برابرش خاشعند و هماره به پرستش این خدایگان دانش مشغول. برتراند راسل كه به قول دورانت برای او خدایی جز ریاضیات وجود ندارد، عشق خود به ریاضیات را به زیبایی تمام بیان می دارد. در حقیقت عشق راسل به روشنی و صراحت او را به صراحت آرام این علم اشرافی می كشاند؛ «اگر درست بنگریم ریاضیات نه تنها حقیقت را دربردارد بلكه بالاترین زیبایی را نیز شامل است. زیبایی آن مانند مجسمه ها سرد و سخت است و با هیچ یك از جنبه های ضعف ما سر و كار ندارد. فریبندگی باشكوه نقاشی و موسیقی را فاقد است و قادر است به كمال محض كه فقط برترین هنر می تواند نمایش دهد، برسد.»

دوست ریاضی
07-02-2009, 14:23
علامت سوال ریاضی در برابر ایدز

متخصصان عفونی و سایر پزشکان،تا مدت‌ها تئوری مشخصی درباره ایدز داشتند و آن این بود که ویروس ایدز می‌تواند به سلول‌هایی که نوع خاصی از گیرنده‌ها را دارد بچسبد، وارد آنها شود و آنها را آلوده کند .
این سلول‌های آلوده، که عمده آنها از رده گلبول‌های سفید خون هستند، یا خودشان از بین می‌روند، یا این که سلول‌های خودی را به جای بیگانه می‌گیرند و آنها را هم از بین می‌برند. شواهد بیولوژیک گوناگونی هم برای تایید این فرضیه وجود داشت .
اما حالا گروه دیگری از دانشمندان، این فرضیه را که در دنیای پزشکی مقبولیت عام یافته بود، زیر سؤال برده‌اند و تعجب خواهید کرد اگر بدانید این گروه، نه از بین پزشکان، که از بین ریاضیدانان بوده‌اند .
به گزارش بی‌بی‌سی، این ریاضیدانان، با کمک پزشکان، توانسته‌اند یک مدل ریاضی دربیاورند و به نوعی با حساب و کتاب نشان دهند که این فرضیه ، توجیه‌کننده سیر آهسته بیماری، در طی سال‌ها، نیست و اگر این فرضیه پیشنهادی درست می‌بود، بیماری باید ظرف مدت چند ماه، فرد را از پای در‌می‌آورد .
این حساب و کتاب‌ها، تمام فرضیات پیشین و مقبول بین دانشمندان را به چالش کشیده و زیر و رو کرده است.
البته این محققان، از کالج سلطنتی لندن و نیز دانشکده پزشکی آتلانتا، در گزارش خود در نشریه پلاس مدیسین آورده‌اند که این پژوهش فقط یک «مدل ریاضی» است و نمی‌تواند بگوید که واقعاً در بدن بیمار آلوده به ویروس چه اتفاقی می‌افتد و بنابراین تحقیقات گسترده‌‌تری از لحاظ فیزیوپاتولوژی لازم است تا سیر تکثیر و بیماری‌زایی ویروس را در بدن انسان روشن کند. این مطالعه، تنها به ما می‌گوید که باید در فرضیات قبلی خود تجدید نظر کنیم .

saber57
08-02-2009, 16:46
اگر امکان داره لینک مقاله رو قرار بدید . با تشکر
ایران هر گز نخواهد مرد تن تن ما ای وطن چون گرد آزادت کنیم و پس آباد آن سان که ایزدت به ما بسپرد

maryam_tak
03-04-2009, 15:49
''''ریاضیات نظری'''':تلفیق سنتهای فیزیک نظری و ریاضیات

مشخصه اصلی ریاضیات جدید استفاده از اثبات های دقیق است.این کار که بی اغراق ثمره ی هزاران سال پالایش و پیرایش است چنان روشنی و قابلیت اعتمادی به ریاضیات بخشیده است که هیچ علم دیگری از آن برخوردار نیست، ولی در عین حال حرکت ریاضیات را کند و دشوار هم کرده است. می توان گفت که اثبات ریاضی در میان تمام فعالیت های فکری بشر، سخت ترین و دقیقترین ضوابط را دارد.

گروه ها و افرادی از جامعه ریاضی گه گاه سعی کرده اند وسواس ِ زیاد در مورد جزییات استدلال ها را کنار بگذارند.
این گرایش، نتایج مختلف و گاه فاجعه باری داشته است. با این حال، امروز دوباره در بعضی از زمینه های ریاضی تمایلی پیدا شده که ریاضیات را بر استدلال شهودی، فارغ از اثبات، متکی سازند. این گرایش تا اندازه ای همان الگوی قدیمی تاریخ ریاضیات است که کسانی که با آشنا نیستند، آن را تکرار میکنند. ولی در عین حال، ممکن است سر آغاز تغییرات بنیادی در نحوه سازماندهی ریاضیات هم باشد. در هر حال، امروز ضروری است نقش اثبات در ادراک ریاضی دوباره بررسی شود و چارچوب مناسب و مفیدی برای این قبیل گرایش ها ایجاد گردد.

صحبت خود را با بحثی درباره فیزیک آغاز می کنیم زیرا اولاً گرایش و جنبش فعلی از ارتباط با فیزیک نظری ناشی می شود و ثانیاً با ملاحظه ی وضعیت رشته فیزیک، مدل مفیدی از تقسیم کار در جامعه علمی به دستمان می آید سپس به سراغ تاریخ ریاضیات می رویم و مثال هایی می آوریم که فواید و مضرات تحقیقات نادقیق را نشان میدهند. و بالاخره، چارچوبی عرضه می کنیم که همزیستی روش ها و رهیافت های مختلف را امکان پذیر می کند.

مشخصه اصلی ریاضیات جدید استفاده از اثبات های دقیق است.این کار که بی اغراق ثمره ی هزاران سال پالایش و پیرایش است چنان روشنی و قابلیت اعتمادی به ریاضیات بخشیده است که هیچ علم دیگری از آن برخوردار نیست، ولی در عین حال حرکت ریاضیات را کند و دشوار هم کرده است. می توان گفت که اثبات ریاضی در میان تمام فعالیت های فکری بشر، سخت ترین و دقیقترین ضوابط را دارد.

گروه ها و افرادی از جامعه ریاضی گه گاه سعی کرده اند وسواس ِ زیاد در مورد جزییات استدلال ها را کنار بگذارند.
این گرایش، نتایج مختلف و گاه فاجعه باری داشته است. با این حال، امروز دوباره در بعضی از زمینه های ریاضی تمایلی پیدا شده که ریاضیات را بر استدلال شهودی، فارغ از اثبات، متکی سازند. این گرایش تا اندازه ای همان الگوی قدیمی تاریخ ریاضیات است که کسانی که با آشنا نیستند، آن را تکرار میکنند. ولی در عین حال، ممکن است سر آغاز تغییرات بنیادی در نحوه سازماندهی ریاضیات هم باشد. در هر حال، امروز ضروری است نقش اثبات در ادراک ریاضی دوباره بررسی شود و چارچوب مناسب و مفیدی برای این قبیل گرایش ها ایجاد گردد.

صحبت خود را با بحثی درباره فیزیک آغاز می کنیم زیرا اولاً گرایش و جنبش فعلی از ارتباط با فیزیک نظری ناشی می شود و ثانیاً با ملاحظه ی وضعیت رشته فیزیک، مدل مفیدی از تقسیم کار در جامعه علمی به دستمان می آید سپس به سراغ تاریخ ریاضیات می رویم و مثال هایی می آوریم که فواید و مضرات تحقیقات نادقیق را نشان میدهند. و بالاخره، چارچوبی عرضه می کنیم که همزیستی روش ها و رهیافت های مختلف را امکان پذیر می کند.

CppBuilder2006
06-04-2009, 19:25
امروز ضروری است نقش اثبات در ادراک ریاضی دوباره بررسی شود و چارچوب مناسب و مفیدی برای این قبیل گرایش ها ایجاد گردد.

من اینو قبول دارم.
فکر می کنم کار ریاضی دان انجام کارهای جدید و خلاقیته نه خوندن اثبات. بررسی درست یا غلط بون یه اثبات رو کامپیوتر هم می تونه انجام بده. لازم نیست همه جا وسواس به خرج بدیم.

amir_rahmani
17-04-2009, 12:14
اصل کاوالیری درباره مساحت:
اگر فرض کنیم قاعده های دو شکل بر روی یک خط قرار گرفته باشند. اگر هر خطی موازی قاعده های دو شکل در آنها قطعه هایی با طول های مساوی ایجاد کند، مساحت های آن دو شکل برابر است.
با توجه به شکل دو شکل بر روی افق قرار گرفته اند. اگرهر خطی به موازات قاعده مانند d رسم کنیم و داشته باشیم: AB=CD، MN=PE ، آنگاه دو شکل هم مساحت هستند.
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
به نظرم من این اصل یک مشکل بزرگ دارد....
به این مثال توجه کنید....:
به جای این دو شکل دو مستطیل باشد و به این ترتیب:
مستطیل سمت چپ: AB= 4cm , AG=2 cm , GH=4cm, HB=2cm
مستطیل سمت راست : CD= 4cm , CP=3 cm , PO=4cm, PD=2cm
در این دو مستطیل هم CD=AB=4cm
و هم GH=PO =4cm
و هم GH موازی AB
وهم PO موازی CD

اینم شکل:[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

800908
22-04-2009, 18:18
سلام
مقاله ای به نام "موسیقی فرکتالی (ایجاد موسیقی از اشکال فرکتالی)" در لینک زیر وجود دارد که جالب می باشد.
به دلیل داشتن برنامه کامپیوتری لینک آن را قرار می دهم:


برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

sajadhoosein
15-02-2011, 07:05
اجسام به هم نمی رسند


ریاضیات یک علم مطلق است برعکس علم فیزیک که بیشتر بر آنچه ما در می یابیم استوار می باشد . همان طور که همه ما می دانیم در علم ریاضیات از هر فاصله کوتاهی ، فاصله کوتاه تری نیز وجود دارد .
مثلا اگر نقطه ای به صورت مداوم در جهت خلاف محور X ها حرکت کند ، با گذشت زمان مقداری را که نقطه بر روی محور X ها نشان میدهد کمتر و کمتر خواهد شد . درست مانند قضایای حد و پیوستگی که نقطه X به سمت صفر میل داده می شود .
حال یک سوال باقی مانده چگونه با وجود اینکه از هر فاصله کوچکی ، فاصله کوتاه تری هم هست ، اجسام موجود به یکدیگر می رسند و یا بهتر بگویم شما با حرکت به طرف یک جسم به آن می رسید . و یا وقتی سنگی به طرف شیشه پرتاب می شود ، منجر به شکستن شیشه می شود . مگر نباید همواره فاصله اندکی میان این دو باقی بماند . این مسئله بسیار ساده به نظر میرسد و در نگاه اول همگی عنوان می کنند که مفهومی ندارد .
یکبار دیگر بررسی کنیم در راستای رسیدن به هم دو جسم در حال حرکتند و فاصله مابین آنها لحظه به لحظه کاهش می یابد . با وجود اینکه می دانیم از هر فاصله کوچکی فاصله کوچکتری هم هست باز انتظار داریم که این دو جسم به یکدیگر برسند . بیایید خارجی ترین نقطه دو جسم که به یکدیگر نزدیک ترند را در نظر بگیریم . حرکت آغاز شده و فاصله هر لحظه کاهش می یابد به قدری فاصله کم شده که خارجی ترین اتم اجسام در نظر گرفته شده ولی باز این دو هم نباید به هم برسند .
● یک تضاد کامل میان مشاهده و علم .
صراحتا باید اعلام کرد که در هستی رسیدن مطلق وجود ندارد . به عبارت دیگر اجسام هرگز به هم نمی رسند . اطراف تمام جرم های هستی هاله ای وجود دارد که می توان از آن به نیروی حریم یاد کرد این حاله دارای مرز نمی باشد بلکه به مثال مه که از روی دریاچه به طرف ساحل غلظت آن کم می شود ، خواهد بود .
اجسام در نزدیک شدن به یکدیگر با در هم رفتن این نیروی حریم و افزایش دافعه ، برای ما رسیدن دو جسم را توجیه می کنند . در مثال هایی که باعث شکست مولکولی می شود مانند شکستن شیشه توسط سنگ ، به دلیل نفوذ نیروی دافعه حریم سنگ به دافعه حریم شیشه ، عمل شکستن شیشه به وقوع می پیوندد .
مهمترین قسمت این جاست که ما باید بدانیم این نیرو دارای برد کوچکتری از نیروهای چسبندگی سطحی می باشند . همانطور که می دانیم این نیرو ها باعث چسبندگی اجسام در موارد خاص به هم می شوند .
کسی قادر به درک این مقاله بوده که اکنون بپرسد اگر برای رسیدن دو جسم به هم یک میزان نفوذ دو نیروی حریم در یکدیگر نیاز باشد ، همین مقدار نفوذ هم خودش دارای مرزی می باشد که قضیه فاصله در اینجا هم با ید صدق کند و ما هرگز به مرز نفوذ کافی نخواهیم رسید ؟
مسئله بسیار مهمتر از این مقاله آن است که هر وقت دو حد داشته باشیم ،
که یکی مرتبا کاهش یابد ( فاصله میان دو جسم از بی نهایت به طرف صفر نزول میکند )
و یکی دیگر مرتبا افزایش یابد ( مقدار دافعه نیروی حریم از صفر به سمت بی نهایت ،که همان شکستن است صعود کند )
در این لحظه باشکوه است که عددی وجود دارد که دو حد در آن عدد به هم میرسند .
و این نقطه عطف ریاضیات با فیزیک خواهد بود . ولی باز هرگز نباید گفت دو جسم به هم رسیده اند .

sajadhoosein
15-02-2011, 07:11
يك روش جديد براي حل مسايل برنامه ريزي خطي كسري


مسايل ماكزيمم سازي كسري خطي ، پژوهش و علاقه قابل ملاحظه اي را به خود اختصاص داده اند ، زيرا آنها در برنامه ريزي توليد ، برنامه ريزي مشاركتي ومالي ، برنامه ريزي بيمارستاني و مراقبت از سلامت مفيد مي با شند.
چند روش براي حل اين مسأله در سال 1962 پيشنهاد شد.
چارنز و كوپر روششان را كه تبديل اين
به يك برنامه خطي معادل بستگي داشت ، پيشنهاد دادند.
روش ديگري كه روش تابع هدف -- ناميده مي شود توسط بيت ران و نوواييز در سال 1973 كشف شد ، كه در آن حل اين مسأله كسري خطي بوسيله حل يك دنباله از برنامه هاي خطي فقط با محاسبه مجدد جدول محلي تابع هدف صورت مي پذيرد.
همچنين بعضي از جنبه هاي ارتباط دوگان و تحليل حساسيت در مسأله كسري خطي توسط بيت ران و مگنانت در سال 1976 به بحث گذاشته شد.
ساي نيز در سال 1981 در مقاله اش يك مطاله مفيد در مورد شرط بهينگي در برنامه ريزي كسري ارايه كرد.




2. تعاريف و نكات :

مسأله مربوط زماني بوجود مي آيد كه يك تابع كسري خطي بايد روي يك چند وجهي-ماكزيمم شود.
اين مسأله مي تواند به شكل رياضي به صورت زير فرمولبندي شود و با
نشان داده مي شود: (LFP)

: كه
C,d , b
اسكالر هستند.

متذكر مي شويم كه شرايط نامنفي در مجموعه محدوديت ها قرار مي گيرند.
:امين سطر ماتريس j
فرض مي شود كه مجموعه جواب شدني – يك مجموعه فشرده است يعني بسته و
كراندار مي باشد. علاوه بر اين
هرجا در --
اين مسأله مي تواند به شكل زير فرمولبندي شود:

دراينجا
امين سطر ماتريس – است كه در تباهيدگي بايد مورد توجه قرار گيرد. i
يك نقطه رأسي ازناحيه شدني – در بعضي از مجموعه هاي مستقل – خطي – قرار
مي گيرد .در(2.2) ما فرض خواهيم كرد كه


(*)


پس يك شكل معادل براي (2.2) مي تواند به صورت زير فرمولبندي شود:


(2.3)


اگر ما تعريف كنيم:

سپس (2.3 ) مي تواندبفرم زير نوشته شود:

كه:

در تعريف بالاي – مي توانيم به
برسيم.
با ضرب مجموعه محدوديت هاي اين مسأله دوگان بوسيله –كه



ما داريم:


در اين مورد موقعي كه
ماتريس – از درايه ها ي نا منفي تعريف مي شود بطوريكه
.اين ماتريس يك نقش مهم براي يافتن مقدار بهينه مسأله ماكزيمم
مقدار – روي بازه اعداد حقيقي كه بوسيله
تعريف مي شود
بطور ساده نمايش بالا مي تواند به شكل
نوشته شود.
همچنين يك زير ماتريس – از ماتريس داده شده – كه در
صدق مي كند براي تعيين مقدار دوگان مورد نياز براي حل
برنامه ريزي كسري (2.1) مهم خواهد بود.
اين مقادير دوگان براي يك نقطه – كه يك جواب بهينه مسأله بالا (2.5) است
به خوبي در شرايط 2و3 كان-تاكر صدق مي كنند. ما بايد داشته باشيم :

يا به طور ساده:

در اينجا – يك زير ماتريس ، ماتريس داده شده – فقط شامل ضرايب مجموعه محدوديت ها ي فعال در نقطه كنوني – است. همچنين از قضيه مكمل زايد داريم :
برا ي هر مجموعه بالااز محدوديت هاي فعال مقادير دوگان متناظر بايد مثبت باشند.ازاين رو يك زير ماتريس – از ماتريس – داده شده كه در
صدق مي كند براي يافتن مقادير دوگان مورد نياز براي تعيين
مجموعه محدوديت هاي فعال متناظر با مقادير دوگان مثبت بخاطر قضيه
مكمل زايد براي مجموعه بالا از محدوديت هاي فعال اهميت خواهد داشت.

روشمان را براي حل مسايل ( )بصورت زير خلاصه مي كنيم:
را محاسبه مي كنيم.
2- ماتريس – از درايه هاي نامنفي را كه – است پيدا مي كنيم.
3- يك زير ماتريس – از ماتريس داده شده – كه در –صادق باشد ر ا پيدا مي كنيم.
4-در سطر هاي – براي هر درايه مثبت محدوديت فعال متناظر در ماتريس- را تعيين مي كنيم.
5-يك دستگاه – از معادلات خطي را براي رسيدن به جواب بهينه – حل مي كنيم.بنابراين با استفاده از (2.6) به جواب بهينه مسأله () كه بوسيله (2.1)
تعريف مي شود مي رسيم.

3.نكته ها:
نكته(3.1):
ماتريس – از درايه هاي نامنفي كه – رابه عنوان ماتريس قطبي ، ماتريس – در نظر مي گيريم.
نكته(3.2):
با – در () مسأله بالا به يك مسأله برنامه ريزي خطي () تقليل مي يابد و از اين رو روشمان ميتواند براي حل – به عنوان حالت خاصي از – به استفاده از بحثي مشابه مورد استفاده قرار بگيرد.

4.به مثال زير توجه كنيد:





مسأله دوگان فعالند. محدوديت هاي 1 و 3



نتيجه گيري:

يك روش جديد براي حل توابع كسري خطي كه محدوديت هاي آن به شكل نامساوي هاي خطي اند ، داده شده است. هدف روش به طور اصلي حل جبري با استفاده از مفهوم دوگان مي باشد.
چون روش هاي پيشين كه بر پايه اطلاعات – هستند ممكن است در ضمن اينكه مسأله اندازه افزايش مي يابد مشكلاتي را داشته باشند ، بنظر مي رسد كه روش ما حساسيت كمتري نسبت به مسأله اندازه داشته باشد.

منبع:
برنامه ريزي خطي با يك هدف كسري :1973 – NOVAES . BITRAN
دوگان و تحليل حساسيت با تابع هدف كسري:1976- MAGNANTY . BITRAN
برنامه ريزي با توابع كسري خطي:1962-COOPER . CHANERS
شرط بهينگي در برنامه ريزي گويا. ( ژورنال قضيه بهينه سازي و كاربردها) :SING

sajadhoosein
15-02-2011, 07:23
هفت آسمانها


8 دايره و 8 كره ، 7 ميان دايره و 7 ميان كره در شكل توسعه يافته ستاره داوود ( 7 آسمانها )



در شكل توسعه يافته ستاره داوود ، خطوط در نقاطي با هم تقاطع دارند كه اگر نقطه مركزي را در نظر بگيريم ، ميتوانيم هشت دايره از آن نقطه رسم كنيم ، يعني شكل زير :


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



تعريف ديگري كه از يك نقطه در هندسه ميتوان داشت اين است كه ، نقطه به محل تلاقي دو يا چند خط گفته ميشود و يا اينكه ، نقطه وجه مشترك دو خط متقاطع است

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

در شكل فوق هشت كره تو در تو به شعاع‌هاي دواير ( مدارهاي ) قبلي رسم شده است ، كه ميتوان هفت ميان كره ( پوسته ) و يك هسته را تجسم نمود . براي درك بهتر موضوع ، كره‌ها برش خورده‌اند . همانطور كه مي‌دانيم عدد هفت يك عدد ديني است ولي در مباحث بعدي نشان خواهيم داد كه مي‌توان با سيستم شمارش دوجيني ، مكعب ، ستاره داوود ، ستاره داوود توسعه يافته ( هندسه دوجيني ) و هفت آسمانها ، كليه ساختارهاي فيزيكي موجودات در عالم از اتم گرفته تا حجم فضايي خود كيهان را توجيه نمود ، يعني حد فاصلي مابين فيزيك هسته‌اي و اختر فيزيك ( كل هستي و هر آنچه كه داخل آن است ) حتي نور ، زمان و .......

sajadhoosein
15-02-2011, 08:01
آشنایی با طراحی الگوریتم ها


تلاش بی پایان ذهن انسان های كنجكاو برای كشف ناشناخته ها و حل مسائل جالب یكی از جنبه های زیبای زندگی است. تاریخ علم نشان می دهد كه دانشمندان و ریاضیدانان متعددی عمر طولانی خود را وقف حل معماهای مختلف و شناسایی اسرارطبیعت و جامعه كرده و با حل هر مسأله نام خود را جاودانی كرده اند.
تكنولوژی كامپیوتر با توجه به پیشرفت جهشی خود در ۶۰ سال اخیر، هم به عنوان یك ابزار حل مسأله، هم به عنوان منبعی از كاربردهای متنوع آن، روز به روز جذاب تر شده و در این رابطه، الگوریتم به عنوان روش و مراحل حل مسأله، نقش كلیدی را در این فناوری ایفا می كند. یك مثال ساده برای الگوریتم، دستورالعمل های لازم برای روی هم قرار دادن قطعات مدل هواپیماست. این مونتاژ از قطعه خاصی شروع شده و سپس قطعات دیگر به ترتیب تا كامل شدن مدل، روی هم قرار می گیرند. یك برنامه كامپیوتری كه برای پیاده سازی و اجرای الگوریتم ها روی رایانه به كار می رود، مجموعه متناهی از دستوراتی است كه به ترتیب معینی از نخستین دستور به ترتیب تا انتها باید اجرا شوند.
این نوشته انواع الگوریتم ها را به صورت مختصر با عنوان مثال هایی برای هر كدام بررسی و مطالعه می كند. منظور از انواع الگوریتم ها، ارائه یك راه حل جامع و كارآمد برای مسائل مختلف است. الگوریتم ها هسته مركزی راه حل مسائل متعددی در بخش های علوم پایه، مسائل تجاری، رشته های مهندسی مانند طراحی پل ها، سدها، خودروها، هواپیماها، پیش بینی وضع جوی و نقشه های مربوطه، تجزیه و تحلیل ساختار مولكول ها و DNA، كشف ذخایر گاز و نفت و طراحی و بهینه سازی سیستم های كامپیوتری است.
از لحاظ تاریخی كلمه الگوریتم برگرفته از نام ریاضیدان معروف قرن نهم هجری، الخوارزمی است كه برای نخستین بار در كتاب معروف جبر و مقابله برای بعضی از مسائل ریاضی مانند معادلات خطی و معادلات درجه دوم، راه حل نوینی مطرح كرد كه تا آن مقطع زمانی ارائه نشده بود. الگوریتم به عنوان مراحل حل یك مسأله یا انجام یك كار، مجموعه ای متناهی از دستورالعمل هایی است كه برای رسیدن به خروجی های مطلوب با شروع از یك حالت اولیه به كار می رود.
در تعریف ریاضی الگوریتم به دستورالعمل ها یا رویه های خوش تعریف اطلاق می شود كه به وسیله ماشین تورینگ كه یك مدل انتزاعی از كامپیوترهای دیجیتال است، شبیه سازی و اجرا گردد.
روش های زیادی برای گروه بندی الگوریتم ها با توجه به قابلیت و توانایی های هر دسته وجود دارد. از یك دیدگاه كلی می توان الگوریتم ها را به دو گروه عمده الگوریتم های ترتیبی و الگوریتم های موازی تقسیم كرد.
● الگوریتم های ترتیبی
در این گروه از الگوریتم ها، رایانه فقط از یك پردازنده برای اجرای دستورالعمل ها به صورت ترتیبی (سریال) استفاده می كند. در این نوع رایانه ها كه به نام معماری فون نیومن معروف است، برنامه و داده ها در حافظه ذخیره می شوند. ریزپردازنده هر بار یكی از دستورات برنامه را بازیابی كرده، پس از تفسیر آن را اجرا می كند. چنین رایانه هایی را SLSD (جریان تك دستوری، جریان تك داده ای) می گویند. در اینجا به ۲ روش از الگوریتم های ترتیبی اشاره می شود.
▪ روش تقسیم و حل
در این روش، با استفاده از رویه های بازگشتی، مسأله اصلی را به زیرمسأله های كوچكتری تا جایی تقسیم می كنند كه امكان تقسیم مجدد آن وجود نداشته باشد. سپس با حل ساده ترین زیرمسأله ها و تركیب آنها با یكدیگر می توان به حل مسأله اصلی نائل شد. رویه بازگشتی، الگوریتمی است كه با استفاده از فراخوانی خودرویه، دستورات تشكیل دهنده آن را تا رسیدن به شرایط اولیه و خروج از آن، مكرر اجرا كند.
روش تقسیم و حل، یك روش طراحی بالا به پائین است، یعنی الگوریتم یك مسأله از سطح بالا به زیرمسأله ها تقسیم بندی می شود. به عنوان مثال می توان الگوریتم های جست وجوی دورویی در یك بردار (آرایه یك بعدی) یا در یك جدول (آرایه دوبعدی) ، مرتب سازی تركیب و مرتب سازی سریع ، مسأله برج های هانوی ، ضرب «ماتریس به روش استراسن»، عملیات محاسباتی مانند ضرب و جمع اعداد صحیح بسیار بزرگ و جدول مسابقات تیم ها در یك جام حذفی را با استفاده از روش تقسیم و حل انجام داد.
▪ الگوریتم برنامه نویسی پویا
در برنامه نویسی پویا به عنوان یك روش طراحی الگوریتم، چون راه حل مسأله از طریق تقسیم آن به زیرمسأله ها به دست می آید، مشابه روش تقسیم وحل است ولی برعكس آن، یك روش پائین به بالا یا یك روش جز به كل است، یعنی حل مسأله را از ساده ترین زیرمسأله شروع كرده و با قراردادن نتایج در یك آرایه، آنها را در محاسبات بعدی استفاده می كنند. در صورتی كه روش تقسیم و حل فاقد حافظه است. این روش طراحی الگوریتم، دارای شرایط بهینه سازی است وزیرمسأله ها هم بهینه هستند. به عنوان مثال، اگر برنامه نویسی پویا، برای مسأله كوتاه ترین مسیر كه با یك گراف مدل سازی می شود به كار می رود، هر زیرگرافی هم باید دارای ویژگی كوتاه ترین مسیر بین رأس های متشكله آن باشد. اگر اصل بهینه سازی برای یك مسأله مفروض، صدق كند می توان یك رابطه بازگشتی برای حل مسأله و زیرمسأله ها ارائه داد.
الگوریتم فلوید برای تعیین كوتاه ترین مسیر، ضرب زنجیری ماتریس ها، درخت های جست وجوی دورویی بهینه حاصل جمع بهینه لیستی از n عدد حقیقی، تعیین طولانی ترین زیر مشترك در دو رشته دلخواه و مسأله فروشنده دوره گرد (TSP) با استفاده از روش برنامه نویسی پویا قابل انجام هستند.
▪ الگوریتم های حریصانه
الگوریتم های حریصانه مشابه برنامه نویسی پویا، بیشتر برای حل مسائل بهینه سازی به كار می روند. با این اختلاف كه در برنامه سازی پویا از یك رابطه بازگشتی برای حل زیرمسأله ها استفاده می كنند. در روش حریصانه، تقسیم مسأله ها به زیر مسأله ها انجام نمی گیرد و روش تكرارشونده را به كار می برند.
در روش حریصانه در هر لحظه، با توجه به عناصر داده ای مفروض، عنصری را كه دارای ویژگی بهترین یا بهینه است (مانند كوتاه ترین مسیر، بالاترین ارزش، كمترین سرمایه گذاری، بیشترین سود و ...) انتخاب می كنند بدون این كه انتخاب های قبلی ما بعدی را در نظر بگیرد ولی انتخاب های بهینه محلی همواره منجر به راه حل بهینه سراسری نمی شود. این روش انتخاب، منجر به ارائه یك الگوریتم ساده و كارآمد می شود.
تعیین درخت های پوشالی مینیمم با استفاده از الگوریتم های پرایم، كروسكال محاسبه كوتاه ترین مسیر تك منبع با كاربرد الگوریتم دایجسترا ، مسأله زمان بندی مانند بهینه سازی زمان انتظار و سرویس به كاربران برای دسترسی به دیسك گردان ها در یك شبكه رایانه ای، تعیین حداكثر بهره برای مشتریان در یك زمان معین و مسأله كوله پشتی (كسری، صفرو یك) با استفاده از روش حریصانه قابل اجرا هستند.
الگوریتم عقبگرد
▪ الگوریتم عقبگرد، برای یافتن جواب مسأله ای با فضای جست وجو به طور گسترده ای به كار می رود و از آن به عنوان حالت اصلاح شده جست وجوی عمقی یك درخت نام می برند. در این روش، منظور از عقبگرد، پیدا كردن راه حل مسأله از طریق جست وجوی عمقی در درخت فضای حالت برای یافتن گره های امید بخش است. در صورتی كه موقع پیمایش درخت به یك گروه غیرامیدبخش برخورد كند كه منجر یه یافتن جواب مسأله نمی شود، باید به سمت ریشه درخت برگشته و عمل جست وجو را در دیگر شاخه ها ادامه داد. این فرآیند را هرس كردن درخت فضای حالت می نامند.
به عنوان مثال، مسأله n وزیر، استفاده از الگوریتم مونت كارلو برای نخستین كارآیی یك الگوریتم عقبگرد، مسأله حاصل جمع زیرمجموعه ها، مسأله رنگ آمیز گراف، مسأله مدارهای هامیلتونی، مسأله كوله پشتی صفر و یك با استفاده از راهبرد عقبگرد، قابل حل هستند.
▪ الگوریتم شاخه وقید
روش شاخه و قید با ایجاد درختی از زیرمسأله ها با توجه به مسأله اولیه و پیمایش درخت بدون قاعده خاصی، دنبال جواب های مسأله می گردد. این روش شكل بهبود یافته ای از الگوریتم عقبگرد است كه در آن شیوه خاصی را برای ملاقات گره ها اعمال نمی كند و در هر گره برای امیدبخش بودن آن گره، قید یا عددی را محاسبه می كند و فقط برای مسائل بهینه سازی استفاده می شود. به عنوان مثال مسأله كوله پشتی صفر و یك، بهترین جست وجو با هرس كردن، ایجاد یك تور بهینه و محاسبه طول آن، مسأله فروشنده دوره گرد و استنباط با عكس العمل استفاده از روش شاخه و قید اجرا می شود.
ا▪ لگوریتم جست وجو و پیمایش
این روش روی دو گروه از مسائل قابل اعمال هستند:
۱) روش های پیمایش
در روش های پیمایش، باید تك تك گره های یك درخت دودویی برای بررسی مقادیر عددی آنها ملاقات و بررسی جست وجو شوند.
۲) روش های جست وجو
روش های جست وجو كه حالت عمومی تری نسبت به روش های پیمایش هستند، می توانند روی رئوس یك گراف اعمال شوند.
جست وجو و پیمایش در درخت های دودویی و جست وجو و پیمایش گراف ها به صورت عرضی یا عمقی به وسیله این الگوریتم ها قابل حل هستند.
▪ الگوریتم ژنتیك
اخیراً دانشمندان رشته رایانه از نظریه تاریخی داروین برای حل مسائل علمی پیچیده استفاده می كنند تا بتوانند عملیات هوشمندانه را پیش ببرند. ۳ عامل اصلی نظریه داروین عبارتند از:
۱) تنوع: مشخصات والدین متفاوت با یكدیگر تركیب شده تا بتوانند موجودی را با خصوصیات برتر به وجود آورند.
۲) تصادف: عاملی است كه تغییراتی را در موجود فرزند ایجاد می كند.
۳) انتخاب: محیط، موجوداتی را گزینش می كند كه دارای شایستگی بالاتری از لحاظ ادامه حیات و تولید مثل باشند.
مدلسازی در الگوریتم ژنتیك بر پایه فرایند طبیعی تكامل و اصل بقای برتر است و مشابه طبیعت، عمل را با حفظ و تقویت جنس برتر و از بین رفتن جنس ضعیف انجام می دهد. در نتیجه منجر به ایجاد قدرتمندترین ساختار یا بهینه ترین آن برای بقا در محیط می شود. روش انتخاب ژنتیكی در طول میلیون ها سال، طبیعتی را پدید آورده كه براساس اصل بقای برتر و جهش سازنده قادر به حل پیچیده ترین مسائل از جمله ساختارهای پروتئینی برپایه بهترین جانشین آمینواسیدها عمل می كند.
منبع:مناف ـ شریف زاده
روزنامه ایران

sajadhoosein
15-02-2011, 08:08
تاریخچه ریاضیات


انسان اولیه نسبت به اعداد بیگانه بود و شمارش اشیاء اطراف خود را به حسب غریزه یعنی همانطور كه مثلاً مرغ خانگی تعداد جوجه هایش را می داند انجام می داد اما به زودی مجبور شد وسیله شمارش دقیق تری بوجود آورد لذا به كمك انگشتان دست دستگاه شماری پدید آورد كه مبنای آن ۶۰ بود.
این دستگاه شمار كه بسیار پیچیده می باشد قدیمی ترین دستگاه شماری است كه آثاری از آن در كهن ترین مدارك موجود یعنی نوشته های سومری مشاهده می شود. سومریها كه تمدنشان مربوط به حدود هزار سال قبل از میلاد مسیح است در جنوب بین النهرین یعنی ناحیه بین دو رود دجله و فرات ساكن بودند. آنها در حدود ۲۵۰۰ سال قبل از میلاد با امپراطوری سامی عكاد متحد شدند و امپراطوری و تمدن آشوری را پدید آوردند.
نخستین دانشمند معروف یونانی طالس ملطلی (۶۳۹- ۵۴۸ ق. م.) است كه در پیدایش علوم نقش مهمی به عهده داشت و می توان وی را موجد علوم فیزیك، نجوم و هندسه دانست. در اوایل قرن ششم ق. م. فیثاغورث (۵۷۲-۵۰۰ ق. م.) از اهالی ساموس یونان كم كم ریاضیات را بر پایه و اساسی قرار داد و به ایجاد مكتب فلسفی خویش همت گماشت. پس از فیثاغورث باید از زنون فیلسوف و ریاضیدان یونانی كه در ۴۹۰ ق. م. در ایلیا متولد شده است نام ببریم. در اوایل نیمه دوم قرن پنجم بقراط از اهالی كیوس قضایای متفرق آن زمان را گردآوری كرد و در حقیقت همین قضایا است كه مبانی هندسه جدید ما را تشكیل می دهند.
در قرن چهارم قبل از میلاد افلاطون در باغ آكادموس در آتن مكتبی ایجاد كرد كه نه قرن بعد از او نیز همچنان برپا ماند. این فیلسوف بزرگ به تكمیل منطق كه ركن اساسی ریاضیات است همت گماشت و چندی بعد منجم و ریاضی دان معاصر وی ادوكس با ایجاد تئوری نسبتها نشان داد كه كمیات اندازه نگرفتنی كه تا آن زمان در مسیر علوم ریاضی گودالی حفر كرده بود هیچ چیز غیرعادی ندارد و می توان مانند سایر اعداد قواعد حساب را در مورد آنها به كار برد.
در قرن دوم ق. م. نام تنها ریاضی دانی كه بیش از همه تجلی داشت ابرخس یا هیپارك بود. این ریاضیدان و منجم بزرگ گامهای بلند و استادانه ای در علم نجوم برداشت و مثلثات را نیز اختراع كرد. بطلمیوس كه به احتمال قوی با امپراطوران بطالسه هیچگونه ارتباطی ندارد در تعقیب افكار هیپارك بسیار كوشید. در سال ۶۲۲ م. كه حضرت محمد (ص) از مكه هجرت نمود در واقع آغاز شكفتگی تمدن اسلام بود.
در زمان مأمون خلیفه عباسی تمدن اسلام به حد اعتلای خود رسید به طوری كه از اواسط قرن هشتم تا اواخر قرن یازدهم زبان عربی زبان علمی بین المللی شد. از ریاضیدانان بزرگ اسلامی این دوره یكی خوارزمی می باشد كه در سال ۸۲۰ به هنگام خلافت مأمون در بغداد كتاب مشهور الجبر و المقابله را نوشت.
دیگر ابوالوفا (۹۹۸-۹۳۸) است كه جداول مثلثاتی ذیقیمتی پدید آورد و بالاخره محمد بن هیثم (۱۰۳۹-۹۶۵) معروف به الحسن را باید نام برد كه صاحب تألیفات بسیاری در ریاضیات و نجوم است. قرون وسطی از قرن پنجم تا قرن دوازدهم یكی از دردناكترین ادوار تاریخی اروپاست. عامه مردم در منتهای فلاكت و بدبختی به سر می بردند. برجسته ترین نامهایی كه در این دوره ملاحظه می نماییم در مرحله اول لئونارد بوناكسی (۱۲۲۰-۱۱۷۰) ریاضیدان ایتالیایی است. دیگر نیكلاارسم فرانسوی می باشد كه باید او را پیش قدم هندسه تحلیلی دانست.
در قرون پانزدهم و شانزدهم دانشمندان ایتالیایی و شاگردان آلمانی آنها در حساب عددی جبر و مكانیك ترقیات شایان نمودند. در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه شخصی به نام فرانسوا ویت (۱۶۰۳-۱۵۴۰م) به پیشرفت علوم ریاضی خدمات ارزنده‌ای نمود. وی یكی از واضعین بزرگ علم جبر و مقابله جدید و در عین حال هندسه دان قابلی بود.
▪ كوپرنیك (۱۵۴۳-۱۴۷۳) منجم بزرگ لهستانی در اواسط قرن شانزدهم دركتاب مشهور خود به نام درباره دوران اجسام آسمانی منظومه شمسی را این چنین ارائه داد:
۱) مركز منظومه شمسی خورشید است نه زمین.
۲) در حالیكه ماه به گرد زمین می چرخد سیارات دیگر همراه با خود زمین به گرد خورشید می چرخند.
۳) زمین در هر ۲۴ ساعت یكبار حول محور خود می چرخد، نه كره ستاره های ثابت.
پس از مرگ كوپرنیك مردی به نام تیكوبراهه در كشور دانمارك متولد شد. وی نشان داد كه حركت سیارات كاملاً با نمایش و تصویر دایره های هم مركز وفق نمی دهد. تجزیه و تحلیل نتایج نظریه تیكوبراهه به یوهان كپلر كه در سال آخر زندگی براهه دستیار وی بود محول گشت. پس از سالها كار وی به نخستین كشف مهم خود رسید و چنین یافت كه سیارات در حركت خود به گرد خورشید یك مدار كاملاً دایره شكل را نمی پیمایند بلكه همه آنها بر روی مدار بیضی شكل حركت می كنند كه خورشید نیز در یكی از دو كانون آنها قرار دارد. قرن هفدهم در تاریخ ریاضیات قرنی عجیب و معجزه آساست.
از فعالترین دانشمندان این قرن كشیشی پاریسی به نام مارن مرسن كه می توان وی را گرانبها ترین قاصد علمی جهان دانست. در سال ۱۶۰۹ گالیله ریاضیات و نجوم را در دانشگاه پادوا در ایتالیا تدریس می كرد. وی یكی از واضعین مكتب تجربی است. وی قانون سقوط اجسام را به دست آورد و مفهوم شتاب را تعریف كرد. در همان اوقات كه گالیله نخستین دوربین نجومی خود را به سوی آسمان متوجه كرد در ۳۱ مارس ۱۵۹۶ در تورن فرانسه رنه دكارت به دنیا آمد. نام ریاضیدان بزرگ سوئیسی «پوب گولدن» را نیز باید با نهایت افتخار ذكر كرد.

[بزرگ‌نمایی تصویر]
شهرت وی بواسطه قضایای مربوط به اجسام دوار است كه نام او را دارا می باشد و در كتابی به نام مركزثقل ذكر شده. دیگر از دانشمندان برجسته قرن هفدهم پی یر دوفرما ریاضیدان بزرگ فرانسوی است كه یكی از برجسته ترین آثار او تئوری اعداد است كه وی كاملاً بوجود آورنده آن می باشد. ریاضیدان بزرگ دیگری كه در این قرن به خوبی درخشید ژیرارد زارك فرانسوی است كه بیشتر به واسطه كارهای درخشانش در هنر معماری شهرت یافت و بالاخره ریاضی دان دیگر فرانسوی یعنی روبروال كه بواسطه ترازوی مشهوری كه نام او را همراه دارد همه جا معروف است.
در اواسط قرن هفدهم كم كم مقدمات اولیه آنالیز عناصر بی نهایت كوچك در تاریكی و ابهام به وجود آمد و رفته رفته سر و صدای آن به گوش مردم رسید. بدون شك پاسكال همراه با دكارت و فرما یكی از سه ریاضیدان بزرگ نیمه اول قرن هفدهم بود و نیز می توان ارزش او را در علم فیزیك برابر گالیله دانست.
در نیمه دوم قرن هفدهم ریاضی بطور دقیق دنبال شد. سه نابغه فنا ناپذیر این دوره یعنی نیوتن انگلیسی، لایب نیتس آلمانی و هویگنس هلندی جهان علم را روشن كرده بودند. لایب نیتس در سال ۱۶۸۴ با انتشار مقاله ای درباره حساب عناصر بی نهایت كوچك انقلابی برپا كرد. هوگنس نیز در تكمیل دینامیك و مكانیك استدلالی با نیوتن همكاری كرد و عملیات مختلف آنها باعث شد كه ارزش واقعی حساب انتگرال در توسعه علوم دقیقه روشن شود.
در قرن هجدهم دیگر تمام طوفانهای قرن هفدهم فرو نشست و تحولات این قرن عجیب به یك دوره آرامش مبدل گردید. دالامبر فرانسوی آنالیز ریاضی را در مكانیك به كار برد و از روشهای آن استفاده كرد. كلرو رقیب او در ۱۸ سالگی كتابی به نام تفحصات درباره منحنی های دو انحنایی انتشار داد و در مدت شانزده سال رساله ای تهیه و به آكادمی علوم تقدیم نمود كه شامل مطالب قابل توجهی مخصوصاً در مورد مكانیك آسمانی و هندسه بی نهایت كوچكها بود. دیگر لئونارد اویلر ریاضیدان بزرگ سوئیسی است كه در ۱۵ آوریل ۱۷۰۷ م. در شهر بال متولد شد و در ۱۷ سپتامبر ۱۷۸۳ م. در روسیه درگذشت.
لاگرانژ از جمله بزرگترین ریاضیدانان تمام ادوار تاریخ بشر است. مكانیك تحلیلی او كه در سال ۱۷۸۸ . عمومیت یافت بزرگترین شاهكار وی به شمار می رود. لاپلاس كه در تدریس ریاضی دانشسرای عالی پاریس معاون لاگرانژ بود كتابی تحت عنوان مكانیك آسمانی در پنج جلد انتشار داد. گاسپار مونژ این نابغه دانشمند وقتی كه هنوز بیست سال نداشت شاخه جدید علم هندسه به نام هندسه ترسیمی را بوجود آورد.
ژان باتیست فوریه در مسأله انتشار حرارت روش بدیع و جالبی اختراع كرد كه یكی از مهمترین مباحث آنالیز ریاضی گردید. از دیگر دانشمندان بزرگ این قرن سیمون دنی پوآسون (۱۸۴۰-۱۷۸۱) فرانسوی و شاگرد لاپلاس می باشد كه اكتشافات مهمی در ریاضیات نمود گائوس ریاضیدان شهیر آلمانی تئوری كامل مغناطیس را بوجود آورد. مطالعات او درباره انحناء و ترسیم نقشه ها و نمایش سطوح بر صفحات اصلی و اساسی می باشد.
كوشی فرانسوی كه در سراسر نیمه اول قرن پانزدهم بر دیگر هموطنان برتری داشت با منطق دقیق خود تئوری های زیادی از حساب انتگرال را توسعه داد. آبل در سال ۱۸۲۴ ثابت نمود كه صرفنظر از معادلات درجه اول تا درجه چهارم هیچ دستور جبری كه بتواند معادله درجه پنجم را به نتیجه برساند وجود ندارد. گالوا كه در ۲۶ اكتبر ۱۸۱۱ م. در پاریس متولد شد تئوری گروهها را كه قبلاً بوسیله كوشی و لاگرانژ مطالعه شده بود در معادلات جبری به كار برد و گروه جانشینی هر معادله را مشخص كرد.
دیگر از دانشمندان بزرگ این قرن ژنرال پونسله فرانسوی می باشد كه آثاری همچون «موارد استعمال آنالیز در ریاضی» و «خواص تصویری اشكال» دارد همچنین لازار كانو فرانسوی كه اكتشافات هندسی او دارای اهمیت فوق العاده می باشد. میشل شال هندسه مطلق را با بالاترین درجه استادی به بالاترین حد ممكن ترقی داد. در نیمه اول قرن نوزدهم ریاضیدان روسی نیكلاس ایوانویچ لوباچوشكی نخستین كشف خود را درباره هندسه غیراقلیدسی به جامعه ریاضیات و فیزیك قازان تقدیم كرد.
ادوارد كومرنیز در نتیجه اختراع نوعی از اعداد به نام اعداد ایده آل جایزه ریاضیات آكادمی علوم پاریس را از آن خود كرد. در اینجا ذكر نام دانشمندانی نظیر شارل وایرشتراس و شارل هرمیت كه در مورد توابع بیضوی كشفیات مهمی نمودند ضروری است. ژرژ كانتور ریاضیدان آلمانی مكه در روسیه تولد یافته بود در ربع آخر قرن نوزدهم با وضع فرضیه مجموعه ها اساس هندسه اقلیدسی را در هم كوفت.
▪ كانتور مجموعه را به دو صورت زیر تعریف كرد:
۱) اجتماع اشیایی كه دارای صفت ممیزه مشترك باشند هر یك از آن اشیاء را عنصر مجموعه می گویند.
۲) اجتماع اشیایی مشخص و متمایز
ولی ابتكاری و تصوری هنری پوانكاره یا غول فكر ریاضی آخرین دانشمند جهانی است كه به همه علوم واقف بود. وی در بیست و هفت سالگی بزرگترین اكتشاف خود یعنی توابع فوشین را به دنیای دانش تقدیم نمود. بعد از پوانكاره ریاضیدان سوئدی متیاگ لفلر كارهای او را ادامه داد و سپس ریاضیدان نامی فرانسوی امیل پیكارد در این راه قدم نهاد. در اواخر قرن نوزدهم علم فیزیك ریاضی به منتها درجه تكامل خود رسید و دانش نجوم مكانیك آسمانی تكمیل گردید. امروزه ریاضیات بیش از پیش در حریم سایر علوم نفوذ كرده و نه فقط علوم نجوم و فیزیك و شیمی تحت انضباط آن درآمده اند بلكه اصولاً ریاضیات دانش مطلق و روح علم شده است.
منبع:سازمان آموزش و پرورش استان خراسان

sajadhoosein
15-02-2011, 08:16
تابع
مفهوم تابع یا پردازه، در سراسر ریاضیات نوین و دیگر دانش‌ها و در همهٔ سطوح از ارزش بسزایی برخوردار است. این مفهوم در ابتدا در حساب دیفرانسیل و انتگرال که بیش‌تر به مطالعه توابع حقیقی و بررسی حد و مشتق و انتگرال آنها می‌پردازد شکوفا شد. شاید آنچه را که واژهٔ تابع در ابتدا در پندار خوانندهٔ کم و بیش آشنا با این مفهوم ایجاد کند، گزاره ای چون f(x)=x2+sinx و سایر گزاره‌های جبری باشد(به شرط تابع بودن) که بیش‌تر اعداد حقیقی و یا مختلط برای این مورد به‌کار برده می‌شود. ولی این مفهوم بسیار گسترده تر از این است و این تنها بخش کوچکی از مفهوم تابع است. در آغاز مفهوم تابع چندان فراگیر نبود ولی در ادامهٔ تلاش‌ها برای پیش‌نهادن(ارائه) تعریف و مفهومی کلی از تابع و گسترش نظریه مجموعه‌ها، پنداره‌ای(مفهومی) ساده و فراگیر از تابع ارائه شد. این کلیت به قدری است که مثلاً برای مطالعه حساب دیفرانسیل و انتگرال باید شرایطی اضافی را بر تابع(مانند پیوستگی و مشتق پذیری) اعمال کرد تا رده خاصی از توابع مورد نظر برای مطالعه حاصل شود. در بیشتر زمینه‌های ریاضی، اصطلاحات تبدیل و نگاشت نیز بیش‌تر با تابع هم معنی پنداشته می‌شوند. به هر روی شاید که در برخی زمینه‌ها ویژگی‌های دیگری داشته باشند. برای نمونه در هندسه، یک نگاشت گاهی یک تابع پیوسته تعریف می‌شود.

آشنایی با مفهوم
دو گزاره(عبارت) (y2=x (1 و (2) y=x2 را در نظر بگیرید که در آن x متغیری از اعداد حقیقی است.
در گزاره (1) اگر متغیر x را در گزاره بگذاریم دو اندازه(مقدار) برای y بدست می‌آید که عبارت اند از ، اما در گزارهٔ دوم با گذاشتن مقدار x مقداری یگانه برای y یعنی x2 بدست می‌آید. برای نمونه در گزاره (1) اگر x=2 آنگاه ولی اگر در گزاره (2) بگذاریم x=2 تنها یک جواب y=4 را بدست می‌آوریم. اگر متغییر x را ورودی و y که مقدار بدست‌آمده از گذاشتن متغیر x در گزاره است را خروجی بنامیم و هر یک از گزاره‌ها را به عنوان هنجاری(قاعده‌ای) بگیریم که هر ورودی x را طبق قانونی ویژه به خروجی y تبدیل می‌کند، می‌توان تفاوت بین دو گزاره را اینگونه گفت که در گزاره (1) برای هر ورودی x، هنجار مربوطه دو خروجی y را می‌دهد، در صورتی که در (2) برای هر ورودی x هنجار مربوط به آن دقیقاً یک خروجی y می‌دهد. در هر مورد هنجار را می‌توان یک روش ویژه برای تناظر هر ورودی x به خروجی خودش دانست. رده ویژه‌ای از هنجارهای(قواعد) تناظر وجود دارند که به هر وروی خود یک و فقط یک خروجی نسبت می‌دهند. این گونه هنجارها از اهمیت ویژه‌ای برخوردارند چرا که برای هر ورودی، خروجی آنها یکتا و صریحاً قابل محاسبه و بازگو(بیان) است. چنین هنجاری(قاعده‌ای) را در اصطلاح تابع می‌گوییم. پس بنابر آنچه تا اینجا بازگو شد یک تابع هنجاری(قاعده‌ای) است که هر متغیر دریافتی خود را فقط به یک خروجی نسبت می‌دهد.

شکل(1) نمونه‌ای از یک تناظر که تابع نیست

شکل(2) نمونه‌ای از یک تابع
برای نمونه تناظر شکل(1) نمایش دهنده یک تابع نمی‌باشد چراکه عضو 3 به دو عضو متناظر شده است. اما شکل(2) نشان دهنده یک تابع است هر چند که دو عضو گوناگون به یک عضو نسبت داده شده‌اند. حال تلاش می‌کنیم تعریفی ریزبینانه و قابل پذیرش از دیدگاه ریاضی برای این مفهوم پیدا کنیم. در این راه درآغاز نمادگذاری ویژه‌ای را می‌شناسانیم.
برای نمایش بهتر، تابع که خود یک هنجار(قاعده) برای تناظر است را با f نشان می‌دهیم و ورودی یا شناسه این تابع (هنجار) را با x نشان می‌دهیم که ممکن است عدد هم نباشد. یگانه مقدار خروجی که هنجار f به ورودی x نسبت می‌دهد را بجای y این‌بار با (f(x نشان می‌دهیم و آن را مقدار تابع f در x یا تصویر x تحت تابع f می‌گوییم. همچنین از این پس به هنجاری(قاعده‌ای) که هر x را به (y=f(x نسبت می‌دهد ضابطه تابع می‌گوییم. برای نمونه گزاره f(x) = x۲ نشان دهنده ضابطه یک تابع است، که در آن f شناسه x را دریافت می‌کند و آن را به x۲ نسبت می‌دهد. در این صورت برای ورودی ۳ مقدار f(3)=9 به دست می‌آید. نکته قابل توجه این است که نباید تابع را با ضابطه آن اشتباه کرد. به عنوان مثال در مثال فوق f معرف خود تابع و گزاره (f(x معرف ضابطه تابع است. همانطور که در ابتدا بیان شد، در یک تابع لزومی ندارد که حتماً بر روی اعداد علمیاتی انجام گیرد. به عنوان مثال تناظری که بین هر فرد و شماره شناسنامه آن وجود دارد نیز نمونه‌ای از توابع است. در ادامه نمونه های بیشتری را از این نوع توابع در ریاضیات خواهید دید. تا کنون مفهومی جالب توجه به نام تابع پیدا کردیم و به توصیف اجمالی آن پرداختیم. حال با در دست داشتن این مفهوم باید سعی در تعریف دقیق و قابل قبول آن از نظر ریاضی بکنیم. تابع را به عنوان یک هنجار تناظر تعریف کردیم که به هر عضو ورودی خود یک عضو یگانه را متناظر می‌کند. حال می‌توان همه عناصری را که به عنوان ورودی تابع قرار می‌گیرند در یک مجموعه قرار داد. در اختیار داشتن چنین مجموعه‌ای مفید است و باعث می‌شود متغیرهایی که به عنوان ورودی تابع در نظر گرفته می‌شوند را تعیین کنیم و عناصر اضافه را حذف کنیم. چنین مجموعه‌ای را دامنه تابع می‌گوییم. دامنه تابع f را با domf نشان می‌دهیم. به همین صورت می‌توان مجموعه همه خروجی‌های تابع که تصویر عناصر دامنه هستند را هم در نظر گرفت که به آن برد تابع گفته می‌شود و آن را با ranf یا Imf نشان می‌دهیم. (در خصوص این مفاهیم در ادامه دقیق‌تر بحث خواهد شد.) حال تابع را می‌توان به عنوان هنجاری خاص برای تناظر بین اعضای دو مجموعه دامنه و برد تعریف کرد. به بیان دقیق تر، اگر A و B دو مجموعه باشند، یک تابع از مجموعه A به مجموعه B را می‌توان هنجاری تعریف کرد که به هر عضو مجموعه A چون a یک و فقط یک عضو از مجموعه B را چون (f(a نسبت می‌‌دهد. تابع f از مجموعه A به مجموعه B را با نشان می‌دهیم. اگر f تابعی از مجموعه A به مجموعه B باشد، A را دامنه f می‌گوییم. اما مجموعه B می‌تواند مجموعه ای بیش از برد تابع باشد. f به هر عضو A یک عضو یکتا از B را نسبت می‌دهد اما تضمینی وجود ندارد که هر عضو مجموعه B الزاماً تصویر یک عضو از A تحت f باشد. پس در حالت کلی برد تابع f زیرمجموعه‌ای از مجموعه B است. مجموعه B را که برد تابع زیرمجموعه‌ای از آن است را همدامنه تابع f می‌گوییم و آن را با codomf نشان می‌دهیم. طبق آنچه بیان شد، برد تابع زیرمجموعه‌ای از همدانه‌اش است. می‌توان دید که برد یک تابع یکتا است ولی همدامنه آن چنین نیست. به عنوان مثال تابع را با ضابطه f(x)=x2 در نظر بگیرید. دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی است اما آیا برد آن نیز همان مجموعه اعداد حقیقی R است؟ پاسخ آشکارا منفی است چون اعداد حقیقی منفی، چون 1- تصویر هیچ عدد حقیقی تحت f نمی‌باشند. برد این تابع مجموعه اعداد حقیقی نامنفی است که زیرمجموعه‌ای از اعداد حقیقی است. به نظر می‌رسد بیشتر قسمت‌های تعریف اولیه‌ای که از تابع ارائه دادیم را دقیق نمودیم و آنها را بر پایه مجموعه ها تعریف کردیم. اما نکته‌ای که هنوز در تعریف فعلی ما از یک تابع از مجموعه A به مجموعه B، به عنوان: «هنجاری که به هر عضو مجموعه A یک و فقط یک عضو از مجموعه B را تناظر دهد.» آزار دهنده و نادقیق است عباراتی چون «هنجار» یا «تناظر» است که از نظر ریاضی نادقیق هستند. چگونه می‌توان این هنجار و بعد از آن تناظری که این هنجار معرف آن است را به طور دقیق فرمول بندی کرد.
فرض کنید f:A→B یک تابع باشد. در این صورت تابع f با انتخاب یک عضو a€A آن را طبق ضابطه خود به عضو یکتای f(a)€B متناظر می‌کند. می‌توان هر عضو a را به‌وسیله زوج مرتب ((a,f(a) به (f(a نسبت دهیم. به این ترتیب، ممکن است معنی دقیق تناظر را ندانیم ولی به نظر طبیعی می‌‌رسد که تناظری که تابع f بین اعضای A و B ایجاد می‌کند را به‌وسیله زوج های مرتب ((a,f(a) برای هر a€A تعریف کنیم. حال تابع f به عنوان هنجار این تناظر، چیزی بجر توصیف نحوه تناظر اعضای A به B نیست که به طور کامل به‌وسیله همه زوج‌های مرتب ((a,f(a) برای هر a€A مشخص می‌شود پس تابع f را می‌توان به عنوان مجموعه همه این زوجهای مرتب، یعنی مجموعه همه زوج‌های مرتبی که مولفه اول آنها عضو A بوده و مولفه دوم آنها تصویر مولفه اول تحت تابع f است، تعریف کرد. شرط تابع بودن تضمین می‌کند که هیچ دو زوج متمایزی در تابع f دارای مولفه اول یکسان نخواهند بود.همچنین از اینجا بنا به تعریف حاصل ضرب کارتی دو مجموعه A و B چون a€A و f(a)€B می‌توان نوشت a,f(a))€A×B).
پس تابع f را می‌توان به عنوان زیرمجموعه‌ای از ضرب دکارتی دو مجموعه A و B در نظر گرفت. به عبارت دقیق تر تابع f را می‌توان به عنوان رابطه‌ای دو تایی از A به مجموعه B در نظر گرفت. در این صورت در تابع f:A→B برای هر a€A گزاره a,b)€f) را به صورت (b=f(a نشان می‌دهیم. حال همه چیز برای ارائه تعریفی دقیق از تابع آماده است.
تعریف دقیق تابع
تعریف
یک تابع از مجموعه X به مجموعه Y رابطه‌ای چون f از مجموعه X به مجموعه Y است که دارای شرایط زیر باشد:
1. دامنه f مجموعه X باشد، یعنی domf=X.
2. برای هر x∈X عنصر یگانه y∈Y موجود باشد که x,y)∈f) یا به عبارتی هیچ دو زوج مرتب متمایزی متعلق به f دارای مولفه اول یکسان نباشند. شرط یگانگی را به طور صریح می‌توان یه این صورت فرمول بندی کرد که اگر x,y)∈f) و x,z)∈f) آنگاه y=z.
رابطه‌ای را که دارای چنین شرایطی باشد، تابع خوش تعریف می‌گوییم.
برای هر x∈X یگانه عضو y در Y که به ازای آن x,y)∈f) را با (f(x نشان می‌دهیم. در مورد تابع این علامت گذاری، سایر علامت گذاری‌هایی را که در مورد روابط کلی تر استفاده می‌شوند چون x,y)∈f) یا xfy را متروک ساخته است. از این پس اگر f یک تابع باشد، بجای x,y)∈f) یا xfy می‌نویسیم (y=f(x. عضو y را مقدار تابع به ازای متغیر یا شناسه x، یا تصویر x تحت f می‌گوییم و نیز x را پیش نگاره y می‌گوییم. کلمات نگاشت، تبدیل، تناظر و یا عملگر نیز برخی از انبوه کلماتی هستند که ممکن است در منابع مختلف بجای تابع بکار بروند اما این عبارات عموماً در برخی حوزه‌ها، بر حالت‌های خاصی از توابع دلالت دارند. اگر f تابعی از مجموعه X به(در یا به توی) مجموعه Y باشد، این مطلب را به صورت سه تایی (f,X,Y) یا به طور معمول تر برای توابع با f:X→Y نشان می‌دهیم.
مشخص کردن تابع
برای مشخص کردن یک تابع باید دامنه و ضابطه آن را بشناسیم. منظور از ضابطه یک تابع f:X→Y، فرمول و یا دستوری است که برطبق آن برای هر x∈X، مقدار تابع f در x یعنی (f(x تعیین می‌شود. ضابطه تابع را می‌توان به صورت یک گزاره جبری، مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب یا یک رابطه بازگشتی مشخص کرد.به این ترتیب برای مشخص کردن یک تابع از مجموعه X به مجموعه Y می‌نویسیم f:X→Y و سپس ضابطه آن را ذکر می‌کنیم. البته گاهی در مواقعی که بیم ابهام نرود دامنه تابع را ذکر نمی‌کنند و به ذکر ضابطه تابع بسنده می‌کنند. مثلاً عرف بر این است که در حساب دیفرانسیل و انتگرال دامنه توابع در صورت ذکر نشدن اعداد حقیقی یا بازه‌ای از اعداد حقیقی باشد.
دامنه و برد تابع
یک تابع f از مجموعه X به توی مجموعه Y را به عنوان نوعی رابطه از مجموعه X به Y تعریف کردیم. مفاهیم دامنه و برد همانگونه که برای روابط در حالت کلی قابل تعریف‌اند، به طریق اولی برای تابع f نیز قابل تعریف خواهند بود. بنا به تعریف دامنه تابع f که با domf نموده می‌شود، همان مجموعه X است. برد تابع f نیز مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند. برد تابع f را با ranf یا Imf نشان می‌دهیم. بنابه تعریف داریم:

اما همانطور که در گذشته نیز اشاره شد و از تعریف فوق نیز قابل برداشت است، برد f در حالت کلی لزوماً برابر مجموعه Y نمی‌باشد بلکه زیرمجموعه‌ای از آن است. برای تمایز بین مجموعه Y و برد تابع f به مجموعه Y همدامنه تابع f می‌گویند و آن را با codomf نشان می‌دهیم و بنا بر آنچه گفته شد، برد تابع زیرمجموعه‌ای از همدامنه‌اش هست.به عنوان مثال فرض کنید {X={1,2,3 و {Y={a,b,c,d و تابع f:X→Y به صورت {(f={(1,a),(2,b),(3,c تعریف شده باشد. وضوحاً دامنه این تابع مجموعه X است(می‌توان برای تعیین آن مجموعه همه مولفه‌های اول زوج‌های مرتب f را در نظر گرفت) ولی برد آن بنابه تعریف مجموعه {a,b,c} است که آشکارا زیرمجموعه حقیقی Y است.(یعنی زیرمجموعه آن است ولی با آن برابر نمی‌باشد) در حقیقت برد تابع f مجموعه همه مولفه‌های دوم زوج مرتب‌های f است. مجموعه همه عناصری از Y که به ازای یکx∈X داشته باشیم (y=f(x.
تساوی دو تابع
فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند. در این صورت تساوی دو تابع f و g را چگونه می‌توان تعریف کرد؟ وضوحاً تساوی f=g، تساوی بین دو مجموعه است و لذا f=g اگر و فقط اگر اعضای f و g یکسان باشند. این مطلب بسیار موجز است و می‌توان تفسیر زیبایی برای آن انجام داد. این مطلب در درجه اول ایجاب می‌کند که دامنه دو تابع f و g برابر باشند یعنی X=Z. چرا که برای هر x∈X ،x اگر و فقط اگر x,f(x))∈f) و چون f=g اگر و فقط اگر x,f(x))∈g) و این اگر و فقط اگر x∈Z پس X=Z. پس اولین شرط لازم برای تساوی دو تابع تساوی دامنه آنها است. حال دو تابع f:X→Y و g:X→Z باهم برابرند، یعنی f=g اگر و فقط اگر برای هر x∈X داشته باشیم(f(x)=g(x. به عبارت دیگر اگر f=g در این صورت برای هر x∈X دلخواه و از این پس ثابت، داریم x,f(x))∈f) و چون f=g پس x,f(x))∈g) و این یعنی (f(x)=g(x. بلعکس فرض می‌کنیم برای هر x∈X داشته باشیم(f(x)=g(x در این صورت، برای هر (x,y)∈f ،(x,y) اگر وفقط اگر (y=f(x و این اگر و فقط اگر (y=g(x پس x,y)∈g) و این یعنی f=g. بنابر آنچه گفته شد دو تابع f,g باهم برابرند اگر وفقط اگر دامنه‌شان با هم برابر باشد و برای هر x از دامنه مشترکشان، (f(x)=g(x. به عنوان مثال دو تابع و g(x) = | x | با دامنه اعداد حقیقی باهم برابرند. چرا که اولاً دامنه هر دو آنها اعداد حقیقی R است و برای هر x∈R داریم:
تحدید و توسیع
فرض کنید f:X→Y یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد. در این صورت یک روش برای ساختن تابعی چون g از مجموعه A به مجموعه Y این است که برای هر g(x)،x∈A را مساوی (f(x تعریف کنیم. یعنی تابع g:A→Y با ضابطه (g(x)=f(x. بر خواننده است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. ممکن است راه دیگری نیز برای بیان این مطلب بیابیم و آن این است که دامنه تابع f را به زیرمجموعه A از X تقلیل دهیم. در این صورت تابعی خواهیم داشت که این بار نه بر روی همه اعضای X بلکه فقط بر روی عناصر زیرمجموعه خاصی از X یعنی A اثر می‌کند و لذا دامنه آن از X به A تغییر می‌یابد. چنین تابعی را که همان g است تحدید تابع f به مجموعه A می‌گوییم و آن را با f|A یا f|A نشان می‌دهیم. با این نمادگذاری داریم g=f|A. همچنین تابع f را توسیع تابع g به مجموعه X می‌گوییم. بنابراین مفاهیم تحدید و توسیع دو مفهوم متقابل به هم می‌باشند. تحدید یک تابع به زیرمجموعه‌ای از دامنه خود همواره یک تابع است اما توسیع دامنه یک تابع به یک مجموعه جدید که دامنه تابع قبل زیرمجموعه‌ای از آن است همواره تابع نمی‌باشد ولذا در مورد توسیع توابع احتیاط بیشتری لازم است. به طور کلی اگر f:A→Y یک تابع باشد توسیع تابع f به مجموعه X تابعی چون g با دامنه X است، به طوری که تحدید g به مجموعه A برابر تابع f باشد یعنی g|A=f. هچنین می‌توان همدامنه یک تابع را نیز تحدید کرد البته در این کار احتیاط لازم است، چراکه نباید اعضایی را که متعلق به برد تابع است را حذف نمود. اما اگر f:X→Y یک تابع باشد، با تحدید Y به (f(X که همان برد تابع f است می‌توان تابع (f:X→f(X را تشکیل داد که خواهید دید پوشا نیز هست.
تصویر و تصویر معکوس
اگر f:X→Y یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد، ممکن است بخواهیم مجوعه‌ای را در نظر بگیریم که عناصر آن تصویر عناصر A تحت f می‌باشند. یعنی مجموعه‌ای که از تأثیر تابع f روی هر عضو مجموعه A حاصل می‌شود. چنین مجموعه‌ای را تصویر یا نگاره A تحت تابع f می‌گوییم و آن را با (f(A نشان می‌دهیم و به این صورت تعریف می‌کنیم:

بنابر این (y∈f(A اگر وفقط اگر به ازای y= f(x)،x∈A یا به بیان نمادین:

به عنوان مثال اگر {X={1,2,3,4,5 و {Y={a,b,c,d,e و f:X→Y به صورت:
{(f={(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,d
تعریف شود و زیرمجموعه A از X به صورت {A={1,3,4 در نظر گرفته شود در این صورت:
{f(A)={f(1),f(3),f(4)}={a,c,d
حال چون X نیز یک زیرمجموعه‌ای از خودش است می‌توان (f(X را نیز تشکیل داد، که در این صورت بنا به تعریف داریم:

که عبارت است از مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند که بنابه تعریف همان برد تابع f یعنی ranf است. به این ترتیب برد f را می‌توان تصویر X تحت تابع f تعریف کرد.
قضیه
اگر f:X→Y یک تابع باشد آنگاه:
1.
2.
3. اگر آنگاه
قضایای فوق به سادگی از تعاریف قابل اثبات می‌باشند. همچنین فرض کنید خانواده‌ای از زیرمجوعه‌های X باشد. در این صورت:
1.
2.
حال فرض کنید f:X→Y یک تابع باشد و B زیرمجموعه‌ای از مجموعه Y باشد. ممکن است بخواهیم مجموعه همه اعضایی از X را تعیین کنیم که تصویر آنها تحت f عضوی از B باشد.(به شباهت این مطلب با تصویرها توجه کنید) چنین مجموعه ای را با (B) نشان می‌دهیم و آن را تصویر معکوس یا پیشنگاره B تحت تابع f می‌گوییم. و بنابه تعریف داریم:

پس:

به عنوان مثال اگر {X={1,2,3,4,5 و {Y={a,b,c,d,e و f:X→Y به صورت:
{(f={(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,d
تعریف شود و زیرمجموعه B از Y به صورت {A={a,c,e در نظر گرفته شود در این صورت:
= {1,3} (B) مشاهده می‌کنید که برای عضو e از B عضوی از X وجود ندارد که تصویر آن تحت f برابر e باشد. در حقیقت می‌توان دید که تصویر معکوس B همواره ناتهی نیست، و تنها زمانی ناتهی است که اشتراک B با برد تابع f یعنی (f(X ناتهی باشد.همچنین وضوحاً Y نیز زیرمجموعه‌ای از خودش است، اگر (y) را بیابیم خواهیم داشت:

که وضوحاً از تعریف تابع این مجموعه برابر X است. پس همواره= x (y) .
قضیه
اگر f:X→Y یک تابع باشد آنگاه:
1.
2. اگر آنگاه
3. اگر B,C زیرمجموعه‌هایی از Y باشند آنگاه:
f − 1(C − B) = f − 1(C) − f − 1(B)
همچنین فرض کنید خانواده ای زیرمجوعه‌های Y باشند. در این صورت:
1.
2.

اجتماع توابع-توابع چند ضابطه‌ای
بسیار اتفاق می‌افتند که مقدار یک تابع در سراسر دامنه‌اش با یک ضابطه مشخص نمی‌شود مثلاً ممکن است دامنه تابع f که آن را X می‌نامیم را به n مجموعه X1,X2,X3,...,Xn افراز کنیم و تابع f با دامنه X را برای هر x∈Xi به صورت (f(x)=fi(x تعریف کنیم که در آن fi تابعی با دامنه Xi است. همچنین در این صورت می‌توان تابع f را برای هر x از دامنه به صورت زیر نوشت:

در این صورت f را تابعی با n ضابطه می‌گوییم.n در مثالی دیگر فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند که برای هر x متعلق به اشتراک X و Y (اشتراک دامنه f,g) داشته باشیم (f(x)=g(x. در این صورت تابع اجتماع دو تابع f,g را به صورت زیر تعریف می کنیم:


برخواننده است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. این مفهوم را می‌توان گسترش داد یعنی اگر خانواده‌ای از مجموعه‌های دو به دو جدا از هم باشد و برای هر fi,i∈I تابعی با دامنه Ai باشد، می‌توان تابع f، اجتماع توابع fi برای هر i∈I را با دامنه را به صورت برای هر x از دامنه به صورت (x) f(x)=fi اگر x∈Ai تعریف کرد. در ادامه نمونه‌هایی از توابع چند ضابطه‌ای را خواهید دید.
نمودار تابع
منظور از نمودار یک تابع f:X→Y به تصویر کشیدن تناظری است که f بین دو مجوعه X و Y ایجاد می‌کند. برای این کار برای همه وابط و بلاخص توابع عموماً از نمودار پیکانی استفاده می‌شود. برای رسم نمودار پیکانی تابع f:X→Y، دو منحنی بسته، نظیر آنچه در نمودار ون استفاده می‌شود را برای نمایش مجموعه X و Y انتخاب می‌کنیم و عناصر هر یک را به‌وسیله نقاطی در آنها مشخص می‌کنیم. سپس بین هر عضو x∈X و (f(x یک پیکان از x به (f(x به نشانه تناظر بین آن دو رسم می‌کنیم. به عنوان مثال اگر {X={1,2,3,4,5 و {Y={a,b,c,d,e و f:X→Y به صورت {(f={(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,d تعریف شده باشد نمودار پیکانی آن به صورت مقابل است.

شکل(3) نمودار پیکانی یک تابع

شکل (4) نمونه‌ای از نمودار یک تابع حقیقی در دستگاه مختصات دکارتی
این روش گرچه مناسب است ولی برای نمایش همه توابع بویژه توابعی با دامنه اعداد حقیقی(و به طور کلی توابعی که عددی هستند) چندان کاربرد ندارد. اگر f تابعی با دامنه اعداد حقیقی R باشد آن را تابع حقیقی می‌گوییم و برای نمایش نمودار آن از دستگاه مختصات دکارتی استفاده می‌کنیم و روش کار به این صورت است که برای هر x € R زوج مرتب ((x,f(x) که نماینده نقطه‌ای در صفحه دکارتی است را رسم می‌کنیم و به این ترتیب نمودار تابع f حاصل می‌شود. رسم نمودار تابع، باعث می‌شود دیدی کلی نسبت به آن تابع پیدا کنیم و همچنین بسیاری از خواص مربوط به توابع بویژه توابع حقیقی مانند پیوستگی، مشتق پذیری، نقاط بحرانی و عطف، صعودی یا نزولی بودن و... از روی نمودار آنها قابل تعیین است. به عنوان مثال با بررسی شکل(4) می‌توان گفت این تابع در چه بازه‌هایی صعودی و در چه بازه‌هایی نزولی است، این تابع در سراسر دامنه خود پیوسته و مشتق پذیر است، دارای دو نقطه بحرانی و یک نقطه عطف است و ... .

شکل(6)
همچنین از روی نمودار یک رابطه می‌توان تابع بودن آن را بررسی کرد. به عنوان مثال نمودار شکل(1) معرف یک تابع نمی‌باشد چون عضو 3 به دو مقدار متناظر شده است. همچنین در نمودار رسم شده در دستگاه دکارتی در شکل مقابل، وضوحاً برای هر عدد حقیقی مثبت x تابع دارای دو مقدار است. به طور کلی یک نمودار در دستگاه مختصات دکارتی یک تابع است اگر هر خط عمودی مرسوم بر محور x ها نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.
تابع یک به یک و پوشا
فرض کنید f:X→Y یک تابع باشد. در اینصورت برای تناظری که بین اعضای X و Y به‌وسیله تابع f برقرار می‌شود حالات مختلفی را می‌توان تصور کرد.

شکل(7)
اولین حالت اینکه ممکن است به ازای هر y متعلق به برد تابع f، تنها یک x در دامنه موجود باشد که (y=f(x. این شرط را می‌توان چنین فرمول بندی کرد که اگر به ازایX x1,x2€داشته باشیم f(x2) =( f(x1آنگاه 2x =1x یا:


چنین تابعی را با این ویژگی یک تابع یک به یک(تک گزین) یا انژکتیو می‌گوییم. یک به یک بودن تابع f را گاهی برای اختصار با نماد 1-1 نشان می‌دهند. در چنین حالتی ضمن اینکه بدلیل تابع بودن f هیچ دو زوج مرتبی از f دارای مولفه اول یکسان نمی‌باشند، به دلیل یک به یک بودن هیچ دو زوج مرتبی از f دارای مولفه دوم یکسان نیز نمی‌باشند. به عنوان مثال R→ f: Rبه ضابطه 2f(x)=x یک به یک نمی‌باشد چرا که اگر f(x2)=( f(x1در این صورت اما الزاماً این نتیجه نمی‌دهد 2x =1x پس تابع یک به یک نمی‌باشد.
یک به یک بودن یک تابع از روی نمودار تابع نیز قابل بررسی است. در نمودار پیکانی تابع یک به یک f، وضوحاً به هر عضو از همدامنه f انتهای حداکثر یک پیکان وارد شده است. به این ترتیب نمودار پیکانی شکل(2) نمایش گر یک تابع غیر یک به یک است. همچنین نمودار یک تابع حقیقی یک به یک به گونه‌ای است که هر خط موازی محور x ها، نمودار آن را حداکثر در یک نقطه قطع می‌کند. به این ترتیب نمودار شکل(4) مربوط به تابعی غیر یک به یک است.
همانطور که در گذشته نیز اشاره شد در تابع f:X→Y برد f ممکن است دقیقاً برابر مجموعه Y نباشد، ولی همواره زیرمجموعه‌ای از Y است.حال اگر برد تابع f برابر مجموعه Y باشد یعنیran f=y در این صورت هر عضو Y تصویر یک عضو مجموعه X تحت f خواهد بود. یعنی برای هر y∈Y، عضوی چون x∈X وجود دارد که (y=f(x. در این حالت تابع f:X→Y را تابع پوشا(برو) یا سوژکتیو می‌گویند و به اصطلاح می‌گویند f مجموعه X را بروی Y می‌نگارد.
این نکته بسیار حایز اهمیت است، چرا که در مورد نماد f:X→Y دو گزاره f تابعی از X به توی Y است و f تابعی از X به روی Y است با هم تفاوت دارند و گزاره دوم چیزی بیش از گزاره اول یعنی پوشا بودن تابع f را نیز بیان می‌کند.
پس تابع f:X→Y یک تابع پوشا(برو) است هرگاه:

اگر f:X→Y یک تابع غیر پوشا باشد، یک راه برای پوشا کردن تابع f تحدید همدامنه آن به برد f است. به عبارت دیگر می‌توان اعضایی از مجموعه Y(همدامنه) که تصویر هیچ عضوی از X نمی‌باشند(یعنی متعلق به برد تابع نمی‌باشند) را حذف نمود در این صورت تابع f از X به مجموعه تقلیل داده شده تابعی پوشا خواهد بود. مجموعه‌ای که می‌توان Yرا به آن تحدید نمود و تابعی پوشا بدست آور تصویر X تحت f با همان (f(X است که همانطور که در بالا نیز اشاره شد، این مجموعه همان برد تابع است.
بنابر این اگر f:X→Y یک تابع باشد تابع (f:X→f(X تابعی پوشا است و این از تعریف (f(X قابل اثبات است. به عنوان مثال R→ f: R ه ضابطه 2f(x)=x یک تابع پوشا نمی‌باشد. چرا که اعداد حقیقی منفی در همدامنه f(همان مجموعه R) تصویر هیچ عضوی از دامنه خود نمی‌باشند، چرا که مربع هیچ عدد حقیقی منفی نیست. اما تابع R→ f: R یک تابع پوشا است چون برای هر y € R می‌توان قرار داد و داریم و لذا f پوشا است.

شکل(8) نمونه‌ای از یک تابع دوسویی
حال که با مفاهیم یک به یک بودن و پوشا بودن آشنا شدیم وضوحاً یک تابع نسبت به دارای بودن این خواص می‌تواند چهار حالت مختلف باشد. یک حالت جالب توجه و بسیار مهم زمانی است که یک تابع هم یک به یک و هم پوشا باشد. چنین تابعی را تناظر یک به یک یا دو سویی یا بیژکتیو می‌گوییم. به عنوان مثال تابع 3f(x)=x بر مجموعه اعداد حقیقی یک تناظر یک به یک است. از نمودار پیکانی مقابل می‌توانید ببینید که چنین تابعی دارای چه ویژگی خاصی است. وجود چنین تابعی بین دو مجموعه متناهی ایجاب می‌کند تعداد اعضای آنها با هم برابر باشد. این مطلب در حالت کلی نیز درست است. یعنی اگر تابعی دوسویی بین دو مجموعه(خواه متناهی یا غیرمتناهی) برقرار باشد عدد اصلی آن دو مجموعه با هم برابر است. از توابع دوسویی برای بسیاری از تعاریف در نظریه مجموعه‌ها مثلاً تشابه مجموعه‌های خوشترتیب یا تعریف همتوانی دو مجموعه استفاده می‌شود.
مجموعه توابع
اگر X و Y دو مجوعه باشند مجموعه همه توابع از مجموعه X به مجموعه Y را با YX نشان می‌دهیم و بنابه تعریف داریم:

عدد اصلی این مجموعه را نیز می‌توان به صورت زیر بدست آورد(برای اثبات به مقاله حساب اعداد اصلی رجوع کنید.):
card(YX) = (cardY)cardX
از رابطه فوق نتیجه می‌شود اگر X مجوعه‌ای n عضوی و Y مجموعه‌ای m عضوی باشد تعداد توابع قابل تعریف از مجوعه X به مجموعه Y برابر است با mn که البته برای اثبات این مسئله خاص راه حل ترکیباتی هم وجود دارد. توضیح اینکه اگر بخواهیم تابع f:X→Y را تعریف کنیم هر عضو از n عضو مجموعه X چون x∈X، را می‌توان به m طریق به یک عضو از مجموعه Y نسبت داد. پس بنا بر اصل شمارش تعریف چنین تابعی به mn طریق ممکن خواهد بود.
حال فرض کنید f:X→Y یک تابع باشد و X مجموعه‌ای n عضوی و Y مجموعه‌ای m عضوی باشند.
در این صورت اگر m≥n می‌توان f را به صورت تابعی یک به یک بین دو مجموعه X و Y تعریف کرد. برای این کار کافی است n عضو را از بین m عضو مجموعه Y انتخاب کنیم و بیاد داشته باشید که ترتیب انتخاب اعضا نیز مهم است و لذا تعداد توابع یک به یک قابل تعریف برابر است با جایگشت n شی از m شی که برابر است با:

همچنین اگر n≥m، می‌توان f را به صورت تابعی پوشا نیز تعریف کرد که تعداد توابع پوشا از مجموعه X به مجموعه Y برابر است با:

که البته اثبات آن به‌وسیله اصل شمول و عدم شمول انجام پذیر است و بدلیل طولانی بودن از ارائه برهان آن خودداری می‌کنیم. همچنین تعداد توابع دوسویی روی مجوعه n عضوی X برابر است با !n.
ترکیب توابع
فرض کنید g:X→Y و f:Y→Z دو تابع باشند. در این صورت برای هر x∈X، داریم g(x)∈Y و لذا (g(x در دامنه تابع f قرار می‌گیرد و لذا
f(g(x))∈Z. کاری که انجام دادیم این بود که ابتدا x∈X را توسط تابع g به عضوی از مجموعه Y متناظر کردیم و عضو حاصله در Y را به‌وسیله تابع f به عضوی از مجموعه Z متناظر کردیم. به این ترتیب می‌توان گفت عضو x را توسط دو تابع g,f به عضوی از مجموعه Z متناظر کردیم. این کار را می‌توان به طور مستقیم نیز انجام داد.

شکل(9) نمودار ترکیب دو تابع
برای این منظور تابع h:X→Z را برای هر x متعلق به مجموعه X، به صورت ((h(x)=f(g(x تعریف می‌کنیم. چنین تابعی را ترکیب تابع g و f می‌گوییم و آن را با fog (بخوانید f اُ g) نشان می‌دهیم.
با توجه به آنچه بیان شد تابع fog را می‌توان به صورت زیر نیز تعریف کرد:

توجه داشته باشید که در حالت کلی ترکیب توابع جابجایی نمی‌باشد یعنی همواره رابطه fog=gof برقرار نمی‌باشد.
به عنوان مثال اگر f:R→R با ضابطه f(x)=x3 و g:R→R باضابطه g(x)=lnx باشد در این صورت، داریم:
(fog)(x) = f(g(x)) = f(lnx) = (lnx)3
(gof)(x) = g(f(x)) = g(x3) = ln(x)3 = 3lnx
قضیه
ترکیب توابع شرکت پذیر است، یعنی اگر f:A→B,g:B→C,h:C→D سه تابع باشند آنگاه ho(gof)=(hog)of.
برای اثبات توجه می‌کنیم که هر دوی ho(gof),(hog)of توابعی از مجموعه A به توی مجموعه D می‌باشند و برای هر x∈A داریم:
(((ho(gof))(x)=h(g(f(x)
و
(((hog)of)(x)=h(g(f(x))
که این تساوی را توجیه می‌کند.
معکوس تابع
یادآور می‌شویم که اگر R یک رابطه از مجموعه X به مجموعه Y باشد، آنگاه معکوس رابطه R را با R-1 نشان می‌دهیم که عبارت است از:

و این یک رابطه از مجموعه Y به مجموعه X است. حال تابع f:X→Y نیز یک رابطه است و لذا به معکوس آن را نیز می‌‌توان تعریف کرد که آن را با f-1 نشان می‌دهیم و حداقل یک رابطه از Y به X است.

حال این سوال مطح می‌شود که آیا f-1 نیز یک تابع خواهد بود و یا چه هنگامی f-1 یک تابع است؟
وضوحاً برای اینکه f-1:Y→X تابع باشد، باید در شرایط تابع بودن(که در گذشته بیان شد) صدق کند یعنی در درجه اول دامنه‌اش همان مجموعه Y باشد و نیز هر عضو Y را به عضوی یگانه از X تصویر کند.
اما برای اینکه دامنه f-1 برابر مجموعه Y باشد، برد تابع f باید برابر مجموعه Y باشد و این یعنی تابع f باید پوشا باشد.
برای اینکه f-1 هر عضو از دامنه خود Y را به یک عضو یگانه از مجموعه X تصویر کند، باید برای هر x1,x2∈X داشته باشیم اگر (f(x1)=f(x2 آنگاه x1=x2 و این یعنی f باید تابعی یک به یک باشد.
بنابراین معکوس تابع f:X→Y یعنی f-1 تابعی از Y به X خواهد بود اگر وفقط اگر f:X→Y یک دوسویی باشد. در این حالت f-1:Y→X را تابع معکوس تابع f می‌گوییم.
اگر f-1 معکوس تابع f:X→Y باشد رابطه زیر را بین دامنه و برد f و f-1 داریم:
1. domf − 1 = ranf
2. ranf − 1 = domf
همچنین اگر (y=f(x پس x,y)∈f) ولذا y,x)∈f-1) پس (x=f-1(y و بلعکس.
رابطه بین یک تابع و معکوسش را می‌توان به این صورت توصیف کرد که تابع f-1 معکوس تابع f، دقیقاً عکس تناظری که تابع f بیانگر آن است را توصیف می‌کند. به همین دلیل و بنابه تعریف تابع معکوس نمودار پیکانی تابع f-1 معکوس تابع f:X→Y با معکوس کردن جهت فلش‌ها بدست می‌آید.
همچنین اگر f تابعی حقیقی باشد، برای اینکه نمودار معکوس f را تعیین کنیم کافی است قرینه نمودار تابع f را نسبت به نیمساز ربع اول و سوم یعنی f(x)=x رسم کنیم و چون انعکاس نسبت به نیمساز ربع اول و سوم موجب جابجایی مولفه‌های اول و دوم زوج‌های مرتب تابع f می‌شود و این در حقیقت همان هدف ماست.
حال اگر f:X→Y تابعی یک به یک و پوشا با معکوس f-1:Y→X باشد، برای هر x∈X داریم:
(fof − 1)(x) = f(f − 1)(x) = x
(f − 1of)(x) = f − 1(f(x)) = x
و این یعنی ترکیب هر تابع با معکوس خودش برابر با تابع همانی است.


بررسی چند تابع خاص
تابع ثابت
فرض کنید X و Y دو مجموعه ناتهی و b∈Y عضوی ثابت و لخواه باشد. در این صورت می‌توان تابع f:X→Y را با ضابطه برای هر f(x)=b,x∈X تعریف کرد که به آن تابع ثابت می‌گوییم. وجه تسمیه این تابع نیز واضح است، چرا که به هر عضو دلخواه مجموعه X عضو ثابت b از مجموعه Y را نسبت می‌دهد. این تابع را معمولاً با Cb نشان می‌دهیم و می‌توان به آن را صورت زیر نیز نشان داد:

نمودار یک تابع ثابت روی اعداد حقیقی یک خط موازی محور Xها خواهد بود.
تابع همانی
فرض کنید X یک مجموعه ناتهی باشد. در این صورت بدیهی‌ترین رابطه‌ای که ممکن است روی مجموعه X تعریف کنیم رابطه همانی با انعکاسی است. اگر این رابطه را با I نشان دهیم داریم:


شکل(10) نمودار تابع همانی روی مجموعه اعداد حقیقی
به سادگی می‌توان دید رابطه همانی روی مجموعه X یک تابع از X به روی خودش است که به آن تابع همانی می‌گوییم. به گزاره دیگر I:X→X با ضابطه برای هر I(x)=x،x∈X تابع همانی است. اگر مجموعه X را مجموعه اعداد حقیقی R در نظر بگیریم، تابع همانی از مجموعه R به روی مجموعه R تابع f(x)=x است که همان نیمساز ربع اول و سوم دستگاه مختصات دکارتی است. به سادگی می‌توان تحقیق کرد این تابع در مجموعه اعداد حقیقی دوسویی است. حال مجموعه ناتهی X و زیرمجموعه A از آن را در نظر بگیرید. در این صورت بنابه آنچه از قبل گفته شد می‌توان دامنه تابع همانی روی X یعنی I:X→X را مجموعه A تحدید نمود و حاصل تابع I|A:A→X است با ضابطه برای هر I(x)=x،x∈A، این تابع را که زیرمجموعه A از X را به توی X می‌نگارد را تعمیمی بر تابع همانی می‌توان دانست که به آن تابع احتوا یا شمول می‌گویند.
تابع قدر مطلق
قدر مطلق اعداد حقیقی را می‌توان به عنوان یک تابع در نظر گرفت. این تابع را می‌توان به صورت f:R→R تعریف کرد:

قدر مطلق x را معمولاً با |x| نشان می‌دهیم. وضوحاً این تابع یک تابع از مجموعه اعداد حقیقی به روی مجموعه اعداد حقیقی نامنفی است.
تابع علامت
تابع sgn:R→R را با ضابطه:

تابع علامت می‌گویم. نماد sgn کوتاه نوشتی برای sign به معنی علامت است. وجه تسمیه این تابع نیز واضح است، چرا که اعداد را بر حسب علامتشان جدا می‌کند. این تابع نمونه‌ای از توابع چند ضابطه‌ای است.
تابع انتخاب
برای مطالعه بیشتر به مقالات تابع انتخاب و اصل انتخاب مراجعه کنید.
در نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها اصلی موضوعی موسوم به اصل موضوع انتخاب بیان می‌کند برای هر دسته ناتهی از مجموعه‌های ناتهی، تابعی چون وجود دارد که بری هر داریم این تابع را تابع انتخاب می‌گوییم.
اجمالاً تابع انتخاب، انتخاب‌های هم‌زمان از اعضای دسته انجام می‌دهد و اعضای انتخاب شده را در برد خود قرار می‌دهد.
نکته‌ای که جالب و جنجال بر انگیز است این است که تنها وجود این تابع به‌وسیله اصل موضوع انتخاب تضمین می‌شود حتی اگر تعداد مجموعه‌های دسته مفروض نامتناهی باشد، و هیچ روشی برای نحوه این انتخاب ارائه نمی‌کند به عبارت دیگر برای این تابع ضابطه‌ای در نظر نمی‌گیرد. این تابع به ما امکان انتخاب‌های نامتناهی را هم می‌دهد که این امر برای اثبات بسیاری از قضایای نظریه مجموعه‌‌ها، خصوصاً قضیه خوشترتیبی و لم زرن لازم است.
تابع مشخصه
فرض کنید X مجموعه‌ای ناتهی و A زیرمجموعه‌ای از X باشد. در این صورت تابع مشخصه A در X، یعنی (بخوانید خی A) را برای هر x∈X به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

البته انتخاب مجموعه {0,1} هر چند معمول‌تر است ولی الزامی نیست و می‌توان هر مجموعه دو عضوی دیگر را نیز انتخاب کرد. این تابع به هر عضو مجموعه A عدد یک و به هر عضو X-A یعنی عناصری که متعلق به X هستند ولی به A تعلق ندارند مقدار صفر رانسبت می‌دهد. وجه تسمیه این تابع این است که عناصری زیرمجموعه A از X را از سایر عناصری که در A قرار ندارند جدا می‌کند.


شکل(11) نمودار پیکانی تابع مشخصه A در X
نمونه‌ای از یک تابع مشخصه معروف تابع دیریکله است که همان تابع مشخصه Q(اعداد گویا) در R(اعداد حقیقی) است که آن را با D نشان می‌دهیم و به این صورت تعریف می‌کنیم:

به سادگی می‌توان نشان داد این تابع هر هیچ نقطه از دامنه خود پیوسته نمی‌باشد.
توابع دو (یا چند) متغیره
عباراتی چون f(x,y) = sin(xy) یا + y2 + z2 f(x,y,z)= x2را در نظر بگیرید. هر یک از آنها دو یا بیش از دو متغییر از دامنه می‌پذیرند و یک مقدار یگانه را به همه آنها نسبت می‌دهند. گاهی ممکن است تابع بجای یک شناسه دو یا چند شناسه را به بپذیر و آنها را به یک عضو از برد خود نسبت دهد، در این صورت تابع را دو یا چند متغیره می‌گوییم. چنین توابعی رابطه‌ای بین بیش از دو مجموعه هستند. به عنوان مثال تابع اول را می‌‌توان تابعی به صورتR →R×R f(x) توصیف کرد که در این صورت تابع زوج (x,y) را به عنوان شناسه خود می‌پذیرد و آن را به عضوی از R نسبت می‌دهد که در این صورت اعضای تابع f را می‌توان به صورت سه تایی ((x,y,f(x,y) نشان داد.
پیشینه تابع
«تابع»، به عنوان تعریفی در ریاضیات، توسط گاتفرید لایبنیز در سال ۱۶۹۴، با هدف توصیف یک کمیت در رابطه با یک منحنی به وجود آمد، مانند شیب یک نمودار در یک نقطه خاص. امروزه به توابعی که توسط لایبنیز تعریف شدند، توابع مشتق‌پذیر می‌گوییم، اغلب افراد در هنگام آموختن ریاضی با این گونه توابع برمی‌خورند. در این گونه توابع افراد می‌توانند در مورد حد و مشتق صحبت کنند. چنین توابعی پایه حساب دیفرانسیل و انتگرال را می‌سازند.
واژه تابع بعدها توسط لئونارد اویلر در قرن هجدهم، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند =sin(x) + x3(x)f
در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرمول بندی تمام شاخه‌های ریاضی براساس نظریه مجموعه‌ها کردند. وایراشتراس بیشتر خواهان به وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.
در ابتدا، ایده تابع ترجیحاً محدود شد. ژوزف فوریه مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی می‌کنند در حالی که امروزه هیچ ریاضی‌دانی این مطلب را قبول ندارد. با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعه «عجایب» در ریاضی بپردازند از جمله تابعی که به‌وسیله وایراشتراس معرفی شد که در سراسر دامنه خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیر نبود. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به توابع پیوسته و مشتق‌پذیر محدود نشوند.
تا انتهای قرن نوزدهم ریاضی‌دانان سعی کردند که مباحث ریاضی را با استفاده از نظریه مجموعه‌ها فرمول‌بندی کنند و آنها در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساسنظریه مجموعه‌ها و نتایج آن باشد. دیریکله و لوباچوسکی هر یک به طور مستقل و تصادفاً هم زمان تعریف «رسمی» از تابع ارائه دادند.
در این تعریف، یک تابع حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویه منحصر به فرد وجود دارد.
تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به طور گسترده‌تر در منطق و علم تئوری رایانه مطالعه می‌شود.

sajadhoosein
15-02-2011, 08:22
هندسه دوجيني و موسيقي





نُت يا نوت :

در موسيقي به دو معني بكار مي‌رود :

1- به معني واحد صدايي با فركانس ثابت كه نامي بر آن گذاشته شده كه در متون كهن فارسي به آن نغمه مي‌گويند .

2- به معني نمايش يا نشانه نوشتاري هر يك از اين صداهاست .

در معني اول نت‌ها هفت نام براي نوشتن اصوات موسيقي هستند . در ايران به پيروي از فرانسه و ايتاليا نت‌ها به اين صورت نام گذاري مي‌شوند : دو - ر - مي - فا -سُل - لا - سي ( do , re , mi , fa , sol , la , si ) . در روش نام‌گذاري الفبايي كه در كشورهاي انگليسي و آلماني زبان رايج بوده است ، نت‌ها به ترتيب "A , B , C , D , E , F , G" نام مي‌گيرند ، كه نت A در اين روش برابر با نت « لا » ( la ) در روش قبلي است .

در معني دوم ، براي مكتوب كردن اصوات موسيقي ، اين صداها را طبق قواعد خاصي بين يا روي پنج خط افقي مي‌نويسند كه به نام خطوط حامل شناخته مي‌شوند . خطوط حامل از پايين به بالا شمرده مي‌شوند ، به اين معني كه نتي كه روي خط پايين‌تر نوشته شود ، صدايي بم‌تر از نتي دارد كه بر روي خط بالاتر نوشته شده است . به اين ترتيب نام نوت از روي جايي كه روي خط‌هاي حامل قراردارد مشخص مي‌شود . ديگر مشخصات نوت مانند طول آن ( مدت زمان امتداد يافتن آن صدا ) و غيره را نيز با شكل‌هاي قراردادي كه براي نوت طرح شده نمايش مي‌دهند . نت‌هاي متوالي را از چپ به راست مي‌نويسند . دانشي كه به قواعد نوشتن نت‌هاي موسيقي و مقولات مرتبط با آن مي‌پردازد ، تئوري موسيقي نام دارد .





اُكتاو :

( به انگليسي Octave ، گاه به اختصار به صورت 8ve و P8 نيز نوشته مي‌شود ) در زبان لاتين يعني عدد هشت . اكتاو در موسيقي نشان دهنده ۷ نت پايه‌اي موسيقي : Do , Re , Mi , Fa , Sol , La , Si و نت هشتم كه تكرار نت Do اول با فاصله ۷ نت است مي‌باشد . هر ساز داراي دامنه خاصي از لحاظ تكرار اين نت‌ها مي‌باشد و دامنه سازها را اغلب با شمارش مجموع اين هشت نت كه برابر با يك اكتاو مي‌باشد مي‌سنجند . بديهي است كه سازهاي مختلف داراي تعداد اكتاوهاي مختلف مي‌باشند .

در واقع بازه اصوات موسيقي به زير بازه‌هايي به نام اكتاو بخش مي‌شود . يك اكتاو بازه فركانسي را شامل مي‌شود كه فركانس انتهاي آن دو برابر فركانس ابتداي آن است . پس فركانس هر نت دو برابر فركانس نت همنام خود در اكتاو قبلي است ( براي نمونه لا در اكتاو ۳ فركانس ۴۳۷ هرتز ، و لاي اكتاو ۴ فركانسي برابر ۸۷۴ هرتز دارد ) . فركانس نت‌هايي كه با فاصله يكسان از نظر موسيقي به ترتيب دنبال هم قرار مي‌گيرند ، تشكيل تصاعد هندسي مي‌دهند .

در سيستم كلاسيك يك اكتاو را به دوازده فاصله برابر تقسيم مي‌كنيم . كه به هر يك از اين فواصل يك نيم پرده مي‌گوييم . به طبع دو برابر نيم پرده ، يك پرده ‌است .

اگر بخواهيم اين اصطلاح را دقيق‌تر تعريف كنيم ، بايد به اين نكته توجه داشته باشيم كه در تقسيم بندي سيستم كلاسيك موسيقي ، فركانس نت‌هاي موسيقي رشته‌اي با تصاعد هندسي است . در اين صورت پرده واحدي براي معرفي فاصله دو صدا يا به بيان صحيح‌تر نسبت فركانس آن دو است . در اين سيستم هر اكتاو معادل شش پرده ( دوازده نيم پرده ) است . از آنجا كه فركانس هر نت دو برابر فركانس نت معادل آن در اكتاو پايين‌تر مي‌باشد ، مي‌توان قدر نسبت اين تصاعد هندسي ( نسبت فركانس هر نت نسبت به نت نيم پرده پايين تر ) را به دست آورد :

q = 2(1 / 12)


نكته مهم اين است كه مغز در تشخيص موسيقي اصوات اين بازه از راه شناختن نسبت هندسي بين بسامد نت‌ها اقدام مي‌كند . در تنظيم نوت‌هاي موسيقي فركانس صوت اصلي يعني do را 440 هرتز در نظر مي‌گيرند . گام موسيقي ، مجموعه‌اي از چند نوت است كه فاصله آنها براي گوش خوشايند است . گام‌هاي متفاوتي در موسيقي وجود دارد . اكنون به توصيف گام طبيعي ( زارلن ) مي‌پردازيم .

گام طبيعي از هشت نوت : دو 1 ، ر ، مي ، فا ، سل ، لا ، سي ، دو 2 تشكيل شده است كه فاصله آنها از يك نوت مبنا دو 1 ( 440 هرتز ) كه كمترين بسامد را دارد ، به صورت زير است .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]






موزيك و دنباله فيبوناچي :



چنين به نظر ميرسد كه فركانس نت‌ها در اكتاوها بر پايه تناسبات ( تقسيمات ) اعداد فيبوناچي استوار شده است .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



كيبورد ( صفحه كليد ) پيانو شامل دو گروه كليد ( كلاويه ) سفيد و مشكي ميشود . در هر اكتاو 8 كليد سفيد و 5 كليد مشكي وجود دارد كه كليدهاي مشكي به دو گروه دوتايي و سه تايي تقسيم ميشوند .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید



جدول فوق توسط وب سايت
برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید ارايه شده كه تناسبات ( تقسيمات ) اعداد فيبوناچي و رابطه آنها با فركانس نتهاي موسيقي مشخص و معرفي شده است .

گام يا فواصل خوش‌آيند صدا در موسيقي ، براي موجودات مختلف ، بسيار گوناگون و متنوع است ، براي اينكه موجودات در ساختار ژنتيكي ، حس و توان شنوايي ( محدوده اصوات ) و همچنين سيستم عصبي تنوع دارند . با توجه به سابقه طولاني موسيقي در ميان انسانها ، چنين به نظر ميرسد كه موسيقي حاصل كشف يا سازماندهي انسانها نباشد ، بلكه توسط موجودات هوشمندتري به انسانها آموخته و منتقل شده است . و دليل آن اينكه ساختار دوجيني در آن كاملا مشخص است و مربوط ميشود به سيستم شمارش بر پايه دوازده كه مورد استفاده انسان قرار نمي‌گيرد و مربوط ميشود به موجودات 12 انگشتي و يا موجوداتي كه اين سيستم را ترجيح داده‌اند .





گام موسيقي در ستاره داوود توسعه يافته :



همانطور كه در مبحث فاصله از مركز مدارها در شكل توسعه يافته ستاره داوود توضيح داده شد ، شعاع مدارها با استفاده از روابط مثلثاتي چنين بدست مي‌آيد :


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


نكته قابل توجه اينكه شعاع مدار هشتم درست دو برابر شعاع مدار اول است . پس ميتوان به وسيله مقدار عددي بدست آمده در محاسبات 8 فركانس ( يك اكتاو ) به منزله 8 نت موسيقي را مشخص نمود كه از قرار زير هستند :



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



با توجه به اختلاف جزيي در نت‌هاي 5 و 6 ميتوان اين دو نت را در هم ادغام و به شش نت اصلي رسيد .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



عكس فوق مربوط به ساخته دست سرنشينان يوفو است ( اشياء بدست آمده از سقوط بشقاب پرنده در واقعه روزول ) . اشياء فوق ميتواند مربوط به يك ابزار چند كاره ( چند منظوره ) باشد ، منجمله نوعي ساز دستي يا ابزار هدايت و ناوبري خود سامانه پرواز ( بشقاب پرنده ) و ...........

sajadhoosein
15-02-2011, 08:28
تاریخچه احتمال و خوان اول


پیدایش رسمی احتمال از قرن هفدهم به عنوان متدی برای محاسبه شانس در بازیهای قمار بوده است. اگر چه ایده های احتمال شانس و تصادفی بودن از تاریخ باستان در رابطه با افسونگری و بخت آزمایی و بازیهای شانسی و حتی در تقسیم کار بین راهبان در مراسم مذهبی وجود داشته است و به علاوه شواهدی از بکارگیری این ایده ها در مسایل حقوق٫ بیمه٫ پزشکی و نجوم نیز یافت میشود٫ اما بسیار عجیب است که حتی یونانیان اثری از خود در رابطه با استفاده از تقارنی که در هندسه بکار می برده اند در زمینه احتمال یا اصولی که حاکم بر مسایل شانس باشد بجا نگذاشته اند.
● ارسطو پیشامدها را به سه دسته تقسیم می نمود:
۱) پیشامدهای قطعی که لزومآ اتفاق می افتادند.
۲) پیشامدهای احتمالی که در بیشتر موارد اتفاق می افتادند.
۳) پیشامدهای غیر قابل پیش بینی و غیر قابل شناسایی که فقط با شانس محض رخ میدهند.
اما ارسطو به تعبیرهای مختلف احتمال اعتقاد نداشته و فقط احتمال شخصی که مربوط به درجه اعتقاد افراد نسبت به وقوع پیشامدهاست را معتبر می دانسته است.
پاسکال و فرما اولی کسانی هستند که در اوایل قرن هفدهم مسایل مربوط به بازیهای شانسی را مورد مطالعه قرار دادند و این دو نفر به عنوان بنیانگزاران تیوری ریاضی احتمال لقب گرفته اند. دانشمندانی از قبیل هی گنز کارهای آنها را ادامه داده و ویت و هلی این مسایل را در آمارهای اجتماعی بکار گرفتند. این علم جدید نخستین نقطه اوج خود را در اثر مشهوری از ژاکوب برنولی بدست آورد. در این اثر علاوه بر تعریف کلاسیک احتمال ریاضی٫ اساس خاصی از قانون اعداد بزرگ و کاربردهای احتمال در آمارهای اجتماعی نیز مطرح شده است.
در قرن هجدهم متفکران بزرگی چون دی مور٫ دانیل برنولی٫ آلمبرت٫ اویلر٫ لاگرانژ٫ بیز٫ لاپلاس و گاوس قسمتی از وقت خود را به این علم جدید اختصاص دادند. بیز در سال ۱۷۶۳ قانون معروف بیز را ارایه می دهد و لاپلاس در نوشته ای تمام موضوع علم احتمال را جمع آوری می کند. مهمترین قضایای حدی که در محاسبات احتمالی بکار می رفته و تاثیر احتمال در ریاضی٫ فیزیک٫ علوم طبیعی٫ آمار٫ فلسفه و جامعه شناسی در این اثر جمع آوری شده است.
با مرگ لاپلاس در سال ۱۸۷۲ اوج پیشرفت این علم به اتمام رسید و علی رغم برخی تلاشهای فردی که ماحصل آنها کشف قضایایی چون قضیه اعداد بزرگ پواسون و یا نظریه خطاهای گاوس بود٫ بطور کلی احتمال کلاسیک ارتباط خود را با مسایل تجربی و علمی از دست میدهد. اما جریانهای متقابل ظاهر می شوند. به موازات پیشرفت نظریه ریاضی یک نظریه آمار به عنوان کاربردهایی از احتمال بوجود می آید. این نظریه در رابطه با مسایل مهم اجتماعی از قبیل اداره داده های آماری٫ مطالعه جمعیت و مسایل بیمه بکار می رفته است. اساس کار توسط افرادی چون کوتلت و لکسیز ریخته شده و توسط دانشمندانی چون فشنر(روانشناس)٫ تیله و برانز(منجمان)٫ گالتون و پیرسون(زیست شناسان) پیشرفت نموده است. این کارها در اواخر قرن نوزدهم در جریان بوده و در انگلستان و برخی دیگر از کشورها حرفه حسابگری٫ به مفهوم آماردانی که از اقتصاد و ریاضی هم اطلاعاتی دارد و در جمعیت شناسی و بیمه خبره می شود٫ رونق می یابد. از طرف دیگر فرمولهای کلاسیک ایده های احتمال میز مسیر پیشرفت و کاربردی خود را ادامه میدادند. در این قرن در تلاش برای روشن سازی پایه منطقی کاربردهای احتمال٫ وان میزز یک فرمولبندی جدید برای محاسبات احتمالی ارایه میدهد که نه تنها از نظر منطقی سازگار بوده بلکه نظریه ریاضی و تجربی پدیده های آماری در علوم فیزیکی و اجتماعی را پایه گذاری می نماید.
مدل کلاسیک احتمال توسط برنولی و لاپلاس معرفی شد. این مدل به دلیل فرض همطرازی و عدم امکان تکرار در شرایط یکسان و دلایل دیگر با اشکالاتی روبروست که بسیاری از پدیده های طبیعی بر آن منطبق نیست.
ایده های اساسی نظریه تجربی احتمال که قرار دادن فراوانی نسبی بجای احتمال است در سال ۱۸۷۳ توسط پواسون ارایه گردید.
بسیاری از مسایل احتمال حتی قبل از بیان اصول آن توسط کلموگرف در سال ٫۱۹۳۳ با ابزارهای تجربی و حتی نظری توسط دانشمندان مطرح شده است. ولی کلموگرف با بیان اصول احتمال پایه این علم و ارتباط دقیق آنرا با مباحث ریاضی مستحکم می نماید.
در این زمان احتمال به عنوان یکی از شاخه های ریاضی٫ نه تنها کلیه ابزارهای ریاضی را جهت پیشرفت خود بکار می گیرد٫ بلکه توانسته کاربردهایی را در حل برخی از مسایل ریاضی داشته باشد. نظریه احتمالی اعداد٫ نظریه احتمالی ترکیبیاتی و کاربردهای شاخص احتمال در برخی از مسایل آنالیز٫ بعضی از کاربردهای احتمال در ریاضی هستند.
از طرف دیگر احتمال به عنوان زیربنای ساختاری و اصول ریاضی علم آمار٫ در جهت پیشرفت این علم و قوام بخشی به دستورات آن نقشی اساسی دارد.
مسایل جالب احتمال هندسی و نظریه احتمالی اعداد٫ شمه ای از زیبایی های احتمال است که همه اینها با هم زیبایی٫ کارآیی و توان علم احتمال را نشان می دهند.
● خوان اول از کنفرانس ابرساختارهای جبری:
ابرساختارها چیزی نیستند جز تعمیم ایده های کلاسیک به سطحی بالاتر. به عنوان مثال تعریف عملگر از مجموعه ای به پاورست آن مجموعه (پاورست همان مجموعه تمام زیر مجموعه های یک مجموعه است.)

sajadhoosein
15-02-2011, 08:34
اشكال مرموز كشتزارهاي گندم (3)



اشكال مرموز كشتزارهاي گندم و هندسه دوجيني



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



يكي از شگفتي‌هاي اعداد مرموز اين است كه اگر عمليات هندسي را براي يك دايره با تقسيمات 10 انجام دهيم به دو پنج ضلعي منتظم و يك ستاره پنج پر مي‌رسيم كه در آن تركيب تناسبت طلايي يا فيبوناچي آشكار ميشود .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



در رسم فوق يك دايره را به پنج قسمت مساوي تقسيم مي‌كنيم . اگر اين نقاط را به نقاط مجاور خود وصل كنيم ، مسلما يك پنج ضلعي منتظم خواهيم داشت . اينك اگر نقاط را دو به دو به هم متصل كنيم يك ستاره پنج پر كه در داخل آن يك پنج ضلعي منتظم ديگر قرار دارد ، حاصل ميشود . در اين وضعيت پاره خط قرمز به همراه پاره خط بنفش يك تناسب طلايي را نشان مي‌دهند و به اين دليل مهم ستاره پنج پر براي چشم بيننده ، شكل هندسي خوش‌آيند و جذابي است كه بيانگر اين موضوع ميباشد كه نسبت طلايي در ساير سيستم‌هاي شمارش اعداد نيز آشكار ميشود و اين ساختار مربوط به اعداد مرموز ( 2 ، 4 ، 6 ) ميشود .




[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




آلبوم تصاوير



در ميان سرنشينان بشقاب پرنده‌هاي سقوط كرده موجودات ده انگشتي نيز شناسايي شده است ولي اين اشكال بيشتر از اينكه به سيستم شمارش ده دهي مربوط شوند با اعداد مرموز در ارتباط هستند ، يعني همان 2 و 4 و 6 كه مربوط به مراحل زماني خلقت سياره زمين ، روزي آن و هفت آسمانها ميشود .



اين رسم ميتواند مربوط به موجودات 10 انگشتي غير انساني شود ولي به احتمال خيلي زياد آنها نيز با سيستم شمارش دوجيني آشنايي كامل داشته و از آن استفاده مي‌كنند .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



عكس فوق نمونه يك رسم ناقص و يا تقلبي ايجاد شده توسط انسانهاست .




[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




اشكال فوق عدد هفت را به نمايش مي‌گذارند و كاملا مشخص است كه دين و مذهب موضوع مهمي براي سرنشينان يوفو ميباشد . در واقع آنها به مسئله دين و مذهب گرايش دارند ، براي اينكه عدد هفت يك عدد ديني و اشاره به آسمان هفتم يعني جايگاه خداوند بالاي عرش دارد .





پيام ديجيتالي موجودات هوشمند براي بشريت :



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



اين موجود هوشمند عكس خود را با استفاده از دو نقطه سايه و روش بر روي مزرعه تصوير نموده و پيام خود را نيز مكتوب كرده است . اين موجود هوشمند از تكنولوژي ديجيتال انسانها كاملا آگاه و با خبر است . در رايانه‌هاي دسك تاپ از هارد ديسك استفاده ميشود و اطلاعات به صورت صفر و يك در مبناي دودويي رمز و بر روي هارد ديسك ذخيره ميشوند . اين موجود هوشمند از بوته ايستاده به عنوان يك و از بوته خوابيده به عنوان صفر استفاده نموده است . سي دي و دي وي دي‌ها نيز از روش مشابهي برخوردارند و اين موجود هوشمند از همين تكنيك كه به زبان بشر امروزي است پيام خود را فرستاده است .

تاريخ نگارش تصوير گندم‌زار 2002-08-15 ، كشور United Kingdom ، منطقه Hampshire ، مكان Sparsholt


برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید




[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



شگفتي اين ديسك در اين است كه در كنار يك دكل مخابراتي تصوير شده و كاملا مشخص است كه ميبايست حاوي يك پيام مهم باشد .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



متن پيام به زبان انگليسي چنين است :

BEWARE THE BEARERS OF FALSE GIFTS AND THEIR BROKEN PROMISES . MUCH PAIN , BUT STILL TIME . BELIEVE THERE IS GOOD OUT THERE WE OPPOSE DECEPTION .



ترجمه :

اخطار به حمالان ( بردگان یا بندگان ) هدایای غلط ( كارهای بیهوده - گمراهان ) و پیمان شكنان . درد فراوانیست ، اما هنوز وقت هست . اعتقاد بر این است كه خوبی خارج از اینجاست . ما با فریب مقابله میكنیم .



پيام فوق ثابت و مشخص مي‌كند كه سرنشينان يوفو ( طايفه جنيان ) در نهايت به دين و ايمان درست روي آورده‌اند و با مسلمانان واقعي يعني موحدين بيشتر تفاهم و همزيستي خواهند داشت تا كساني كه به خدا و دين اعتقاد و باوري ندارند و يا حتي با مشركين و منافقين .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



شكل فوق ميتواند بيانگر الگوي پراش الكترون يا اشعه ايكس مربوط به كريستال خاصي باشد .

sajadhoosein
15-02-2011, 08:45
اشكال مرموز كشتزارهاي گندم (2)


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]





عكسهاي فوق دوتا از زيباترين اشكال هندسي است كه در آنها ، تركيب تناسبت طلايي ( دنباله فيبوناچي ) به دقت مراعات شده است . تجزيه و تحليل بعضي از اين اشكال نياز به چند روز كار مداوم دارد .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



شكل فوق دو ذره الكتريكي يا دو قطب مغناطيسي هم بار يا هم نام را نشان ميدهد كه ميادين الكتريكي يا مغناطيسي يكديگر را دفع مي‌كنند .


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



شكل فوق يك اتم هيدروژن را نشان مي‌دهد . يك پروتون متشكل از سه كوارك و يك الكترون متشكل از پوزيترون و نوترينو ، نوترينو گرايش به طرف هسته مثبت دارد .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




دو رسم فوق اشاره به اسپيرال لگاريتمي ( مارپيچ طلايي يا فيبوناچي ) دارد . يعني رسم زير :



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]







[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



اشكال فوق اشاره به مثلث‌هاي موجود در ستاره داوود دارند .


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




اشكال فوق اشاره به ساعت يا ستاره داوود توسعه يافته دارند يعني رسم زير :



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




اشكال فوق اشاره به نظريه حبابهاي سطحي و شالوده هندسه دوجيني دارند كه قبلا به آن اشاره شده است .





در واقع آنها با رسم اين اشكال در صدد شناساندن و معرفي خود و همچنين علم و رياضيات خود به ديگران هستند كه تا به امروز كسي نتوانسته است متوجه مفهوم و منظور اين اشكال شود كه پي بردن به آنها كار آساني ميباشد ، همچنين تماس و گفتگو با آنها و در نهايت ايجاد يك رابطه و همزيستي مصالحت آميز ، كاري كه دير يا زود ميبايست عملي شود ، منتها كسي به آن اهميت نمي‌دهد ، هرچند كه موضوع بسيار مهمي ميباشد .

رسم و نقاشي در گندم‌زارها علي‌رغم نياز به ابزار و تكنيك خاص خود با دو محدوديت كلي روبروست 1- رنگ 2- حجم . در واقع در مورد رنگ ميتوان از دو رنگ كلي سبز تيره ( بوته گندم ايستاده ) و سبز روشن ( بوته گندم خوابيده ) استفاده نمود و به علت مسطح بودن مزرعه ، اشكال و يا ترسيمات دو بعدي و در نهايت سايه روشن خواهند بود .

با توجه به اين محدوديت‌ها ، فقط ترسيمات هندسي جذاب و هنري به نظر خواهند رسيد كه البته ميبايست مبتني بر اصول و قواعد رياضي شكل گرفته باشند . همانطور كه ميدانيم طراحي و رسم اشكال هندسي وابسته به رياضيات و قواعد خود هندسه است و ريشه و مبناي اينها مربوط ميشود و وابسته است به سيستم‌هاي شمارش اعداد . با برسي اشكال فوق پي به ساختار دوجيني آنها ميبريم كه كار موجوداتي است كه از اين سيستم شمارش بهره ميجويند . يعني آفريننده اين اشكال هندسي ميبايست 12 انگشتي بوده و يا اينكه از كليات علم كتاب قرآن مطلع بوده باشد كه به يقين ميتوان گفت كه اين موجودات همان سرنشينان يوفو هستند و خود اين اشكال و رسم آنها هيچ ربطي به انسانهاي فعلي ساكن سياره زمين ندارد .

در هنگام فرود و يا برخاستن بشقاب پرنده‌ها به علت پديدار شدن ميدانهاي ضد جاذبه ، الكتروگراويتي ، الكترومغناطيسي قوي از هر نوع و ... ظهور اشكال دايره‌اي شكل در ميان بوته‌ها ، علف زارها و مزارع گندم و .... اجتناب ناپذير است :


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




كه ظهور اين پديده فيزيكي ، آغازي بوده است براي ايجاد اين اشكال هندسي ، كه ميتواند براي آنها جنبه علمي ، هنري ، سرگرمي و حتي تفريحي داشته باشد .


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

sajadhoosein
15-02-2011, 08:52
اشكال مرموز كشتزارهاي گندم (1)


اشكال مرموز كشتزارهاي گندم و هندسه دوجيني





دواير مرموز :



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



حدودا بيست سال است كه هر چند يك بار در يكي از كشورهاي اروپايي واقعه عجيبي اتفاق مي‌افتد . داستان هم اين است كه شب مي‌خوابند و صبح كه بيدار ميشوند مي‌بينند كه در مزارع گندم دايره‌هاي بزرگي ايجاد شده است . اين اتفاق نمي‌تواند عادي و يا شوخي و جعلي باشد . گذشته از اين يك شبه نمي‌شود چنين اشكالي را با آن دقت در مزارع ايجاد كرد . در اين بين بحران دايره‌هاي گندمزاري متوقف نشده است ، بلكه توسعه نيز يافته و جالب است كه اشكال هندسي ، سال به سال هندسي‌تر ، پيچيده‌تر و پركارتر شده‌اند .

ژاپني‌ها موضوع را آنقدر جدي تلقي كرده‌اند كه هيات‌هايي را براي بازديد از اين دايره‌ها به اروپا و آمريكا فرستادند . نظر نهايي اينست كه اين اشكال ثمره هنرنمايي موجودات فضايي باهوشي است كه سوار بر بشقاب پرنده به زمين مي‌آيند و بوسيله اشكال مرموز براي ما پيغام مي‌گذارند و دوباره به سياره خود بر مي‌گردند .

آزمايشها و بررسي‌هاي شبانه با كمك دوربينهاي مادون قرمز و ميكروفن‌ها ثابت كرده‌اند كه اين اشكال عجيب و غريب و شايد در باطن پر معني ، شب هنگام و در كوتاه‌ترين زمان و بدون ايجاد كمترين سر و صدايي يا تظاهرات عيني و گويي كه بطور صد در صد نامريي بوجود آمده‌اند .

اين اشكال در طول ۲۰ سال گذشته هندسي‌تر ، هنري‌تر ، پيچيده‌تر و پر طرح‌تر شده‌اند . مثلا دايره‌ها بزرگتر شده‌اند . گاهي دايره‌ها مانند حلقه‌هاي سمبل المپيك تو در تو هستند و در يك مورد هم يك مثلث نيز به آنها اضافه شده است . اشكالي هم شبيه حشرات و ماهي‌ها عينا مانند آثار نقاشي ماقبل تاريخ كه در غارها كشف شده‌ ديده شده‌اند . در كل كسي كه اين اشكال را ايجاد كرده است در نوعي خط تصويري نظير خط هيروگليف مهارت داشته و خواسته است كه با زبان بي زباني به ما چيزهايي بگويد .

برخي از محققيني كه ماجرا را مورد بررسي قرار داده‌اند ، مي‌گويند كه اين اشكال از فضا و با كمك نوعي اشعه شبيه اشعه ليزر دايره‌وار سوزانده مي‌شوند و بعيد نيست كه در حين عمل ، صداي خش و خش مانندي نيز بلند شده باشد . ولي در كل از روي شكل‌هاي اين مزارع بايد نتيجه گرفت كه فاعل هر كسي كه باشد ، روحيه اعتدالي دارد و از هندسه و هنر چيزهايي سرش مي‌شود و در ضمن با طبيعت هم سر و كار دارد . بطور كلي مي‌توان گفت كه آنها موجودات بي آزار و صلح جويي هستند و مي‌خواهند ، خود را به نحوي از انحا با طبيعت زمين تطبيق دهند و به ما حالي كنند كه ما هم هستيم .

نيرويي كه بتواند ساقه‌هاي گندم را خم كند ، الزاما بايد ويژگيهاي خاصي نيز داشته باشد . چون در بعضي از گندمزارها ساقه‌هاي گندم در اين اشكال بريده و يا سوزانده نشده‌اند ، بلكه خيلي تميز و پاكيزه با زاويه ۹۰ درجه خم و خوابانده شده‌اند . يعني به بوته گندم امكان داده شده است كه به رشد خود ادامه دهد ولي نه بصورت قائم ، بلكه بصورت افقي .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




مسئله كشف و تشخيص آثار راديواكتيو در اين اشكال ، موضوع را پيچيده تر كرده است . در تمام اشكال ، آثار تشعشعات راديو اكتيو بتا و گاما ( البته با شدت ضعفهاي متفاوت ) تشخيص داده شده است و آزمايشگاه‌ها نظر داده‌اند كه در بعضي از مزارع ، مقدار اشعه بتا و گاما زياد و در برخي كم است .

تشكيلات موسوم به حلقه‌هاي كشتزار ، اغلب در مزارع غلات پديد مي‌آيند و طي فرآيندي كه به پيدايش آنها مي‌انجامد ، گياهان به نحوي اسرار آميز بر روي زمين مي‌خوابند . بدين صورت الگو‌هايي پديد مي‌آيد كه يك باره و بي آنكه در روشنايي روز پيش از آن ، كسي آنها را ديده باشد ، توجه مردم را به خود جلب مي‌كنند .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



شواهد موجود نشان مي‌دهند كه وقوع اين پديده‌ها ، از اوايل قرن بيستم به بعد ، سال به سال افزايش يافته است ، به طوري كه در دهه ۱۹۶۰ به رويدادي آشنا تبديل شده و از دهه ۱۹۷۰ به بعد توجه اذهان عمومي را به خود جلب نموده است . از سال ۱۹۷۲به بعد ( يعني سال مشاهده عيني صحنه وقوع توسط باند و شاتل وود ) تاكنون در حدود ده هزار گزارش از پيدايش مستند حلقه‌هاي كشتزار با اشكال گوناگون ، در نقاط مختلف جهان ارائه شده است . قطر بعضي از اين حلقه‌ها به يك كيلومتر مي‌رسد و برخي ديگر از آنها مساحتي بالغ بر ۱۹ هزار متر مربع را مي پوشانند .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



در اين تصوير ، صورت يك موجود نقش بسته است !



نكته جالب و شگفت انگيز ديگري كه در اين باره وجود دارد ، مسئله تحول و تكامل تدريجي اين طرح‌ها ميباشد . امروزه شاهد پديدار شدن نگاره‌هاي هندسي بغرنجي هستيم كه از روابط رياضي پيچيده‌اي پيروي مي‌كنند و جالب آنكه در برخي موارد ، اين نگاره‌ها ، نمايانگر نقوش و طرح‌هاي مقدس اقوام و ملل مختلفي از سراسر جهان هستند .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



نكته قابل ذكر ديگر ، نحوه خميده شدن ساقه‌ها و ارتباط آن با ساختمان آنهاست . ساقه گياهان علفي ، بندها يا گره‌هايي دارند كه از وظايف آنها ، ايجاد استحكام در گياه است . اين بندها ، مجهز به روزنه‌هايي براي ايجاد امكان خروج بخار آب هستند . تجمع آب در محل بندها و فشار آن ، موجب راست ايستادن ساقه و در نتيجه ، موجب سر پا ماندن گياه مي‌شود . در صورتي كه دما افزايش يابد ، آب به بخار تبديل مي‌شود و منافذ موجود در بندها ، راه را براي خروج بخار مي‌گشايند . اين ساز و كار ، راهي براي تنظيم دما و خنك نگه داشتن گياه است ، كه البته به از دست رفتن عامل استحكام و خميده شدن ساقه گياه مي‌انجامد .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



بررسي‌هاي ميكروسكوپي نشان داده است كه به هنگام پيدايش حلقه‌هاي كشتزار ، دقيقا همين عامل است كه به خوابيدن رستني‌ها بر روي زمين مي‌انجامد . در واقع ، چنين به نظر مي‌رسد كه نوعي عامل خارجي باعث مي‌شود در ناحيه بندها ، دما افزايش يابد . البته اين خوابيدن براي رستني‌هاي خشك شده و آماده درو نيز گزارش شده است .

نكته شگفت انگيز ديگر اينكه اثر اين عامل خارجي ، انتخابي است . يعني بندهايي كه تحت تاثير قرار مي‌گيرند و جهت و ميزان خميدگي آنها ، بسته به طرحي كه پياده مي‌شوند ، در بخش‌هاي مختلف تغيير مي‌كند . مثلا ممكن است در يك سمت الگو ، نخستين بندهاي بالاتر از سطح زمين ، آب از دست بدهند و در سمت ديگر ، دومين بندها . به اين ترتيب ، به راحتي مي‌توان آثار تقلبي را از نمونه‌هاي اصلي تشخيص داد . خم كردن ساقه‌ها با دست يا هر وسيله مكانيكي ديگري ، علاوه بر ايجاد آسيب در گياه ، منجر به بروز خميدگي‌هايي مي‌شود كه عمدتا در ميان فواصل بندها و نه در خود آنها به وجود مي‌آيند .

ساز و كار فوق نشان مي‌دهد كه احتمالا تابش امواجي نظير مايكروويو كه به صورت منفرد بر برخي از بندها اثر مي‌كند ، عامل پيدايش الگوي خميدگي هاست . با توجه به پيچيدگي هندسي طرح‌ها ، چنين مي‌نمايد كه نوعي وسيله هدايت كننده اصلي ( نظير يك رايانه ) فرمان‌هاي مقدماتي را به يك دستگاه عمل كننده نهايي ( نظير دستگاه مولد پرتوها ) مي‌فرستد و اين دستگاه دوم ، اثر قابل مشاهده را بر بندهاي ساقه اعمال مي‌كند .

بررسي خاك مزارع در بخش داخلي طرح‌هاي مربوط به حلقه‌هاي كشتزار ، توسط دانشمندي به نام كالين اندروز ، نشان داده است كه ميزان تشعشع الكترومغناطيسي آن ، تا ۱۰۰ ٪ بيشتر از حد عادي است و گزارش‌هاي ارائه شده ، مشخص كرده‌اند كه در سالهاي متعاقب اين رويداد ، منطقه تحت تاثير ، تا ۴۰ ٪ با افزايش محصول رو به رو شده است .

همچنين ، اندازه‌گيري‌هاي مربوط به گسيل انرژي ، آشكار ساخته‌اند كه تا چندين روز پس از پيدايش حلقه‌ها ، نوعي انرژي در محدوده فركانس ۵ كيلو هرتز ، از منطقه ساطع مي‌شود كه برخي از افراد حساس ، آن را در قالب صدايي لرزان مي‌شنوند .

بسياري از كساني كه از اين حلقه‌ها بازديد مي‌كنند ، دچار واكنش‌هاي جسمي خاصي مي‌شوند كه از آن جمله مي‌توان به حالت تهوع ، سردرد ، گيجي ، احساس قلقلك و دردهاي گوناگون اشاره كرد . نظير اين نشانگان را مي توان در ناخوشي‌هاي حاصل از تاثير پرتو راديو اكتيو نيز مشاهده كرد .

گفته مي‌شود كه ساعت‌ها ، تلفن‌هاي همراه ، دوربين‌هاي عكاسي و به ويژه دستگاههاي الكترونيكي كه براي بررسي وارد منطقه مي‌شوند ، دچار اختلال مي‌شوند و نيز ادعا مي‌شود كه قطب نماي هواپيماها ، در بالاي اين مناطق ، به صورت ديوانه وار به چرخش در‌مي‌آيد .

اشخاصي كه شاهد پيدايش حلقه‌هاي كشتزار بوده‌اند ، متوجه تابش سرخ رنگي بر سطح زمين شده‌اند . خميده شدن گياهان در ۵ دقيقه اتفاق مي‌افتد و در اين مدت ، هيچ كس ، شخص يا وسيله‌اي را كه بتوان اين رويداد را به آن نسبت داد ، نديده است .

در برخي موارد ، پيدايش اشكال پيچيده اين حلقه‌ها با برخي حوادث عجيب همراه بوده است . مثلا ديده شده است كه سگ‌هاي مجاور يك منطقه در فاصله ساعت ۲ تا ۴ بامداد پارس كرده‌اند و صبح روز بعد ، پيدايش حلقه‌اي در آن منطقه گزارش شده است ، و يا ديده‌اند كه احشام ، پس از ورود به محوطه حلقه‌ها بيمار شده‌اند . در دامنه تپه‌ها ، متوجه وزش بادهاي عجيب شده‌اند و همچنين مشاهده گوي‌هاي نارنجي نوراني ، شنيدن صداهاي خش خش مانند عجيب و ظهور مكرر اشياء پرنده ناشناس ، از ديگر وقايع پس از ظهور حلقه‌ها بوده‌اند .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



اين تصوير عينا بر روي پلاك همسر توت ان خامون فرعون مصر نقش بسته بود و موجب تعجب دانشمندان گرديده است ! اين تصوير عينا در اهرام مصر باستان وجود دارد ! اين تصاوير و اشكال هندسي دليلي بر اثبات وجود رابطه‌اي مابين فراعنه مصر و سرنشينان يوفو ميباشد .


مشهورترين تصوير قديمي مستندي كه وقوع پديده حلقه‌هاي كشتزار را نشان ميدهد ، يك گراور يا حكاكي چوبي ، متعلق به سال ۱۶۷۸ ميلادي در انگلستان است . در اين اثر ، موجودي شيطاني به تصوير در آمده است كه با داسي بلند ، مشغول دروي مزرعه غلات در قالب الگويي عجيب و خاص است .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




اين تصوير در سال ۱۹۹۲ ايجاد شده است . اگر دقت كنيد عين همين تصوير در آثار باستاني اينكاها در امريكا ديده مي‌شود . واقعا باور نكردني است ! طول اين تصوير ۱۳۰متر و عرض آن ۴۰ متر است ! مكان در گراسدورف آلمان ميباشد . اين تصاوير و اشكال هندسي دليلي بر اثبات وجود رابطه‌اي مابين سرخ پوستان امريكا و سرنشينان يوفو ميباشد .





توجيه اشكال هندسي در گندم‌زارها :



همانطور كه در مورد رياضيات مختص فيزيك توضيح داده شد ، مقوله رياضيات براي انسان ، از شمارش موجودات هستي شروع شده و سيستم شمارش اعداد به تعداد انگشتان دو دست بوده است ( يعني مبناي دهدهي ) ، در واقع راهبرد انسان در رياضيات مقايسه تعداد اشيا با تعداد انگشتان دو دست است . يعني يك حرفه دستي كه امروزه مكانيزه و ماشيني شده است . در طول تاريخ ثبت شده كه پيشرفت جامعه‌هاي متمدن با توسعه سيستم شمارش اعداد و نوشتار متن گفتار ( كتابت و كتاب نويسي ) همراه بوده كه چنين به‌نظر ميرسد كه همگي ريشه در وحي كتب آسماني و تاريخ اديان داشته است . نشانه‌هايي از سيستم‌هايي از اعداد بر پايه سه ، چهار ، پنج ، شش ، هشت و بيست در ميان سرخ پوستان آمريكاي شمالي پيدا شده است . بعضي شواهد از سيستم اعداد بر پايه دوازده را ميتوان در مثال اينكه هر فوت دوازده اينچ است يا هر شيلينگ انگليسي دوازده پنس و يا اينكه هر سال دوازده ماه است و يا شبانه روز دو تا 12 ساعت است و ... ، ملاحظه كرد . اما در جوامع امروزي به‌نظر می‌رسد كه سيستم اعداد بر پايه ده برنده شده است . البته نه به‌علت وجود مزاياي ذاتي ، بلكه به نظر می‌رسد كه به سبب وجود ده انگشت دو دست می‌باشد . اما با تحقيق و مطالعه متوجه اين موضوع ميشويم كه سيستم شمارش اعداد بر مبناي 12 بر عالم حاكم شده است و اين مسئله مربوط به خلقت خداوند ميشود كه دليل آن در دو مبحث نظريه حبابهاي سطحي و شالوده هندسه دوجيني ، نظريه ذرات حجمي و ترديد در تئوري نيروي هسته‌اي قوي توضيح داده شد . سيستم دوجيني از بعضي جهات راحت‌تر از سيستم دهدهي است . راحتي فوق اصولا از اين حقيقت ناشي ميشود كه تعداد مقسوم عليه‌هاي دوازده از تعداد مقسوم عليه‌هاي ده بيشتر ميباشد . دوازده بر يك ، دو ، سه ، چهار ، شش و دوازده بخش‌پذير است . بنابراين بسياري از محاسبات دستي در سيستم دوجيني تا حدودي ساده‌تر از سيستم دهدهي هستند ، بعضي از كسرهاي معمولي كه در مبناي دهدهي به صورت عددهاي كسري متناوب در می‌آيند در مبناي دوجيني چنين نيستند . براي نمونه كسر 3/1 كه همان 12/4 ميباشد در مبناي دوجيني به صورت 0.4 است و ..... كه در صورت علاقمندي مراجعه نماييد به مبحث رياضيات مختص فيزيك چيست ؟

چنين به‌نظر ميرسد ، موجودات هوشمند منجمله انسان و UFO و USO كه توانايي انجام دادن عمليات و محاسبات رياضي را دارند به‌طور ذاتي از سيستم‌هاي شمارش بر مبناي ده‌تايي و دوازده‌تايي بهره ميجويند . به عكسهاي زير توجه نماييد .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



دو عكس فوق مربوط به دو موجود دريايي است كه در ميان گذشتگان ما به پري دريايي شهرت يافته است اما نه به آن زيبايي كه در داستانهاي كودكانه ما آمده است . همانطور كه مشخص است تعداد انگشتان آنها در دو دست ، همانند انسان ده عدد ميباشد .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



عكس فوق مربوط به جنازه يك سرنشين بشقاب پرنده است ( يوفو ) . همانطور كه مشخص است تعداد انگشتان او در دو دست ، همانند انسان 10 عدد ميباشد .


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



عكس فوق مربوط به ساخته دست يوفوها است ( اشياء بدست آمده از سقوط بشقاب پرنده در واقعه روزول ) . همانطور كه مشخص ميباشد تعداد انگشتان سازنده آن 12 تا بوده است كه بعضي از انسانها نيز به‌طور مادرزادي 12 انگشتي به دنيا مي‌آيند . لازم به توضيح است كه شواهد بسياري دال بر وجود رابطه نزديك مابين يوفوها و سرخ پوستان آمريكاي شمالي ، حتي فراعنه مصر در دست است و با توجه به اينكه انسانها تاكنون از سيستم‌هاي شمارش متعددي غير از ده استفاده نموده‌اند ، پيش بيني ميشود كه موجودات باشعوري با تعداد انگشتان متفاوتي نيز وجود داشته باشند ، منجمله عكس زير .


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



عكسهاي زير مربوط به ترسيم‌هايي ميشود كه در قاره آمريكا روي زمين آنهم در ابعاد بزرگ كشف شده است و حاكي از مبناهاي متعدد اعداد رايج در ميان سرخ پوستان بوده است .


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


به هر حال تعداد انگشتان يك موجود هوشمند تاثير زيادي در اندوخته‌هاي فكري و دانش او از عالم پيرامون دارد و چنين به‌نظر ميرسد كه موجودات 12 انگشتي باشعورترين ، موفق‌ترين و تكامل يافته‌ترين موجودات در عرصه علم و دانش منجمله رياضيات و فيزيك باشند . و مسلما موجودات باهوش‌تري هم يافت ميشوند كه اين سيستم شمارش اعداد را علي‌رغم مغايرت با تعداد انگشتان خود ، برگزيده‌اند چرا كه نشانه‌هايي از آن سيستم در ميان ما انسانها يافت ميشود كه دال بر وجود يك نوع رابطه علمي آنها با گذشتگان ما در روي سياره زمين بوده است و شايد آنها با گذشتگان ما نوعي همزيستي داشته‌اند .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



عكس فوق مربوط به جنازه يك موجود 12 انگشتي است كه در كنار بشقاب پرنده سقوط كرده در نيومكزيكو ( واقعه روزول ) يافت شده است . اينك به رابطه اين اشكال با سيستم شمارش دوجيني يا هندسه دوجيني ميپردازيم و به چند نمونه از اين اشكال گندم‌زار اشاره ميكنيم .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



اشكال شش ضلعي برگرفته از ستاره داوود يعني نماي ايزومتريك مكعب كاملا مشهود است . اين اشكال ثابت مي‌كند كه سيستم شمارش اعداد و هندسه طراحان آن بر مبناي دوجيني است ، يعني به تعداد انگشتان دو دستشان .

sajadhoosein
15-02-2011, 09:01
فاصله از مركز


فاصله از مركز مدارها در شكل توسعه يافته ستاره داوود




مدار اول


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



در دايره مثلثاتي فوق كمان AC برابر است با 2*(12/360) يا 6/360 يعني 60 درجه ، با توجه به اينكه در مثلث قائم‌الزاويه OAB زاويه BOA برابر 60 درجه است ، ضلع OB برابر خواهد بود با OAcos60° يا r/2 يعني 0.5=2/1 .






مدار دوم



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



در مثلث قائم‌الزاويه OAB زاويه AOB=15° ميباشد براي اينكه پاره خط AO نيمساز زاويه COD بوده و كمان CD برابر 30 درجه ميباشد و همچنين OB=r/2 ميباشد . با توجه به اينكه OB=OAcos15° پس



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]






مدار سوم



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



با توجه به اينكه كمان CD برابر 60 درجه ميباشد ، زاويه CBD برابر با نصف CD يعني 30 درجه خواهد بود . در اين صورت زاويه OEB برابر 120 درجه و زاويه BEA برابر 60 درجه و زاويه EBA نيز برابر 60 درجه ميباشد . در اين وضعيت مثلث EBA متساوي‌الاضلاع بوده و AB=EB ميباشد و با در نظر گرفتن اينكه مثلث OEB متساوي‌الساقين است EB=EO بوده و EO=AB خواهد شد و چون AB برابر r*tan30° ميباشد در نتيجه OE يا شعاع مدار سوم نيز برابر r*tan30° يا r√3)/3) و 3/3√ خواهد شد .






مدار چهارم



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



در مثلث قائم‌الزاويه OAB دو ضلع OB و BA مساوي يكديگر بوده و اندازه هر دو برابر r/2 ميباشد .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]






مدار پنجم



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



در مثلث قائم‌الزاويه OAB اندازه ضلع OB برابر است با OAcos30° يعني r√3/2 يا 2/3√ .







مدار ششم



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



در مثلث قائم‌الزاويه ABC زاويه BAC روبروي كمان DE برابر 30 درجه ميباشد .


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]







مدار هفتم



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



در مثلث قائم‌الزاويه OAB ضلع OB برابر است با r√3/2



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]







مدار هشتم



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



در كليه محاسبات فوق مقدار r را يك واحد در نظر گرفته‌ايم .


لازم به توضيح است ، همانطور كه از برآورد اندازه‌هاي فوق بر مي‌آيد ، اعداد 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 9 ، 12 ،18 ، 36 ، 48 كاربرد داشته‌اند و اين اعداد مربوط به سيستم شمارش اعداد بر مبناي دوازده‌تايي يا حساب دوجيني مي‌باشد براي اينكه :



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




و همچنين زاويه‌هاي 30 ، 60 ، 90 و 15 درجه كاربرد داشته‌اند و همانطور كه ميدانيم اندازه گيري ابعاد در هندسه و مثلثات با استفاده از اين زاويه‌ها بسيار سهل و آسان و كار آمد بوده و مربوط به تقسيمات دوجيني دايره ميشود و نسبتهاي مثلثاتي اين زاويه‌ها به راحتي از رابطه فيثاغورس محاسبه ميشوند . در واقع اشكال و اعداد و ارقام فوق اشاره به نوعي هندسه دارد كه ميتوان نام آن را هندسه دوجيني ناميد كه تا به امروز موفقيتهاي بسياري را در زمينه رياضيات و ساير علوم به همراه داشته است ، البته اين در حالي است كه از اين زوايا در مبناي ده‌تايي استفاده شده است .




جدول فاصله از مركز مدارها در شكل توسعه يافته ستاره داوود :




[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

sajadhoosein
15-02-2011, 09:10
توالي فيبوناچي


تركيب تناسب طلايی يا توالی فيبوناچي در ستاره‌ داوود توسعه يافته

هنرمندان قديمی برای اضافه نمودن حس توازن و شكوه به يك صحنه ، مجسمه يا بنا مدتها از تركيب تناسب طلايی استفاده كرده‌اند . تركيب مزبور يك تناسب رياضی بر اساس نسبت 1.618/1 بوده و در اغلب مواقع در طبيعت ، مثلا در صدف‌های دريايی و الگوی دانه‌های گل آفتاب‌گردان و يا ساختار هندسي بازوهای ميله‌ای كهكشانهای مارپيچي موجود در كيهان يافت می‌شود . امروزه سرنخ‌هايي از اين نسبت طلايي در نانو ذرات ( شاخه نانو تكنولوژي ) بدست آمده است . در واقع هم در عالم خرد و هم در عالم كلان اين تناسب بخوبي قابل شناسايي است . به هر حال به كار بردن اين نسبت در طراحی‌هاي دستي و رشته‌هاي هنري كار راحتی نمی‌باشد ، براي اينكه هرگز نمی‌توان به مركز دوران مارپيچ رسيد و اين نقطه ، مركزی نامعلوم و غير قابل دسترس است و تا بي‌نهايت ادامه مي‌يابد . به علت سهولت در ترسيم‌ها و كارهاي عملي ، نسبت 1.6/1 در نظر گرفته می‌شود .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



عكس‌هاي فوق مربوط به صدف‌هاي دريايي ، حلزون شنوايي گوش ، يك گردباد و يك كهكشان است .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



در گل آفتاب‌گردان ، امتداد مسير دوران مارپيچ طلايي يا فيبوناچي در هر دو جهت ساعت گرد و پاد ساعت گرد مشاهده ميشود .


مستطيل طلايی ويژه

دنباله فيبوناچي و عدد طلايي چيست ؟


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

لئوناردو فيبوناچي ايتاليايي تبار اهل پيزا حدود سال 1200 ميلادي مساله‌اي طرح كرد : فرض كنيد كه يك جفت خرگوش نر و ماده در پايان هر ماه يك جفت خرگوش نر و ماده جديد به دنيا بياورند ... اگر هيچ خرگوشي از بين نرود ، در پايان يك سال چند جفت خرگوش وجود خواهد داشت ؟ البته در اين مسئله مي‌بايست قواعد و اصول فرضي و قراردادي زير مراعات شوند !
" شما یك جفت خرگوش نر و ماده دارید كه همین الآن متولد شده‌اند .
خرگوشها پس از یك ماه بالغ می‌شوند .
دوران بارداری خرگوشها یك ماه است .
هنگامی كه خرگوش ماده به سن بلوغ می‌رسد حتما باردار می‌شود .
در هر بار بارداری خرگوش ماده یك خرگوش نر و یك ماده مي‌زايد .
خرگوش‌ها تا پايان سال نمی‌میرند . "
او براي حل اين مسئله به يك سري از اعداد يا بهتر است بگوييم به يك دنباله رسيد كه عبارت بود از ... ,0،1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 كه در اين دنباله هر عددي ( به غير از صفر و يك اول ) حاصل جمع دو عدد قبلي خودش مي‌باشد ، به طور مثال 3+5=8 يا 1+2=3 و .....
علت بر اينكه در پايان ماه اول ، جفت اول به بلوغ مي‌رسد و در پايان ماه دوم بعد از سپري كردن يك ماه بارداري ، يك جفت خرگوش متولد ميشود كه جمعا دو جفت خرگوش خواهيم داشت ، در پايان ماه سوم جفت اول يك جفت ديگر به دنيا مي‌آورد ولي جفت دوم به پايان دوران بلوغ خود ميرسد كه در كل سه جفت خواهيم داشت در پايان ماه چهارم جفت اول و جفت دوم وضع حمل مي‌كنند و تبديل به چهار جفت ميشوند و جفت سوم به بلوغ مي‌رسد و در كل پنج جفت خواهيم داشت و الي آخر كه در پايان ماه دوازدهم تعداد 233 جفت خرگوش خواهيم داشت .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




توسعه هندسي اين دنباله يا سري از اعداد :

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اين مستطيل را ، مستطيل فيبوناچي نيز مي‌نامند .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]





[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
براي رسم مارپيچ طلايي يا فيبوناچي از راس ( گوشه ) هر مربع يك كمان به شعاعي برابر ضلع آن مربع رسم مي‌كنيم . به اين مارپيچ بدست آمده ، اسپيرال لگاريتمي هم گفته ميشود .


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
در رسم فوق دنباله را از عدد 20 شروع كرده‌ايم يعني سري اعداد 20،20،40،60،100 ، در واقع نسبت عرض مستطيل به طول آن را 1.6/1 در نظر گرفته‌ايم . رسم فوق توسط نرم‌افزار اتوكد رسم و با دقت 100.000.000/1 اندازه گذاري شده است و طريقه رسم به حد كافي واضح و روشن مي‌باشد و نكته جالب توجه اينكه براي رسم مارپيچ به اين روش ، مي‌بايست هفت كمان رسم شود كه عدد صحيح 12 براي شعاع كمان پنجم بدست مي‌آيد . مركز هر كمان با علامت جمع مشخص شده است .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
به‌طور خلاصه با در نظر گرفتن تقاطع‌هايي كه خطوط با زاويه قائمه يكديگر را قطع كرده‌اند ، ميتوان مستطيل و مارپيچ طلايي فيبوناچي را در رسم توسعه يافته ستاره داوود رسم نمود . همانطور كه مشخص است اختلاف بسيار جزيي اين رسم با رسم قبلي مشاهده ميشود آنهم در كمانهاي 5 ، 6 ، 7 به علت تغيير جزيي در قطرهاي آبي رنگ و در تناسبات هندسي اختلافي وجود ندارد ، كه دال بر اين موضوع است كه تناسب طلايي در رسم ستاره داوود توسعه يافته جاري مي‌باشد و در مباحث بعدي توضيح خواهيم داد كه كليه موجوداتي كه در آنها تناسبات طلايي ديده ميشود ، تناسب خود را مديون اين ترسيم‌ها و ساختارهاي هندسي در ستاره داوود توسعه يافته هستند .


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

در رسم فوق مستطيل و مارپيچ طلايي به مركز رسم ستاره داوود توسعه يافته انتقال داده شده است .


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

در رسم فوق مستطيل و مارپيچ طلايي به نقطه ديگري انتقال داده شده است .
اينك اگر در اين دنباله ( 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 ) هر عدد را به عدد قبلي‌اش تقسيم كنيم يك چنين سري را بدست مي‌آوريم :
1/1=1 ، 2/1=2 ، 3/2=1.5 ، 5/3=1.66... ، 8/5=1.6 ، 13/8=1.625 ، ....... ، 233/144=1.61805......
كه هر چقدر جلوتر برويم به‌نظر مي‌آيد كه به يك عدد مخصوص مي‌رسيم . اين عدد را عدد طلايي مي‌نامند كه اين عدد تقريبا برابر است با :
1.618033................

روش جبري براي بدست آوردن عدد طلايي :
مستطيلي به عرض 1 واحد و طول x را در نظر مي‌گيريم مسلما x بزرگتر از 1 مي‌باشد .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



اينك بايد مقدار x را چنان تعيين كنيم ( بدست آوريم ) كه اگر مربعي به ضلع 1 واحد را از اين مستطيل جدا نماييم ، مستطيل بدست آمده كوچكتر ، متناسب مستطيل بزرگتر قبلي باشد ، يعني x/1=1/(x-1) a به بيان ساده‌تر ، نسبت طول به عرض مستطيل اول برابر نسبت طول به عرض مستطيل بدست آمده ( ‌مستطيل دوم ) باشد كه با ضرب صورت در مخرج طرفين تناسب ، يك معادله درجه 2 بدست مي‌آيد يعني x²-x-1=0 و با ريشه‌يابي اين معادله به ريشه‌هاي 1.6180 و 0.6180- دست مي‌يابيم .

روشهاي هندسي براي بدست آوردن عدد طلايي :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



اگر يك مثلث متساوي‌الاضلاع رسم كنيم ( مثلث بنفش ) و از مركز آن دايره‌اي رسم كنيم تا از سه راس آن مثلث عبور كند ( دايره‌ نارنجي ) و وسط دو ضلع مثلث را يافته و پاره خطي از آن دو نقطه تا محيط دايره ، رسم كنيم دو پاره خط با نسبت طلايي بدست مي‌آيد ( پاره خط زرشكي و سرخ آبي ) يعني
69.2820323/42.81865077=1.61803398...........
رسم زير روش ديگري براي رسم مستطيل طلايي ويژه و تناسبات طلايي ، و همچنين بدست آوردن عدد طلايي را نشان مي‌دهد .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

جهت رسم يك مستطيل طلايي به نسبت عدد طلايي ابتدا يك مربع به ضلع يك واحد كشيده سپس طبق شكل فوق وسط ضلع پاييني اين مربع را پيدا مي‌كنيم . سپس يك قوس با شعاعي به اندازه وسط ضلع پاييني مربع تا گوشه سمت راست بالا مي‌كشيم تا طول مستطيل معلوم شود .

اهرام :
جالب است بدانيم كه نسبت ضلع بلندتر به ضلع كوتاه‌تر مستطيل طلايي كه نسبت طلايي ناميده مي‌شود ، در بسياري از طرح‌هاي هنري از قبيل معماري و خطاطي ظاهر مي‌شود . مطابق تحقيقات انجام شده ، نسبت طول ضلع قاعده به ارتفاع در اهرام ثلاثه مصر ، برابر نسبت طلايي است . همچنين ديوارهاي معبد پارتنون از مستطيل‌هاي طلايي ساخته شده است ! زيرا به اعتقاد سازندگان آنها ، مستطيل‌ها با نسبت‌هاي طلايي به چشم خوشايندتر هستند و اين موضوع دال بر اين واقعيت است كه اين تناسبات هندسي در ذات انسان‌ها نيز شكل گرفته‌اند !
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]







[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
تعريف رياضي سري اعداد يا دنباله فیبوناچی و عدد طلايي ( في Φ ) :

غیر از دو عدد اول ( 0 و 1 ) اعداد بعدی از جمع دو عدد قبلی خود بدست می‌آیند . اولین اعداد این سری عبارتند از :

۰,۱,۱,۲,۳,۵,۸,۱۳,۲۱,۳۴,۵۵,۸۹,۱۴ ۴,۲۳۳,۳۷۷,۶۱۰,۹۸۷,۱۵۹۷,۲۵۸۴, ۱۸۱,۶۷۶۵,۱۰۹۴۶

این سري از اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی نام گذاری شده‌ است . طبق تعريف :

مقدار عددي حد فوق به عدد في يا همان .......... 1.618033 مي‌رسد . اگر عدد في را بتوان دو برسانيم مثل اين است كه يك واحد به عدد في افزوده باشيم يعني Φ²=Φ+1 و اگر عدد يك را بر في تقسيم كنيم مثل اين است كه يك واحد از عدد في كم كرده باشيم يعني :
1/Φ=Φ-1
عدد في را در مبناي دوجيني ميتوان به صورت 1.75 نوشت كه مقدار واقعي ، حقيقي و درستي جهت في مي‌باشد براي اينكه :
1+(7/12)+(5/12/12)=1.618055555555555555555..........
233/144=1.618055555555555555......
همانطور كه مي‌دانيم عدد 233 توالي دوازدهم سري يا دنباله فيبوناچي است يعني همان تعداد خرگوش‌ها در پايان ماه دوازدهم . و بدست آمدن عدد 1.75 در مبناي دوجيني براي مقدار في بيانگر اين موضوع است كه سيستم دوجينی از بعضی جهات راحت‌تر از سيستم دهدهی است . راحتی فوق اصولا از اين حقيقت ناشی می‌شود كه تعداد مقسوم عليه‌های دوازده از تعداد مقسوم عليه‌های ده بيشتر ميباشد . دوازده بر يك ، دو ، سه ، چهار ، شش و خودش بخش‌پذير است . بنابراين بسياری از محاسبات دستی در سيستم دوجينی تا حدودی ساده‌تر از سيستم دهدهی هستند ، عدد في كه در مبنای دهدهی به صورت عددهاي كسری متناوب در می‌آيد در مبنای دوجينی چنين نيست و مي‌توان به مقدار فيكس شده 1.75 دست يافت .
ماياهايي كه در خلال سالهاي 2000 تا 900 قبل از ميلاد ، ساكن آمريكاي جنوبي بوده‌اند ، چنين به نظر مي‌رسد كه براي رصد كردن حركات متغير اجرام آسماني ، اهرامي بنا نهادند و تقويم شمسي دقيقي وضع كردند . همچنين با محاسبات خود ، وقوع خسوف و كسوف را پيش بيني و مراسم قرباني كردن انسانها را تدارك مي‌ديده‌اند و عقيده بر اين داشتند كه اين كار آنها خشم خدايان را از آنها برطرف مي‌كند .
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



به يقين مي‌توان گفت كه مطالب و موضوعات بسيار مهمي در علوم بشريت در زمينه رياضيات ، هندسه و نجوم مفقود و از بين رفته است و فقط نشانه‌هاي تلخ و ناخوشايندي از آن دانسته‌ها در ساخته‌هاي دست بشر باقيمانده است كه در مباحث بعدي سعي خواهيم كرد اين دانسته‌هاي از بين رفته را بازيابي نماييم . البته ما بايد مابين علم و جنايت فرق قائل شويم .
سری فیبوناچی چه در ریاضیات چه در فیزيك و علوم طبیعی ، كاربردهای بسیار دیگری دارد ، ارتباط زیبای فاصله‌های خوش صدا در موسیقی ، چگونگی تولد یك كهكشان و ... كه در مطالب آینده راجع به آنها بحث خواهیم كرد .
اين الگو را مي توان در گلبرگ‌ها يا دانه‌هاي بسياري از گياهان مثلاً آناناس ، گل داوودي ، گل كلم ، ميوه‌هاي كاج و ... مشاهده كرد .
خود انسان از ناف به نسبت في تقسيم مي‌شود . اين نسبت نقش پيچيده‌اي در پديده‌هايي مانند ساختار كريستال‌ها ، سال‌هاي نوري فاصله بين سيارات و پريودهاي چرخش ضريب شكست نور در شيشه ، تركيب‌هاي موسيقي ، ساختار سياره‌ها و حيوانات بازي مي‌كند . علم ثابت كرده است كه اين نسبت به راستي نسبت پايه و مبناي خلقت جهان است . هنرمندان دوره رونسانس عدد في را يك نسبت الهي مي‌دانسته‌اند .
از زماني كه هنرمندان و معماران به عمد شروع به استفاده از نسبت طلايي كردند ، نشان داده شد كه مخاطبان شيفتگي و شيدايي بيشتري نسبت به كارهاي آنها از خود نشان دادند . مستطيل‌هاي طلايي ، مانند نسبت طلايي فوق‌العاده ارزشمند هستند . در بين مثال‌هاي بي‌شمار از وجود اين نسبت و يكي از برجسته‌ترين آنها مارپيچ هاي DNA است . اين دو مارپيچ فاصله دقيقي را با هم براساس نسبت طلايي حفظ مي‌كنند و دور يكديگر مي‌تابند .
در حالي كه نسبت طلايي و مستطيل طلايي جلوه‌هاي زيبايي را از طبيعت و ساخته‌هاي دست انسان به نمايش مي‌گذارد ، جلوه ديگري از اين شكوه وجود دارد كه زيبايي‌هاي تحرك را به نمايش مي‌گذارد . يكي از بزرگ‌ترين نمادهايي كه مي‌تواند رشد و حركات كاينات را نشان دهد ، اسپيرال طلايي است .
اسپيرال طلايي كه به آن اسپيرال لگاريتمي و اسپيرال متساوي‌الزاويه نيز مي‌گويند هيچ حدي ندارد و شكل ثابتي است . روي هر نقطه از اسپيرال مي توان به هر يك از دو سو تا بي‌نهايت حركت كرد . از يك سو هرگز به مركز نمي‌رسيم و از سوي خارجي نيز هرگز به انتها نمي‌رسيم . هسته اسپيرال لگاريتمي وقتي با ميكروسكوپ مشاهده مي‌شود همان منظره‌اي را دارد كه وقتي به اندازه هزاران سال نوري به جلو مي‌رويم . ديويد برگاميني در كتاب رياضياتش خاطرنشان مي‌كند كه منحني ستاره‌هاي دنباله‌دار از خورشيد كاملا شبيه به اسپيرال لگاريتمي است . عنكبوت شبكه تارهاي خود را به صورت اسپيرال لگاريتمي مي‌بافد . رشد باكتري‌ها دقيقاً براساس رشد منحني اسپيرال است . هنگامي كه سنگ‌هاي آسماني با سطح زمين برخورد مي‌كنند ، مسيري مانند اسپيرال لگاريتمي را طي مي كنند . عدد في Φ عددي مربوط به خلقت پروردگار يكتا است .
اسب‌هاي آبي ، صدف حلزون‌ها ، صدف نرم‌تنان ، موج‌هاي اقيانوس‌ها ، سرخس‌ها ، شاخ‌هاي جانوران و نحوه قرار گرفتن گلبرگ‌هاي گل آفتاب‌گردان و چيدمان گل مرواريد ، همه به صورت اسپيرال لگاريتمي است . گردباد و منظومه‌ها از نگاه بيرون كاملاً در مسيري به صورت اسپيرال حركت مي‌كنند . طرح مطالب در اين زمينه بسيار بسيار زياد است كه در آينده به آن خواهيم پرداخت .

sajadhoosein
15-02-2011, 09:17
ستاره داوود


ستاره داوود ، اختصار نماي ايزومتريك يك مكعب است

ابتدا بايد بدانيم كه نماي ايزومتريك يك مكعب چيست ؟
اگر يك مكعب را در فضا دوران دهيم ، به‌ گونه‌اي كه دو راس متقابل به هم در امتداد خط ديد ما قرار بگيرند ، به اين منظره نماي ايزومتريك مكعب گفته ميشود . در واقع نمای ايزومتريك مكعب ، نمايی است كه در آن سه طرف بالا ، راست و چپ مكعب ديده شود ، به انيميشن زير توجه نماييد .



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

همانطور كه مشخص است انيميشن فوق يك مكعب در حال دوران را نشان مي‌دهد كه تمامي قطرهاي سطحي ( وجه‌هاي ) آن ، همچنين يال‌هاي آن رسم شده است كه در نهايت در نماي ايزومتريك متوقف و ستاره داوود كاملا مشخص مي‌گردد ، البته اين در حالتي خواهد بود كه وجه‌هاي مكعب را از زاويه ديد پنهان نماييم تا خطوط مخفي حجم هويدا شوند ، لازم به توضيح است كه اين ستاره درون يك شش ضلعي منتظم ديده ميشود و چون براي درك بهتر موضوع ، انيميشن فوق در ديد پرسپكتيو تهيه شده است ، شايد اين شش ضلعي ، منتظم به‌نظر نرسد . براي واضح بودن رسم ، شكل زير ارايه ميشود .

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اين رسم هندسي ( ستاره داوود ) به همراه مكعب و شش ضلعي ، نقش بنيادي و كليدي در تمامي عرصه‌هاي علمي ايفا مي‌كنند . از اين رسم هندسي ستاره داوود با تلفيق و تركيبي از شش ضلعي ، در نقش و نگار مسجد كبود استفاده شده است ، كه دال بر اين موضوع است كه مسلمانان در قديم از اين رسم‌ها در معماري‌هاي خود استفاده مي‌كرده‌اند

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اين يك واقعيت است كه گذشتگان ما از اعداد ، ارقام و هندسه چيزهايي ميدانسته‌اند كه ما نمي‌دانيم و در مباحث بعدي سعي در شناخت آنها خواهيم داشت .

sajadhoosein
15-02-2011, 09:25
ستاره داوود توسعه يافته


همانطور كه قبلا توضيح داده شد ، در نماي ايزومتريك مكعب ، يك شش ضلعي و ستاره داوود مشخص و معلوم است ، اينك مجموعه اين دو رسم را در روي يك صفحه به يك دوازده ضلعي منتظم توسعه مي‌دهيم . به انيميشن و رسم زير توجه نماييد .

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
لازم به توضيح است كه اضلاع دوازده ضلعي را رسم نكرده‌ايم ولي راس‌هاي دوازده ضلعي منتظم مشخص است . براي توسعه رسم فوق در فضاي سه بعدي ، ابتدا آن را حول محور يا قطر عمودي ، در محيط 360 درجه ، شش بار و هر بار 30 درجه دوران مي‌دهيم ( يعني رسم شماره 4 تصوير زير ) تا كل محيط به دوازده قسمت مساوي تقسيم شود ، سپس اين رسم را به نسبت اندازه خطوط افقي كوچك كرده و پنج بار روي هم مي‌چينيم ( يعني رسم شماره 1 تصوير زير )
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
رسم شماره 5 تركيب دو رسم 4 و 1 را نشان ميدهد . رسم شماره 3 كمكي بوده و رسم شماره 2 ، نماي رسم كلي را از بالا نشان ميدهد .

sajadhoosein
15-02-2011, 10:00
معرفی یک دنباله جالب در به هم رساندن اعداد طبیعی به یکدیگر در حالت حدی با استفاده از یک ذره واسط


شرح طرح:
به دنباله زیر توجه کنید:
1,n^n,1/(n^n),(n^2n),1/(n^3n),(n^5n),1/(n^8n),……. (n€IN) ^IS THE SYMBOL OF POWER
به غیر از دو جمله اول که مقادیر ثابت دنباله هستند از جمله سوم به بعدجمله nام از تقسیم دو جمله قبلی بدست می آید.
U(n)=u(n-2)/u(n-1)
اینک به بررسی خصوصیات این دنباله می پردازیم:
الف)واگرایی یا همگرایی دنباله:این دنباله به ازای n=1دنباله ثابت 1خواهد شدودر این حالت خاص به خود 1 همگرا ست.در غیر این صورت و به ازایn>1دنباله به دو تکه نزولی اکید و صعودی اکید تقسیم می شود.در واقع یک زیر دنباله به ∞و دیگری به صفر همگرا می شود.ولی چون یک زیر دنباله واگرا دارد لذا کل دنباله نیز واگرا می شود(اثبات به عهده خواننده)
ب)رابطه بین توان های ایجاد شده در دنباله:اگر کمی با دقت به توان های دنباله نگاه کنیم متوجه خواهیم شدکه از جمله دوم به بعد توان های جملات پیرو دنباله فیبوناتچی هستند.در واقع این دنباله را می توان دنباله ای توان ساز از جملات دنباله فیبوناتچی دانست.
جملات فرد این دنباله کسری و جملات زوج آن صحیح است.
U(2n€IN),U(2n+1€Q)
مثال)جمله یازدهم این دنباله چند برابر جمله دوم است؟
U(11)=1/(n^59n) ,u(2)=n^n →u(11)/u(2)=1/n^60n
ج)تقابل ازدیاد وکاهش ناگهانی جملات دنباله:جملات زوج این دنباله ازدیاد وحشتناکی دارند به گونه ای که مثلا جمله دهم دنباله(n^34n) n^33n برابر جمله دوم(n^n)است.به این شکل جملات زوج سیر صعودی ناگهانی دارندواگر n عدد بزرگی فرض شود با تعداد مراحل اندک می توان اعداد بزرگی ساخت و دامنه بزرگی از اعداد را تحت پوشش قرار داد.درجملات فرد هم دایما به اعداد کوچک وبسیار کوچکی می رسیم واین تقابلی زیبا بین رشد وکاهش ناگهانی جملات است.
د)عضو کاتالیزور در دنباله:گفتیم در ازای n=1دنباله تبدیل به دنباله ثابت 1 می شود.در غیر این صورت به ازای هیچ nای 1 پدید نمی آید.در حالی که 1 عامل بوجود آمدن دنباله می شود درپایان نیز بدون تغییر باقی می ماند و عضوی خنثی در دنباله محسوب می شودکه نقش کاتالیزور در دنباله را داراست.(کاتالیزور عاملی است که سرعت یک فرآیند را افزایش می دهد بدون آنکه در فرآیند مصرف شود).
حذف این جمله در پایان خللی به دنباله وارد نمی کند.
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ
"یک بحث نرم افزاری برای این دنباله":
یافتن جملات دنباله فیبوناتچی نقش مهمی در این دنباله در یافتن توان ها ایفا می کند.در برنامه زیر که قابل اجرا در نرم افزار mathematica است با دادن nبه برنامه فیبوناتچی آن یافت می شود:
F[0]=0 ;
F[1]=1 ;
F[n-integer]:=f[n-1]+f[n-2]

sajadhoosein
15-02-2011, 10:10
بررسی یک مسئله از "آنی شئنفلد"درآموزش هنر مسئله حل کردن واستنتاج یک قانون کلی از آن


مسئله نهم مقاله ای که "آنی شئنفلد"در باب آموزش هنر حل مسئله بیان می کندکمی برای کسی که اولین بار با این مساله برخورد می کند مغالطه آمیز است.درواقع چگونگی حل آن کمی سردرگم کننده است.این مساله به صورت زیر بیان می شود:
فرض کنید pوq وr و s اعداد حقیقی مثبتی باشند نامساوی زیررا اثبات کنید:
P2+1)(q2+1)(r2+1)(s2+1)/pqrs≥16 )
دراین مقاله آمده است دانشجویان سعی می کردند طرفین نامساوی را در pqrs ضرب کنند واکثرا ناموفق بوده اند.
معمولا این گونه مسایل نیاز به انتخاب یک استراتژی اصولی در ابتدای حل و پی گیری آن تا مراحل پایانی مسئله دارد.
استراتژی های جامع حل مسئله در زیر آمده است:
1)درک صورت مساله
2)تحلیل خود مساله
3)طراحی ابتدایی برهان
4)اجرای مرحله به مرحله برهان
5)بررسی موضعی
6)حل موقت
7)تعمیم حل موقت به حالت کلی
هدف اصلی ما در طرح ریزی این مساله انتخاب شیوه ای جدید برای حل این مساله است و از این شیوه جدید به نام"شبیه سازی پارامترها" نام می بریم.
به مساله باز می گردیم.باکمی دقت در مساله می توان دریافت مقادیر به کاررفته در صورت ومخرج کسر قابل برنامه ریزی واستراتژی بندی هستند.
برای حل مساله به شیوه ای نوین ابتدا لازم است یک نامساوی را مورد بحث قرار دهیم:
(p2+1)n/pn≥2n
این نامساوی را می توان با استقرا روی n اثبات کرد.(اثبات برعهده خواننده)
حال می خواهیم ببینیم چگونه از این نامساوی می توان در حل این مساله استفاده کرد.اگر در نامساوی فوق قرار دهیم n=1 اولین جمله طبیعی نامساوی برابر با 2 خواهد شد که خود اثباتی است از اتحاد اول.
اولین مولد طبیعی نامساوی یعنی 2را هسته نامساوی می گیریم.
اگر مساله را تجزیه کنیم داریم:
(p2+1)/p2 ,(q2+1)/q2 ,(r2+1)/r2 ,(s2+1)/s2
که همگی درهم ضرب شده اند و حاصل را بزرگتر –مساوی 24 ساخته اند.
می بینیم که در این نامساوی 4 جمله همگن در هم ضرب شده وحاصلی همگن با خود پدید آورده اند.
ملاحظه می شود که جملات ناشی از تجزیه سوال, جمله اول نامساوی مذکور ما است. لذا حاصل ضرب آنها به این معناست که گویی 4 بار 2 رادرخودش ضرب کنیم که همان 24است و مسئله اثبات می شود.
در حالت کلی می توان گفت حل این گونه مسایل شگردهای خاص خودرادارد وممکن است از چندین راه حل شوند. ولی این راه حل ابتکاری که توسط نگارنده مقاله مورد استفاده قرار گرفته است حالات کلی تری را شامل می شود واین می تواند به زیبایی حل بیا فزاید.
منبع:مجموعه مقالات ریاضی-باشگاه دانش پژوهان جوان

sajadhoosein
15-02-2011, 10:19
معرفی یک دنباله اعداد در نمایش اعداد طبیعی و ویژگی های آن



"IN THE NAME OF GOD"
" Introduction of a sequence of digits for displaying natural numbers "
Numbers theory branch

AUTHOR:
AMIN DANESHMAND MALAYERI
STUDENT OF COMPUTER ENGINEERING(HARD WARE)
HAMEDAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

THIS PAPER INCLUDE A SEQUENCE OF DIGITS THAT CAN BE DISPLAY A SCROOL BAR OF NATURAL NUMBERS AND IT HAS SOME INTERESTING PROPERTIES AND IT IS USEFULL FOR LOGICAL GATES ,BINARY CODING.

بسمه تعالی
"بررسی یک دنباله اعداد که می تواند یک مجموعه از اعداد طبیعی را بسازد"

نگارنده مقاله:امین دانشمند ملایری
دانشجوی رشته مهندسی کامپیوتر(گرایش سخت افزار)
دانشگاه صنعتی همدان
دانشکده مهندسی کامپیوتر
پست الکترونیکی:admalayeri@yahoo.com
دنباله اعداد طبیعی در حالت کلی دنباله ای آشنا است.ولی بسته به این که چه نوع آرایشی از اعداد طبیعی را درنظر داشته باشیم می توان دنباله های متنوعی ایجاد کرد که همگی به نوعی معرف یک ویژگی از اعداد طبیعی هستند.
در مقالات اخیر حالتی رابررسی کردیم که در یک حالت حدی اعداد طبیعی را شامل می شد.دراین مقاله قصدداریم دنباله ای را معرفی کنیم که می تواند نواری از اعداد طبیعی را به مادهد و بدین وسیله ما می توانیم به سرعت کل دنباله را تشکیل دهیم .
به دنباله زیر توجه کنید:
N,n-1,2n-1,2n,4n-1,4n,8n-1,8n,………….. nЄIN
این دنباله دوجمله مولددارد که دوجمله اولی دنباله یعنیn و n-1 هستند.از جمله سوم به بعد دراین دنباله یک نظم خاص پدید می آید که در ذیل به آن و ویژگی هایش اشاره می شود.
دراین دنباله جملات به دودسته افراز می گردند.جملات مرتبه فرد دنباله یعنی جملات سوم وپنجم وهفتم و... وجملات مرتبه زوج یعنی جملات چهارم وششم وهشتم و...(فراموش نشود جملات اول ودوم را درنظر نگرفته ایم(جملات مولد)).
جملات مرتبه فرد از قانون زیر پیروی می کنند:
Ao=2kn-1
وجملات مرتبه زوج از قانون زیر:
AE=2kn
که در هردو قاعده k عضوی از IN است ولی تحت شرایطی که در زیر بدان اشاره می کنیم.
اگر دو جمله اول دنباله را کنار بگذاریم جملات سوم با چهارم, پنجم با ششم, هفتم با هشتم ودر کل n ام راباn+1 ام را "همسایه" می گوییم.
K برای هر همسایگی منحصر بفرد و ترتیبی است.
برای همسایگی اول k=1 و برای همسایگی دوم k=2 و برای همسایگی n ام k=n خواهد بود.
مثال)جمله دهم دنباله فوق را بیابید:
برای جمله دهم همسایگی چهارم را داریم و این جمله زوج است لذا:
A10=24n=16n
حال شرایطی را درنظر بگیرید که ما بخواهیم یک دسته اعدا طبیعی را به صورت ستون وار (نمایش ماتریسی)نشان دهیم.
بسته به این که به چند ستون ماتریسی نیاز داریم به n عدد می دهیم.n همان تعداد ستون های ماست.
درزیر نمایش ستونی برای n=5 آمده است:
5 4 3 2 1
10 9 8 7 6
15 14 13 12 11
20 19 18 17 16
25 24 23 22 21
.
.
اگر به اعداد مندرج به ستون های چهارم نگاه کنیم متوجه می شویم این اعداد همان اعداد دنباله ما هستند به ازای n=5 و جمله اول دنباله اولین مقدار ستون آخر است.
به ازای هر n ای این ماتریس را میتوان به همین ترتیب ساخت و نواره ای از اعداد طبیعی را ایجاد کرد.
سایر اعضای طبیعی نیز از روی جدول ساخته می شوند.
در این بین مهم ترین کاربرد این شیوه را می توان در "کدینگ" و "مارکینگ" اعداد نشان داد. در ضمن اگر برنامه کامپیوتری اعداد طبیعی را به کامپیوتر بدهیم و این شیوه را درخلال آن پیاده سازی کنیم پیچیدگی زمانی و مرتبه ای برنامه را می توان کاهش داد.
این نوع عدد ریزی یک ویژگی جالب دارد که در زیربدان اشاره می کنیم:
جمع درایه های متناظر در سطرهای ستون هایm ام وm-1یعنی جمع سطر های n ام ستون های m وm-1در سطر 2n ام ستون m-1 ام نمایان می شود.مثلا در مثال بالا 9در سطر2 , 19در سطر22و به همین ترتیب قرار دارد که این مساله موقعیت یابی اعداد را دراین نواره آسان تر می کند.
ویژگی های جالب تر این دنباله را وقتی متوجه می شویم که این دنباله را به صورت باینری در آوریم(باینری=دودویی).
این حالت که درزیر بدان اشاره می کنیم درتمام جدول های m*n جواب می دهد.
بایک مثال حالت مذکوررا بررسی کرده و آن راتعمیم می دهیم:
به دنباله زیر توجه کنید:
N-1,n,2n-1,2n,4n-1,4n,…
این دنباله را درازای n=5 اجرا می کنیم و جدول اعداد زیر را بدست می آوریم:
5 4 3 2 1
10 9 8 7 6
15 14 13 12 11
20 19 18 17 16
25 24 23 22 21
مطابق روش ارایه شده در ابتدای مقاله اعداد 9و19 را درنظر می گیریم:
اگر این اعداد رادر مبنای 2 تبدیل واحد کنیم داریم:
2 (1001)=9
2 (10011)=19
برای اطمینان بیشتر 39 رانیز در نظر می گیریم:
2 (100111)=39
ملاحظه می شود یک نظم و ترتیبی بین اعداد ایجاد شده در مبنای 2 دراین اعدا د وجود دارد.
دراین حالت یک پایه مبنای عملگر تعیین می کنیم و بقیه تغییر مبنا ها را براین اساس ایجاد می نماییم:
این پایه مبنا را"عملگر مخصوص" گوییم
در این حالت (حالت مثال فوق)پایه مبنا را به صورت زیر در نظر می گیریم:
(x1001)را پایه مبنا (عملگر مخصوص) این جدول در نظر می گیریم که x در ازای هر واحد که دنباله جلو می رود یک 1 اضافه می کند.
یعنی (1001)برابر 9 , (10011) برابر19 و به همین ترتیب سایر جملات دنباله به صورت باینری (دو دویی) نگاشته می شود.
در مثال های مختلف این موضوع را بهتر جلوه می دهیم:
مثال)Γ مارکینگ را برای جدول 4*5 (5 سطرو4ستون) اعداد طبیعی انجام داده و کد باینری آن را مشخص کنید:
4 3 2 1
8 7 6 5
12 11 10 9
16 15 14 13
20 19 18 17
2 (111)=7
2 (1111)=15
2 (x111)=کد باینری مخصوص
نام این تبدیل را به خاطر نوع قرار گیری اعداد دنباله در جدول (شبیهΓ) تبدیل Γ می نامیم و به خاطر کاربردی که این سبک در عملیات کدینگ و مارکینگ اعداد دارد "Γ مارکینگ"نام گرفته است.
مثال)Γ مارکینگ را برای دنباله زیر در ازای n=3 انجام دهید و کد باینری آن را بدست آورید:
n-1,n,2n-1,2n,4n-1,4n,8n-1,8n
2 (101)=5
2 (1011)=11
2 (10111)=23
2 (x101)=کد باینری مخصوص
عکس این عمل نیز صادق است .یعنی ازروی کد مخصوص باینری می توان دنباله و در نتیجه آرایش اعداد را تعیین کرد.
درست عکس اعمال انجام شده چاره کار است.
اکتت(8 تایی)سازی مبناها در این دنباله:
در روش اکتت کردن مبناها (بردن عدد به مبنای 8) دراین نواره(دنباله)ترتیب خاص و جالبی بدست می آید.البته لازم به ذکر است که این روش زمانی عملی می شود که حداقل 5 ستون در جدول اصلی داشته باشیم.
اگر "گاما مارکینگ" را برای جدولی با حداقل 5 ستون انجام دهیم (جدول شماره 1)دنباله زیر در نواره هاپدید می آید:
n-1,n,2n-1,2n,4n-1,4n,… nЄIN
که دراین حالت N=5 خواهد بود.
اگر اعداد پدید آمده در نواره که برای ما اهمیت دارند(9و19..) را به مبنای 8 ببریم داریم:
8 (11)=9
8 (23)=19
واگر به همین ترتیب ادامه دهیم می بینیم اعدادی که از اکتت سازی n ستون بدست می آیند اعداد مبنای 10 در گاما مارکینگ n+1 ستون می باشند که این ویژگی جالب تر این روش در دنباله های سازنده این نواره ها می باشد.

sajadhoosein
15-02-2011, 10:25
حساب


حساب قدیمی‌ترین شاخه ریاضیات است. احتمالاً پیدایش این فن ناشی از نیاز انسان به شمارش اشیا و دارایی‌ها بوده است. پایه‌ای‌ترین عملیات حساب جمع و تفریق و ضرب و تقسیم است. آموزش حساب از گذشته‌های دور جزو برنامه آموزشی کودکان دبستانی بوده است. ریاضی‌دانان معمولاً حساب را با نظریه اعداد مترادف می‌دانند.
● واژهٔ حساب
واژه حساب از محاسبه می‌‌آید. در زبانهای اروپایی، به آن “آریتمه تیک” (Arithmetic) می‌گویند که از واژه یونانی “آریتموس”(به معنای عدد) می‌آید. در زبان فارسی، دو کتاب از محمد فرزند ایوب طبری، اهل آمل مازندران، به نام‌های “شمارنامه” و “مفتاح المعاملات” در دست است که در سده چهارم و پنجم هجری نوشته شده است. محمد ایوب طبری “شمار” را به جای حساب و “شمار نامه” را به معنای “کتاب حساب” گرفته است.
“شمار” یا “شُمَر” از زبان پهلوی ساسانی آمده که گاهی هم “مَر” میگفته اند. بنابراین می‌توان در زبان فارسی واژه نادرست “ریاضیات” را که از واژه “ریاضت” آمده است و از مضمون این دانش، هیچ نشانی ندارد، به “راز و مر” تبدیل کرد. “راز” که در واژه‌های “تراز” و “ترازو” آمده است، به معنای مقایسه کردن و “مَر” به معنای محاسبه کردن است، که روی هم، مضمون و جوهر “ریاضیات” (دست کم به معنای نخست آن) را میرساند.
از ابوریحان بیرونی هم کتابی باقی مانده (به زبانهای فارسی و عربی) به نام “التفهیم” که گرچه درباره اخترشناسی است، ولی در پیش در آمد آن، عمل‌های مربوط به حساب شرح داده شده است. این کتابها (شمار نامه، التفهیم و مفتاح المعاملات)، بجز آشنایی با دانش ریاضی، ما را با برخی اصطلاحات فارسی مانند افزوذن (به جای جمع)، کاستن (به جای تفریق)، زدن (به جای ضرب) و جز آن آشنا می‌کند.
● تاریخچه
حساب، دانش عدد، عملهای مربوط به آن و بیان ویژگیهای عدد است. در زندگی روزانه، در هر گامی که بر میداریم، به حساب نیازمندیم. فرهنگ انسانی را بدون “حساب” و “عدد” نمی‌توان تصور کرد، به این دلیل است که هر انسانی باید دست کم، از مقدمه‌های دانش حساب، آگاه باشد. حساب کهن‌ترین بخش از دانش ریاضی است و سرچشمه‌های آن را باید در ژرفای تاریخ بشر جست و جو کرد.
بسیاری از قوم‌ها و ملت‌های باستانی، از جمله ایرانی ها، مصری‌ها و چینی ها، بابلی‌ها و عیلامی‌ها (که در جنوب و جنوب غربی ایران زندگی می‌کردند و امپراتوری بزرگی را تشکیل دادند) و حتی قوم‌هایی از ساکنان بومی امریکا مانند مایاها و آزتک ها، با حساب کار می‌کردند. آنها، به حساب، برای شمردن و اندازه گرفتن چیزها (از هر نوعی که باشد) نیازمند بودند. از جمله، مصری‌ها برای محاسبه تعداد و اندازه سنگهایی که در ساختن هرمها به کار می‌بردند، نیاز داشتند، همچنین ارتفاع هرم، سطح قاعده آن و حجم هرم را محاسبه می‌‌کردند.

sajadhoosein
15-02-2011, 10:32
فرکانس در آنالیز مودال


● آنالیز مودال :
شناسایی خواص دینامیكی سازه می‎باشد.
● خواص دینامیكی :
فركانس‎های طبیعی، شكل مودها و میرایی هرموداست
در ارتعاشات هر سیستم یك تركیب خطی از شكل مودهای آن است مانند سری فوریه كه هر تابعی را می‎توان به صورت سری فوریه ( تركیبی از توابع سینوس و كسینوس ) نوشت.
مدل مودال یك سیستم، یك مدل ریاضی است كه میرائی، سختی و شكل مود سیستم را نشان میدهد. اگر برای سیستمی ماتریسهای جرم و سختی و دمپینگ ([C], [K], [M]) مشخص باشند مدل فضایی (Spatial Model) را داریم.
Spatial ModelModal Model Response Model ولی معمولاً این ماتریس‎ها را نداریم. مخصوصاً به دست آوردن ماتریس میرایی سخت است رسیدن از مدل فضایی به مدل مودال آنالیز مودال تئوری است.
رسیدن از مدل پاسخ به مدل مودال همان Model Testingاست كه با تحریك یك درجه آزادی و گرفتن پاسخ در همان یا یك درجه آزادی دیگر انجام می‎شود مدل پاسخ به صورت جملات FRF (Frequency Response Function) است. اندازه‎گیری FRF مستلزم اندازه‎گیری همزمان تحریك و پاسخ است. اندازه‎گیری نیروی تحریك در خیلی از موارد غیر ممكن یا سخت است. در سازه هایی كه تحریكدر اثر نیروی داخلی، تحریك آلوستیك و …باشد FRFقابل اندازه‎گیری نیست.
تعداد پیك‎ها نشان دهنده تعداد درجات آزادی سیستم است.
▪ در اندازه‎گیری دو محدودیت وجود دارد:
۱) تمام فركانس‎های طبیعی را نمی‎توان اندازه گرفت.
۲) به بعضی درجات آزادی دسترسی نداریم.
پس ماتریس‎های ما معمولاً مربعی نیستند.
ماتریس‎های مودال، قطری و ساده‎اند پس می‎توان از مدل مودال در كنترل یك PLANT استفاده كرد.
● مراحل یك تست مودال :
۱) آماده سازی برای تست
۲) اندازه‎گیری مناسب
۳) تحلیل اطلاعات
● كاربردهای آنالیز مودال:
الف) عیب یابی
ب) مقایسه مدل ریاضی و نتایج تجربی به منظور اصلاح مدل
ج) اصلاح ساختاری (با داشتن مدل می‎توان اصلاح را روی مدل انجام داد)
د) حساسیت‎یابیSensitivityAnalysis (بر عكس قبلی است یعنی مثلاً می‎خواهیم یك فركانس طبیعی سیستم را به تأخیر بیندازیم چه تغییراتی در مدل فیزیكی باید اعمال شود تا به خواسته خود برسیم.)
ذ) كاهش مدل ModelReduction
درجات آزادی را Master (اندازه‎گیری شده) وSlave (اندازه‎گیری نشده) تقسیم می‎كنیم و درجات آزادیSlave را در Masterمخفی می‎كنیم و درجات آزادی را كم می‎كنیم.
● تعریف (Operative Deflection Shape) ODS در آنالیز مودال:
(تغییر شكلهای حین كار یك سازه یا شكل مودهای در حال كار )
ODS كمیتی مربوط به شكل مود است. با استفاده ازODSاطلاعات بسیار مفیدی از دینامیك مطلق سازه یا قسمتی از آن به دست می‎آید. ODS به صورت پاسخ سازه در یك زمان یا فركانس خاص تعریف می‎شود.
تعریف معمولODS یعنی خیز یا تغییر شكل سازه در یك فركانس خاص می‎باشد.
▪ اندازه‎گیری ODS :
اندازه‎گیریODSممكن است جهت پاسخگویی به سئوالات زیر انجام گیرد.
۱) سازه یا ماشین چقدر حركت می‎كند؟
۲) بیشترین حركت كجا و در چه جهتی اتفاق می‎افتد؟
۳) حركت یك نقطه نسبت به سایر نقاط چگونه است؟
۴) آیا رزنانس تحریك می‎شود؟ شكل مود مربوطه چگونه است؟
۵) آیا در سازه نویز تولید شده است؟
۶) آیا كاهش نویز یا ارتعاش درست انجام شده است؟
▪ برای تحریك رزنانس دو شرط لازم است:
۱) نیروی تحریك باید در نقطه‎ای كه روی گره مود قرار ندارد وارد شود.
۲) فركانس تحریك باید نزدیك فركانس رزنانس باشد.
در صورت برقراری این دو شرط و كم بودن رزنانس میرایی، دامنه پاسخ سازه یا ODS تقویت می‎شود.ODS صرفنظر از اینكه تحریك چیست قابل اندازه‎گیری است.
ODS شامل هر دو نوع ارتعاش اجباری و رزنانسی است یعنی مجموع حركت اجباری و رزنانسی سازه را در خود دارد. ارتعاش اجباری ممكن است در اثر نیروهای داخلی ایجاد شده، نامیزانی‎ها، نیروهای خارجی یا تحریك محیط ایجاد شده باشد.
ارتعاش رزنانسی، شدت ارتعاش را آنقدر تقویت می‎كند كه از حد تحمل طراحی استاتیكی بالاتر می‎رود. ارتعاش رزنانسی یكی از دلایل مشكلات مربوط به ارتعاش سازه است.یك ODSرا می‎توان از حركت اجباری در یك لحظه از زمان یا در یك فركانس خاص به دست آورد.
بطور كلیODS در هر نقطه از سازه با یك دامنه و فاز نمایش داده می‎شودODS را می‎توان از یك دسته پاسخ حوزه زمان یا از یك دسته پاسخ محاسبه شده حوزه فركانس به دست آورد. همه پارامترهای تجربی مودال از ODS‎های اندازه‎گیری شده به دست آمده‎اند. گر چه همه شكل مودهای تجربی از ODS‎‎های اندازه‎گیری شده به دست آمده‎اند ولی شكل مود با ODSتفاوتهایی به شرح زیر دارد :
الف ) هر مود به فركانس طبیعی خاصی اختصاص دارد در حالی كه ODS را می‎توان برای هر فركانس تعریف كرد.
ب ) مود را فقط برای سازه‎های پایا و خطی تعریف می‎كنند در حالی كه ODSرا می‎توان هم برای سازه‎های غیر پایا و غیر خطی تعریف كرد.
ج ) مود برای مشخص كردن ارتعاش رزنانسی بكار می‎رود در صورتیكه ODS را می‎توان هم برای ارتعاش رزنانسی و هم غیر رزنانسی بكار برد.
د) مود بستگی به نیرو یا بار ندارد، در واقع مود جزء خواص ذاتی سازه است در صورتیكه ODS بستگی به بار دارد و با عوض شدن بار تغییر می‎كند.
ذ) مودها وقتی تغییر می‎كنند كه خواص ماده یا شرایط مرزی عوض شوند در صورتیكه ODS وقتی تغییر می‎كند كه مود یا بار عوض شود.
ر) شكل مود مقدار یكتایی ندارد در صورتیكه ODS مقدار یكتا دارد.
ز) مود پاسخگوی این سؤال است كه حركت نسبی یك درجه آزادی نسبت به دیگری چگونه است ؟ ODS پاسخگوی این سؤال است كه حركت واقعی یك درجه آزادی نسبت به دیگری چیست؟
استفاده از ODS در برخی صنایع رایج است به عنوان مثال:
PAI و YOUNG در سال ۲۰۰۱ با استفاده از ODS به دست آمده از LaserScanningتركیكتیر را بررسی كردند و نیز در سال ۲۰۰۳ Sundaresanو همكارانش برای عیب یابی یك بال هواپیما از ODS استفاده كردند.

sajadhoosein
15-02-2011, 10:59
نكات آمار و احتمال


آمار رشته وسیعی از ریاضی است كه راههای جمع آوری، خلاصه سازی و نتیجه گیری از داده ها را مطالعه می كند. این علم برای طیف وسیعی از علوم دانشگاهی از فیزیك و علوم اجتماعی گرفته تا انسان شناسی و همچنین تجارت، حكومت داری و صنعت كاربرد دارد.
هنگامی كه داده ها جمع آوری شدند چه از طریق یك شیوه نمونه گیری خاص یا به وسیله ثبت پاسخ ها در قبال رفتارها در یك مجموعه آزمایشی ( طرح آزمایشcf ) یا به وسیله مشاهده مكرر یك فرایند در طی زمان ( سری های زمانی ) خلاصه های گرافیكی یا عددی را می توان با استفاده از آمار توصیفی به دست آورد.
الگوهای موجه در داده ها سازمان بندی می شوند تا استنباط در مورد جمعیت های بزرگتر به دست آید كه این كار با استفاده از آمار استنباطی صورت می گیرد و تصادفی بودن و عدم حتمیت در مشاهدات را شناسایی می كند. این استنباط ها ممكن است به شكل جوابهای بله یا خیر به سؤالات باشد ( آزمون فرض )، مشخصه های عددی را برآورد كند ( تخمین ) ، پیش گویی مشاهدات آتی باشد، توصیف پیوند ها باشد ( همبستگی ) ویا مدل سازی روابط باشد ( رگرسیون ).
شبكه توصیف شده در بالا گاهی اوقات به عنوان آمار كاربردی اطلاق می شود. در مقابل، آمار ریاضی ( یا ساده تر نظریه آماری ) زیر رشته ای از ریاضی كاربردی است كه از تحلیل و نظریه احتمال برای به كارگیری آمار برروی یك پایه نظری محكم استفاده می كند.
● احتمال
كلمه احتمال از كلمه لاتین probare ( به معنی اثبات یا آزمایش كردن ) منشأ می گیرد. در زبان محاوره، احتمال یكی از چندین لغتی است كه برای دانسته یا پیشامدهای غیر حتمی به كار میرود و كم و بیش با لغاتی مثل مشابه، با ریسك، خطرناك، نامطمئن، مشكوك و بسته به متن قابل معاوضه می باشد. شانس، بخت و شرط بندی از لغات دیگری هستند كه نشان دهنده برداشت های مشابهی هستند. همانگونه كه نظریه مكانیك تعاریف دقیقی از عبارات متداولی مثل كار و نیرو دارد، نظریه احتمال نیز تلاش دارد تا برداشت های احتمال را كمیت سازی كند.
● روش های آماری
۱) مطالعات تجربی و مشاهداتی
ـ هدف كلی برای یك پروژه تحقیقی آماری، بررسی حوادث اتفاقی بوده و به ویژه نتیجه گیری روی تأثیر تغییرات در مقادیر شاخص ها یا متغیر های مستقل روی یك پاسخ یا متغیر وابسته است. دو شیوه اصلی از مطالعات آماری تصادفی وجود دارد : مطالعات تجربی و مطالعات مشاهداتی . در هر دو نوع از این مطالعات، اثر تغییرات در یك یا چند متغیر مستقل روی رفتار متغیر های وابسته مشاهده می شود. اختلاف بین این دو شیوه درچگونگی مطالعه ای است كه عملاً هدایت می شود.
ـ یك مطالعه تجربی در بردارنده روش های اندازه گیری سیستم تحت مطالعه است كه سیستم را تغییر می دهد و سپس با استفاده از روش مشابه اندازه گیری های اضافی انجام می دهد تا مشخص سازد كه آیا تغییرات انجام شده، مقادیر شاخص ها را تغییر می دهد یا خیر. در مقابل یك مطالعه مشاهداتی، مداخلات تجربی را در بر نمی گیرد. در عوض داده ها جمع آوری می شوند و روابط بین پیش بینی ها و پاسخ بررسی می شوند.
ـ یك نمونه از مطالعه تجربی، مطالعات Hawthorne مشهور است كه تلاش كرد تا تغییرات در محیط كار را در كمپانی الكتریك غربی Howthorne بیازماید. محققان علاقه مند بودند كه آیا افزایش نور می تواند كارایی را در كارگران خط تولید افزایش دهد. محققان ابتدا كارایی را در كارخانه اندازه گیری كردند و سپس میزان نور را در یك قسمت از كارخانه تغییر دادند تا مشاهده كنند كه آیا تغییر در نور می تواند كارایی را تغییر دهد. به واسطه خطا در اقدامات تجربی، به ویژه فقدان یك گروه كنترل، محققان در حالی كه قادر نبودند آنچه را كه طراحی كرده بودند، انجام دهند توانستند كه محیط را با شیوه Hawthorne آماده سازند.
ـ یك نمونه از مطالعه مشاهداتی، مطالعه ایست كه رابطه بین سیگار كشیدن و سرطان ریه را بررسی می كند. این نوع از مطالعه به طور اختصاصی از یك آمار گیری ( پیمایش ) استفاده می كند تا مشاهدات مورد علاقه را جمع آوری كند و سپس تجزیه و تحلیل آماری انجام دهد. در این مورد، محققان مشاهدات افراد سیگاری و غیر سیگاری را جمع آوری می كنند و سپس به تعداد موارد سرطان ریه در هر دو گروه توجه می كنند.
مراحل پایه برای انجام یك تجربه عبارتند از :
ـ برنامه ریزی تحقیق شامل تعیین منابع اطلاعاتی، انتخاب موضوع تحقیق و ملاحظات اخلاقی برای تحقیق و روش پیشنهادی.
ـ طراحی آزمون شامل تمركز روی مدل سیستم و اثر متقابل متغیر های مستقل و وابسته.
ـ خلاصه سازی از مجموعه مشاهدات برای جامعیت بخشیدن به آنها با حذف جزئیات ( آمار توصیفی ).
ـ رسیدن به اجماع در مورد آنچه مشاهدات درباره دنیایی كه مشاهده می كنیم به ما می گویند ( استنباط آماری ).
ـ ثبت و ارائه نتایج مطالعه.
۲) سطوح اندازه گیری
چهار نوع یا مقیاس اندازه گیری در آمار استفاده می شود. چــهار نوع یا سطح اندازه گیری ( ترتیبی، اسمی، بازه ای و نسبی ) دارای درجات متفاوتی از سودمندی در تحقیقات آماری دارند. اندازه گیری نسبی در حالی كه هم یك مقدار صفر و فاصله بین اندازه های متفاوت تعریف می شود بیشترین انعطاف پذیری را در بین روش های آماری دارد كه می تواند برای تحلیل داده ها استفاده شود. مقیاس تناوبی با داشتن فواصل معنی دار بین اندازه ها اما بدون داشتن میزان صفر معنی دار ( مثل اندازه گیری IQ یا اندازه گیری درجه حرارت در مقیاس سلسیوس ) در تحقیقات آماری استفاده می شود.
۳) تكنیك های آماری
بعضی از آزمون ها و روش های آماری برای مشاهدات تحقیقی آماری شناخته شده عبارتند از :
▪ آزمون تی استیودنت
▪ آزمون توان دوم كای ( خی دو )
▪ آنالیز واریانس ( ANOVA)
▪ آزمون Mann-Whitney U
▪ تحلیل رگرسیون
▪ همبستگی
▪ آزمون كمترین تفاوت معنی دار ( LSD ) فیشر
▪ ضریب همبستگی حاصل ضرب گشتاوری پیرسون
▪ ضریب همبستگی رتبه ای اسپیرمن
نظریه عمومی احتمال به دو اصل وابسته تقسیم می شود :
▪ احتمال كتّره ای : كه نشان دهنده احتمال پیشامدهای آینده است كه به وسیله بعضی از پدیده های فیزیكی تصادفی هدایت می شود. این اصل را می توان به پدیده های فیزیكی كه با اطلاعات كافی اصولاً قابل پیش بینی اند و پدیده هایی كه اساساً قابل پیش بینی نیستند تقسیم بندی كرد. نمونه هایی از نوع اول شامل پرتاب تاس یا بازی رولت در قمار است و یك مثال از نوع دوم از بین رفتن ماده رادیو اكتیویته است.
▪ احتمال شناختیك : كه نشان دهنده عدم قاطعیت ما در مورد گزاره ای است وقتی كه فرد آگاهی كامل از شرایط اتفاقی ندارد. چنین گزاره هایی ممكن است در مورد پیشامدهای گذشته یا آینده باشد اما نیاز به آن نیست. بعضی مثال ها از احتمال شناختیك آنهایی هستند كه در آن ها یك احتمال به گزاره ای داده می شود كه در آن یك قانون پیشنهادی فیزیك به وقوع پیوسته است و تعیین اینكه چقدر احتمال است كه یك مظنون بر اساس شواهد موجود مرتكب جنایت شده باشد.
یك سؤال كلی وجود دارد كه آیا احتمال كتره ای به واسطه عدم توانایی ما در پیش بینی دقیق نیروهایی كه ممكن است وقوع مرگ را متأثر سازند به احتمال شناختیك تبدیل شود یا اینكه چنین عدم اطمینانی در ماهیت خود واقعیت وجود دارد به ویژه در پدیده های كوانتومی كه توسط اصل عدم حتمیت هایزنبرگ بیان شده است.هرچند قوانین ریاضی مشابهی صرفنظر از تفسیر انتخاب شده اعمال می شوند، گزینه انتخابی از نظر احتمال مورد استفاده دارای معانی مهمی است كه برای مدل سازی دنیای واقعی به كار می رود.
● فرموله سازی احتمال
مانند سایر نظریه ها، نظریه احتمال نمادی از اصول احتمال در عبارات رسمی - عباراتی كه جدا از معنیشان كاربرد داشته باشند – است. این عبارات رسمی به واسطه قوانین ریاضی و منطق متأثر می شوند و هر نتیجه ای از آن بر اساس دامنه مسئله تفسیر و برداشت می شود.
حداقل دو تلاش موفق برای فرموله كردن احتمال انجام شده است كه به نام فرمول بندی كلموگروف و كاكس نامیده می شوند. در فرمول بندی كلموگروف، مجموعه ها به صورت پیشامدها و احتمال خود به عنوان معیاری روی یك سری از مجموعه ها تفسیر می شود. در فرمول بندی كاكس، احتمال به عنوان یك مقدمه اولیه قلمداد می شود ( به این معنی كه بعداً آنالیز نمی شود ) و تأكید بر روی ساخت یك رابطه سازگار از مقادیر احتمال برای گزاره ها می باشد.
در هر دو مورد، قوانین احتمال مشابه هستند به جز در مورد جزئیات عملی :
▪ احتمال عددی بین 0 و 1 می باشد.
▪ مجموع احتمال یك پیشامد یا گزاره و مكمل آن برابر 1 است؛ و
▪ احتمال مشترك دو پیشامد یا گزاره برابر با حاصل ضرب احتمال یكی از آن ها و احتمال دومی است به شرطی كه اولی رخ دهد.
● نمایش و تفسیر مقادیر احتمال
احتمال یك پیشامد عموماً به صورت یك عدد حقیقی بین 0 و 1 نمایش داده می شود. یك پیشامد غیر محتمل دارای یك احتمال دقیقاً 0 و یك پیشامد حتمی دارای یك احتمال 1 است، اما عكس آن همیشه صادق نیست؛ پیشامدهای با احتمال 0 همیشه غیر ممكن نیستند و همچنین پیشامدهای با احتمال 1 همیشه واقعیت نمی پذیرند.
اغلب احتمالاتی كه عملاً رخ می دهند اعدادی بین 0 و 1 هستند كه نشان دهنده موقعیت پیشامد روی پیوستگی بین غیر ممكن و حتمیت است. هر چه احتمال پیشامد به 1 نزدیكتر باشد، احتمال وقوع آن بیشتر است.
مثلاً اگر احتمال وقوع دو پیشامد متقابلاً ناسازگار یكسان تصور شود مثل رو یا پشت در پرتاب سكه، ما می توانیم احتمال هر پیشامد را به صورت 1 از 2 یا %50 یا ½ نمایش دهیم.
احتمالات مشابهاً به صورت بخت ها هم نمایش داده می شوند كه نسبت احتمال یك پیشامد به احتمال سایر پیشامدهاست. بخت رو شدن در پرتاب سكه (1/2)/(1 - 1/2) است كه مساوی با 1/1 است كه به صورت بخت 1 به 1 نمایش داده می شود و اغلب به صورت 1:1 نوشته می شود.
بخت های a:b برای یك پیشامد معادل با احتمال a/(a+b) است. مثلاً بخت 1:1 معادل با احتمال ½ است و نمایش 3:2 معادل با احتمال 3/5 است.
این سؤال عملاً باقی می ماند كه از احتمال چه انتظاری می توان داشت و چگونه از اعداد و ارقام می توان استفاده كرد. این سؤال همان تفاسیر و برداشت های از احتمال است. افرادی هستند كه مدعیند احتمال را می توان بر هر نوع از گزاره های منطقی غیر حتمی به كار برد كه همان استنباط بیزی است. در مقابل، افرادی هستند كه با این ایده توافق دارند كه احتمال برای پیشامدهای تصادفی همانند برآمد بعضی آزمایش های تصادفی خاص كاربرد دارد؛ به عنوان مثال نمونه گیری از یك جمعیت كه این تفسیر فراوانی گراست. چندین تفسیر دیگر نیز وجود دارد كه فرم اصلاح شده ای از یكی از این دو تفسیر هستند و در حال حاضر از مقبولیت كمتری برخوردار هستند.
● توزیع ها
توزیع احتمال، تابعی است كه احتمال را به پیشامدها یا گزاره ها تخصیص می دهد. برای هر مجموعه از پیشامدها یا گزاره ها راه های مختلفی برای تخصیص احتمالات وجود دارد به طوری كه شانس یك توزیع یا دیگری معادل با داشتن تصورات متفاوت درباره پیشامدها یا گزاره های مورد سؤال می باشد.
راه های گوناگون معادلی برای نمایش توزیع احتمال وجود دارد. شاید متداولترین آن ها تابع چگالی احتمال باشد؛ به این معنی كه احتمال پیشامد یا گزاره به وسیله انتگرال تابع چگالی به دست می آید. تابع توزیع را می توان همچنین مستقیماً نمایش داد. از یك بعد، تابع توزیع، تابع توزیع تجمعی نامیده می شود. توزیع های احتمال را می توان از طریق گشتاورها یا تابع مشخصه یا به روش های دیگر نیز نمایش داد.
یك توزیع، توزیع گسسته نامیده می شود اگر آن روی یك مجموعه گسسته شمارش پذیر مثل زیر مجموعه ای از اعداد صحیح تعریف شود. یك توزیع، توزیع پیوسته نامیده می شود اگر دارای یك تابع توزیع پیوسته باشد مثل تابع چند جمله ای یا تابع نمایی. اغلب توزیع های با اهمیت كاربردی از نوع گسسته یا پیوسته هستند اما نمونه هایی از توزیع ها هستند كه شامل هیچكدام از اینها نمی شوند.
توزیع های مهم گسسته شامل توزیع گسسته یكنواخت، توزیع پواسون،‍ توزیع دو جمله ای، توزیع دو جمله ای منفی و توزیع ماكسول-بولتزمن می باشند.
توزیع های مهم پیوسته شامل توزیع نرمال، توزیع گاما، توزیع تی استیودنت و توزیع نمایی هستند.
▪ احتمال در ریاضیات
اصول موضوع احتمال، اساس نظریه احتمال ریاضیات را تشكیل می دهند. محاسبه احتمالات را اغلب می توان با استفاده از تركیبات یا مستقیماً با كاربرد اصول موضوع تعیین كرد.كاربردهای احتمال حتی بیشتر از آمار است كه معمولاً بر روی ایده توزیع های احتمال و قضیه حد مركزی پایه ریزی شده است.
برای به دست آوردن یك مفهوم ریاضی از احتمال، پرتاب یك سكه را در نظر بگیرید. بدیهی است كه احتمال آن كه در هر پرتاب سكه رو بیاید %50 است اما این وضعیت به تنهایی فاقد صلابت ریاضی است؛ به این معنی كه ما باید چنین انتظار داشته باشیم كه با پرتاب 10 بار سكه 5 رو و 5 پشت به دست آید اما هیچ تضمینی كه این رخ دهد وجود ندارد. برای مثال این احتمال است كه پشت سر هم 10 بار رو بیاید. پس مفهوم %50 در این متن چیست ؟
یك راه، استفاده از قانون اعداد بزرگ است. در این مورد، ما تصور می كنیم كه می توانیم هر تعداد پرتاب سكه را انجام دهیم و هر پرتاب سكه مستقل است یعنی كه برآمد هر پرتاب سكه به وسیله پرتاب قبلی تحت تأثیر قرار ندارد. اما ما N مرتبه پرتاب سكه داشته باشیم و اگر Nн تعداد مرتبه هایی باشد كه رو بیاید پس ما می توانیم برای هر N نسبت Nн/N را در نظر بگیریم.
هر قدر N بزرگ و بزرگ تر شود، ما انتظار داریم كه نسبت Nн/N به ½ نزدیك و نزدیك تر شود. این به ما اجازه می دهد كه احتمال Pr(H)
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

رو های سكه را به صورت حد ( ریاضی ) تعریف كنیم، هنگامی كه N به سمت بی نهایت میل میكند :
البته در كاربرد عملی، ما نمی توانیم یك سكه را به تعداد بی نهایت پرتاب كنیم بنابراین عملاً این فرمول باید در موقعیت هایی به كار گرفته شود كه در آن ها از قبل یك احتمال اولیه ای برای یك برآمد خاص تعیین كرده ایم ( در این مورد فرض ما این است كه سكه سالم است ). قانون اعداد بزرگ به ما می گوید كه Pr(H) داده شده و یا به ازای هر عدد كوچـك اختیاری є، عدد n ای وجود دارد كه برای تمام N > nداریم :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
به عبارت دیگر، منظور ما از گفتن « احتمال رو ها ½ است » این است كه اگر ما سكه را به اندازه كافی پرتاب كنیم نهایتاً تعداد رو ها نسبت به تعداد كل پرتاب به ½ نزدیك می شود و سپس به هر اندازه كه تعداد بیشتری پرتاب انجام دهیم ما به ½ نزدیك تر می شویم.
توجه كنید كه یك تعریف كامل، مستلزم نظریه اندازه است كه قادر به حذف مواردی است كه مقادیر بالاتر از محدوده جواب درست نمی دهند یا حتی با نمایش مواردی كه دارای میزان صفر هستند نیز محدود نشده است.
جنبه اولیه این روش كاربرد احتمال، گاهی در هنگام مواجهه با موقعیت های دنیای واقعی با مشكل روبه رو می شود. برای مثال اگر شما یك سكه را پرتاب كنید و پشت سر هم رو بیاید برای صد مرتبه شما نمی توانید تصمیم بگیرید كه آیا این تنها یك پیشامد تصادفی محض است اگر چه ممكن است ( هرچند بعید ) كه یك سكه سالم این نتیجه را بدهد یا اینكه تصور شما این خواهد بود كه سكه سالم دچار اشكال می باشد.
▪ نكات قابل توجه در محاسبات احتمال
سختی محاسبات احتمال در تعیین تعداد پیشامدهای ممكن، شمارش رخدادهای هر پیشامد و شمارش تعداد كل پیشامدهای ممكن است. اشكال خاص در به دست آوردن نتایج معنی دار از احتمالات محاسبه شده است. یك معمای سرگرم كننده احتمال به نام مسئله Monty Hall به زیبایی چالش های موجود را نشان می دهد.
▪ كاربرد های نظریه احتمال در زندگی روزمره
یك تأثیر مهم نظریه احتمال در زندگی روزمره در ارزیابی ریسك پذیری و در تجارت در مورد خرید و فروش اجناس می باشد. حكومت ها به طور خاص روشهای احتمال را در تنظیم جوامع اعمال می كنند كه به عنوان « آنالیز خط مشی » نامیده می شود و غالباً سطح رفاه را با استفاده از متدهایی كه در طبیعت تصادفیند اندازه می گیرند و برنامه هایی را انتخاب می كنند تا اثر احتمال آن ها را روی جمعیت به صورت كلی از نظر آماری ارزیابی كنند. این گفته صحیح نیست كه آمار، خود در مدل سازی درگیر هست زیرا كه ارزیابی های میزان ریسك وابسته به زمان هستند و بنابراین مستلزم مـدل های احتمال قوی تر هستند؛ مثلاً « احتمال9/11 دیگری »؛ قانون اعداد كوچك در جنین مواردی اعمال می شود و برداشت اثر چنین انتخاب هایی است كه روش های آماری را به صورت یك موضوع سیاسی در می آورد.
یك مثال خوب اثر احتمال قلمداد شده از مجادلات خاورمیانه بر روی قیمت نفت است كه دارای اثرات متلاطمی از لحظ آماری روی اقتصاد كلی دارد. یك ارزیابی توسط یك واحد تجاری در مورد این كه احتمال وقوع یك جنگ زیاد است یا كم باعث نوسان قیمت ها می شود و سایر تجار را برای انجام كار مشابه تشویق می كند. مطابق با این اصل، احتمالات به طور مستقل ارزیابی نمی شوند و ضرورتاً به طور منطقی برخورد صورت نمی گیرد. نظریه اعتبارات رفتاری، به وجود آمده است تا اثر این تفكرات گروهی را روی قیمت ها، سیاست ها و روی صلح و مجادله توضیح دهد.
به طور استدلالی می توان گفت كه كشف روش های جدی برای ارزیابی و تركیب ارزیابی های احتمالی دارای اثر شدیدی روی جامعه مدرن داشته است. یك مثال خوب كاربرد نظریه بازی ها كه به طور بنیادین بر پایه احتمال ریخته شده است در مورد جنگ سرد و دكترین انهدام با اطمینان بخشی متقابل است. مشابهاً ممكن است برای اغلب شهروندان دارای اهمیت باشد كه بفهمند چگونه بخت ها و ارزیابی های احتمال صورت می گیرد و چگونه آن ها می توانند در تصمیم گیری ها به ویژه در زمینه دموكراسی دخالت كنند.
كاربرد مهم دیگر نظریه احتمال در زندگی روزمره، اعتبار است. اغلب تولیدات مصرفی مثل اتومبیل و وسایل الكترونیكی در طراحی آن ها از نظریه اعتبار استفاده می شود به نحوی كه احتمال نقص آن ها كاهش یابد. احتمال نقص با مدت ضمانت فرآورده معمولاً ارتباط نزدیك دارد.
● رشته های اختصاصی
بعضی علوم آن چنان به طور وسیع از آمار كاربردی استفاده می كنند كه برای خود دارای اصطلاحات خاص شده اند. این رشته ها عبارتند از :
▪ زیست آمار
▪ آمار بازرگانی
▪ داده كاوی ( كاربرد آمار و شناسایی الگوها برای كشف علم از داده ها )
▪ آمار اقتصادی ( اقتصاد سنجی )
▪ آمار مهندسی
▪ فیزیك آماری
▪ جمعیت شناسی
▪ آمار روان شناسی
▪ آمار اجتماعی ( برای تمام علوم اجتماعی )
▪ سواد آموزی آماری
▪ آنالیز فرایند و شیمی سنجی ( برای تحلیل داده ها از شیمی تحلیلی و مهندسی شیمی)
▪ مهندسی اعتبار
▪ آمار در ورزش های گوناگون به ویژه بیسبال و كریكت
آمار یك ابزار پایه ای كلیدی در تجارت و تولید است و برای درك تغییر پذیری سیستم های اندازه گیری، فرایند های كنترل ( مثلاً در كنترل آماری فرایند یا SPC )، برای خلاصه سازی داده ها و برای ساخت تصمیمات بر اساس داده ها مورد استفاده قرار می گیرد. در این نقش ها به آمار یك ابزار كلیدی و شاید تنها ابزار مورد اعتماد باشد.
● نرم افزار
▪ آمار مدرن برای انجام بعضی از محاسبات خیلی پیچیده و بزرگ به وسیله كامپیوترها استفاده می شود.
▪ تمامی شاخه های آمار با استفاده از محاسبات كامپیوتری انجام پذیر شده اند، به عنوان مثال شبكه های عصبی.
▪ انقلاب كامپیوتری با یك توجه نو به آمار « آزمایشی » و « تجربی » رویكردهایی برای آینده آمار داشته است .
شبیه سازی نسخه ای از بعضی وسایل واقعی یا موقعیت های كاری است. شبیه سازی تلاش دارد تا بعضی جنبه های رفتاری یك سیستم فیزیكی یا انتزاعی را به وسیله رفتار سیستم دیگری نمایش دهد.
شبیه سازی در بسیاری از متون شامل مدل سازی سیستم های طبیعی و سیستم های انسانی استفاده می شود. برای به دست آوردن بینش به كاركرد این سیستم ها و همچنین در تكنولوژی و مهندسی ایمنی كه هدف، آزمون بعضی سناریوهای عملی در دنیای واقعی است از شبیه سازی استفاده می شود. در شبیه سازی با استفاده از یك شبیه ساز یا وسیله دیگری در یك موقعیت ساختگی می توان اثرات واقعی بعضی شرایط احتمالی را بازسازی كرد.
▪ شبیه سازی فیزیكی و متقابل
ـ شبیه سازی فیزیكی ، به شبیه سازی اطلاق می شود كه در آن اشیای فیزیكی به جای شی حقیقی جایگزین می شوند و این اجسام فیزیكی اغلب به این خاطر استفاده می شوند كه كوچكتر یا ارزان تر از شی یا سیستم واقعی هستند.
ـ شبیه سازی متقابل كه شكل خاصی از شبیه سازی فیزیكی است و غالباً به انسان در شبیه سازی های حلقه ای اطلاق می شود یعنی شبیه سازی های فیزیكی كه شامل انسان می شوند مثل مدل استفاده شده در شبیه ساز پرواز.
▪ شبیه سازی در آموزش
شبیه سازی اغلب در آموزش پرسنل شهری و نظامی استفاده می شود و معمولاً هنگامی رخ می دهد كه استفاده از تجهیزات در دنیای واقعی از لحاظ هزینه كمرشكن یا بسیار خطرناك است تا بتوان به كارآموزان اجازه استفاده از آن ها را داد . در چنین موقعیت هایی كارآموزان وقت خود را با آموزش دروس ارزشمند در یك محیط مجازی « ایمن » می گذرانند. غالباً این اطمینان وجود دارد تا اجازه خطا را به كارآموزان در طی آموزش داد تا ارزیابی سیستم ایمنی– بحران صورت گیرد.
شبیه سازی های آموزشی به طور خاص در یكی از چهار گروه زیر قرار می گیرند :
ـ شبیه سازی زنده ( جایی كه افراد حقیقی از تجهیزات شبیه سازی شده ( یا آدمك ) در دنیای واقعی استفاده می كنند. )
ـ شبیه سازی مجازی ( جایی كه افراد حقیقی از تجهیزات شبیه سازی شده در دنیای شبیه سازی شده ( یا محیط مجازی ) استفاده می كنند. ) یا
ـ شبیه سازی ساختاری ( جایی كه افراد شبیه سازی شده از تجهیزات شبیه سازی شده در یك محیط شبیه سازی شده استفاده می كنند. ) شبیه سازی ساختاری اغلب به عنوان بازی جنگی نامیده می شود زیرا كه شباهتهایی با بازی های جنگی رومیزی دارد كه در آن ها بازیكنان، ارتش سربازان و تجهیزات را اطراف یك میز هدایت می كنند .

sajadhoosein
15-02-2011, 11:09
پیدایش مثلثات


تاریخ علم به آدمی یاری می رساند تا «دانش» را از «شبه دانش» و «درست» را از «نادرست» تشخیص دهد و در بند خرافه و موهومات گرفتار نشود. در میان تاریخ علم، تاریخ ریاضیات و سرگذشت آن در بین اقوام مختلف ، مهجور واقع شده و به رغم اهمیت زیاد، از آن غافل مانده اند. در نظر داریم در این فضای اندك و در حد وسعمان برخی از حقایق تاریخی( به خصوص در مورد رشته ریاضیات) را برایتان روشن و اهمیت زیاد ریاضی و تاریخ آن را در زندگی روزمره بیان كنیم.
برای بسیاری از افراد پرسش هایی پیش می آید كه پاسخی برای آن ندارند: چه شده است كه محیط دایره یا زاویه را با درجه و دقیقه و ثانیه و بخش های شصت شصتی اندازه می گیرند؟ چرا ریاضیات با كمیت های ثابت ادامه نیافت و به ریاضیات با كمیت های متغیر روی آوردند؟ مفهوم تغییر مبناها در عدد نویسی و عدد شماری از كجا و به چه مناسبت آغاز شد؟ یا چرا در سراسر جهان عدد نویسی در مبنای ۱۰ را پذیرفته اند، با اینكه برای نمونه عدد نویسی در مبنای ۱۲ می تواند به ساده تر شدن محاسبه ها كمك كند؟ ریاضیات از چه بحران هایی گذشته و چگونه راه خود را به جلو گشوده است؟ چرا جبر جانشین حساب شد، چه ضرورت هایی موجب پیدایش چندجمله ای های جبری و معادله شد؟ و… برای یافتن پاسخ های این سئوالات و هزاران سئوال مشابه دیگر در كلیه رشته ها، تلاش می كنیم راه را نشان دهیم، پیمودن آن با شماست…
● پیدایش مثلثات
از نامگذاری «مثلثات» می توان حدس زد كه این شاخه از ریاضیات دست كم در آغاز پیدایش خود به نحوی با «مثلث» و مسئله های مربوط به مثلث بستگی داشته است. در واقع پیدایش و پیشرفت مثلثات را باید نتیجه ای از تلاش های ریاضیدانان برای رفع دشواری های مربوط به محاسبه هایی دانست كه در هندسه روبه روی دانشمندان بوده است.
در ضمن دشواری های هندسی، خود ناشی از مسئله هایی بوده است كه در اخترشناسی با آن روبه رو می شده اند و بیشتر جنبه محاسبه ای داشته اند. در اخترشناسی اغلب به مسئله هایی بر می خوریم كه برای حل آنها به مثلثات و دستورهای آن نیازمندیم. ساده ترین این مسئله ها، پیدا كردن یك كمان دایره (بر حسب درجه) است، وقتی كه شعاع دایره و طول وتر این كمان معلوم باشد یا برعكس، پیدا كردن طول وتری كه طول شعاع دایره و اندازه كمان معلوم باشد. می دانید سینوس یك كمان از لحاظ قدر مطلق برابر با نصف طول وتر دو برابر آن كمان است. همین تعریف ساده اساس رابطه بین كمان ها و وترها را در دایره تشكیل می دهد و مثلثات هم از همین جا شروع شد.
كهن ترین جدولی كه به ما رسیده است و در آن طول وترهای برخی كمان ها داده شده است متعلق به هیپارك، اخترشناس سده دوم میلادی است و شاید بتوان تنظیم این جدول را نخستین گام در راه پیدایش مثلثات دانست. منه لائوس ریاضیدان و بطلمیوس اخترشناس (هر دو در سده دوم میلادی) نیز در این زمینه نوشته هایی از خود باقی گذاشته اند. ولی همه كارهای ریاضیدانان و اخترشناسان یونانی در درون هندسه انجام گرفت و هرگز به مفهوم های اصلی مثلثات نرسیدند.
نخستین گام اصلی به وسیله آریابهاتا، ریاضیدان هندی سده پنجم میلادی برداشته شد كه در واقع تعریفی برای نیم وتر یك كمان _یعنی همان سینوس- داد. از این به بعد به تقریب همه كارهای مربوط به شكل گیری مثلثات (چه در روی صفحه و چه در روی كره) به وسیله دانشمندان ایرانی انجام گرفت.
خوارزمی نخستین جدول های سینوسی را تنظیم كرد و پس از او همه ریاضیدانان ایرانی گام هایی در جهت تكمیل این جدول ها و گسترش مفهوم های مثلثاتی برداشتند. مروزی جدول سینوس ها را تقریبا ۳۰ درجه به ۳۰ درجه تنظیم كرد و برای نخستین بار به دلیل نیازهای اخترشناسی مفهوم تانژانت را تعریف كرد.
جدی ترین تلاش ها به وسیله ابوریحان بیرونی و ابوالوفای بوزجانی انجام گرفت كه توانستند پیچیده ترین دستورهای مثلثاتی را پیدا كنند و جدول های سینوسی و تانژانتی را با دقت بیشتری تنظیم كنند. ابوالوفا با روش جالبی به یاری نابرابری ها توانست مقدار سینوس كمان ۳۰ دقیقه را پیدا كند و سرانجام خواجه نصیرالدین طوسی با جمع بندی كارهای دانشمندان ایرانی پیش از خود نخستین كتاب مستقل مثلثات را نوشت.
بعد از طوسی، جمشید كاشانی ریاضیدان ایرانی زمان تیموریان با استفاده از روش زیبایی كه برای حل معادله درجه سوم پیدا كرده بود، توانست راهی برای محاسبه سینوس كمان یك درجه با هر دقت دلخواه پیدا كند. پیشرفت بعدی دانش مثلثات از سده پانزدهم میلادی و در اروپای غربی انجام گرفت. یك نمونه از مواردی كه ایرانی بودن این دانش را تا حدودی نشان می دهد از این قرار است: ریاضیدانان ایرانی از واژه «جیب» (واژه عربی به معنی «گریبان») برای سینوس و از واژه «جیب تمام» برای كسینوس استفاده می كردند.
وقتی نوشته های ریاضیدانان ایرانی به ویژه خوارزمی به زبان لاتین و زبان های اروپایی ترجمه شد، معنای واژه «جیب» را در زبان خود به جای آن گذاشتند: سینوس. این واژه در زبان فرانسوی همان معنای جیب عربی را دارد. نخستین ترجمه از نوشته های ریاضیدانان ایرانی كه در آن صحبت از نسبت های مثلثاتی شده است، ترجمه ای بود كه در سده دوازدهم میلادی به وسیله «گرادوس كره مونه سیس» ایتالیایی از عربی به لاتینی انجام گرفت و در آن واژه سینوس را به كار برد. اما درباره ریشه واژه «جیب» دو دیدگاه وجود دارد: «جیا» در زبان سانسكریت به معنای وتر و گاهی «نیم وتر» است.
نخستین كتابی كه به وسیله فزازی (یك ریاضیدان ایرانی) به دستور منصور خلیفه عباسی به زبان عربی ترجمه شد، كتابی از نوشته های دانشمندان هندی درباره اخترشناسی بود. مترجم برای حرمت گذاشتن به نویسندگان كتاب، «جیا» را تغییر نمی دهد و تنها برای اینكه در عربی بی معنا نباشد، آن را به صورت «جیب» در می آورد. دیدگاه دوم كه منطقی تر به نظر می آید این است كه در ترجمه از واژه فارسی «جیپ»- بر وزن سیب- استفاده شد كه به معنی «تكه چوب عمود» یا «دیرك» است. نسخه نویسان بعدی كه فارسی را فراموش كرده بودند و معنای «جیپ» را نمی دانستند، آن را «جیب» خواندند كه در عربی معنایی داشته باشد.
منبع:سازمان آموزش و پرورش استان خراسان

sajadhoosein
15-02-2011, 11:17
واژه ریاضیات و بهترین واژه جایگزین آن


واژه ریاضیات ، به جای واژه یونانی (( ماته ماتیکه )) Mathematike گذاشته شده است که خود از (( ماته ما )) Mathema به معنای (( دانش )) و (( دانایی )) آمده است.اغلب ، واژه (( ریاضیات )) را ، برگرفته از واژه (( ریاضت )) دانسته اند ؛ چرا که (( ریاضت )) تنها به معنای (( پرهیزکاری بدنی )) نیست و (( در خود فرو رفتن )) و (( فهمیدن )) و (( رسیدن به رازها )) را هم می رساند.
دیدگاه های دیگری هم وجود دارد. بسیاری از زبانشناسان، با بحث های زبان شناختی نتیجه می گیرند ، (( ماته ما )) همان واژه ایرانی (( مزدا )) است که همان معنای واژه یونانی را دارد : (( دانا )) و (( آگاه )). دیدگاه سوم ، معتقد است که واژه (( ریاضی )) از واژه فارسی (( راز )) به معنای (( اندازه گرفتن )) آمده است. این واژه هنوز در واژه های (( تراز )) و (( ترازو )) با حفظ معنای خود باقی مانده است. در واژه (( ترازو )) ، (( ترا )) به معنای (( از این سو و آن سو )) ، (( راز )) به معنای (( اندازه گیری )) است . پسوند (( او )) در بسیاری جاها در زبان فارسی ، به معنای (( بسیار )) به کار رفته است. به این ترتیب ، (( ترازو )) یعنی : (( اندازه گیری و مقایسه بسیار )) . در ضمن ، واژه (( مر )) در زبان فارسی ( که در واژه های (( شمر )) و (( شمردن )) وجود دارد ) ، به معنای (( شمردن )) و (( محاسبه کردن )) است.بدین ترتیب ، اینان ، به جای واژه (( ریاضیات )) ، واژه (( رازومَر )) را پیشنهاد می کنند که درست به معنای (( اندازه گرفتن و شمردن )) است و اگر ریاضیات را (( دانش رابطه های کمیتی و شکل های فضایی )) بدانیم ، واژه (( رازومر )) می تواند انتخاب درستی باشد.
اگر واژه (( ریاضیات )) را ( که نه در ترکیب زیباست و نه بروشنی معرف یکی از دانش هاست ) ، برگرفته از واژه (( ریاضت )) فرض کنیم ، می تواند اثری منفی در علاقه مندان به این دانش بگذارد؛ زیرا همگان (( ریاضت )) را به معنای (( سختی کشیدن )) ، (( در انزوا فرو رفتن )) و (( فشار بیش از اندازه به خود می دانند )) ، که با ماهیت دانش ریاضی سازگاری ندارد. این تعبیر ، شبیه تعبیری است که برخی بر واژه (( جبر )) می آورند و آن را به معنای (( زور و فشار )) می دانند ، در حالی که خوارزمی ، واژه (( جبر )) را به معنای (( جبران کردن )) گرفته است؛ چرا که به تعبیر خوارزمی و به زبان امروزی ، می توان عدد منفی را از یک طرف معادله ، به طرف دیگری برابری برد تا مقداری مثبت شود ( یعنی جبران شود ). در مصراع : “که جبر خاطر مسکین بلا بگرداند ” ، واژه (( جبر )) درست به همین معنای (( جبران کردن )) به کار رفته است. جدا از این بحث که (( ماته ما )) از (( مزدا )) گرفته شده است یا ریاضیات از واژه (( راز )) آمده است، به نظر می رسد ، اگر قرار باشد واژه ای فارسی به جای واژه (( ریاضیات )) انتخاب شود ، بهترین پیشنهاد ، همان واژه (( رازومَر ))باشد که هم زیباست و هم از نظر معنا ، با واژه (( ریاضیات )) سازگار است.
علی رضا نادری منبع : برگرفته شده از کتاب “فرهنگ ریاضیات ” - ( انتشارات مدرسه )

sajadhoosein
15-02-2011, 11:25
مقیاس و عدم حتمیت

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

ما در جهانی زندگی می کنیم که اشیا و حوادث پیرامونمان از کفیت های گوناگونی بخوردارند. اموری که هرروزه با آنها مواجه می شویم هرگز از حتمیت برخوردار نیستند. به عنوان مثال در اندازه گیری فاصله ی بین دو نقطه اگر فاصله ی بین دو شهر یا کشور مطرح است از مقیاس کیلومتر و مایل استفاده می شود اما برای اندازه گیری فاصله ی دو نقطه در دستگاه مختصات دکارتی در صفحه ی دفترمان از مقیاس سانتی متر بهره می گیریم و یا در اندازه گیری ضخامت یک برگ کاغذ مقیاس میلی متر را مورد استفاده قرار می دهیم. همان طور که می بینید از هر مقیاس متناسب با زمینه ی کاری خود استفاده می کنیم . از طرف دیگر هر اندازه یک مقیاس را کوچک کنیم باز هم کمیت های قابل اندازه گیری موجوداند که به مقیاسی کوچکتر نیاز دارند به همین ترتیب کمیت هایی وجود دارد که برای سنجش آن ها مقیاس بزرگتری مورد نیاز است مثلا در علوم کامپیوتری از مقیاس های کیلوبایت ، مگا بایت و … استفاده می شود. بدین ترتیب اندازه گیری های ما هرگز از حتمیت برخوردار نیستند و زمانی که عدد حاصل از یک اندازه گیری ۱۲ است بدون دانستن مقیاس به کار رفته در اندازه گیری هیچ اظهار نظری نمی توان داشت.البته این عدم حتمیت در علومی که مفاهیم مربوط به آن ها قابلیت کمی شدن ندارند بیشتر به چشم می خورد. به عنوان مثال می توان از علوم جامعه شناسی و روانشناسی که در رابطه ی مستقیم با انسان و رفتار های انسانی قرار دارند نام برد. تا کنون تلاش های بسیاری جهت استخراج قوانین علمی دقیق برای برای انسان و جامعه به عمل آمده است که هیچ یک قادر به محو کردن عدم حتمیت نبوده اند. به این ترتیب باید به دنبال راهی باشیم تا در استدلال های منطقی خود عدم حتمیت را به حداقل برسانیم.

sajadhoosein
15-02-2011, 12:28
لگاریتم و کاربردهای آن در زندگی



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نظریه ها و قاعده های ریاضی، با کشف خود «هستی» پیدا می کنند، آن ها تنها وجود دارند و اغلب بدون کاربردند. دیر یا زود، و گاهی بعد از صدها و هزارها سال، این موجودات ریاضی به «صفت» تبدیل می شوند و کاربرد خود را در زندگی و عمل، در سایر دانش ها، در صنعت و هنر پیدا می کنند.«اویلر» ¼br> ¼br> شاید ۳۸۰ سال پیش کسی فکر نمی کرد لگاریتمی که در رابطه با نیاز محاسبات عملی کشف شد در آینده کاربردهای وسیعی پیدا کند.
شاید هیچوقت کپلر فکر نمی کرد که جدول هایی را که برای ساده کردن محاسبات طولانی در تعیین مدار مریخ و یا کارهای اخترشناسی دیگرش تنظیم کرد، جرقه ای این چنین را در ریاضیات ایجاد کند.
یا شاید لاپلاسی که گفت: “لگاریتم طول زندگی اخترشناسان را چند برابر کرد” نمی دانست که نه تنها طول زندگی اخترشناسان بلکه دریانوردان، بازرگانان، موسیقیدانان، شیمیدانان، ریاضیدانان، زمین شناسان و حتی همه ی انسان های کره ی زمین را چند برابر کرد.
بدیهی است که تا نیاز به چیزی احساس نشود آن چیز کشف و اختراع نمی گردد، در واقع هرکدام از علومی که با آن روبه رو هستیم هریک به مقتضای نیازی و با توجه به هدف خاصی پیکر بندی شده اند.
لگاریتم نیز با توجه به محاسبه های طولانی و ملال آوری که دانشمندان سده های شانزدهم و هفدهم میلادی با آن سر و کار داشتند، بوجود آمد. این محاسبه ها وقت و نیروی زیادی را از دانشمندان تلف می کرد و همیشه دانشمندان در ذهن داشتند که چطور می شود بدون انجام چنین محاسبات پیچیده و دشواری و آن هم در کمترین زمان ممکن به جواب مطلوب دست یابند. گفته می شود که حتی در قرن هشتم هندی ها با محاسبات مربوط به لگاریتم آشنایی داشتند اما این کلمه و مفهوم مربوط می شود به قرن شانزدهم .جدول هایی نیز در این زمینه بوجود آمد و شاید همین تلاش ها و نیازها بود که سر انجام به کشف لگاریتم انجامید تا آن جا که دو دانشمند به طور همزمان و بدون اینکه از کار یکدیگر آگاه باشند موفق به کسب چنین افتخاری گشتند اولی جان نپر و دیگری بورگی.
اما اصطلاح لگاریتم نشات گرفته از فعالیت های نپر است که از واژه ی یونانی «لوگوس» به معنی نسبت و «ارتیوس» به معنی عدد گرفته شده است. او همچنین بجای لگاریتم از اصطلاح عدد ساختگی نیز استفاده می کرد. نپر چکیده ی کارهای خود را در کتابی با عنوان «شرح جدول های عجیب لگاریتمی» چاپ کرد و به دنیا نمایاند.
عدد e (مبنای لگاریتم طبیعی) نیز در چنین سال هایی چشم به جهان و جهانیان گشود. گفته می شود کاشف عددe آن گونه که برخی می پندارنداویلر نبوده است بلکه خود نپر بحث مربوط به لگاریتم طبیعی و عدد e را در یکی از نوشته هایش پیش کشیده است.
بعد از آشکار شدن لگاریتم به جهانیان ابزارهایی برای آسانتر کردن محاسبات لگاریتمی کشف شد که از آن جمله می توان به خط کش لگاریتمی ساخته ی گونتر انگلیسی اشاره نمود. امروزه نیز با استفاده از ماشین حساب و با فشردن یک کلید میتوان عمل لگاریتم گرفتن را به آسانی و سرعت انجام داد.
با ورود لگاریتم به دنیای ریاضیات و آشنا شدن مردم و دانشمندان با آن، این شاخه کاربردهای زیادی را در زندگی روزمره پیدا کرد. چنانکه امروزه لگاریتم در حسابداری و در تعیین بهره ی مرکب و نیز مسائل مالی کاربرد فراوانی یافته است. همان زمان که لگاریتم اختراع شده بود اویلر رابطه ی بین عدد e و بهره ی مرکب را دریافت و فهمید که حد بهره به سمت عددی متناسب (یا مساوی در شرایط خاص) ، که همان عدد e است میل می کند. همچنین از لگاریتم در مدلسازی و بازار یابی سهمی استفاده می شود. مدلسازی ایجاد الگو و تمثیلی برای تجسم واقعیت های خارجی است که در مسائل مربوط به ریاضیات و حسابداری کاربرد دارد.

---------- Post added at 01:28 PM ---------- Previous post was at 01:27 PM ----------

درادامه ی مبحث کاربردهای لگاریتم شاید جالب باشد که بدانیم لگاریتم درهنرنیزکاربرد پیدا می کند. میدانیم درموسیقی برای بیان فشارصوت از دسیبل(Decibel ) استفاده می شود. اصطلاح دسیبل که در بسیاری از مباحث فیزیک موسیقی و نیز به هنگام استفاده از اعمال ضبط و افکت در استودیوهای موسیقی کاربرد دارد در واقع از یک محاسبه ی لگاریتمی فوق العاده آسان قابل محاسبه است.
اصطلاح دسیبل برای مقایسه ی نسبت بین دو مقدار در علوم فیزیک، الکترونیک و بسیاری از رشته های مهندسی استفاده می شود. گفتیم دسیبل در فیزیک صوت کاربرد زیادی دارد، یکی از دلایل استفاده از لگاریتم در این شاخه این است که از آن جایی که هر دو مقداری که قرار است با هم مقایسه شوند دارای ابعاد فیزیکی یا دیمانسیون(Dimention) یکسان هسنتد خارج قسمت آن ها عدد خالص و بدون واحد است، لذا می توان از خارج قسمت آن ها لگاریتم گرفت تا بتوان ساده تر مقادیر بسیار کوچک یا بسیار بزرگ را با هم مقایسه کرد، بدون این که از رقم ها و عددهای بزرگ و کوچک استفاده شود.
بعبارتی دیگر می توان گفت دسیبل واحدی است برای تغییر حجم صدا. البته قبلا برای این کار از واحد بل(مخترع تلفن) استفاده می شد.
کاربردهای لگاریتم در موسیقی در این جا پایان نمی یابد. مثلا لگاریتم در بیان سطح فشار صوت (Sound pressure level) کاربرد می یابد که در آن از معیاری به نام SPL یا سطح فشار صوت استفاده می شود.
همچنین، ساوار موسیقیدان و فیزیکدان فرانسوی که واحد سنجش فواصل موسیقی به نام اوست با استفاده از یکی از خاصیت های لگاریتم(لگاریتم حاصلضرب برابرست با حاصل جمع لگاریتم ها) توانست فواصل موسیقی را با هم جمع یا تفریق کند. بعدها برای اینکه جمع و تفریق آن ها از حالت اعشاری خارج شود واحد «سناوار» را مرسوم کردند.
از مهمترین کاربردهای لگاریتم میتوان به کاربرد آن در علم زلزله شناسی اشاره نمود. مشکلات زیادی در اندازه گیری بیشینه ی دامنه وجود داشت که به توصیه ی گوتنبرگ دانشمند برجسته ی زمین لرزه شناسی اندازه گیری آن بصورت لگاریتم اعشاری انجام شد، امروزه در رابطه ی مقیاس بندی ریشتر و محاسبه ی بزرگی زلزله به لگاریتم بر می خوریم. سال ها بعد چارلز ریشتر زلزله شناس آمریکایی یک مقیاس لگاریتمی را برای سنجش زلزله تعیین کرد که هنوز هم مورد استفاده است و به نام خودش(ریشتر) معروف است. زلزله شناسان نیز انرژی آزاد شده بوسیله ی زلزله، دامنه و فاصله ی زلزله (کانون زلزله) را با محاسبات لگاریتمی اندازه گیری می کنند. البته بزرگی زلزله یک درجه ی قرار داری است اما می توان از طریق آن و بطور نسبی زمین لرزه ها را با یکدیگر مقایسه نمود.
اما باید گفت پرکاربرد ترین علمی که از لگاریتم در آن استفاده می شود شیمی تجزیه است. در شیمی تجزیه بارها و بارها با لگاریتم و عمل لگاریتم گیری مواجه می شویم از آن جمله می توان به استفاده از لگاریتم در اندازه گیری PH ، توابعP ،معادله ی دبای-هوکل که با استفاده از آن می توان ضرایب فعالیت یون ها را از طریق بار و میانگین اندازه ی آن ها محاسبه کرد اشاره نمود.
کاربردهای لگاریتم تنها به موارد اشاره شده در این مقاله ختم نمی شود چنانچه لگاریتم در علوم زیستی، نجوم و در اخترشناسی جهت اندازه گیری فاصله بین ستارگان و سیاره ها، آمار، علوم کامپیوتر، زمین شناسی و… نیز کاربرد می یابد ، چه بسا کاربردهای دیگری را که در آینده از لگاریتم شاهد خواهیم بود.

sajadhoosein
15-02-2011, 12:44
آیا صفر یعنی هیچ؟

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

آرام در کنار آنها نشستم و با علامت دست خواهش کردم بحث خود را ادامه دهند. سه نفر بودند ؛ توکا ، کبوتر و آرش … کبوتر با هیجان و اندکی خشم گفت: - هر چیزی را که نمی شود معنا کرد؛ “بالا” یعنی بالا و “پایین” یعنی پایین. بعد سرش را به طرف توکا برگرداند و گفت: - سرت را بالا بگیر . توکا از روی صندلی بلندشد، ایستاد و سرش را به طرف آسمان گرفت. – حالا ، آرش ، تو سرت را پایین بگیر. آرش بلند شد، کف دو دستش را روی زمین گذاشت و با حرکتی تند، تلاش کرد پاهایش را به طرف آسمان ببرد و روی دو دست خود بایستد ( مثل کسانی که آکروبات می کنند) ولی نتوانست و از سمت دیگر افتاد و پشتش محکم به زمین خورد. فریادی کشید و گفت: - چه کار سختی ؟ من نمی توانم . ولی کبوتر خشمگین تر به او گفت: - چرا خودت را به سادگی می زنی؟ همان جور که روی دو پایت ایستاده ای ، می توانی سرت را “بالا” بگیری؛ به طرف آسمان .( و ادامه داد) می بینید، “بالا” یعنی به طرف آسمان و طرف ستارگان و “پایین” یعنی به طرف زمین . این را همه می فهمند.

آرش زمزمه کرد: - ولی آسمان و ستارگان ، فقط “بالا” نیستند؛ حتی در “پایین” هم ، آسمان و ستاره است. پس به نظر تو “بالا” یعنی جایی که می تواند”پایین” یا “سمت راست” یا “سمت چپ” یا “روبه رو” و “پشت سرهم” باشد؟ توکا دخالت کرد: - “پایین” جایی است که همه چیز به طرف آن می افتد. کبوتر پذیرفت . ولی توکا ادامه داد: - پس آن طور که خیال می کنیم، نمی توان گفت :”بالا” یعنی بالا و “پایین” یعنی پایین . هر چیزی نیاز به تعریف دارد. ولی آرش موضوع را پیچیده تر کرد: - این درست! ما در ایران که در نیمکره شمالی هستیم، با آنها که از جمله در استرالیا ، یعنی نیمکره جنوبی هستند، در دو جهت مختلف ایستاده ایم ؛ “پایین” برای ما و برای آنها در دو جهت مخالف است. نمونه دیگری بیاوریم که در گفت و گوهای معمولی واژه های”بالا” و “پایین” معناهای دیگری هم دارند:”بالاتر از چهار راه” ، “پایین تر از فلان خیابان”.
این جا دیگر “بالا” و “پایین” به آن مفهومی که گفتیم، معنا نمی دهند . در ضمن ، اگر به کسی نشانی منزل خود را این طور بدهید:”پایین تر از چهارراه a و بالاتر از مغازه b ” ، در واقع او را سرگردان کرده اید. چهار خیابان یا کوچه در چهار راه a به هم می رسند؛ کدام طرف را بالا و کدام طرف را بالا و کدام طرف را پایین می دانید؟ … به هر حال ، برای درک آن در نظر گرفت . توکا گفت: من حرف دیگری دارم. – وقتی در هوای سرد زمستان ، نفس خود را بیرون می دهید، بخار آبی که از دهان شما خارج می شود، به طرف زمین نمی رود. وقتی کتری یا سماور می جوشد، باز هم بخار آب در جهت عکس می رود و به زمین نمی رسد. درست است که من گفتم :”پایین جایی است که همه چیز به طرف آن می افتد”؛ ولی مگر بخار آب جزو “همه چیز ” نیست؟ این مشکل را چگونه حل کنیم؟ کبوتر می اندیشید … بعد سرش را بالا گرفت و گفت: - مشکل دیگری هم هست .

من در یک فیلم که به یک سفینه واقعی فضایی مربوط بود، دیدم چیزی به طرف کف فضا پیما نمی افتد، همه چیز در هوا معلق می شود. نمی دانم در این باره چه بگویم؟ در آن “بالا” کجاست و “پایین” کجا؟ آرش دخالت کرد: - آن نقطه “صفر” است، مرز پایین و بالا است. نه بالایی وجود دارد و نه پایینی . کبوتر و توکا هر دو اعتراض داشتند. –”صفر ” یعنی چه ؟ مگر “صفر” به معنای “هیچ” نیست؟ چیزی که “هیچ” است، یعنی وجود ندارد. مگر می شود داوری خود را بر پایه “چیزی” بگذاریم که وجود ندارد؟ - سکوت! هر سه نفر رو به من کردند. می خواستند مشکل آنها را حل کنم . پرسیدم: - شماها به چه چیزی “واقعی”می گویید؟ از کجا بفهمیم” چه چیزی وجود دارد و چه چیزی وجود ندارد”؟ کبوتر: - چیزی “وجود دارد” که قابل لمس باشد، بتوان آن را “حس کرد، “وجودی” مادی باشد یا بشود آن را “شنید” یا “بویید”. “صفر ” نه قابل لمس است، نه قابل شنیدن و نه قابل بوییدن.

sajadhoosein
15-02-2011, 13:19
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] یک کاغذ را چند بار می توان تا کرد؟



این مسیله را همه ما تجربه کرده ایم اما شاید هیچ کدام از ما به طور جدی روی آن فکر نکرده باشیم.
اگر ورق را هر بار طوری تا کنید که اندازه آن نصف شود بیش از ۷ یا ۸ بار نمی توانید آن را تا کنید. مهم نیست ورق اولیه شما چقدر بزرگ باشد. شاید تا به حال این قضیه را شنیده باشید و سعی کرده باشید که آن را امتحان کنید و متوجه شده باشید که تا کردن کاغذ بیش از۷ یا ۸ بار بسیار سخت است. آیا می توان گفت که این اعداد یک محدودیت مستدل و عمومی برای تا کردن کاغذ هستند؟
فرض کنید شما کاغذی را انتخاب کرده اید که دارای پهنای w و ضخامت t است . اگر شما شروع به تا کردن ورق از یک سمت بکنید وقتی به جایی برسید که دیگر نتوانید کاغذ را تا کنید یک نوار باریک خواهید داشت.
با هر تا کردن ضخامت کاغذ دو برابر می شود و پهنای آن نصف خواهد شد. یعنی بعد از N بار تا کردن ضخامت ۲n خواهد بود و البته مشخص است که پهنا ۰.۵n می شود
اگر با کاغذی به پهنای ۱۱cm و ضخامت ۰.۰۰۲cm این کار را انجام دهید بعد از ۷ بار تا کردن نسبت t/w برابر ۱/۶ می شود. این بدان معنیست که اندازه ضخامت از پهنا بیشتر می شود و در نتیجه دیگر قادر به تا کردن کاغذ نخواهید بود. اگر این کاغذ را ۵۰ بار بزرگتر کنید شاید بتوانید آن را تا ۱۰ بار هم تا کنید.
اگر به صورت متناوب کاغذ را از عرض و طول تا کنید ممکن است تعداد دفعات بیشتری بتوانید به تا کردن کاغذ ادامه دهید. در این صورت هر بارضخامت دو برابر می شود در صورتی که پهنا هر دو دفعه یک بار نصف می شود.
چندین سال پیش هنگامی که بریتنی گالیوان در دبیرستان درس می خواند با این مسیله رو به رو شد که چگونه کاغذی را ۱۲ بار تا کند . او باید برای گرفتن نمره از یکی از کلاسهایش این مسیله را حل می کرد. بعد از آزمایش راه های مختلف او موفق شد که ورقه نازکی از طلا را ۱۲ بار تا کند. اما مسیله طرح شده در باره کاغذ بود و نه طلا.
گالیوان بر روی معادله تعداد دفعاتی که می توان یک کاغذ با اندازه معین را تا کرد کار کرد.
که در آن L کمترین درازای کاغذ، t میزان ضخامت کاغذ و n تعداد دفعاتی است که می توان کاغذ را تا کرد. واحد t و L باید یکسان باشد.
برای یک طول و ضخامت معین عبارت *******بیانگر آن است که صفحه بعد از n بار تا کردن چند برابر کوچک شده است. با n=۰ شروع می کنیم و به همین ترتیب به رشته ای از اعداد به این صورت می رسیم:
۰, ۱, ۴, ۱۴, ۵۰, ۱۸۶, ۷۱۴, ۲۷۹۴, ۱۱۰۵۰, ۴۳۹۴۶, ۱۷۵۲۷۴, ۷۰۰۰۷۴, ۲۷۹۸۲۵۰, . . .
این به این معنی است که در تای دوازدهم ۲۷۹۸۲۵۰ برابر مقدار کاغذی که در تای اول از دست می رود از دست خواهد رفت.
گالیوان در کتابی با نام ((Historical Society of Pomona Valley)) چگونگی به دست آوردن این معادله و تلاشش برای حل مشکل را توضیح داده است. بالاخره در June ۲۰۰۲ گالیوان یک کاغذ بزرگ را ۱۲بار تا کرد.
راستی اگر از دید دیگری مسیله را نگاه کنیم باز هم جالب خواهد بود. منظورم این است که اگر تا کردن کاغذ را با ارتفاع بسنجیم بعد از ۱۰ بار تا کردن ضخامت کاغذ بدست آمده ۱۰۲۴ برابر حالت اولیه می شود و در مرحله ۱۱ ام۲۰۴۸ و در مرحله ۱۲ ام ۴۰۹۶
یعنی در مرحله دوازدهم باید ۴۰۹۶ برگ را تا کنیم که ضخامتی برابر با حدود ۵۰ سانتی متر که کار خیلی دشوار و تقریبا ناممکن است.

sajadhoosein
15-02-2011, 13:40
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تصاعد !!



در کشور ما ایران در سده های چهارم و پنجم هجری ، بسیاری از ریاضی دانان ایرانی ، به بررسی تصاعد ها پرداخته‌ اند از جمله « ابوریحان بیرونی » در کتاب خود به نام « آثار الباقیه عن القرون الخالیه » مسیله معروف صفحه شطرنج را که در واقع مسیله ای مربوط به یک تصاعد هندسی است که جمله ی اول آن واحد و تعداد جمله ها ۶۴ باشد ، حل کرده است و با استدلال دقیق ، مجموع جمله های این تصاعد را به دست آورده است
۱۸۴۴۶۷۴۴۰۷۳۵۵۱۶۱۵
درباره صفحه شطرنج ، روایتی وجود دارد . وقتی مخترع شطرنج ، کشف خود را به شاه عرضه کرد ، شاه از اوخواست پاداشی بخواهد ، دانشمند پاسخ داد : به خاطر خانه اول شطرنج ، یک دانه گندم به من بدهید و به خاطر خانه دوم دو دانه‌ی گندم و به خاطر خانه سوم چهار دانه‌ی گندم و همینطور برای هر خانه دو برابر خانه‌ی پیش از آن گندم به من بدهید تا به خانه شصت و چهارم برسد . شاه با ساده لوحی فرمان داد یک کیسه گندم به این مرد بدهید . ولی او نپذیرفت و تقاضا کرد پس از محاسبه دقیق ، گندم را به او بدهند و پس از محاسبه، عددی را که در بالا آوردیم پیدا شد .که اگردر تمام سطح کره زمین (یعنی هر جا که خشکی باشد ) گندم بکارند این مقذار گندم به دست نمی آید. ابوریحان بیرونی با استدلال به این نتیجه رسید که مقدار گندم ها برابر ۲۶۴-۱ و برای محسوس کردن این عدد می گوید:در سطح کره مین ۲۳۰۵ کوه را در نظر می گیریم ، اگر از هر کوه ۱۰۰۰۰رود جاری شود ، در طول رود خانه ۱۰۰۰قطار قاطر حرکت کند و هرقطار شامل ۱۰۰۰قاطر باشد و بر هر قاطر ۸ کیسه گندم قرار داده باشیم . ودر هر کیسه ۱۰۰۰۰دانه گندم باشد . آن وقت عدد همه‌ی این گندم ها از تعداد گندم های صفحه شطرنج کوچکترمی شود.
به نظر شما جالب نیست؟

sajadhoosein
15-02-2011, 13:46
منطق فازى



از آن زمان که انسان اندیشیدن را آغاز کرد، همواره کلمات و عباراتى را بر زبان جارى ساخته که مرزهاى روشنى نداشته اند. کلماتى نظیر «خوب»، «بد»، «جوان»، «پیر»، «بلند»، «کوتاه»، «قوى»، «ضعیف»، «گرم»، «سرد»، «خوشحال»، «باهوش»، «زیبا» و قیودى از قبیل «معمولاً»، «غالباً»، «تقریباً» و «به ندرت». روشن است که نمى توان براى این کلمات رمز مشخصى یافت، براى مثال در گزاره «على باهوش است» یا «گل رز زیباست» نمى توان مرز مشخصى براى «باهوش بودن» و «زیبا بودن» در نظر گرفت. اما در بسیارى از علوم نظیر ریاضیات و منطق، فرض بر این است که مرزها و محدوده هاى دقیقاً تعریف شده اى وجود دارد و یک موضوع خاص یا در محدوده آن مرز مى گنجد یا نمى گنجد. مواردى چون همه یا هیچ، فانى یا غیرفانى، زنده یا مرده، مرد یا زن، سفید یا سیاه، صفر یا یک، یا «این» یا «نقیض این» . در این علوم هر گزاره اى یا درست است یا نادرست، پدیده هاى واقعى یا «سفید» هستند یا «سیاه» .
این باور به سیاه و سفیدها، صفر و یک ها و این نظام دو ارزشى به گذشته بازمى گردد و حداقل به یونان قدیم و ارسطو مى رسد. البته قبل از ارسطو نوعى ذهنیت فلسفى وجود داشت که به ایمان دودویى با شک و تردید مى نگریست. بودا در هند، پنج قرن قبل از مسیح و تقریباً دو قرن قبل از ارسطو زندگى مى کرد. اولین قدم در سیستم اعتقادى او گریز از جهان سیاه و سفید و برداشتن این حجاب دوارزشى بود. نگریستن به جهان به صورتى که هست. از دید بودا جهان را باید سراسر تناقض دید، جهانى که چیزها و ناچیزها در آن وجود دارد. در آن گل هاى رز هم سرخ هستند و هم غیرسرخ. در منطق بودا هم A داریم هم نقیض A. در منطق ارسطو یا A داریم یا نقیض A منطق (A یا نقیض A) در مقابل منطق (A و نقیض A). منطق این یا آن ارسطو در مقابل منطق تضاد بودا.
منطق ارسطو اساس ریاضیات کلاسیک را تشکیل مى دهد. براساس اصول و مبانى این منطق همه چیز تنها مشمول یک قاعده ثابت مى شود که به موجب آن یا آن چیز درست است یا نادرست. دانشمندان نیز بر همین اساس به تحلیل دنیاى خود مى پرداختند. گرچه آنها همیشه مطمین نبودند که چه چیزى درست است و چه چیزى نادرست و گرچه درباره درستى یا نادرستى یک پدیده مشخص ممکن بود دچار تردید شوند، ولى در یک مورد هیچ تردیدى نداشتند و آن اینکه هر پدیده اى یا «درست» است یا «نادرست».
هر گزاره، قانون و قاعده اى یا قابل استناد است یا نیست. بیش از دو هزار سال است که قانون ارسطو تعیین مى کند که از نظر فلسفى چه چیز درست است و چه چیز نادرست. این قانون «اندیشیدن» در زبان، آموزش و افکار ما رسوخ کرده است.
منطق ارسطویى دقت را فداى سهولت مى کند. نتایج منطق ارسطویى، «دوارزشى»، «درست یا نادرست»، «سیاه یا سفید» و «صفر یا یک» مى تواند مطالب ریاضى و پردازش رایانه اى را ساده کند. مى توان با رشته اى از صفر و یک ها بسیار ساده تر از کسرها کار کرد. اما حالت دوارزشى نیازمند انطباق ورزى و از بین بردن زواید است. به عنوان مثال هنگامى که مى پرسید: آیا شما از کار خود راضى هستید؟ نمى توان انتظار جواب بله یا خیر داشت، مگر آنکه با تقریب بالایى صحبت کنید. «سورن کیرکگارد» فیلسوف اگزیستانسیالیست، در سال ۱۸۴۳ کتابى در رابطه با تصمیم گیرى و آزاد اندیشى به نام «یا این یا آن» نوشت. او در این کتاب بشر را برده کیهانى انتخاب هاى «دودویى» در تصمیم گیرى هایش نامید. تصمیم گیرى به انجام یا عدم انجام کارى و تصمیم گیرى درباره بودن یا نبودن چیزى.
گرچه مى توان مثال هاى فراوانى را ذکر کرد که کاربرد منطق ارسطویى در مورد آنها صحیح باشد، اما باید توجه داشت که نباید آنچه را که تنها براى موارد خاص مصداق دارد به تمام پدیده ها تعمیم داد. در دنیایى که ما در آن زندگى مى کنیم، اکثر چیزهایى که درست به نظر مى رسند، «نسبتاً» درست هستند و در مورد صحت و سقم پدیده هاى واقعى همواره درجاتى از «عدم قطعیت» صدق مى کند. به عبارت دیگر پدیده هاى واقعى تنها سیاه یا تنها سفید نیستند، بلکه تا اندازه اى «خاکسترى» هستند. پدیده هاى واقعى همواره «فازى»، «مبهم» و «غیردقیق» هستند. تنها ریاضى بود که سیاه و سفید بود. این خود چیزى جز یک سیستم مصنوعى متشکل از قواعد و نشانه ها نبود. علم واقعیت هاى خاکسترى یا فازى را با ابزار سیاه و سفید ریاضى به نمایش مى گذاشت و این چنین بود که به نظر مى رسید واقعیت ها نیز تنها سیاه یا سفید هستند. بدین ترتیب در حالى که در تمامى جهان حتى یک پدیده را نمى توان یافت که صددرصد درست یا صددرصد نادرست باشد، علم با ابزار ریاضى خود همه پدیده هاى جهان را این طور بیان مى کرد. در این جا بود که علم دچار اشتباه شد. در منطق ارسطویى حالت میانه اى وجود ندارد و شیوه استدلال «قطعى و صریح» است. از طرف دیگر ریاضیات فازى بر پایه استدلال تقریبى بنا شده که منطبق با طبیعت و سرشت سیستم هاى انسانى است. در این نوع استدلال، حالت هاى صفر و یک تنها مرزهاى استدلال را بیان مى کنند و در واقع استدلال تقریبى حالت تعمیم یافته استدلال قطعى و صریح ارسطویى است.
در سال ۱۹۶۵، دکتر لطفی‌زاده نظریه سیستم‌های فازی را معرفی کرد. در فضایی که دانشمندان علوم مهندسی به دنبال روش‌های ریاضی برای شکست دادن مسایل دشوارتر بودند، نظریه فازی به گونه‌ای دیگر از مدل‌سازی، اقدام کرد.
منطق فازى، یک جهان بینى جدید است که به رغم ریشه داشتن در فرهنگ مشرق زمین با نیازهاى دنیاى پیچیده امروز بسیار سازگارتر از منطق ارسطویى است. منطق فازى جهان را آن طور که هست به تصویر مى کشد. بدیهى است چون ذهن ما با منطق ارسطویى پرورش یافته، براى درک مفاهیم فازى در ابتدا باید کمى تامل کنیم، ولى وقتى آن را شناختیم، دیگر نمى توانیم به سادگى آن را فراموش کنیم. دنیایى که ما در آن زندگى مى کنیم، دنیاى مبهمات و عدم قطعیت است. مغز انسان عادت کرده است که در چنین محیطى فکر کند و تصمیم بگیرد و این قابلیت مغز که مى تواند با استفاده از داده هاى نادقیق و کیفى به یادگیرى و نتیجه گیرى بپردازد، در مقابل منطق ارسطویى که لازمه آن داده هاى دقیق و کمى است، قابل تامل است.

sajadhoosein
15-02-2011, 13:59
کاربرد مثلث در موسیقی



مثلث از ابتدایی ترین اشکال هندسی بوده که انسانها در هنر از آن استفاده میکردند، بدون شک اولین نوع از انواع مثلث هم که در هنر از آن استفاده شده مثلث متساول الاضلاع بوده است. اهرام مصر نمونه بسیاری قدیمی (حدود ۲۸۰۰ سال پیش از میلاد) از کاربری مثلت در هنر معماری قدیم بوده است. نمونه های دیگر از استفاده از مثلث در هنر تمدن های قدیم را می تواند در کاشی کاری های دیواره معابد در نپال نیز مشاهده کرد.
معروف هست تالس (۶۴۰-۵۵۰ سال پیش از میلاد) که پدر ریاضیات، نجوم و فلسفه یونان باستان بوده از شاگردان خود می خواهد که به مصر سفر کنند تا از پیشرفت علوم در آن تمدن اطلاعات لازم را کسب کنند و فیثاغورث (Pythagoras) از اولین افرادی بوده که این دستور را می پذیرد و به مصر سفر میکند. فیثاغورث از بنیانگذاران علمی موسیقی در جهان بوده و اغلب از هندسه برای مدل کردن استفاده می کرده، می خواهیم با استفاده از تجربیات او سلسه مطالبی را پیرامون ارتباط موسیقی با علوم هندسه، فیزیک و ریاضی آغاز کنیم.
موسیقی را می توانیم به روشهای مختلف مدل کنیم برای شروع کار ساده ترین روش را انتخاب میکنم که عبارت است از مدل کردن عمودی موسیقی یاهمان هارمونی. این روش مدل کردن به موسیقیدان ها کمک می کند تا هنگام فکر یا گوش کردن به هارمونی تصویر بهتری از نت های موسیقی داشته باشند بخصوص برای نوازندگان سازغیر از پیانو.
یک دایره در نظر بگیرید و آنرا به دوازده قسمت مساوی (یک اکتاو کروماتیک) تقسیم کنید و نت ها را به ترتیب روی هر قسمت بنویسد مانند شکل. یکی از ساده ترین اشکال هندسی که در این دایره تقسیم شده می توان ساخت مثلت متساوی الاضلاع می باشد. که اگر آنرا بسازید و به آن دقت کنید تفسیر موسیقی آن یک آکورد افزوده خواهد بود. حتما” شنید که آکوردهای افزوده جدای از اینکه معکوس باشند یا نه چهار حالت بیشتر نیستند که دایره فوق این موضوع را بسادگی نمایش میدهد چرا که اگر راس بالایی مثلث را در جهت عقربه های ساعت حرکت دهیم تا رسیدن به نت E و انطباق دوباره روی خود، می تواند سه حالت دیگر را به خود بگیرد. همچنین به وضوح در شکل می توان دید که یک آکورد افزوده از سه فاصله (که در اینجا هرکدام یک ضلع مثلث هستند) یکسان معادل ۴ نیم پرده تشکیل شده است.

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

مثلث متساول الاضلاع معادل یک آکورد افزوده
شما باز هم می توانید مثلث های دیگری درست کنید. به شکل بعدی نگاه کنید که آکوردهای دو ماژور و لا مینور را نمایش میدهد. این دو مثلث (آکورد) خصوصیات جالبی دارند اولا” اضلاع آنها باهم برابر است، ثانیا” نسبت به خطی که از D کشیده میشود و به G# خطم میشود متقارن می باشند، حتما” می دانید که مینور نسبی گام دو ماژور، لامینور می باشد. به این طریق شما می توانید یک روش ساده برای پیدا کردن گامهای مینور و ماژور نسبی پیدا کنید، هر چند اینکار در پیانو بخاطر وضوح دیداری که چیدمان نت ها وجود دارد ساده می باشد.
مثلث های متساوی الساقین هم جالب هستند یکی از آنها آکورد sus۲ را تشکیل میدهد که در شکل مشاهده میکنید و همچنین میتوانید آکوردهای کاسته را نیز باز با یک مثلث متساوی الساقین درست کنید. اگر دقت کنید این مثلث متساوی الساقین حالت آکورد sus۲ برای C و حالت آکورد sus۴ برای G دارد. بنابراین می توان به ارتباط نزدیک آکوردهای sus> در حالت های ۲ و ۴ برای فاصله های پنجم با یکدیگر پی برد. این نکته هم جالب خواهد بود اگر شما راس D در این مثلث را نسبت به راس C قرینه کنید به آکورد sus۲ دیگری می رسید که یک پرده عقب تر است آکورد Csus۴قرار دارد.

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

آکوردهای بزرگ، کوچک، sus۲ و sus۴
شما می توانید دامنه مدل کردن را ادامه دهید و راجع به سایر مثلث ها فکر کنید، همچنین می توانید آکوردهای چهار صدایی را با انواع چهار ضلعی ها مدل کنید. سیوالی که پیش می آید این است که آیا هستند افرادی که با شنیدن موسیقی این اشکال در ذهن آنها نقش ببندد؟

sajadhoosein
15-02-2011, 14:22
اعداد اول
تعریف: عدد طبیعی p>1,pرا اول می نامند به شرطی که تنها مقسوم علیه های مثبت آن 1وp باشند. اگرعددی طبیعی وبزرگتر از 1 اول نباشد مرکب است.

قضیه 1: تعداد اعداد اول نامتناهی است.
آیا می توانید اثبات کنید که بینهایت عدد اول داریم؟
برهان: اول از همه باید بدانیم که اعداد طبیعی که تعداد آنها بینهایت است یا عددی اول هستند و یا اینکه حاصل ضربی از اعداد اول می باشند و از این دو حالت خارج نیست. حالا می خواهیم اثبات کنیم که تعداد اعداد اول بینهایت است. برای این کار از برهان خلف استفاده می کنیم یعنی فرض می کنیم اعداد اول متناهی هستند.حالا فرض می کنیم اعداد اولی که گفتیم تعداد آنها بینهایت نیست عبارتند از: P1وP2وP3و.....وPn
همان طور که قبلا گفتیم اعداد طبیعی یا عددی اول هستند و یا اینکه حاصل ضربی از اعداد اول می باشند(غیراز عددیک) و از این دو حالت خارج نیست و به عبارتی حاصل ضرب همه اعداد اول فرض شده ی بالا به اضافه ی یک بر هیچ یک از اون اعداد اول بخشپذیر نیست و این ممکن نیست که عددی وجود داشته باشد که نه اول باشد و نه حاصل ضربی از اعداد اول و به عبارتی به یک چیز نا ممکن رسیدیم، پس فرض مسئله اشتباه است و به عبارتی بینهایت عدد اول داریم.
خلاصه بحث: حکم را به روشی که منسوب به اقلیدس است اثبات می کنیم: فرض کنید تعداد اعداد اول متناهی و تعداد آنها n تا باشد . حال عدد M را که برابر حاصلضرب این اعداد به علاوه ی 1 را در نظر بگیرید. این عدد مقسوم علیهی غیر از آن n عدد دارد که با فرض در تناقض است. (البته شایان ذکر است که این قضیه اثبات های گوناگونی دارد که ما ساده ترین آنها را انتخاب کردیم اگر مایلید می توانید اثبات های دیگر آن را بیاورید).

قضیه 2:قضیه ی اساسی حساب: هر عدد طبیعی بزرگتر از 1 را به شکل حاصلضرب اعدادی اول نوشت.

قضیه 3: قضیه چپیشف: اگر n عددی طبیعی و بزرگتر از 2 باشد, حتما" بین n و 2n عدد اولی وجود دارد.


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


حدس گلدباخ

انگاره‌ی گلدباخ (حدس گلدباخ) از جمله معروف‌ترین مسایل حل نشده‌ی ریاضیات می‌باشد. برای درک این مساله تنها کافیست با مفهوم اعداد اول آشنا باشید. این انگاره چنین است:

هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از 2 حاصل‌جمع دو عدد اول است.
صورت معادل آن چنین است:
هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از 5 حاصل‌جمع سه عدد اول است.

تاریخچه
گلدباخ (1690 – 1764) به خاطر این حدس که آن را در سال 1742 در نامه‌ای به اویلر مطرح کرد، نامش در تاریخ ریاضیات باقی مانده است. او ملاحظه کرد در هر موردی که امتحان می‌کند، هر عدد زوج را (به جز 2 و 5) می‌توان به صورت مجموع سه عدد اول نوشت.اویلر حدس گلدباخ را تعمیم داد به طوری‌که هر عدد زوج بزرگ‌تر از 2 را می‌توان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت. مثلاً :

4=2+2 , 6=3+3 , 8=5+3 , 10=5+5 , 12=5+7 , 14=7+7 , 16=13+3 , 18=11+7 , 20=13+7 ,
… , 48 = 29 +19 , … , 100 = 97 + 3 , …

گلدباخ از اویلر پرسید که آیا می‌تواند این مطلب را برای همه عددهای زوج ثابت کند و یا اینکه مثال نقضی برای آن بیابد؟ شواهد تجربی در تایید اینکه هر عدد زوج به این صورت قابل نمایش است، کاملاً قانع‌کننده است و هر کسی می‌تواند با امتحان کردن چند عدد زوج، این موضوع را تحقیق کند. منشأ دشواری در این است که عددهای اول بر حسب ضرب تعریف می‌شوند در حالی که این مسأله با جمع سروکار دارد. به طور کلی، اثبات رابطه بین ویژگیهای ضربی و جمعی اعداد صحیح کار مشکلی است.

تلاش‌ها برای اثبات
در سال 1931 اشنیرلمان (1905-1938) که در آن موقع یک ریاضیدان روس جوان و گمنام بود موفقیت مهمی در این زمینه به دست آورد که برای همه متخصصان غیرمنتظره و شگفت‌آور بود. او ثابت کرد هر عدد صحیح مثبت را می‌توان به صورت مجموع حداکثر 300000 عدد اول نمایش داد. گر چه این نتیجه در مقایسه با هدف اصلی یعنی اثبات انگاره‌ی گلدباخ مضحک به نظر می‌رسد، ولی این نخستین گام در آن جهت بود. این اثبات مستقیم و سازنده است، اما هیچ روش خاصی برای تجزیه یک عدد صحیح دلخواه به اعداد اول ارائه نمی‌کند.
بعدا وینوگرادوف ریاضیدان روس با استفاده از روشهای هاردی ، لیتلوود و همکار هندی برجسته آنها رامانوجان در نظریه تحلیلی اعداد ، موفق شد تعداد عددهای اول مورد لزوم را از 300000 به 4 کاهش دهد. این نتیجه به تعداد مطلوب در انگاره گلدباخ بسیار نزدیکتر است ولی تفاوت عمده‌ای بین حکم اشنیرلمان و حکم وینوگرادوف وجود دارد که شاید مهمتر از اختلاف میان 300000 و 4 باشد. قضیه وینوگرادوف فقط به ازای همه اعداد صحیح «به اندازه کافی بزرگ» ثابت شده است؛ به بیان دقیقتر، او ثابت کرد عدد صحیح N ای وجود دارد به طوری که هر عدد صحیح n>N را می‌توان به شکل مجموع حداکثر 4 عدد اول نشان داد. اثبات وینوگرادوف راهی برای براورد کردن N به ما نشان نمی‌دهد، و بر خلاف اثبات اشنیرلمان، اساساً غیرمستقیم و غیرسازنده است. در حقیقت، چیزی که وینوگرادوف ثابت کرد این است که فرض نامتناهی بودن تعداد عددهای صحیحی که قابل تجزیه به حداکثر 4 عدد اول نیستند، به نتیجه نامعقولی می‌انجامد. در اینجا با نمونه خوبی از تفاوت عمیق میان دو نوع اثبات، مستقیم و غیرمستقیم، رو به روییم.
در سال 1956 باروتسکین با نشان دادن اینکه عدد exp(exp(16/038))=n در قضیه وینوگرادف کافیست گام دیگری در این راه نهاد. در 1919 ویگوبرون رویکرد متفاوتی با عنوان روش غربال مطرح کرد که تعمیمی از غربال اراتستن است. او ثابت کرد هر عدد صحیح زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد ، مجموع دو عدد است که هر کدام از آنها حاصل‌ضرب حداکثر 9 عدد اول هستند.
در 1937 ریچی ثابت کرد هر عدد زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد مجموع دو عدد است که یکی حاصل‌ ضرب حداکثر دو عدد اول و دیگری حاصل‌ضرب حداکثر 366 عدد اول است. کُن با بهره‌گیری از ایده‌های ترکیبیاتی بوخشتاب ثابت کرد هر عدد زوج بقدر کافی بزرگ مجموع دو عدد است که هر یک حاصل‌ضرب حداکثر چهار عدد اول است.
در 1957 ، ونگ یوان با فرض درست بودن صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد هر عدد صحیح زوج بقدر کافی بزرگ ،‌مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر سه عدد اول است.
در 1948 آلفرد بدون استفاده از صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد که هر عدد زوج بقدر کافی بزرگ مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر c عدد اول است. ( c عددی ثابت و مجهول است). در 1961 باربن نشان داد که c=9 برای این منظور کفایت می‌کند.
در 1962 ، پان چنگ دونگ این مقدار را به c=5 کاهش داد. مدت کوتاهی پس از آن باربن و پان ، مستقل از هم ،‌آن را به c=4 کاهش دادند.
در 1965 بوخشتاب این قضیه را به ازای c=3 کاهش داد.
در 1966 ، چن جینگ ران روش غربال را بهتر کرد و قضیه را به ازای c=2 ثابت کرد. یعنی هر عدد صحیح زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد ، مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر دو عدد اول است.

sajadhoosein
15-02-2011, 14:32
خاصیت اعداد بین صفر و یک

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


در یک عبارت توان مانند a به توان x که a مثبت و ثابت و x عدد بزرگتر از یک باشد حاصل توان نیز زیاد میشود اما اگر a کوچکتر از یک و بزرگتر از صفر باشد (بین صفر و یک) حاصل توان کوچکتر میشود.
به عبارت دیگر برای مثال شما اگر ۲ را به توان سه برسانید میشود هشت که از دو بیشتر است , اما اگر یک دوم )که عددی بین صفر و یک است) را به توان ۳ برسانید می شود یک هشتم که از یک دوم کوچکتر است.این خاصیت اعداد است که اگر عدی در انها ضرب شود یا به توان برسند جوابشان کوچکتر میشود.
* ایا میدانستید که اگر یک عدد دو رقمی را انتخاب کنید(مثل ۴۷ یا ۸۹ و …) و
سپس عددهای ان را از خود عدد دو رقمی کم کنید(مثلا عدد ۴۷ : ۳۶ = ۷ - ۴ - ۴۷ )
عدد بدست امده همیشه مضربی از ۹ خواهد بود.
همچنین در مورد اعداد ۳ رقمی اگر چنین عملی شود
(مثلا ۷۲۳ : ۷۱۱ = ۳ - ۲ - ۷ - ۷۲۳ )حال اگر رقمهای عدد بدست امده را با هم جمع کنید۹ = ۱+۱+۷ همیشه جواب یا ۹ خواهد بود یا ۱۸.
* عدد ۶ به هر توان طبیعی که برسد رقم یکان جوابش ۶ و رقم دهگانش فرد است و رقم یکان نصف این عدد همیشه ۸ خواهد بود.
* ۴ تقسیم بر یک دوم ۸ خواهد بود که به نظر می اید میشود ۲.

sajadhoosein
15-02-2011, 14:55
تاریخچه عدد صفر



یکی از معمول ترین سیوالهایی که مطرح می شود این است که: چه کسی صفر را کشف کرد؟ البته برای جواب دادن به این سیوال بدنبال این نیستیم که بگوییم شخص خاصی صفر را ابداع و دیگران از آن زمان به بعد از آن استفاده می کردند.
اولین نکته شایان ذکر در مورد عدد صفر این است که این عدد دو کاربرد دارد که هر دو بسیار مهم تلقی می شود یکی از کاربردهای عدد صفر این است که به عنوان نشانه ای برای جای خالی در دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) بکار می رود. بنابراین در عددی مانند ۲۱۰۶ عدد صفر استفاده شده تا جایگاه اعداد در جدول مشخص شود که بطور قطع این عدد با عدد ۲۱۶ کاملاً متفاوت است. دومین کاربرد صفر این است که خودش به عنوان عدد بکار می رود که ما به شکل عدد صفر از آن استفاده می کنیم.
هیچکدام از این کاربردها تاریخچه پیدایش واضحی ندارند. در دوره اولیه تاریخ کاربرد اعداد بیشتر بطور واقعی بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعی دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را برای شمارش تعداد اسبان، … بکار می برند و در اینگونه مسایل هیچگاه به مسیله ای برخورد نمی کردند که جواب آن صفر یا اعداد منفی باشد.
بابلیها تا مدتها در جدول ارزش مکانی هیچ نمادی را برای جای خالی در جدول بکار نمی بردند. می توان گفت از اولین نمادی که آنها برای نشان دادن جای خالی استفاده کردن گیومه (”) بود. مثلاً عدد۶″۲۱ نمایش دهنده ۲۱۰۶ بود. البته باید در نظر داشت که از علایم دیگری نیز برای نشان دادن جای خالی استفاده می شد ولیکن هیچگاه این علایم به عنوان آخرین رقم آورده نمی شدندبلکه همیشه بین دو عدد قرار می گیرند بطور مثال عدد “۲۱۶ را با این نحوه علامت گذاری نداریم. به این ترتیب به این مطلب پی می بریم که کاربرد اولیه عدد صفر برای نشان دادن جای خالی اصلاً به عنوان یک عدد نبوده است.
البته یونانیان هم خود را از اولین کسانی می دانند کهدرجای خالی ,صفر استفاده می کردند اما یونانیان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) مثل بابلیان نداشتند. اساساً دستاوردهای یونانیان در زمینه ریاضی بر مبنای هندسه بوده و به عبارت دیگر نیازی نبوده است که ریاضی دانان یونانی از اعداد نام ببرند زیر آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار می دادند.
البتهبعضى ازریاضی دانان یونانی ثبت اطلاعات نجومی را بر عهده داشتند. در این قسمت به اولین کاربرد علامتی اشاره می کنیم که امروزه آن را به این دلیل که ستاره شناسان یونانی برای اولین بار علامت ۰ را برای آن اتخاذ کردند، عدد صفر می نامیم. تعداد معدودی از ستاره شناسان این علامت را بکار بردند و قبل از اینکه سرانجام عدد صفر جای خود را بدست آورد، دیگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در ریاضیات هند ظاهر شد.
هندیان کسانی بودند که پیشرفت چشمگیری در اعداد و جدول ارزش مکانی اعداد ایجاد کردند هندیان نیز از صفر برای نشان دادن جای خالی در جدول استفاده می کردند.
اکنون اولین حضور صفر را به عنوان یک عدد مورد بررسی قرار می دهیم اولین نکته ای که می توان به آن اشاره کرد این است که صفر به هیچ وجه نشان دهنده یک عدد بطور معمول نمی باشد. از زمانهای پیش اعداد به مجموعه ای از اشیاء نسبت داده می شدند و در حقیقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفی که از ویژگیهای مجموعه اشیاء نتیجه نمی شدند، ممکن شد. هنگامیکه فردی تلاش می کند تا صفر و اعداد منفی را بعنوان عدد در نظر بگیرید با این مشکل مواجه می شود که این عدد چگونه در عملیات محاسباتی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم عمل می کند. ریاضی دانان هندی سعی بر آن داشتند تا به این سیوالها پاسخ دهندو در این زمینه نیز تا حدودى موفق بوده اند .
این نکته نیز قابل ذکر است که تمدن مایاها که در آمریکای مرکزی زندگی می کردند نیز از دستگاه اعداد استفاده می کردند و برای نشان دادن جای خالی صفر را بکار می برند.
بعدها نظریات ریاضی دانان هندی علاوه بر غرب، به ریاضی دانان اسلامی و عربی نیز انتقال یافت. فیبوناچی، مهمترین رابط بین دستگاه اعداد هندی و عربی و ریاضیات اروپا می باشد.
یکی از معمول ترین سیوالهایی که مطرح می شود این است که: چه کسی صفر را کشف کرد؟ البته برای جواب دادن به این سیوال بدنبال این نیستیم که بگوییم شخص خاصی صفر را ابداع و دیگران از آن زمان به بعد از آن استفاده می کردند.
اولین نکته شایان ذکر در مورد عدد صفر این است که این عدد دو کاربرد دارد که هر دو بسیار مهم تلقی می شود یکی از کاربردهای عدد صفر این است که به عنوان نشانه ای برای جای خالی در دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) بکار می رود. بنابراین در عددی مانند ۲۱۰۶ عدد صفر استفاده شده تا جایگاه اعداد در جدول مشخص شود که بطور قطع این عدد با عدد ۲۱۶ کاملاً متفاوت است. دومین کاربرد صفر این است که خودش به عنوان عدد بکار می رود که ما به شکل عدد صفر از آن استفاده می کنیم.
هیچکدام از این کاربردها تاریخچه پیدایش واضحی ندارند. در دوره اولیه تاریخ کاربرد اعداد بیشتر بطور واقعی بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعی دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را برای شمارش تعداد اسبان، … بکار می برند و در اینگونه مسایل هیچگاه به مسیله ای برخورد نمی کردند که جواب آن صفر یا اعداد منفی باشد.
بابلیها تا مدتها در جدول ارزش مکانی هیچ نمادی را برای جای خالی در جدول بکار نمی بردند. می توان گفت از اولین نمادی که آنها برای نشان دادن جای خالی استفاده کردن گیومه (”) بود. مثلاً عدد۶″۲۱ نمایش دهنده ۲۱۰۶ بود. البته باید در نظر داشت که از علایم دیگری نیز برای نشان دادن جای خالی استفاده می شد ولیکن هیچگاه این علایم به عنوان آخرین رقم آورده نمی شدندبلکه همیشه بین دو عدد قرار می گیرند بطور مثال عدد “۲۱۶ را با این نحوه علامت گذاری نداریم. به این ترتیب به این مطلب پی می بریم که کاربرد اولیه عدد صفر برای نشان دادن جای خالی اصلاً به عنوان یک عدد نبوده است.
البته یونانیان هم خود را از اولین کسانی می دانند کهدرجای خالی ,صفر استفاده می کردند اما یونانیان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) مثل بابلیان نداشتند. اساساً دستاوردهای یونانیان در زمینه ریاضی بر مبنای هندسه بوده و به عبارت دیگر نیازی نبوده است که ریاضی دانان یونانی از اعداد نام ببرند زیر آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار می دادند.
البتهبعضى ازریاضی دانان یونانی ثبت اطلاعات نجومی را بر عهده داشتند. در این قسمت به اولین کاربرد علامتی اشاره می کنیم که امروزه آن را به این دلیل که ستاره شناسان یونانی برای اولین بار علامت ۰ را برای آن اتخاذ کردند، عدد صفر می نامیم. تعداد معدودی از ستاره شناسان این علامت را بکار بردند و قبل از اینکه سرانجام عدد صفر جای خود را بدست آورد، دیگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در ریاضیات هند ظاهر شد.
هندیان کسانی بودند که پیشرفت چشمگیری در اعداد و جدول ارزش مکانی اعداد ایجاد کردند هندیان نیز از صفر برای نشان دادن جای خالی در جدول استفاده می کردند.
اکنون اولین حضور صفر را به عنوان یک عدد مورد بررسی قرار می دهیم اولین نکته ای که می توان به آن اشاره کرد این است که صفر به هیچ وجه نشان دهنده یک عدد بطور معمول نمی باشد. از زمانهای پیش اعداد به مجموعه ای از اشیاء نسبت داده می شدند و در حقیقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفی که از ویژگیهای مجموعه اشیاء نتیجه نمی شدند، ممکن شد. هنگامیکه فردی تلاش می کند تا صفر و اعداد منفی را بعنوان عدد در نظر بگیرید با این مشکل مواجه می شود که این عدد چگونه در عملیات محاسباتی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم عمل می کند. ریاضی دانان هندی سعی بر آن داشتند تا به این سیوالها پاسخ دهندو در این زمینه نیز تا حدودى موفق بوده اند .
این نکته نیز قابل ذکر است که تمدن مایاها که در آمریکای مرکزی زندگی می کردند نیز از دستگاه اعداد استفاده می کردند و برای نشان دادن جای خالی صفر را بکار می برند.
بعدها نظریات ریاضی دانان هندی علاوه بر غرب، به ریاضی دانان اسلامی و عربی نیز انتقال یافت. فیبوناچی، مهمترین رابط بین دستگاه اعداد هندی و عربی و ریاضیات اروپا می باشد.

sajadhoosein
15-02-2011, 15:09
عمل سریع ضرب



ضرب اعداد در دوازده:
دستور:هر رقم را دو برابر کن بعد با همسایه اش(رقم سمت راست را همسایه مینامیم) جمع کن.
مثال:
۰۴۱۲*۱۲
۲*۲=۴
۱*۲+۲=۴
۴*۲+۱=۹
۰*۲+۴=۴
جواب:۴۹۴۴
چه راحت!!
عمل سریع ضرب ۱۱
۱) آخرین رقم مضروب (عددی که در یازده ضرب میشود ) را به عنوان رقم سمت راست جواب مینویسیم.
۲)هر عدد مضروب را با همسایه سمت راست آن جمع میکنیم.
۳)و آخرین مرحله کار که اولین رقم مضروب سمت چپ جواب میشود مثال:
۱۱*۵۲۴
دستور اول:
آخرین رقم ۵۲۴ را به عنوان جواب مینویسیم:
۴
دستور دوم:
۴+۲=۶
ادامه:
۲+۵=۷
دستور سوم:
اولین رقم سمت راست مضروب را سمت چپ جواب مینویسیم.
۵
جواب:۵۷۶۴

sajadhoosein
15-02-2011, 15:24
انسان از چه زمانی ارقام عددی را بکار برد ؟



انجا که بر ما معلوم است در حدود ۳۰۰۰ سال پیش از میلاد مصریان قدیم ومردم بین النهرین(سرزمین بین دجله وفرات امروزیدر عراق)
علاماتی برای نوشتن اعداد داشتنداین مردمان با انکه بسیار از هم دور بودندهر مستقل موفق به اختراع یک رشته از ارقام شدند
ارقام ساده ی انها چون ۱و۲و۳ المثنایچوب وچوبخط انسانهای نخستین بود.جالب اینجاست که در بسیاریاز دستگاههای ارقام که در سراسرجهان کشف
شده استرقم یک را به صورت یک عدد کوتاه یا به شکل یک نقطه می نوشتند..LLL=۳ ۴=VI ۵=V


ستین ریاضیدانان چه کسانی بودند ؟



بعضی اوقات مصریان باستان را که پنچ هزار سال پیش میزیسته اند ریاضیدانان واقعی عهد باستان می آورند ولی با معیارهای امروزی ریاضیات آنها بسیار ابتدایی بود هنگاهی که آنها به ساختن احرام پرداخته اند هنوز ریاضی دانانشان با انگشتان دست شمارش می کردند و حساب آنها چیزی جز جمع و تفریق نبود.با وجود این انها توانستند بر دانش ریاضی ما مقدار زیادی بیفزایند.کاهنان مصری که ریاضیدان بودند.بر ساختمان معابد واهرام که مقبره یفرعون های مصر بود نظارت داشتند.این کاهنان که هم مهندس بودندوهم معمار نقشه های مهندسی امروز طراحی می کردند که جز با اندازه گیری های تهیه ی چنین نقشه هایی میسر نبود اندازه گیری های تقریبی وغیر دقیق اقوام ابتدایی به درد سازندگان اهرام و معابد نمی خوردمعابد و اهرام مصر سسب شدند که یک دستگاه اندازه گیری جدید بوجود آید.



روش کار اراتوستن برای محاسبه شعاع زمین



اراتوستن سر کتابدار موزه اسکندریه ، نخستین کسی بود که اندازه زمین را محاسبه کرد . وی متوجه شد که در ظهر روز تابستانی آفتاب تابستانی ، ستونهای عمودی در سیرن (اسوان امروز ) هیچ سایه ای نمی اندازد اما همان وقت در اسکندریه در شمال سیرن ستوان عمودی عقربه ساعت خورشیدی سایه می اندازد . با اندازه گیری طول سایه و ارتفاع ستون ، وی تعیین کرد که فاصله اسکندریه با سمت الراس ، ۷.۲ درجه است و از آنجایی که این رقم حدود یک پنجاهم ۳۶۰ درجه است پس محیط زمین باید پنجاه برابر فاصله اسکندریه و سیرن باشد . سپس محیط زمین به دست آمد و به این ترتیب قطر زمین به دست می آید که فقط ۱۵۰ کیلومتر با میزان فعلی تفاوت دارد.

sajadhoosein
16-02-2011, 07:08
انسان اولیه چگونه می شمرد



در آغازانسان اولیه برای نشان دادن عدد مورد نظر خود از زبان اشاره استفاده می کرد شاید به ببری که کشته بود یا به سرنیزه همسایه اش اشره کند یا شاید انگشتانش برای نشان دادن عدد استفاده می کرد سه انگشت دست معنی سه می داد خواه سه نیزه یا سه ببر یا سه غار باشد. در ابتدا انسان اولیه می توانست تا دو بشمرد امروزه هنوز در جهان قبایلی ابتدایی مانند بومیان بدوی استرالیا”ابوجین”ها وجود دارد فقط سه عدد می شناسند یک،دو و بسیار هنگامی با انگشتان دست شماره میکنید تفاوتی نمی کند که از انگشت کوچک دست یا از انگشت شصت شروع کنیم اما بین برخی از اقوام برای این کار قاعده هایی وجود دارد مثلا زونیا(قبیله ای از سرخپوستان آمریکای شمالی)شمردن را از انگشت کوچک کوچک دست چپ شروع می کردند.

sajadhoosein
16-02-2011, 07:17
در گذشته برای نوشتن یک میلیون چقدر وقت لازم بود؟



یک میلیون به روش بریدن چوب خط یا ردیف کردن دانه های شن چقدر دشوار است و چه زمانی را نیاز دارد. اگر برای کندن هرشیار بر چوب یا چیدن هر ریگ یک ثانیه وقت در نظر بگیریم برای نوشتن عدد ۱۰۰۰۰۰۰ مجبور بودید یک میلیون ریگ را یک به یک (هر ثانیه یکی) بشمارید، ۲۷۸ ساعت یا ۱۱ روز ۱۴ ساعت بدون درنگ وقت لازم داشتید تا به یک میلیون برسید.




ریاضیات دوران نخستین



به درستی نمی دانیم که انسان اولیه از چه زمانی برای تبادل نظر با خانواده و همسایگان خود به جای اشاره به سخن گفتن پرداخته است. اما این را می دانیم که هزاران سال پیش از آن که نوشتن را فرا گیرد به سخن گفتن پرداخته است به همین ترتیب انسان هزاران سال پیش از آن که علام و نشانه های ریاضی را به جای کلمات به کار برد.یعنی به جای کلمه “سه”،رقم “۳″را به کار برد نام ارقام را ی دانسته است. انسان به عدد نیاز داشت و می بایست شمردن را می آموخت شاید داستان از آنجا آغاز شد که انسان غارنشین تصمیم گرفت که شکار خود را که یک ببر دندان دشنه ای بود با سه نیزه همسایه اش معامله کند یا شاید نیاز به شمردن زمانی پیدا شد که نوجوان غارنشین می خواست به برادران و خواهرانش بگوید که ۴ ماموت بزرگ را در هنگام شکار دیده است.

sajadhoosein
16-02-2011, 07:24
آشنایی با مفاهیم : ” انتزاع” ، ” تعریف و قرارداد” در ریاضی




«این بخش پیش نیازی برای بیان مفهوم مبحثی مثل ” قدر مطلق” می باشد»

۱. زمانی ، در دوره های نخستین شکل گیری مفهوم عدد ، برای نام بردن سه درخت و سه گوسفند ، از دو واژه ی مختلف استفاده می کردند و وقتی می خواستند از سه مرد صحبت کنند ، واژه ی سومی را به کار می بردند و این ، امری طبیعی بود : درخت به گوسفند و هیچ کدام از آن ها به مرد شباهتی نداشت .
بسیار طول کشید تا بشر توانست وجه مشترکی بین « سه درخت » ، « سه گوسفند » و « سه مرد» پیدا کند و متوجه شود که در هر سه حالت با «تعدادی» برابر سر و کار دارد . ولی وقتی این درک - یعنی درک ” مقدار” و ” کمیت ” – به وجود آمد و بشر به مفهوم «سه» (بدون این که آن را وابسته به چیز مشخصی مثل « درخت » یا « نیزه» بکند) پی برد ، نخستین گام را در جهت ” انتزاع” برداشت .
علم ، بررسی های علمی و ذهن علمی ، بدون انتزاع ممکن نیست . علم ، در همان حال که روی پدیده ها و فرآیندهای مادی کار می کند و طبیعت ( و هم جامعه ) آزمایشگاه بزرگ آن است ، برای پی بردن به قانون های حاکم بر طبیعت ( و جامعه ) چاره ای جز انتزاع ندارد
« درخت سیب » یا « درخت سپیدار » در طبیعت وجود دارند. ولی وقتی به طور کلی از « درخت » صحبت می کنیم ، در واقع ویژگی مشترک بسیاری از روییدنی ها را در نظر گرفته ایم و به یک انتزاع دست زده ایم .
« رنگ زرد» یا « رنگ سرد» را می توان در طبیعت مشاهده کرد ، ولی وقتی به طور کلی از واژه ی «رنگ» نام می بریم ، به چنان ویژگی توجه داریم که در همه ی رنگ های موجود و قابل مشاهده ، مشترک است .
« کمیت » ، « مقدار» ، « اندازه» و « تعداد» ، بیان های مختلفی از یک نوع ویژگی هستند که در مورد هر جسم مادی و بسیاری از فرآیندهای مادی می تواند به کار رود .
وقتی از حجم کره ی زمین ، میزان محصول سالیانه ی فلان کشت زار ، سرعت حرکت مریخ به دور خورشید ، مقدار برق لازم برای حرکت قطار زیر زمینی و غیر آن صحبت می کنیم ، با همین ویژگی سر و کار داریم .
انتزاع ، در تحلیل آخر ، نه به معنای جدا شدن از طبیعت ، بلکه برای شناخت دقیق تر و کامل تر قانون های حاکم بر طبیعت است .
ریاضیات ، به طور عمده ، از راه انتزاع های متوالی ، به بررسی دو مفهوم « کمیت » و «شکل» جسم های مادی می پردازد .
در این جا ، وقتی از کره صحبت می شود ، بدون توجه به رنگ و جرم و دوام و وزن و دیگر ویژگی های جسم ، تمامی دقت روی شکل آن ( کروی بودن ) متمرکز می شود و قانون مندی هایی که از این جهت ، در آن وجود دارد ، مورد بررسی قرار می گیرد .
۲. وقتی می نویسیم ۵=۳+۲ ، هم با انتزاع سر و کار داریم و هم با قرارداد . از آن جا که نگفته ایم چه چیزهایی را با هم جمع کرده ایم ، یک انتزاع انجام داده ایم ، در اینجا با یک ویژگی کلی سر و کار داریم : از کنار هم گذاشتن « دو مداد» با « سه مداد» ، « پنج مداد»
به دست می آید ، همان طور که اگر « سه کیلومتر» راه را بعد از « دو کیلومتر » قبلی طی کنید ، روی هم « پنج کیلومتر» راه رفته اید .
ولی نشانه های « ۲ » ، « ۳ » ، « ۵ » ، « + » و « = » ، نشانه های قراردادی هستند . این که چرا نشانه ی « = » برای بیان
” برابری” به کار می رود ، به ریاضیات مربوط نیست !!! در این مورد باید به پژوهشی تاریخی دست زد و روشن کرد که چه « دلیل هایی » سرانجام به اینجا رسیده است که در بین همه ی ملت های جهان ، آن را به مفهوم «برابری » بگیرند .
« = » یک نماد است ، نمادی برای بیان : برابری . همانطور که « ۵ » هم یک نماد است ، نمادی برای بیان عدد ” پنج ” .
برای مطالعه ی ریاضیات ، باید نمادها ( یا قراردادها) را شناخت . شما تنها وقتی می توانید با نماد f(x) کار کنید که معنا و تعریف ان را بدانید .
a۲ نمادی است و a۲> نمادی دیگر و ، طبیعی است ، اگر «تعریف» و معنای آن ها را ندانید ، نمی توانید عمل های ریاضی را با آن ها انجام دهید .
یادداشت ۱ :
یادآوری این مطلب ضروری است که : در بسیاری موردها ، ریاضیات نمی تواند بدون توجه به سایر ویژگی های ماده ( یعنی بدون توجه به ویژگی هایی از ماده ، که در دانش های دیگر مورد مطالعه قرار می گیرند ) ، حکم های جزمی خود را در همه ی زمینه ها سازگار کند .
ریاضی دان می گوید ۲۰ = ۱۰+۱۰ ، ولی شیمی دان در عمل مشاهده می کند که از روی هم ریختن ۱۰ لیتر آب با ۱۰ لیتر الکل ، نه ۲۰ لیتر ، بلکه ۱۹ لیتر « آب و الکل » به دست می آید . در این جا ، اگر به حجم واقعی محلول نظر داشته باشیم ، باید با توجه به ویژگی های شیمیایی اب و الکل بگوییم : ۱۹ = ۱۰ + ۱۰ .
در ریاضیات مقدماتی ، بدون هیچ تردیدی حکم می کنیم ۲ = ۱ + ۱ . ولی اگر منظور از این «جمع» محاسبه ی نتیجه ی عمل های دو نیروی یک کیلوگرمی باشند که به طور عمود بر هم بر جسمی اثر می کنند ، آن وقت ، نیروی « مجموع» ( منظور برآیند نیروها یا منتجه است ) ، به جای ۲ کیلوگرم برابر ۴/۱ کیلوگرم می شود .
ریاضی دان ، در همان حال که با نیروی انتزاع و با یاری گرفتن از نیروی قانون های درونی ریاضیات ، جلو می رود و « حقیقت هایی» را کشف می کند ، باید دایما به جهان واقع ، به طبیعت و جامعه ، مراجعه کند و هر جا لازم باشد ، نتیجه گیری های خود را با « واقعیت های موجود » تطبیق دهد .
یادداشت ۲ :
ذهن آدمی چنان است که بدون دستگیره ی مادی نمی تواند درباره ی چیزی بیندیشد و کار کند و ، به همین مناسبت ، هر وقت که انتزاعی انجام می گیرد ، در واقع ، دستگیره ای مادی جانشین دستگیره ی مادی دیگر می شود. وقتی با کسی که عدد نویسی نمی داند ، از سیصد و هفتاد و دو درخت صحبت کنیم ، تصور مبهمی از انبوهی درخت در ذهن او به وجود می آید ، ولی برای کسی که عدد نویسی را می داند ، رقم های « ۳ » ، « ۷ » و «۲ » در ذهن او ظاهر می شوند و ، بدون این که به مقدار واقعی ۳۷۲ درخت توجه کند ، نماد ۳۷۲ در ذهن او مجسم می شود . در این جا ، نماد نوشتنی ۳۷۲ ، همان دستگیره ی مادی است که جانشین « درخت ها » شده است .
۳. برای تعریف ، از هیچ نمی توان آغاز کرد . هر تعریفی به ناچار باید بر پایه ی تعریف های ساده تری استوار باشد . مثلا شما نمی توانید ، عمل « جمع » را تعریف کنید . بیان هایی از نوع « افزودن دو عدد به یکدیگر » ، در واقع ، یک دور باطل است . زیرا کاری نکرده اید جر این که به جای واژه ی « جمع» از واژه ی معادل « افزودن» استفاده کرده اید . به این ترتیب ، چاره ای نداریم جز اینکه « عمل جمع» را به همان صورتی که «حس» می کنیم و کم و بیش همه ی ما درباره ی آن « تصوری» داریم ، بپذیریم. هر تلاشی برای تعریف « عمل جمع » سر آخر ، منجر به این می شود که بگوییم ” جمع یعنی جمع ” !!!
ولی ، وقتی که « عمل جمع» را ، بدون تعریف ، بپذیریم ، دیگر می توانیم عمل های « تفریق» و «ضرب» را به کمک آن تعریف کنیم :
a - b = c ، یعنی اگر b را با c جمع کنیم a بدست می آید .
a * b = c ، یعنی اگر b را a مرتبه با خودش جمع کنیم ، عدد c حاصل شود .

sajadhoosein
16-02-2011, 07:32
هنر و آموزش ریاضیات



انواع هنر همچون ابزار قدرتمندی هستند که می توانند به رویارو شدن با دشواری های ریاضی به بهترین شکل ممکن کمک کنند. دشواریهایی که هدف از تسهیل آنها بهبود یاددهی و یادگیری می باشد. نقش آموزشی هنر نه تنها در بهبود کیفیت فهم مساله بسیار حیاتی و اساسی است بلکه برای متحول کردن طرز تفکر به شیوه های گوناگون دارای قدرت و ظرافتی است که در سایر موضوعات آموزشی چنین قدرتی را سراغ نداریم. مطالعات و بررسی ها نشان داده اند که انواع هنر مهارتهای تفکر انتقادی مربوط به طرح و حل مساله - تجزیه و تحلیل - ترکیب - ارزشیابی و تصمیم گیری در مورد پارامترهای مساله را تحریک و تقویت می کنند. تربیت هنری موجب پرورش توانایی تعبیر و فهم نمادهای پیچیده می شود که نمونه بارز آن آشنایی با نمادهای ریاضی می باشد. همچنین در پرورش خلاقیت نقش محوری را ایفا می کند و موجب پرورش مهارت به تصویر کشیدن ذهنی مساله می شود و آموزنده را توانمند می کند تا روشهای حل غیر متعارف و غیر سنتی را به ذهن بیاورد. لازم به یادآوری است که مطالعه و تولید اثر هنری به خودی خود دارای اعتبار است . ازین جهت شکل گیری آموزش ریاضیات به صورت هنری هویت فرهنگی را در چارچوب هدفمندی حفظ و نگهداری می کند و بالعکس به کارگیری هنر به بهترین شکل در فهم و ادراک مطالب کمک شایانی می کند.
با ذکر این مطالب و روشن شدن ارزش آموزش ریاضی مبتنی بر هنر تنها اشاره به این نکته کافیست که آموزش هنری ریاضیات امری بنیادی به خصوص در مقاطع اولیه تحصیلی میباشد و بکارگیری آن نباید امری تجملی تلقی گردد.

sajadhoosein
16-02-2011, 07:47
ریاضی و عملیات نظامی



در جنگ جهانی دوم فرماندهی نظامی در انگلستان از گروهی از دانشمندان دعوتی بعمل آورد تا در مسایل سوق الجیشی و تدابیر جنگی مربوط به دفاع زمینی و هوایی این کشور مطالعه نمایند. هدف آنها تعیین موثرترین روش استفاده از منابع محدود نظامی بود. از جمله مسایلی که مورد بررسی قرار گرفت مطالعه کارایی بمب افکنهای نوع جدید و روش استفاده از راداری بود که به تازگی اختراع شده بود. تشکیل این گروه علمی به عناون اولین فعالیت رسمی تحقیق در عملیات به شمار آمده است.
نام تحقیق در عملیات ظاهراْ بدین مناسبت داده شده بود که این گروه به پژوهش در عملیات(نظامی) پرداخته بود. این رشته جدید تصمیم گیری از آغاز به عنوان رشته ای شناخته شده است که اطلاعات علمی را از طریق تلاش گروهی متخصص در نظامهای مختلف به منظور تعیین بهترین نحوه استفاده از منابع محدود به کار می گیرد.
نتایج امیدبخشی که توسط گروههای تحقیق در عملیات در بریتانیا به دست آمده بود فرماندهی نظامی ایالات متحده را بر آن داشت تا فعالیتهای مشابهی را شروع نماید. از فعالیتهای موفقیت آمیز گروههای آمریکایی می توان مطالعه مسایل پیچیده تدارکات نظامی٫ ابداع الگوهای جدید پرواز٫ طرح مین گذاری دریا و استفاده موثر از وسایل الکترونیکی را نام برد.
پس از جنگ موفقیت گروههای نظامی توجه مدیران صنعتی را به خود جلب کرد. اینان در جستجوی راه حلهایی برای مسایل خود بودند که بر اثر وارد شدنتخصص شغلی در تشکیلات تجاری روز به روز حادتر می شدند. زیرا با وجود این واقعیت که اصولا مشاغل تخصصی برای خدمت به هدف کلی یک سازمان به وجود می آیند٫ اهداف فردی این مشاغل ممکن است همواره با مقاصد آن سازمان سازگار نباشند. این وضع منجر به مسایل تصمیم گیری پیچیده ای شده است که نهایتا سازمان تجاری را مجبور نموده تا درصدد استفاده از موثرترین روشهای تحقیق در عملیات برآیند.
اگرچه پیشگامی تحقیق در عملیات به عنوان یک نظام جدید با بریتانیای کبیر بود چیزی نگذشت که رهبری این رشته به سرعت در حال رشد را ایالات متحده به دست گرفت. اولین تکنیک ریاضی در این رشته که مورد قبول همه قرار گرفت و روش سیمپلکس برنامه ریزی خطی نامیده شد در سال ۱۹۴۷ توسط ریاضیدان آمریکایی جورج.ب. دانتسیک به وجود آمد. ار آن به بعد با تلاشها و همکاریهای علاقه مندان در موسسات علمی و صنعتی تکنیکها و کاربردهای جدیدی پدید آمده اند.
تاثیر تحقیق در عملیات را امروزه می توان در بسیاری از زمینه ها مشاهده نمود. صحت این امر تعداد زیاد موسسات علمی است که دوره هایی در سطوح تحصیلی مختلف در این رشته عرضه می نمایند. در حال حاضر بسیاری از شرکتهای مشاور در مدیریت سرگرم فعالیتهای تحقیق در عملیات می باشند. این فعالیتها از کاربردهای تجاری و نظامی فراتر رفته و اکنون بیمارستانها٫ موسسات مالی٫ کتابخانه ها٫ طراحی شهرها٫٫ دستگاههای ترابری و حتی بررسیهای کشف جنایت را در برگرفته اند.

sajadhoosein
16-02-2011, 07:55
کاربرد درخت ها در زندگی



گراف ها و درخت ها موضوعاتی ساده و در عین حال بسیار کاربردی در ریاضیات هستند. اینگونه که پیشرفت علوم نشان داده , این مباحث هنوز هم جا برای کار دارند و می توان کاربردهای جدیدی را برایشان تعریف کرد. با هم به نمونه های زیر توجه می کنیم.
فیزیکدان آلمانی گوستاو کیرشهف نخستین کسی بود که رفتار ریاضی درخت ها را در ارتباط با تحقیقاتش روی مدارهای الکتریکی تحلیل نمود. اندکی بعد آرتور کیلی از ریاضیات درخت ها برای شمارش همه ایزومرهای مربوط به برخی هیدروکربن ها استفاده کرد. کیلی نشان داد که اگر یک هیدروکربن اشباع شده دارای K اتم کربن باشد آنگاه ۲K+۲ اتم هیدروژن خواهد داشت. مطلب جالب توجه برای من این است که در حدود سی سال پیش نوام چامسکی و همکارانش روش تازه ای را برای بیان ساختار دستوری زبان های طبیعی مانند انگلیسی ابداع کردند. ثابت شده که این تلاش ها در ساختن کامپایلرهای زبان های سطح بالای کامپیوتری بسیار مفید بوده است. در این بررسی از درخت ها اغلب برای مرحله به مرحله ساختن جملاتی با استفاده از یک قاعده معین که از نظر دستوری صحیح هستند استفاده می شود.
نظر شما چیه؟ کاربرد درخت ها جالب نیست؟

sajadhoosein
16-02-2011, 08:07
روشهای حل مساله



با توجه به نوع مساله می توان از بعضی موارد ذکر شده صرف نظر کرد.
عمده ترین روشهای حل مساله عبارتند از:
۱- جستجو برای الگو
۲- رسم شکل
۳- صورتبندی مساله معادل
۴- تغییر مساله
۵- انتخاب نمادهای مناسب
۶- استفاده از تقارن
۷- تجزیه به حالت های ساده تر
۸- کار عقب رونده
۹- بررسی نقیض
۱۰- زوجیت
۱۱- بررسی حالتهای حدی
۱۲- تعمیم
۱) جستجو برای الگو:
همواره کار حل مساله را با نوعی ادراک شهودی از مساله شروع می کنیم و با بررسی چند حالت خاص به سوی الگوسازی برای حل کامل آن جلو می رویم.
۲) رسم شکل:
در هر مساله ای که امکانپذیر باشد رسم یک شکل (اعم از هندسی یا یک نمودار و غیره) می تواند در یافتن حل مساله الهام بخش باشد و رابطه بین اجزا مساله را بهتر نمایان می سازد.
۳) صورتبندی مساله معادل:
در بخش قبل دیدیم که گام نخست در حل مساله عبارت است از جمع آوری داده - جستجو - فهمیدن مساله - برقراری ارتباط بین اجزا - حدس زدن و تجزیه تحلیل. ولی اگر همه این کارها به روش معقولی میسر نباشد چه کنیم؟ یعنی اینکه ممکن است کارهای محاسباتی خیلی پیچیده باشد و یا به سادگی نتوانیم حالتهای خاصی را مطرح کنیم تا به بینش لازم برسیم.آنچه در چنین شرایطی توصیه می شود این است که مساله را با مساله ای معادل ولی ساده تر جایگزین کنیم. راه کلی در این گونه معادل سازی به بینش و تجربه های عمومی باز می گردد ولی کارهایی از قبیل دستکاریهای جبری یا مثلثاتی و تفسیر مجدد مساله با زبانی دیگر می تواند موثر باشد.
۴) تغییر مساله:
در بعضی مسایل می توانیم مساله مورد نظر را به مساله دیگری تبدیل کنیم. این دو مساله لزوما معادل یکدیگر نیستند ولی حل مساله دوم حل مساله اول را نتیجه می دهد.
۵) انتخاب نمادهای مناسب:
از نخستین گامها در حل مساله های ریاضی تبدیل مساله به صورتی نمادین می باشد. در انتخاب نمادها باید هر ایده کلی را ملحوظ داشته و آن را با نمادی بیان کنیم. بی دقتی در انتخاب نمادها ممکن است به از بین رفتن یا مبهم شدن بعضی از روابط منجر شود.
۶) استفاده از تقارن:
وجود تقارن در یک مساله موجب می شود که با عملیات کمتری مساله را به جواب برسانیم.
۷) تجزیه به حالتهای ساده تر:
گاهی اوقات می توان یک مساله را به تعدادی مساله ساده تر و کوچکتر تبدیل کرد که هر کدام از این مسایل ساده تر را می توان جداگانه در نظر گرفت.
۸) کار عقب رونده:
کار عقب رونده یعنی اینکه نتیجه مورد نظر را مفروض گرفته شروع به استنتاج هایی از آن کنیم تا به یک مساله حل شده برسیم. در این صورت گامهای معکوسی را در نظر بگیریم تا به نتیجه مطلوب دست پیدا کنیم.
۹) بررسی نقیض:
استفاده از تناقض یعنی مفروض گرفتن نادرستی حکم و با استنتاج به نتیجه نادرست یا متناقضی رسیدن از روشهای آشنا در ریاضیات است.
۱۰) زوجیت:
ایده ساده زوج و فرد بودن یکی از ابزارهای بسیار قوی در حل مساله است که کاربردهای وسیعی دارد.
۱۱) بررسی حالتهای حدی:
در برخورد اولیه با مساله بعضی اوقات تغییردادن پارامترها بین حدهای پایین و بالای ممکن آنها ایده هایی برای حل مساله به همراه خواهد داشت.
۱۲) تعمیم:
معمولا ساده سازی یک مساله راهگشای حل آن است. اما در بعضی موارد حالت تعمیم یافته مساله سهل تر قابل حل است و حالت مورد نظر را می توان به عنوان یک حالت خاص نتیجه گرفت. در واقع ایده تعمیم و در کنار آن مجرد سازی ویژگی خاص ریاضیات نوین است.
در پایان اشاره می کنم که سعی کنید یک مساله را در صورت امکان به چند روش حل کنید. این کار باعث بهبود سرعت و خلاقیت شما در حل مسایل دیگر می شود. روشهای مختلف حل مساله بخشهایی از زوایای پنهان مساله را برای شما آشکار می کند.

sajadhoosein
16-02-2011, 08:22
رشته دانشگاهی ریاضی



هدف :
«ریاضیات علم نظم است و موضوع آن یافتن، توصیف و درک نظمی است که در وضعیت‌های ظاهرا پیچیده‌ نهفته است و ابزارهای اصولی این علم ، مفاهیمی هستند که ما را قادر می‌سازند تا این نظم را توصیف کنیم» .
دکتر ریاضی استاد ریاضی و رییس دانشگاه صنعتی امیرکبیر نیز در معرفی این علم می‌گوید: «ریاضیات علم مدل‌دهی به سایر علوم است. یعنی زبان مشترک نظریات علمی سایر علوم ، علم ریاضی می‌باشد و امروزه اگر علمی را نتوان به زبان ریاضی بیان کرد، علم نمی‌باشد.»
اهداف گرایش‌های مختلف این رشته عبارتنداز:
۱- ریاضی کاربردی: هدف از این شاخه تربیت کارشناسی است که با اندوخته کافی از دانش ریاضی، توانایی تحلیل کمی از مسایل صنعتی، اقتصادی و برنامه‌ریزی را کسب نموده، توان ادامه تحصیل در سطوح بالاتر را داشته باشد.
۲- ریاضی محض: هدف از این شاخه ریاضی، تربیت متخصصان جامع در علوم ریاضی است که آمادگی لازم برای ادامه تحصیل در جهت اشتغال به پژوهش و نیز انتقال علم ریاضی در سطوح دانشگاهی را داشته باشند. آشنایی با تجزیه و تحلیل مسایل در قالب ریاضی و مدل‌سازی ریاضی نیز از اهداف دیگر شاخه ریاضی محض است.
۳- ریاضی دبیری: هدف از شاخه دبیری تربیت دبیران و کارشناسان متخصص آموزش ریاضی است که پاسخگوی نیازهای آموزش و پرورش کشور در سطوح پیش‌دانشگاهی باشند.
ماهیت :
« ریاضیات بر خلاف تصور بعضی از افراد یکسری فرمول و قواعد نیست که همیشه و در همه‌جا بتوان از آن استفاده کرد بلکه ریاضیات درست فهمیدن صورت مساله و درست فکر کردن برای رسیدن به جواب است و برای به دست آوردن این توانایی ، دانشجو باید صبر و پشتکار لازم را داشته باشد تا بتواند حتی به مدت چندین ساعت در مورد یک مساله ریاضی فکر کرده و در نهایت با ابتکار و خلاقیت آن را حل کند»
فارغ‌التحصیلان این رشته می‌توانند پس از پایان تحصیلات، در ادارات دولتی برای مسوولیتهایی که به نوعی با تجزیه و تحلیل مسایل سروکار دارند، در بخش‌ خصوصی در اموری همانند طراحی سیستمها در امر بهینه‌سازی و بهره‌وری ، در بخش صنعت برای اموری همانند مدل‌سازیهای ریاضی و در آموزش و پرورش و … ، مسوولیتهای متفاوتی را به عهده گیرند.
گرایش‌‌های مقطع لیسانس:
«رییس اتحادیه بین‌المللی ریاضیدانان جهان در یازدهمین اجلاس آکادمی جهان سوم که اخیرا در تهران برگزار شد، عنوان کرد که بهتر است بگوییم ریاضیات و کاربردهای آن، نه اینکه ریاضیات را به محض و کاربردی تفکیک کنیم چرا که به اعتقاد ریاضیدانها هیچ مقوله ریاضی نیست که روزی کاربردی برای آن پیدا نشود.»
«ریاضیات محض بیشتر به قضایا و استدلالها ، منطق موجود در آنها و چگونگی اثباتشان می‌پردازد اما در ریاضیات کاربردی چگونه استفاده کردن و به کارگرفتن قضایا، آموزش داده می‌شود، به عبارت دیگر در این شاخه، کاربرد ریاضیات در مسایل موجود در جامعه بیان می‌گردد»
عموما ریاضیات کاربردی به شاخه‌ای از ریاضی گفته می‌شود که کاربرد علمی مشخصی داشته باشد برای مثال در اقتصاد، کامپیوتر،‌فیزیک و یا آمار و احتمال کاربرد داشته باشد و ریاضی محض نیز به شاخه‌ای گفته می‌شود که به نظریه‌پردازی ریاضی می‌پردازد اما باید توجه داشت که امروزه این دو گرایش آن‌چنان در هم ادغام شده‌اندکه مرزی را نمی‌توان بین آنها مشخص کرد.
معرفی مختصری از درسهای تخصصی گرایش ریاضی کاربردی:
ریاضیات گسسته:
هدف از این درس، آشنایی با زمینه‌های مختلف ریاضیات گسسته و کاربردهای آن با تاکید بر اثبات و ارایه الگوریتمهای مناسب است. سرفصلهای این درس عبارتنداز : معادله تفاضلی و رابطه بازگشتی ، تابع مولد، اصل شمول و طرد، گراف و ماتریس، تطابق و دیگر کاربردهای گراف، جبربول و کاربردهای آن و آشنایی با طرحهای بلوکی، مربع لاتین، صفحه‌های تصویری ، کدگذاری و رمزنگاری.
برنامه‌سازی پیشرفته :
در این درس، دانشجویان به مباحثی همچون برنامه‌سازی صحیح ،‌ مستند سازی برنامه‌ها ، برنامه‌سازی ساخت یافته، آشنایی با زبان دوم برنامه‌سازی و مقایسه آن با زبان اول، اشکال‌زدایی و آزمایش برنامه، حصول اطمینان از صحت برنامه‌ها ، الگوریتمهای غیر عددی شامل : پردازش رشته‌ها، روشهای جستجو و مرتب کردن ، آشنایی مقدماتی با کامپایلرها و دیگر برنامه‌های مترجم، اجرای طرحهای بزرگ و … می‌پردازند.
آنالیز عددی:
هدف از این درس، ارایه الگوریتمهای عددی و بررسی خطاهای ایجاد شده از حل عددی مسایل است. در خصوص روشهای تکراری، بررسی همگرایی و نرخ همگرایی نیز مورد تاکید می‌باشند. در این درس سرفصلهای موجود عبارتند از : نمایش اعداد حقیقی، انواع مختلف خطاها، آنالیز خطاها ، حل معادلات خطی، مشتق و انتگرال‌گیری عددی و حل معادلات دیفرانسیل عددی و … .
ساختمان داده‌ها:
در این درس، دانشجویان با آرایه‌ها ، بردارها، ماتریسها ، صفها و ردیفا، لیستهای پیوندی ، خطی، حلقوی ، روش نمایش و کاربرد لیستهای پیوندی ، درختها و پیمایش‌ آنها، روش نمایش و کاربرد درختها، درختهای تصمیم‌گیری ، گرافها و نمایش آنها، تخصیص حافظه به صورت پویا و مسایل مربوط آشنا می‌شوند.
تحقیق در عملیات:
در این درس ، دانشجویان با زمینه تحقیق در عملیات، انواع مدلها و مدلهای ریاضی، برنامه‌ریزی خطی، شبکه‌ها و مدل حمل و نقل، سایر مدلهای مشابه، آشنایی با برنامه‌ریزی متغیرهای صحیح ،‌برنامه‌ریزی پویا، برنامه‌ریزی غیرخطی و مدلهای احتمالی آشنا می‌گردند.
آینده شغلی ، بازار کار ، درآمد:
«کاربرد ریاضی در علوم مختلف انکارناپذیر است. برای مثال مبحث آنالیز تابعی در مکانیک کوانتومی، کاربرد بسیاری زیادی دارد و یا در بیشتر رشته‌های مهندسی معادله «لاپ لاسی» که یک معادله ریاضی است، مورد استفاده قرار می‌گیرد. در جامعه‌شناسی نیز نظریه احتمال و نظریه گروهها نقش بسیار مهمی ایفا می‌کند. در کل باید گفت که همه صنایع ،‌زیر ساخت ریاضی دارند و به همین دلیل در همه مراکز صنعتی و تحقیقاتی دنیا، ریاضیدانها در کنار مهندسان و دانشمندان سایر علوم حضوری فعال دارند و آنچه در نهایت ارایه می‌شود، نتیجه کار تیمی آنهاست.»
دکتر ریاضی از اساتید دانشگاه در مورد فرصت‌های شغلی موجود در ایران می‌گوید:
«اگر در جامعه ما مشاغل جنبه علمی داشته باشند، قطعا به تعداد قابل توجهی ریاضیدان نیاز خواهیم داشت چون یک ریاضیدان می‌تواند مشکلات را به روش علمی حل کند. البته این به آن معنا نیست که در حال حاضر هیچ فرصت شغلی برای یک ریاضیدان وجود ندارد اما باید حضور ریاضیدانها در مراکز تحقیقاتی و صنعتی پررنگتر باشد.»
هرچقدر که شغل یک فرد تخصصی‌تر شود، میزان ریاضیاتی که لازم دارد، بیشتر می‌گردد.
برای مثال یک مهندس الکترونیک از آنالیز تابعی و فرآیندهای تصادفی استفاده می‌کند و یا یک برنامه‌ریز پروژه‌های اقتصادی از مطالب پیشرفته آماری مانند سریهای زمانی ، به عنوان ابزار کار یاری می‌گیرد. به همین دلیل امروزه تربیت متخصصان علم ریاضی، یعنی افرادی که قادر هستند ریاضیات مورد نیاز را آموزش داده و یا تولید کنند، اهمیت بسیار زیادی دارد. چرا که لازمه پیشرفت در تکنولوژی ، توجه به دانش ریاضی می‌باشد.
اما یکی از دانشجویان این رشته نظر جالبی در مورد توانایی یک فارغ‌التحصیل رشته ریاضی دارد:
«درست است که در جامعه ما مکان مشخصی برای جذب فارغ‌التحصیلان ریاضی وجود ندارد اما یک لیسانس ریاضی به دلیل نظم فکری و بینش عمیقی که در طی تحصیل به دست می‌آورد، می‌تواند با مطالعه و تلاش شخصی در بسیاری از شغل‌ها ، حتی شغل‌هایی که در ظاهر ارتباطی با ریاضی ندارد موفق گردد.»
توانایی‌های مورد نیاز و قابل توصیه :
شاید مهمترین توانایی علمی یک دانشجوی ریاضی ، تسلط بر درس ریاضی دبیرستان ‌باشد که این امر صرفا زاییده علاقه شخصی به این درس است.
«این رشته نیازمند دانشجویانی است که از نظر ذهنی آمادگی جذب ایده‌های جدید را داشته باشند و بتوانند الگوها و نظم را درک کرده و مسایل غیرمتعارف را حل کنند. به عبارت دیگر یک روحیه علمی ، تفکر انتقادی و توانایی تجزیه و تحلیل داشته باشند.»
از آنجا که ریاضیات ورود به عرصه‌های ناشناخته و کشف قوانین آن است ، علاقمندی به مباحث ریاضی از همان دوران تحصیل در دبیرستان مشخص می‌شود. همین علاقمندی است که می‌تواند راه‌های بسیار سخت را برای دانشجوی این رشته هموار سازد.
یک ریاضیدان قبل از هرچیز باید جرات قدم‌گذاری در وادی ناشناخته‌ه را داشته باشد.
بطور کلی دقت ،‌تجزیه و تحلیل صحیح و صبر و پشتکار سه عامل اصلی در توفیق داوطلب در این رشته می‌باشد.
وضعیت نیاز کشور به این رشته در حال حاضر:
دکتر بابلیان معتقد است هر وزارتخانه یا شرکتی نیاز به افرادی دارد که علاوه بر دانستن الفبای کامپیوتر، دارای توانایی تجزیه و تحلیل و تصمیم‌گیری مناسب باشند. در این زمینه شرکتها می‌توانند فارغ‌التحصیلان ریاضی محض و یا کاربردی را جذب نمایند.
رشته‌های مختلف ریاضی جایگاه وسیعی در جامعه دارند از آن جمله :
تمام رشته‌های مهندسی ، رشته‌های مختلف علوم پایه (فیزیک ، شیمی ،‌زیست‌شناسی، زمین شناسی)، پزشکی، علوم کامپیوتر، اکتشافات فضایی،‌ بازرگانی، برنامه‌ریزیهای دولتی، غالب رشته‌های وابسته به صنعت ، مدیریت و رشته‌های مختلف کشاورزی به رشته ریاضی وابسته‌اند و از آن به طور مستقیم استفاده می‌کنند؛‌ همچنین بخش بزرگی از فعالیتهای اقتصادی و تولیدی کشور در طرحهای مختلف نظیر: نفت ، پتروشیمی، حمل و نقل و … ، مستقیم و یا غیرمستقیم از ریاضی استفاده می‌کنند.

sajadhoosein
16-02-2011, 08:36
جبر بول و کاربرد آن - آغاز حرکتی نوین



در سال ۱۸۵۴ جرج بول ریاضیدان انگلیسی اثر بزرگ خود را با عنوان تحقیقی درباره قوانین تفکر منتشر کرد. در این اثر بول دستگاهی از منطق ریاضی ابداع کرد که آن را بر اساس آنچه امروزه جبر بولی نامیده می شود بسط و گسترش داد. در سال ۱۹۳۸ کلود آلوود شانون جبر توابع کلیدزنی را ابداع کرد و نشان داد چگونه ساختار این جبر با ایده های بول مرتبط است. به این ترتیب جزیی از ریاضیات مجرد قرن شانزدهم شاخه ای از ریاضیات کاربردی در قرن بیستم می شود. برای آشنایی شما عزیزان چند تعریف ابتدایی از این مفاهیم را بیان می کنیم.
متغیر x را بولی گوییم هرگاه قواعد زیر برقرار باشد:
x+x=x
x۲=x.x=xx=x
اگر x و y دو متغیر بولی باشند آنگاه:
۱) x+y=۰ اگر و فقط اگر x=y=۰
۲) xy=۱ اگر و فقط اگر x=y=۱
در فرآیندهای بولی قوانین جبری همانند تعویض پذیری، شرکت پذیری، پخش پذیری و … نیز برقرارند. جالب است بدانید واژه بیت توسط کلود شانون برای نمایش اطلاعات بر حسب آن ابداع شد. برای کسب دانش بیشتر در این زمینه شما را دعوت می کنیم به مطالعه کتاب Discrete And Combinatorial Mathematics اثر Ralph P.Grimaldi فصل ۱۵.

sajadhoosein
16-02-2011, 08:53
کمک به کودک در آموختن ریاضیات



بسیاری از اولیا برای کمک به کودک خود در آموختن ریاضیات ، سعی میکنند به روشهای گوناگون متوصل شوند تا مفاهیم پیچیده ی ریاضی را به او بیاموزند. برای اینکه کودک بهترین کمک را دریافت کند ، باید هدف را ایجاد اشتیاق هرچه بیشتر در نظر گرفت و سعی کرد تا آنجا که ممکن است فشار ر کاهش داد . انگیزه ی یادگیری را با نشان دادن کاربرد گسترده ریاضی در زندگی روزمره و اینکه خود اولیا احساس منفی خود را از ریاضی به کودک القا نکنند ، می توان قوی تر ساخت .
سعی کنید احساس شخصی شما نسبت به ریاضی ، شناخت کودک را از دنیای اعداد و محاسبات تحت تاثیر قرار ندهد. زمان روش های آزار دهنده ای برای آموزش مفاهیم ریاضی سپری شده و نگاه جدید سعی در هر چه بیشتر کاربردی تر ساختن این آموزش دارد تا آموخته های کودکان با جهان واقعیت سازگارتر باشد .
با کاربرد روزمره ریاضی در زندگی ، کودک به اهمیت این مهارت پی خواهد برد. مثلا به هنگام پرداخت صورت حساب خرید یا اندازه گیری متراژ منزل یا محاسبه وزن مواد غذایی در آشپزی ، می توان کودک را به کمک طلبید . با توضیح شغل های مختلف مثل مهندسان ، دارو سازان و ستاره شناسان ،دید گاه او به کاربرد ریاضی گسترده تر خواهد شد .با صدای بلند حساب کردن در منزل یا فروشگاه ، که روند محاسبه را به کودک نشان می دهد نیز روش موثری است . مثلا ، وقتی کودک از شما تقاضای شیرینی می کند با گفتن اینکه ” خوب ، اگر از این پنج شیرینی یکی ر تو بخوری و یکی هم خواهرت بخورد برای من و پدرت چند تا باقی می ماند؟ ” از او بخواهید که او هم با صدای بلند حسابش را به شما بگوید.مهمتر از جواب درست یا نادرست او ، روالی است که او برای رسیدن به جواب استفاده می کند .
بسته به علاقه کودک و البته نظر معلم او ، گاهی و نه همیشه ، ماشین حساب و نرم افزار های رایانه ای برای ایجاد هیجان نسبت به مفاهیم ریاضی و محاسبات مفید خواهد بود .
یکساعت عقربه ای برای کودک تهیه کنید.گاهی از او سیوالاتی در مورد زمان بپرسید.مثلا : ” اگر برادرت ساعت ۴ بیاید ، چند دقیقه ی دیگر باید منتظر باشیم ؟”
کودک بخواهید وزن اشیا ، لوازم منزل ، کتاب و … را حدس بزند.خود شما هم حدس بزنید و بعد با ترازو تعیین کنید که کدام یک نزدیکتر حدس زده است.یک روش دیگر جمع زدن اندازه ی قد یا وزن اعضای خانواده است تا معلوم شود در مجموع قد یا وزن خانواده شما چقدر است .این روش برای تمرین جمع اعداد سه یا دو رقمی مناسب است .
بازی های خرید و فروش با مقدارهای مختلف پول کودک را با مفهوم پول و محاسبه آن آشنا می کند . بازی هایی مثل مونو پولی ،هنوز برای بسیاری از اولیا و کودکان جالب است.یک بازی دیگر هم پیشنهاد می شود: با کمک یک تاس اعداد ، اعضای خانواده عددی را بین یک وشش بدست می آورند و برابر آن سکه معینی -مثلا یک تومانی - دریافت می کنند ، وقتی مجموع سکه ها به رقمی قابل تعویض رسید ، آنرا با اسکناس ی سکه ی پر ارزش تر ، معاوضه می کنند .وقتی بودجه فرضی تمام شد ، کسی که بیشترین میزان پول را بدست آورده است ، برنده می شود . در مثالی دیگر، می توان کودک را با بودجه ای معین برای خرید لوازم یک وعده غذا به حساب دعوت کرد و دید که چطور بودجه بندی را می آموزد و آیا حدس های او قابل انجام است؟ و اگر چنین بود بر همان اساس خرید انجام بشود .
یک روش برای آشنایی وی با مفهوم حجم ، وزن و نسبت این است که با کمک ظروف اندازه گیری از او بخواهید مقادیر برنج ، حبوبات یا مایعات را برای تهیه ی غذا پیمانه کند .
گاهی اولیا نگران توان یادگیری فرزندشان هستند . در این شرایط،معلمان بهترین داوری را عرضه می کنند زیرا امکان مقایسه کودک را در کنار همکلاسان دیگر و شرایط مختلف مدرسه دارند .علایمی مانند مشکل در یاد آوری ارقام ، اشتباه نوشتن اعداد مثلا ۷ با ۸ یا ۳ با ۲ ، کلافه شدن و بیقراری هنگام کار با ارقام ، ناتوانی در دنبال کردن دستور العمل های ساده ریاضی ، ناتوانی در درک مفاهیم ذهنی مثل بزرگتر و کوچکتر یا قبل و بعد یا کم سن تر و مسن تر و اضطراب بالا در مورد تکالیف ریاضی که اگر همه یا اغلب شان در یک کودک دیده شود باید با معلم کودک صحبت نمود . چون قبل از آنکه تشخیص اختلال یادگیری مطرح شود باید این احتمال که شاید کودک تحت فشار زیاد تر از حد توان است یا نیازمند تمرین هایی مانند آنچه در بالا ذکر شد است ، رد شود .سرانجام ممکن است اولیا و معلم ، به این نتیجه برسند که کمک روانپزشکی برای کودک لازم است .

sajadhoosein
16-02-2011, 08:59
دنباله های سریع رشد



در این مطلب٬ می خوام براتون تعریفی از دنباله های سریع رشد (اسمی که خودم روشون گذاشتم) ارایه بدم که میشه کاربردهای زیادی براشون پیدا کرد و نتایج جالبی رو ازشون نتیجه گرفت.
تعریف: فرض کنیم Q یک عدد طبیعی ثابت باشد. تعریف می کنیم:
C۰=۱+Q
Cn=Cn-۱۲+QCn-۱-Q
در اینصورت دنباله {Cn} را یک دنباله سریع رشد از مرتبه یک و مبنای Q می نامند.
دنباله هایی با این ساختار مجموعه ای نامتناهی را تشکیل می دهند. یعنی شما می توانید هر بار دنباله های جدیدتری بسازید. حتی با تغییر فرمولبندی غالب می توانید مجموعه نامتناهی دیگری از این نوع بسازید. از دنباله های معروف سریع رشد می توان به دنباله منسوب به فرما اشاره کرد.

sajadhoosein
16-02-2011, 09:07
هندسه نااقلیدسی و انحنای فضا



مقدمه
علومی که از یونان باستان توسط اندیشمندان اسلامی محافظت و تکمیل شد، از قرون یازدهم میلادی به بعد به اروپا منتقل شد، بیشتر شامل ریاضی و فلسفه ی طبیعی بود. فلسفه ی طبیعی توسط کوپرنیک، برونو، کپلر و گالیله به چالش کشیده شد و از آن میان فیزیک نیوتنی بیرون آمد. چون کلیسا خود را مدافع فلسفه طبیعی یونان می دانست و کنکاش در آن با خطرات زیادی همراه بود، اندیشمندان کنجکاو بیشتر به ریاضیات می پرداختند، زیرا کلیسا نسبت به آن حساسیت نشان نمی داد. بنابراین ریاضیات نسبت به فیزیک از پیشرفت بیشتری برخوردار بود. یکی از شاخه های مهم ریاضیات هندسه بود که آن هم در هندسه ی اقلیدسی خلاصه می شد.
در هندسه ی اقلیدسی یکسری مفاهیم اولیه نظیر خط و نقطه تعریف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بدیهیات پذیرفته بودند و سایر قضایا را با استفاده از این اصول استنتاج می کردند. اما اصل پنجم چندان بدیهی به نظر نمی رسید. بنابر اصل پنجم اقلیدس از یک نقطه خارج از یک خط، یک خط و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد. برخی از ریاضیدانان مدعی بودند که این اصل را می توان به عنوان یک قضیه ثابت کرد. در این راه بسیاری از ریاضیدانان تلاش زیادی کردند و نتیجه نگرفتند. خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات “اصل توازی” مبتکر مفهوم عمیقی در هندسه شد. در تلاش برای اثبات این اصل، خیام گزاره هایی را بیان کرد که کاملا مطابق گزاره هایی بود که چند قرن بعد توسط والیس و ساکری ریاضیدانان اروپایی بیان شد و راه را برای ظهور هندسه های نااقلیدسی در قرن نوزدهم هموار کرد. سرانجام و پس از دو هزار سال اصولی متفاوت با آن بیان کردند و هندسه های نااقلیدسی شکل گرفت. بدین ترتیب علاوه بر فلسفه ی طبیعی ریاضیات نیز از انحصار یونانی خارج و در مسیری جدید قرار گرفت و آزاد اندیشی در ریاضیات آغاز گردید.
۱-۵ اصطلاحات بنیادی ریاضیات
طی قرنهای متمادی ریاضیدانان اشیاء و موضوع های مورد مطلعه ی خود از قبیل نقطه و خط و عدد را همچون کمیت هایی در نظر می گرفتند که در نفس خویش وجود دارند. این موجودات همواره همه ی کوششهای را که برای تعریف و توصیف شایسته ی آنان انجام می شد را با شکست مواجه می ساختند. بتدریج این نکته بر ریاضیدانان قرن نوزدهم آشکار گردید که تعیین مفهوم این موجودات نمی تواند در داخل ریاضیات معنایی داشته باشد. حتی اگر اصولاً دارای معنایی باشند.
بنابراین، اینکه اعداد، نقطه و خط در واقع چه هستند در علوم ریاضی نه قابل بحث است و نه احتیاجی به این بحث هست. یک وقت براتراند راسل گفته بود که ریاضیات موضوعی است که در آن نه می دانیم از چه سخن می گوییم و نه می دانیم آنچه که می گوییم درست است.
دلیل آن این است که برخی از اصطلاحات اولیه نظیر نقطه، خط و صفحه تعریف نشده اند و ممکن است به جای آنها اصطلاحات دیگری بگذاریم بی آنکه در درستی نتایج تاثیری داشته باشد. مثلاً می توانیم به جای آنکه بگوییم دو نقطه فقط یک خط را مشخص می کند، می توانیم بگوییم دو آلفا یک بتا را مشخص می کند. با وجود تغییری که در اصطلاحات دادیم، باز هم اثبات همه ی قضایای ما معتبر خواهد ماند، زیرا که دلیل های درست به شکل نمودار بسته نیستند، بلکه فقط به اصول موضوع که وضع شده اند و قواعد منطق بستگی دارند.
بنابراین، ریاضیات تمرینی است کاملاً صوری برای استخراج برخی نتایج از بعضی مقدمات صوری. ریاضیات احکامی می سازند به صورت هرگاه چنین باشد، آنگاه چنان خواهد شد و اساساً در آن صحبتی از معنی فرضها یا راست بودن آنها نیست. این دیدگاه (صوریگرایی) با عقیده ی کهن تری که ریاضیات را حقیقت محض می پنداشت و کشف هندسه های نااقلیدسی بنای آن را درهم ریخت، جدایی اساسی دارد. این کشف اثر آزادی بخشی بر ریاضیدانان داشت.
۲-۵ اشکالات وارد بر هندسه اقلیدسی
هندسه ی اقلیدسی بر اساس پنچ اصل موضوع زیر شکل گرفت:
اصل اول - از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه ی دیگر کشید.
اصل دوم - هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد.
اصل سوم - می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد.
اصل چهارم - همه ی زوایای قایمه با هم مساوی اند.
اصل پنجم - از یک نقطه خارج یک خط، یک خط و و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد.
اصل پنجم اقلیدس که ایجاز سایر اصول را نداشت، به هیچوجه واجد صفت بدیهی نبود. در واقع این اصل بیشتر به یک قضیه شباهت داشت تا به یک اصل. بنابراین طبیعی بود که لزوم واقعی آن به عنوان یک اصل مورد سیوال قرار گیرد. زیرا چنین تصور می شد که شاید بتوان آن را به عنوان یک قضیه نه اصل از سایر اصول استخراج کرد، یا حداقل به جای آن می توان معادل قابل قبول تری قرار داد.
در طول تاریخ ریاضیدانان بسیاری از جمله، خواجه نصیرالدین طوسی، جان والیس، لژاندر، فورکوش بویویی و … تلاش کردند اصل پنجم اقلیدس را با استفاده از سایر اصول نتیجه بگیرنر و آن را به عنوان یک قضیه اثبات کنند. اما تمام تلاشها بی نتیجه بود و در اثبات دچار خطا می شدند و به نوعی همین اصل را در اثباط خود به کار می بردند. دلامبر این وضع را افتضاح هندسه نامید.
یانوش بویویی یکی از ریاضیدانان جوانی بود که در این را تلاش می کرد. پدر وی نیز ریاضیدانی بود که سالها در این این مسیر تلاش کرده بود .
و طی نامه ای به پسرش نوشت: تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازی ها تلاش کنی، من پیچ و خم این راه را از اول تا آخر می شناسم. این شب بی پایان همه روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فرو برده است، التماس می کنم دانش موازیها را رها کنی.
ولی یانوش جوان از اخطار پدیر نهرسید، زیرا که اندیشه ی کاملاً تازه ای را در سر می پروراند. او فرض کرد نقیض اصل توازی اقلیدس، حکم بی معنی ای نیست. وی در سال ۱۸۲۳ پدرش را محرمانه در جریان کشف خود قرار داد و در سال ۱۸۳۱ اکتشافات خود را به صورت ضمیمه در کتاب تنتامن پدرش منتشر کرد و نسخه ای از آن را برای گایوس فرستاد. بعد معلوم شد که گایوس خود مستقلاً آن را کشف کرده است.
بعدها مشخص شد که لباچفسکی در سال ۱۸۲۹ کشفیات خود را در باره هندسه نااقلیدسی در بولتن کازان، دو سال قبل از بویی منتشر کرده است. و بدین ترتیب کشف هندسه های نااقلیدسی به نام بویویی و لباچفسکی ثبت گردید.
۳-۵ هندسه های نا اقلیدسی
اساساً هندسه نااقلیدسی چیست؟ هر هندسه ای غیر از اقلیدسی را نا اقلیدسی می نامند. از این گونه هندسه ها تا به حال زیاد شناخته شده است. اختلاف بین هندسه های نا اقلیدسی و اقلیدسی تنها در اصل توازی است. در هندسه اقلیدسی به ازای هر خط و هر نقطه نا واقع بر آن یک خط می توان موازی با آن رسم کرد.
نقیض این اصل را به دو صورت می توان در نظر گرفت. تعداد خطوط موازی که از یک نقطه نا واقع بر آن، می توان رسم کرد، بیش از یکی است. و یا اصلاً خطوط موازی وجود ندارند. با توجه به این دو نقیض، هندسه های نا اقلیدسی را می توان به دو گروه تقسیم کرد.
یک - هندسه های هذلولوی
هندسه های هذلولوی توسط بویویی و لباچفسکی بطور مستقل و همزمان کشف گردید.
اصل توازی هندسه هذلولوی - از یک خط و یک نقطه ی نا واقع بر آن دست کم دو خط موازی با خط مفروض می توان رسم کرد.
دو - هندسه های بیضوی
در سال ۱۸۵۴ فریدریش برنهارد ریمان نشان داد که اگر نامتناهی بودن خط مستقیم کنار گذاشته شود و صرفاً بی کرانگی آن مورد پذیرش واقع شود، آنگاه با چند جرح و تعدیل جزیی اصول موضوعه دیگر، هندسه سازگار نااقلیدسی دیگری را می توان به دست آورد. پس از این تغییرات اصل توازی هندسه بیضوی بصورت زیر ارایه گردید.
اصل توازی هندسه بیضوی - از یک نقطه ناواقع بر یک خط نمی توان خطی به موازات خط مفروض رسم کرد.
یعنی در هندسه بیضوی، خطوط موازی وجود ندارد. با تجسم سطح یک کره می توان سطحی شبیه سطح بیضوی در نظر گرفت. این سطح کروی را مشابه یک صفحه در نظر می گیرند. در اینجا خطوط با دایره های عظمیه کره نمایش داده می شوند. بنابراین خط ژیودزیک یا مساحتی در هندسه بیضوی بخشی از یک دایره عظیمه است.
در هندسه بیضوی مجموع زوایای یک مثلث بیشتر از ۱۸۰ درجه است. در هندسه بیضوی با حرکت از یک نقطه و پیمودن یک خط مستقیم در آن صفحه، می توان به نقطه ی اول باز گشت. همچنین می توان دید که در هندسه بیضوی نسبت محیط یک دایره به قطر آن همواره کمتر از عدد پی است.
۴-۵ انحنای سطح یا انحنای گایوسی
اگر خط را راست فرض کنیم نه خمیده، چنانچه ناگزیر باشیم یک انحنای عددی k به خطی نسبت دهیم برای خط راست خواهیم داشت k=o انحنای یک دایره به شعاع r برابر است با k=۱/r.
تعریف می کنند. همچنین منحنی هموار، منحنی ای است که مماس بر هر نقطه اش به بطور پیوسته تغییر کند. به عبارت دیگر منحنی هموار یعنی در تمام نقاطش مشتق پذیر باشد.
برای به دست آوردن انحنای یک منحنی در یک نقطه، دایره بوسان آنرا در آن نقطه رسم کرده، انحنای منحنی در آن نقطه برابر با انحنای دایره ی بوسان در آن نقطه است. دایره بوسان در یک نقطه از منحنی، دایره ای است که در آن نقطه با منحنی بیشترین تماس را دارد. توجه شود که برای خط راست شعاع دایره بوسان آن در هر نقطه واقع بر آن بینهایت است.
برای تعیین انحنای یک سطح در یک نقطه، دو خط متقاطع مساحتی در دو جهت اصلی در آن نقطه انتخاب کرده و انحنای این دو خط را در آن نقاط تعیین می کنیم. فرض کنیم انحنای این دو خط
k۱=۱/R۱ and k۲=۱/R۲
باشند. آنگاه انحنای سطح در آن نقطه برابر است با حاصلضرب این دو انحنا، یعنی :
k=۱/R۱R۲
انحنای صفحه ی اقلیدسی صفر است. همچنین انحنای استوانه صفر است:
k=o
برای سطح هذلولوی همواره انحنای سطح منفی است :
k<>
برای سطح بیضوی همواره انحنا مثبت است :
k>o
در جدول زیر هر سه هندسه ها با یکدیگر مقایسه شده اند:

نوع هندسه

تعداد خطوط موازی

مجموع زوایای مثللث

نسبت محیط به قطر دایره

اندازه انحنا

اقلیدسی

یک

۱۸۰

عدد پی

صفر

هذلولوی

بینهایت

< 180

> عدد پی

منفی

بیضوی

صفر

> ۱۸۰

< عدد پی

مثبت


۴-۶ مفهوم و درک شهودی انحنای فضا
سیوال اساسی این است که کدام یک از این هندسه های اقلیدسی یا نا اقلیدسی درست است؟
پاسخ صریح و روشن این است که باید انحنای یک سطح را تعیین کنیم تا مشخص شود کدام یک درست است. بهترین دانشی کا می تواند در شناخت نوع هندسه ی یک سطح مورد استفاده و استناد قرار گیرد، فیزیک است. یک صفحه ی کاغذ بردارید و در روی آن دو خط متقاطع رسم کنید. سپس انحنای این خطوط را در آن نقطه تعیین کرده و با توجه به تعریف انحنای سطح حاصلضرب آن را به دست می آوریم. اگر مقدار انحنا برابر صفر شد، صفحه اقلیدسی است، اگر منفی شد می گوییم صفحه هذلولوی است و در صورتی که مثبت شود، ادعا می کنیم که صفحه بیضوی است .
در کارهای معمولی مهندسی نظیر ایجاد ساختمان یا ساختن یک سد بر روی رودخانه، انحنای سطح مورد نظر برابر صفر است، به همین دلیل در طول تلریخ مهندسین همواره از هندسه اقلیدسی استفاده کرده اند و با هیچگونه مشکلی هم مواجه نشدند. یا برای نقشه برداری از سطح یک کشور اصول هندسه ی اقلیدسی را بکار می برند و فراز و نشیب نقاط مختلف آن را مشخص می کنند. در این محاسبات ما می توانیم از خطکش هایی که در آزمایشگاه یا کارخانه ها ساخته می شود، استفاده کنیم. حال سیوال این است که اگر خطکش مورد استفاده ی ما تحت تاثیر شرایط محیطی قرار بگیرد چه باید کرد؟ اما می دانیم از هر ماده ای که برای ساختن خطکش استفاده کنیم، شرایط فیزیکی محیط بر روی آن اثر می گذارد. البته با توجه با تاثیر محیط بر روی خطکش ما تلاش می کنیم از بهترین ماده ی ممکن استفاده کنیم. بهمین دلیل چوب از لاستیک بهتر است و آهن بهتر از چوب است.
اما برای مصافتهای دور نظیر فواصل نجومی از چه خطکشی (متری) می توانیم استفاده کنیم؟ طبیعی است که در اینجا هیچ خطکشی وجود ندارد که بتوانیم با استفاده از آن فاصله ی بین زمین و ماه یا ستارگان را اندازه بگیریم. بنابراین باید به سایر امکاناتی توجه کنیم که در عمل قابل استفاده است. اما در اینجا چه امکاناتی داریم؟ بهترین ابزار شناخته شده امواج الکترومغناطیسی است. اگر مسیر نور در فضا خط مستقیم باشد، در اینصورت با جرت می توانیم ادعا کنیم که فضا اقلیدسی است. برای پی بردن به نوع انحنای فضا باید مسیر پرتو نوری را مورد بررسی قرار دهیم .
اما تجربه نشان می دهد که مسیر نور هنگام عبور از کنار ماده یعنی زمانی که از یک میدان گرانشی عبور می کند، خط مستقیم نیست، بلکه منحنی است. بنابراین فضای اطراف اجسام اقلیدسی نیست. به عبارت دیگر ساختار هندسی فضا نااقلیدسی است.

sajadhoosein
16-02-2011, 09:13
پروفسور حسابی

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




سید محمود حسابی در سال ۱۲۸۱ (ه.ش), از پدر و مادری تفرشی در تهران زاده شدند. پس از سپری نمودن چهار سال از دوران کودکی در تهران, به همراه خانواده (پدر, مادر, برادر) عازم شامات گردیدند. در هفت سالگی تحصیلات ابتدایی خود را در بیروت, با تنگدستی و مرارت های دور از وطن در مدرسه کشیش های فرانسوی آغاز کردند و همزمان, توسط مادر فداکار, متدین و فاضله خود (خانم گوهرشاد حسابی) , تحت آموزش تعلیمات مذهبی و ادبیات فارسی قرار گرفتند.
استاد, قرآن کریم را حفظ و به آن اعتقادی ژرف داشتند. دیوان حافظ را نیز از برداشته و به بوستان و گلستان سعدی, شاهنامه فردوسی, مثنوی مولوی, منشات قایم مقام اشراف کامل داشتند.
شروع تحصیلات متوسطه ایشان مصادف با آغاز جنگ جهانی اول, و تعطیلی مدارس فرانسوی زبان بیروت بود. از این رو, پس از دو سال تحصیل در منزل برای ادامه به کالج آمریکایی بیروت رفتند و در سن هفده سالگی لیسانس ادبیات, در سن نوزده سالگی, لیسانس بیولوژی و پس از آن مدرک مهندسی راه و ساختمان را اخذ نمودند. در آن زمان با نقشه کشی و راهسازی, به امرار معاش خانواده کمک می کردند. استاد همچنین در رشته های پزشکی, ریاضیات و ستاره شناسی به تحصیلات آکادمیک پرداختند. شرکت راهسازی فرانسوی که استاد در آن مشغول به کار بودند, به پاس قدردانی از زحماتشان, ایشان را برای ادامه تحصیل به کشور فرانسه اعزام کرد و بدین ترتیب در سال۱۹۲۴ (م) به مدرسه عالی برق پاریس وارد و در سال ۱۹۲۵ (م) فارغ التحصیل شدند.
همزمان با تحصیل در رشته معدن, در راه آهن برقی فرانسه مشغول به کار گردیدند و پس از پایان تحصیل در این رشته کار خود را در معادن آهن شمال فرانسه و معادن زغال سنگ ایالت “سار” آغاز کردند. سپس به دلیل وجود روحیه علمی, به تحصیل و تحقیق, در دانشگاه سوربن, در رشته فیزیک پرداختند و در سال ۱۹۲۷ (م) در سن بیست و پنج سالگی دانشنامه دکترای فیزیک خود را , با ارایه رساله ای تحت عنوان “حساسیت سلول های فتوالکتریک”, با درجه عالی دریافت کردند. استاد با شعر و موسیقی سنتی ایران و موسیقی کلاسیک غرب به خوبی آشنایی داشتند وایشان در چند رشته ورزشی موفقیت هایی کسب نمودند که از آن میان می توان به دیپلم نجات غریق در رشته شنا اشاره نمود.
پروفسور حسابی به دلیل عشق به میهن و با وجود امکان ادامه تحقیقات در خارج از کشور به ایران بازگشت و با ایمان و تعهد, به خدمتی خستگی ناپذیر پرداخت تا جوانان ایرانی را با علوم نوین آشنا سازد.
پایه گذاری علوم نوین و تاسیس دارالمعلمین و دانشسرای عالی, دانشکده های فنی و علوم دانشگاه تهران, نگارش ده ها کتاب و جزوه و راه اندازی و پایه گذاری فیزیک و مهندسی نوین, ایشان را به نام پدر علم فیزیک و مهندسی نوین ایران در کشور معروف کرد.
حدود هفتاد سال خدمت علمی ایشان در گسترش علوم روز و واژه گزینی علمی در برابر هجوم لغات خارجی و نیز پایه گذاری مراکز آموزشی, پژوهشی, تخصصی, علمی و …, از جمله اقدامات ارزشمند استاد به شمار می رود که برای نمونه به مواردی اشاره می کنیم:

_ اولین نقشه برداری فنی و تخصصی کشور (راه بندرلنگه به بوشهر)
_ اولین راهسازی مدرن و علمی ایران (راه تهران به شمشک)
_ پایه گذاری اولین مدارس عشایری کشور
_ پایه گذاری دارالمعلمین عالی
_ پایه گذاری دانشسرای عالی
_ ساخت اولین رادیو در کشور
_ راه اندازی اولین آنتن فرستنده در کشور
_ راه اندازی اولین مرکز زلزله شناسی کشور
_ راه اندازی اولین رآکتور اتمی سازمان انرژی اتمی کشور
_ راه اندازی اولین دستگاه رادیولوژی در ایران
_ تعیین ساعت ایران
_ پایه گذاری اولین بیمارستان خصوصی در ایران, به نام بیمارستان “گوهرشاد”
_ شرکت در پایه گذاری فرهنگستان ایران و ایجاد انجمن زبان فارسی
_تدوین اساسنامه طرح تاسیس دانشگاه تهران
_ پایه گذاری دانشکده فنی دانشگاه تهران
_ پایه گذاری دانشکده علوم دانشگاه تهران
_ پایه گذاری شورای عالی معارف
_ پایه گذاری مرکز عدسی سازی اپتیک کاربردی در دانشکده علوم دانشگاه تهران
_ پایه گذاری بخش آکوستیک در دانشگاه و اندازه گیری فواصل گام های موسیقی ایرانی به روش علمی
_ پایه گذاری و برنامه ریزی آموزش نوین ابتدایی و دبیرستانی
_ پایه گذاری موسسه ژیوفیزیک دانشگاه تهران
_ پایه گذاری مرکز تحقیقات اتمی دانشگاه تهران
_ پایه گذاری اولین رصدخانه نوین در ایران
_ پایه گذاری مرکز مدرن تعقیب ماهواره ها در شیراز
_ پایه گذاری مرکز مخابرات اسدآباد همدان
_ پایه گذاری انجمن موسیقی ایران و مرکز پژوهش های موسیقی
_ پایه گذاری کمیته پژوهشی فضای ایران
_ ایجاد اولین ایستگاه هواشناسی کشور (در ساختمان دانشسرای عالی در نگارستان دانشگاه تهران)
_ تدوین اساسنامه و تاسیس موسسه ملی ستاندارد
_ تدوین آیین نامه کارخانجات نساجی کشور و رساله چگونگی حمایت دولت در رشد این صنعت
_ پایه گذاری واحد تحقیقاتی صنعتی سغدایی (پژوهش و صنعت در الکترونیک, فیزیک, فیزیک اپتیک, هوش مصنوعی)
_ راه اندازی اولین آسیاب آبی تولید برق (ژنراتور) در کشور
_ ایجاد اولین کارگاه های تجربی در علوم کاربردی در ایران
_ ایجاد اولین آزمایشگاه علوم پایه در کشور

sajadhoosein
16-02-2011, 09:19
دکارت




می اندیشم پس هستم - مروری بر دکارت و فلسفه او
رنه دکارت علاوه بر فیلسوف از ریاضیدانان و فیزیکدانان بزرگ عصر رنسانس نیز بوده است، طوریکه او را پدر هندسه تحلیلی نیز نامیده اند. او در ۳۱ مارس ۱۵۹۶ در فرانسه به دنیا آمد و پس از طی دوره تحصیلی هشت ساله در بیست سالگی به جهان گردی پرداخت و از آن پس به قول خودش کوشید در پی خرد برود. از این رو به ارتش هلند پیوست و به جنگ رفت و بدین ترتیب اوقاتی از عمر را در قسمتهای گوناگون اروپا گذراند در ۱۶۲۹ باز هم روانه هلند شد و نزدیک بیست سال در آنجا و در آرامش به تحقیقات خود پرداخت. تحقیقات دکارت بیشتر تجربه و تفکر شخصی بود، او کمتر از کتاب و نوشته استفاده می کرد و این ما را یاد سقراط می اندازد که در کوچه های آتن قدم می زد و با هر کس به بحث و فلسفه می پرداخت و هیچ گاه چیزی از خود ننوشت!
دکارت در سپتامبر ۱۶۴۹ به دعوت ملکه سوید برای تعلیم فلسفه خویش به دربار وی در استکهلم رفت اما شرایط آب و هوا و همینطور نوع زندگی که دکارت به آن عادت نداشت او را به بیماری ذات الریه مبتلا ساخت و در ۱۱ فوریه ۱۶۵۰ در همان جا در گذشت.عصری که دکارت در آن می زیست به عصر شکاکیت نیز معروف می باشد و نمایان است که “شک” نه تنها اعتقادات دینی را متزلزل می کند بلکه آسایش و آرامش زندگی را نیز مختل می کند. دکارت نیز که به دیانت مسیحی معتقد و به گفته خودش وجود خداوند را همچون قضایای ریاضی بدیهی می دانست برای بر انداختن شکاکیت و رهانیدن اعتقادات و علوم از چنگال شک به تاسیس فلسفه جدیدی پرداخت، بمین خاطر او را پدر فلسفه نو نیز نامیده اند.
او همانند ارشمیدس که معتقد بود: “برای اینکه بتواند کره خاکی را از جا بر کند و به مکان دیگر منتقل کند تنها نیازمند یک نقطه ثابت و ساکن بود”، به دنبال نقطه ای ثابت می گشت تا بر آن تکیه کند. از اینرو دکارت می گوید: “در ابتدا باید به همه چیز شک کرد” او نمی خواست قدم اول و پایه بنا را بر جای سست قرار دهد. و در ادامه این شک او از این هم فراتر می رود و می گوید: “حتی به حواسمان نیز نمی توانیم اعتماد کنیم، حواسمان ممکن است ما را بفریبند.” اما در این میان تنها چیزی که برای او مسلم بود همین شک کردن او بود. این شک تنها چیزی بود که او یقین داشت و وقتی شک می کند، حتما می اندیشد و چون می اندیشد حتما موجودی اندیشنده است! و یا به گفته خود او: “می اندیشم، پس هستم”. او می گوید: وقتی من حکم می کنم که شییی هست یا موجود است چرا که آنها را می بینم، قطعا با بداهت بیشتری لازم می آید که خود من که شی را میبینم، وجود داشته باشم چون ممکن است آنچه من می بینم در واقع آن شی نباشد، همچنان که ممکن است من حتی چشمی نداشته باشم که چیزی را ببیند ولی محال است وقتی می بینم یا فکر می کنم که می بینم (فرقی نمی کند) خود من که فکر می کنم معدوم باشم.”
او این نقطه ثابت را بدست آورده بود و در ادامه از این نقطه پیش تر می رود و به اثبات و جود خداوند، تجرد نفس، بیان ماهیت خطا، بیان ماهیت ماده و به اثبات عالم خارج می پردازد، که اینها همه در رساله تاملات او جمع آوری شده است.
تاملات نه تنها بهترین اثر دکارت بلکه بهترین و مهمترین اثر قرن هفدهم به شمار آورد.
وجود خدا در نظر دکارت همانند ” هر که اندیشید پس هست” خود - بدیهی بود. او می گفت: تصور وجود کامل را همه ما داریم و لازمه چنین تصوری آن است که باید وجود کاملی وجود داشته باشد چون وجود کامل اگر وجود نمی داشت کامل نمی بود، در ضمن اگر وجود کاملی در میان نبود تصور آن نیز به ذهنمان راه نمی یافت! به گفته دکارت تصور خدا در ذات ماست. این تصور از وقتی که بدنیا می آییم و مثل علامتی که سازنده روی فرآورده خود می گذارد بر ما نقش شده است. چرا که تصور کمال از انسان بی کمال ممکن نیست

sajadhoosein
16-02-2011, 09:37
اعداد چند ضلعی و اعداد اول



اعداد چند ضلعی
اعداد چند ضلعی عددهایی هستند، که با شکلچند ضلعی‌های منتظم ارتباط ویژه‌ای دارند. ارتباط ویژه‌ای دارند. ابتدا به این جدول خوب دقت کنید:
خواص ریاضی اعداد چند ضلعی، با مطالعه‌ی این اشکال کشف شده‌اند. بحث در مورد عددهایی که به صورت چند ضلعی هستند، شیرین اما مفصل است. ما در اینجا سعی می کنیم. باعددهای چند ضلعی آشنا شویم ، و در مورد برخی از آنها نیز فقط به یک خاصیت اشاره کنیم.
الف ـ عددهای مثلثی: اگر چند دکمه یکسان داشته باشید، می توانید آنها را کنار هم طوری قرار‌دهید
که تشکیل یک مثلث متساوی‌الاضلاع دهند. به طوری که در سطر اول جدول مشاهده می‌کنید، در هر کدام از این مثلثها فقط یک دکمه در راس قرار‌دارد در هر یک از سطرهای پایین نیز، هر سطر یک دکمه بیشتر از سطر بالای خود دارد. پس شمار دکمه‌های به کار رفته در آنها را، چپ به راست، می‌توان چنین به دست آورد:
…،(۵+۴+۳+۲+۱)،(۴+۳+۲+۱)، (۳+۲+۱)، (۲+۱)،(۱)و حاصل هر یک از آنها نیز عدد مثلثی نام دارد. پس سری اعداد مثلثی چنین خواهد‌بود:
…،۷۸،۶۶،۵۵،۴۵،۳۶،۲۸،۲۱،۱ ،۱۰،۶،۳،۱
در اینجا اگر شمار دکمه‌های واقع در یک ضلع مثلث معلوم باشد، تعیین مجموع دکمه‌های آن ساده است. کافی خواهد‌بود، که آن را با تمام اعداد طبیعی متوالی کوچکتر از خود جمع کنیم. مثلا اگر تعداد دکمه‌ها در یک ضلع ۵ تا باشد، شمارکل دکمه‌ها۱+۲+۳+۴+۵ یعنی ۱۵تا خواهد‌بود.
ب ـ عددهای مربعی: این بار دکمه‌ها را در سطرها و ستونهای مساوی کنار هم قرار می‌دهیم. تا یک مربع تشکیل شود .با توجه به شکلهای مربوطه معلوم می‌گردد. که تعداد دکمه‌ها در آنهاـ به ترتیب ـ مساوی باتوان دوم اعداد طبیعی ۱و ۲و ۳و ۴و … خواهد‌بود.
در اینجا، با معلوم بودن شمار دکمه‌ها در یک ضلع. تعداد کل آنها در مربع معلوم خواهد بود. و اعداد مربعی عبارت از توان دوم اعداد طبیعی متوالی است، که عبارتند از:

،۱۴۴، ۱۲۱،۱۰۰،۱۱۷،۹۲،۷۰،۵۱،۳۵،۲ ۲،۱۲،۵،۱
ج- عددهای به صورت پنج ضلعی : با یک نظر به سومین سطر از جدول متوجه می شوید که اعداد مخمسی نیز عبارتند از:
۱,۵,۱۲,۲۲,۳۵,۵۱,۷۰,۹۲,۱۱۷,۱۴۵, ۱۷۶,…
ریاضیدانان محاسبه کرده‌اند، که در اینجا نیز با معلوم بودن شمار دکمه‌ها در یک ضلع، تعداد دکمه‌های به کار رفته درکل آن معلوم می‌گردد، کافی است، شمار دکمه‌هایی را که در یک ضلع واقعند، به توان دوم برسانید، و آن را با تمام اعداد طبیعی و متوالی پایین‌تر از خود جمع کنید. مثلا محاسبه‌ی دکمه‌های به کار رفته در آخرین پنج ضلعی جدول چنین است: ۱+۲+۳+۴+۵۲، که مساوی ۳۵می‌شود. و هر گاه بخواهیم یک عدد مخمسی پیدا کنیم، که یک ضلع شامل ۸ واحد شود، باید چنین کنیم:
۱+۲+۳+۴+۵+۶+۷+۸۲که حاصل ۹۲می‌شود.
دـ اعداد شش ضلعی: اعداد شش ضلعی نیز با توجه به شکل عبارتند از:
…، ۲۳۱، ۱۹۰، ۱۵۳، ۱۲۰، ۹۱، ۶۶، ۴۵، ۲۸، ۱۵، ۶، ۱
در اینجا نیز هر عدد به صورت شش ضلعی، برابر است، با تعداد واحدهای آن در یک ضلع، به اضافه‌ی چهار برابر عدد مثلثی ردیف قبل از آن. به عنوان مثال، در آخرین شکل مربوط به شش ضلعی، در یک ضلع ۵ دکمه وجود‌دارد.و می‌‌دانیم که چهارمین عدد‌مثلثی ۱۰ است. پس می‌توان نوشت: ۱۰×۴+۵، که نتیجه ۴۵دکمه می‌‌شود. حالا شما می‌دانید که مثلاّ عدد شش ضلعی ۲۳۱ چگونه به دست آمده است.
ه_ عددهای هفت ضلعی و هشت ضلعی: اکنون نوبت شماست، که با توجه به اعداد چند ضلعی قبلی، اولاّ طرز تشکیل اعداد مربوط به آنها را معین کنید. ثانیاّ با معلوم بودن تعداد واحدهای یک ضلع از هر کدام چند ضلعی مربوط به آن را هم بیابید.
اعداد اول
تعریف:عدد طبیعی p>۱,pرا اول می نامند به شرطی که تنها مقسوم علیه های مثبت آن ۱وp باشند. اگرعددی طبیعی وبزرگتر از ۱اول نباشد مرکب است.
قضیه ۱: تعداد اعداد اول نامتناهی است.
برهان: حکم را به روشی که منسوب به اقلیدس است اثبات می کنیم: فرض کنید تعداد اعداد اول متناهی و تعداد آنها n تا باشد . حال عدد M را که برابر حاصلضرب این اعداد به علاوه ی ۱ را در نظر بگیرید. این عدد مقسوم علیهی غیر از آن n عدد دارد که با فرض در تناقض است.
(البته شایان ذکر است که این قضیه اثبات های گوناگونی دارد که ما ساده ترین آنها را انتخاب کردیم اگر مایلید می توانید اثبات های دیگر آن را بیاورید.)
قضیه ۲:قضیه ی اساسی حساب: هر عدد طبیعی بزرگتر از ۱ را به شکل حاصلضرب اعدادی اول نوشت.
قضیه ۳: قضیه چپیشف:اگر n عددی طبیعی و بزرگتر از ۲ باشد, حتما” بین n و ۲n عدد اولی وجود دارد.

sajadhoosein
16-02-2011, 09:49
نگاه اجمالی به علم ریاضی



دید کلی
پرسشی که بارها از سوی دانش آموزان ، دانشجویان و حتی دبیران مطرح می‌شود این است که چرا ریاضیات می‌خوانیم؟ یا چرا ریاضیات تدریس می‌شود؟ چرا باید ریاضیات مورد توجه قرار گیرد؟ یا اصولا ریاضیات چه نقشی در زندگی می‌تواند داشته باشد و سوالاتی از این قبیل. آنچه مسلم است این است که نمی‌توان به این پرسشها در قالب یک یا چند جمله پاسخ قانع کننده‌ای داد. به طور کلی در جدال انسان برای رسیدن به اهداف خود ریاضیات نقش اساسی داشته و تا حد اعجاب آوری در پیشرفت و رشد تکنولوژی و مسایل پزشکی و ارتباطات نقش چشمگیر و قابل ملاحظه و انکار ناپذیر دارد.
ویژگی های ریاضیات
* اولین ویژگی ریاضیات دقت است، کم و زیاد شدن یک صفر ، مثبت یا منفی در نظر گرفتن یک رقم ، پس و پیش کردن یک نماد ، اضافه کردن یک کلمه و … هر کدام می‌تواند مساله‌ای را به جوابی دیگر رساند یا صورت مساله را عوض کند.
* دومین ویژگی ریاضیات ، خلاصه گویی و استفاده از مطالب ، قضیه‌ها و مساله‌های اثبات شده به عنوان ابزارهایی برای حل مساله‌های جدید است و این که همواره به دنبال داده‌های صحیح و کوتاه باشیم.
جنبه‌های مختلف ریاضیات
ریاضیات به عنوان یک ابزار
یعنی وسیله‌ای برای توصیف و تجزیه و تحلیل و انتقال آن ، به دلیل گنگ و نامفهوم بودن زبانهای معمولی.
ریاضیات به عنوان یک موضوع
ریاضیات علاقه می‌آفریند و لذت می‌بخشد و ارزش مطالعه محض و مستقل از کاربرد دارد که خود جنبه آزادی اندیشه را از قید زمان و مکان می‌طلبد چرا که در بسیاری از موارد مطالعات در خارج از فضای سه بعدی و در فضاهای آفریده شده توسط ریاضیدان صورت می‌گیرد. بطوری که بیشتر مفاهیم مهم ریاضی به واسطه همین ، امروز کاربرد زیادی پیدا کرده‌اند. همان طور که در ساختن بدن سالم نیاز به ورزش مکرر فیزیکی داریم.
ریاضیات به عنوان یک علم
یعنی از دیدگاه کاربردی که نقش و ارزش آن در جوامع کنونی بشری روز به روز مورد توجه قرار گرفته است و کاملا محسوس می‌باشد.
ریاضیات به عنوان یک مساله تربیتی
برای پرورش ونظم فکری و بالابردن قدرت اندیشه و استدلال منطقی همچنین رشد قوه خلاقیت ذهنی که شاید این جنبه از ریاضیات مهمترین هدف از تدریس آن می‌باشد.
ریاضیات از دیدگاه دانشمندان
* گالیله می‌گوید: اصول ریاضیات الفبای زبانی است که خداوند جهان را با آن نوشته است و بدون کمک آنها درک یک کلمه هم غیر ممکن است. و انسان بیهوده در راهروهای تاریک و پر پیچ و خم سرگردان است.
* لیوناردو داوینچی معتقد است که: هیچ دانشی را نمی‌توان دانش واقعی دانست مگر این که به صورت ریاضیات متجلی شود.
* واجر بیکن معتقد است که: ریاضیات دروازه علوم است غفلت از ریاضیات به همه دانشها لطمه می‌زند زیرا کسی که علوم دیگر را نمی‌تواند درک کند و اشیای دیگر جهان را نمی‌شناسد. و بدتر از آن کسانی که نادانند نمی‌توانند جهالت خود را درک کنند.
* کانت می‌گوید: در هر بخش از علوم فیزیکی به معنای عام آن قدر از علم واقعی است که در آن ریاضیات وجود دارد یعنی علوم منهای ریاضیات یعنی هیچ.
فرجام سخن
بنابراین اگرفردی به هر دلیل در رسیدن به هدف از ریاضی کمک نگیرد، وظیفه خود را انجام نداده است و همچنین اگر شخصی توانایی را در این مورد بدست نیاورد نه تنها توفیقی به دست نمی‌آورد، بلکه در زندگی اجتماعی نیز از طریق راههای سالم پیروزی چشمگیر نخواهد داشت. می‌توان نتیجه گرفت که ریاضیات غذای مغز است. که باید بطور حساب شده به مغز برسد. همچنین ریاضیات مانند غلتکی است که جاده ناهموار و سنگلاخ علم را صاف و ناهموار می‌سازد تا دیگر علوم در گذر زمان سرعت بیشتری بگیرند.

sajadhoosein
16-02-2011, 09:58
ریاضیات در زندگی و عمل



ریاضیات و زندگی
علم لقمه برگرفتن از سفره طبیعت است . و ریاضی زاییده احتیاجو در آغازمبتنی بر تجربه. ریاضیات انعکاس دنیای واقعی در ذهن ماست. به عقیده بعضی‌ها :ریاضیات زیباترین زبان برای توصیف طبیعت و روابط بین پدیده‌های طبیعی است.
سیلوستر می‌گوید:”ریاضیات ،مطالعه شباهتها در تفاوتها و مطالعه تفاوتها درشباهتهاست.”
علت اساسی موفقیت ریاضیدانان در آفریدن علمی به این زیبایی که عمیق‌ترین معرفت بشری شمرده می‌شود:سخت‌گیری بدون بخشش کوچکترین خطاها در کنار روش و معیارهای منطقی آنها به همراه جدیت ، خلاقیت ، به غایت اندیشیدن و نیز بلند پروازی و جسارت شکستن هر چه موجود است. به هر قسمت از زندگی که کنجکاوانه و با دقت بنگریم ، اثر مستقیم یا غیر مستقیم ریاضیات در آن مشاهده می‌کنیم. نمونه آن کشف اخیر این مساله توسط دانشمندان است که :” یکی از انواع حشرات که بر روی شاخ و برگ درختان لانه سازی می‌کند، روش کارش بر اساس یک فرمول پیچیده ریاضی است.”
در حالت کلی ریاضیات راه های متعددی برای باز شدن فکر در اختیار ما قرار دارد که از مهمترین آنها مطالعه ی ریاضیات از جمله شاخه ی تر کیبیات است.ریاضیات این کمک را به ما میکند تا مشکلات و موضوعات زندگی را بهتر و راحت تر تجزیه و تحلیل کنیم.
آمارهای جهانی نشان می دهد طلاق در خانواده هایی که حداقل یکی از همسران ریاضی خوانده است در مقایسه با سایر خانواده ها بسیار کمتر است.
ریاضیات و علوم
اکثر ریاضیدانان بگونه طبیعت شناس هستند یا اینکه هم فیزیکدان و هم ریاضیدان هستند. یعنی فیزیکدانان برای حل مشکلی از طبیعت یا بررسی مسایل طبیعی به ریاضیات مراجعه نموده‌اند.
بنابرین با ابزار ریاضی و ذهن خلاق فیزیکی میتوان پرده از خیلی مبهمات و مجهولات برداشت و ریاضی فیزیکی شد.
و به کشفهای بزرگی دست یافت که الگوی دانشمندان هم این بوده‌ است.
پس علوم مختلف بهم تنیده شده و مکملهای همدیگرند.
رشد یکی به دیگری وابسته هست و لازم پیشرفت در یک شاخه از علم پیشرفت در شاخه ای دیگر هم هست. مثالهای زیر این مسیله را برای ما روشن تر میکند.
کارل فردریک گوس (۱۷۷۷-۱۸۵۵) روی نقشه های جغرافیایی کار می گرد. با روش گوس توانستند بسیاری از نقشه های جغرافیایی را نقشه برداری اصلاح کنند. ولی این روش که برای تهیه و تصحیح نقشه های جغرافیایی در نظر گرفته شده بود، برای حل مساله ی حرکت آب در اطراف یک جسم و یا حرکت هوا در اطراف بال هواپیما هم به کار گرفته شد.
می بینید، ریاضیات سالها از صنعت جلوتر است و انسان می تواند به یاری ریاضیات مساله های پیچیده ی صنعت را حل کند. به کمک یک نظریه ی ریاضی که پیش تر کشف شده بود توانستند مساله های عملی مهمی را حل کنند.
جیمس کلارک ماکسول (۱۸۳۱-۱۸۷۹) فیزیکدان انگلیسی، قانون نوسان های الکترو مغناطیسی را به یاری معادله های ریاضی بیان کرد. او با روش خالص ریاضی نتیجه گرفت و ثابت کرد موجهای الکترو مغناطیسی با سرعتی نزدیک به سرعت نور منتشر می شوند. در ضمن ماکسول تاکید کرد در طبیعت به جز موج های کوتاه، موجهای الکترومغناطیسی بلند هم وجود دارند. پیش بینی ماکسول به حقیقت پیوست و ۲۵ سال بعد، موجهای رادیویی کشف شدند. در زمان ما دقت فیزیک امروزی متوجه ذره های بنیادی است که مهم ترین آنها الکترون، پروتون و نوترون هستند. ولی آیا شما می دانید همه ی این ذره های بنیادی پیش از مشاهده پیشگویی و بعد کشف شدند. نخستین ذره ی بنیادی یعنی الکترون را ژوزف جان تامسون، فیزیکدان انگلیسی (۱۸۵۶-۱۹۴۰) کشف کرد ولی پیش بینی آن را ج بستون، فیزیکدان ایرلندی در سال ۱۸۷۲ و سپس هلمهولتس (۱۸۲۱-۱۸۹۲) فیزیکدان و ریاضیدان آلمانی در سال ۱۸۸۱ کرده بودند.
مساله ای به نام حرکت ذره های ریز- الکترون ها، پروتونها، نوترونها و . . . وجود دارد که بررسی آن، قانون تغییر ذره ها را در شرایط متفاوت مشخص و تنظیم می کند. در این بررسی بسیاری از پدیده های مربوط به فیزیک اتمی و فیزیک هسته ای روشن می شوند. این بررسی به صورت یکی از شاخه های فیزیک ر آمده است و به نام مکانیک “کوانتایی” معروف است.
بسیاری از کشف های مربوط به مکانیک کوانتایی و بسیاری از قانون های آن براساس پیشگویی های نظری و بر اساس نظریه ها و روش های ریاضی به دست آمده اند. دانشمندان هم براساس همین پیشگویی های نظری، بررسی ها و پژوهش های آزمایشی خود را انجام دادند و در نتیجه مساله های زیادی روشن و قانون های بنیادی مهمی تنظیم شدند.
آیا تنها در مکانیک کوانتایی است که در آغاز به یاری ریاضیات، حکم نظری تازه و تازه تری را کشف کردند و سپس از راه آزمایش آنها را تایید کردند؟
در زمینه ی سینماتیک گازها هم پیش تر به صورت نظری، بستگی بین درجه ی حرارت، مالش (اصطکاک) دایمی گازها و ارزش نسبی و مجرد انتشار ثابت با هدایت حرارت، محاسبه می شد و سپس بر اساس این محاسبه کشف های مهم و با ارزشی صورت گرفت.
موفقیت های تازه و کشف های جدیدی که در فیزیک، شیمی، اخترشناسی، زیست شناسی و سایر دانش های طبیعی و فنی به دست آمده اند. براساس تشکیل نظریه های تازه ی ریاضی و یا استفاده از نظریه های کهنه و فراموش شده ی ریاضی انجام گرفته است.

sajadhoosein
16-02-2011, 15:08
زیبایی شناسی در ریاضیات



مقدمه
کم نیستند کسانی که ریاضیات را دانشی دشوار و دست نیافتنی و در ضمن خشک و خشن می‌پندارند و به همین مناسبت ، ریاضیدان و معلم ریاضی را فردی عبوس ، بی‌احساس و بی‌ذوق می‌پندارند و از اینکه کسی که سر و کار و رشته‌اش ریاضیات است، اهل ذوق و هنر و شعر و موسیقی باشد و از آن لذت ببرد، متحیر می‌شوند. آیا به واقع هنر و ریاضیات ، یا به عبارت دیگر ، زیبایی و ظرافت و ریاضی دو مقوله متضاد و دور از هم و ناسازگارند؟ آیا علاقه به ریاضیات و تخصص داشتن در آن ، به معنای بی‌ذوقی ، بی‌احساسی و دور بودن از زندگی است؟ انسان ترکیبی از احساس ، عاطفه و تاثیر پذیری از یک طرف و اندیشه و خرد و داوری منطقی از طرف دیگر است.
در واقع انسان ، مجموعه‌ای یگانه از جان و خرد است. احساس و منطق را با هیچ نیرویی نمی‌توان از هم جدا کرد. به قول هوشنگ ابتهاج عشق بی‌فرزانگی ، دیوانگی است. هر انسانی از تماشای چشم انداز یک دامنه سر سبز آرامش می‌یابد و در عین حال به فکر فرو می‌رود.شاعر احساس درونی خود را با شعر و نقاش با قلم و بوم بیان می‌کند. گیاه شناس در پی گیاه مورد نظر خود و زبان شناس در پی یافتن ریشه نامگذاری گیاه و داروشناس در جستجوی ویژگیهای درمانی آن است و ریاضیدان نحوه قرار گرفتن برگ و گلبرگها یا اندازه‌ها و شکلها را مورد مطالعه قرار می‌دهد. ولی هم گیاه عضوی یگانه است و هم انسان پس علت این گوناگونی در رابطه بین گیاه و انسان ، وجود جنبه‌های گوناگون و گسترده انسان و تجلی آنها در شرایط مختلفی است.
تاریخچه ارتباط ریاضیات و هنر
در دوران رنسانس ، نقاشان بزرگ ، ریاضی‌دان هم بودند. آلبرتی (۱۴۷۲ - ۱۴۰۴) نخستین نیاز نقاش را هندسه می‌دانست. او بود که در سال ۱۴۳۵ میلادی ، اولین کتاب را درباره پرسپکتیو نوشت. نقاشان و هنرمندان برای جان دادن به تصویرها و القای فضای سه بعدی به آثار خود ، به ریاضیات روی آورند. بنابراین همه نقاشان دوره رنسانس نظیر آلبرتی ، دیودر ، لیوناردو داوینچی ، ریاضی‌دانانی هنرمند یا هنرمندانی ریاضی‌دان بودند. دزارک که خود ، معماری هنرمند بود به خاطر همین نیاز نقاشان و با اثبات قضیه‌ای که به نام خود او معروف است، هندسه تصویری را بنیان نهاد و بعد از آن رفته رفته اصول بیشتری از ریاضیات تایید شد.
چرا ریاضیات و هنر تا این اندازه به هم نزدیکند؟
طبیعت ، سرچشمه زاینده و بی‌پایانی است برای انگیزه دادن به هنرمند و ریاضی‌دان. آنها از درون خود و از ایده‌ها سود می‌جویند و حقیقت را نه تنها آن گونه که مشاهده می‌شود، بلکه آن که باید باشد و آرزوی آدمی است، می‌بینند. هنر و ریاضیات هر دو کمال و ایده‌آل را می‌جویند.
ریاضیات کلید طلایی برای زیبایی شناسی
طبیعت عنصر تقارن را عنوان نشانه زیبایی به هنرمند تلقین می‌کند و سپس ریاضی‌دان با کشف قانونمندیهای تقارن به مفاهیم شبه تقارن , تقارن لغزنده می‌رسد و کوبیسم را به هنرمند (نقاش ، شاعر یا موسیقی‌دان) تلقین می‌کند. نغمه‌ها و آواهای موجود در طبیعت الهام دهنده ترانه‌های هنرمندان بوده و ریاضیدانان با کشف قانونهای ریاضی حاکم بر این نغمه‌ها و تلاش در جهت تغییر و ترکیب آنها گونه‌های بسیار متفاوت و دل انگیزی در موسیقی آفریده‌اند. هر زمان که محاسبه درست ریاضی در نوشته‌های ادبی رعایت شده، آثار جالب و ماندگار و نزدیک به واقعیت و قابل قبول برای مخاطب خلق شده است. یکی از نمونه‌های این مساله رعایت توجه صحیح آندره یه ویچ در افسانه ثروتمند فقیر به محاسبات ریاضی در داستان خود می‌باشد (البته بدون وارد کردن محاسبات عددی) که آن را به اثری ماندگار و قابل پذیرش تبدیل کرده است. ترسیمهای هندسی و نسبت زرین کمک شایانی به هنرمندان معمار و برج ساز و … می‌کند.
زیبایی ریاضیات در کجاست؟
در واقع تمامی عرصه ریاضیات سرشار از زیبایی و هنر است. زیبایی ریاضیات را می توان در شیوه بیان موضوع ، در طرز نوشتن و ارایه آن در استدلالهای منطقی آن ، در رابطه آن با زندگی و واقعیت ، در سرگذشت پیدایش و تکامل آن و در خود موضوع ریاضیات مشاهده کرد. یکی از راههای شناخت زیباییهای ریاضیات (بخصوص هندسه) آگاهی بر نحوه پیشرفت و تکامل است. جنبه دیگری از زیبایی ریاضیات این است که با همه انتزاعی بودن خود ، بر همه دانشها حکومت می‌کند و جز قانونهای آن ، همچون ابزاری نیرومند دانشهای طبیعی و اجتماعی را صیقل می‌دهد، به پیش می‌برد، تفسیر می‌کند و در خدمت انسان قرار می‌دهد.
زیبایی مسایل ریاضی
برای بسیاری از مسایل ریاضی راه حلهای عادی وجود دارد که وقتی اینگونه مسایل را (با این روشها) حل می‌کنید، هیچ احساس خاصی به شما دست نمی‌دهد و حتی ممکن است تکرار آن شما را کسل کند. ولی وقتی به مساله‌ای برمی‌خورید که همچون دری مستحکم در برابر شما پایداری می‌کند و از هر سمتی به آن حمله می‌کنید ناکام می‌شوید… زمانی که ناگهان جرقه‌ای ذهن شما را روشن می‌کند… عجب!… پس اینطور!… چه زیبا!… و مساله حل می‌شود. در ریاضیات اغلب از اصطلاح زیباترین راه حل یا زیبایی راه حل استفاده می‌کنیم. ولی چرا یک راه حل مساله ما را تنها قانع و راضی می‌کند در حالی که دیگری شوق ما را برمی‌انگیزد و شجاعت فکر و ظرافت روش را آن موجب شگفتی ما می‌شود؟ راه حل زیبا باید تا حدی ما را به شگفتی وا دارد ولی تنها وجود یک جنبه نامتعارف و غیر عادی زیبایی استدلال ریاضی را روشن نمی‌کند، بلکه باید عینیت نیز داشته باشد.
هم ریختی نمونه با پدیده مورد نظر و سادگی درک نمونه و سادگی کار کردن با آن ، مفهوم عینی بودن را تشکیل می‌دهد. با بکار گرفتن عینیت ، زبان دشوار پدیده را به زبان ساده‌تر مدل عینی ترجمه می‌کنیم و نتایج لازم را بدست می‌آوریم.وقتی که دانش آموزی می‌خواهد به تنهایی مساله دشواری را حل کند نمونه عینی پدیده‌ای را باید در مساله شرح دهد، برای خودش بسازد، دشواری مساله‌های نامتعارف در این هست که برای حل آنها باید بطور مستقل نمونه همریخت (مساله هم ارز) را انتخاب کرد به نحوی که از پدیده نخستین ساده‌تر باشد. نامتعارف بودن این نمونه و نامنتظر بودن آن به معنای زیبایی و ظرافت راه حل است. زیبایی حل یک مساله را وقتی احساس می‌کنیم که به کمک یک نمونه عینی بدست آید و در ضمن نامنتظر باشد که بطور مستقیم به ذهن هر کسی نمی‌رسد و به زحمت در دسترس قرار می‌گیرد.
رابطه زیباشناسی ریاضی
نامنتظر بودن + عینی بودن = زیبایی
این رابطه به فرهنگ ریاضی مربوط می‌شود و کسی که چنین فرهنگی دارد، دید گسترده‌تری دارد، با کمترین نشانه‌ها ، شباهت بین زمینه‌های مختلف ریاضی را پیدا می‌کند و به کشف رابطه بین آنها و فرمول‌بندی و استفاده از روابط گوناگون بین آنها می‌پردازد. و بدین ترتیب مساله را نامتعارف‌تر و زیباتر از بقیه حل می‌کند و با ساده‌ترین و کوتاه‌ترین و در عین حال جالب‌ترین روش به جواب مساله می‌رسد و موجب شگفتی و لذت خود و بقیه می‌گردد.

sajadhoosein
19-02-2011, 11:22
مدل بازاریابان حرفه‌ای



نکته مورد توجه در این مدل این است که در حالت عادی کم‌تر پیش می‌آید که فردی به طور هم‌زمان بتواند هر دو مشتری خود را پیدا کند، بلکه پس از مدتی جستجو، مشتری اول را پیدا می‌کند و پس از آن باید به دنبال مشتری دوم بگردد. این نکته در ابتدا ممکن است چندان جدی به نظر نرسد ولی خواهید دید که تأثیر بسیار قابل توجهی در آمارها خواهد گذاشت. [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مانند مدل بازاریابان فوق‌حرفه‌ای در این مدل نیز سرعت رشد درخت گلدکویست مورد توجه ما نیست و به دنبال محاسبه زمان اشباع جامعه نیستیم. تنها فرض می‌کنیم که در هر مقطع زمانی، زمان پیدا کردن یک مشتری، برای همه افراد، مقداری ثابت است که البته ممکن است این مقدار ثابت در مقاطع مختلف زمانی تغییر کند؛ در ابتدا که تنها تعداد اندکی آلوده شده‌اند یافتن یک مشتری بسیار ساده‌تر از مقطعی است که جمعیت انبوهی وارد درخت گلدکویست شده‌اند.
شکل مقابل مراحل اولیه رشد درخت گلدکویست را نشان می‌دهد. در مرحله اول رأس درخت اولین مشتری را پیدا می‌کند. در ادامه، نه تنها رأس بالایی به دنبال مشتری دوم خود می‌گردد، بلکه مشتری قبلی نیز در جستجوی اولین طعمه خود است. لذا در مرحله دوم، دو نفر جدید، همان طور که در شکل می‌بینید، به درخت اضافه می‌شوند. اکنون اولین فرد دو بازوی خود را تکمیل کرده است و دیگر از طریق وی کسی به درخت اضافه نمی‌شود و لذا در این درخت ۴ رأسه، سه نفر به دنبال مشتری هستند و در نتیجه در مرحله بعد درخت ما ۷ رأس خواهد داشت.
اگر تا چند مرحله دیگر رشد درخت را بررسی کنید می‌بینید که تعداد افراد آلوده در مراحل مختلف به این صورت است.
۱، ۲، ۴، ۷، ۱۲، ۲۰، ۳۳، ۵۴، …
برای بررسی دقیق‌تر درخت مورد بحث تعداد رأس‌ها در مرحله [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] می‌نامیم. در این صورت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برابر ۱، و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برابر ۲ است. با اندکی توجه می‌توان رابطه‌ای بازگشتی برای این دنباله به دست آورد؛ دو مشتری‌ای که توسط نفر اول وارد بازی شده‌اند یکی یک مرحله و دیگری دو مرحله از رأس اولی عقب‌ترند، و لذا درختی که در مرحله n ام زیر آن دو تشکیل می‌شود دقیقاً مشابه درخت اصلی در یک مرحله پیش و درخت اصلی در دو مرحله پیش است. نتیجه این که در مرحله n ام در بازوی راست رأس بالایی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نفر و در بازوی چپ [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نفر قرار دارد. اگر رأس بالایی را هم در نظر بگیریم رابطه بازگشتی زیر به دست می‌آید.
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
به کمک این رابطه می‌توانیم تعداد اعضای درخت گلدکویست را به دست آوریم. اگر دو طرف تساوی اخیر را با یک جمع کنیم و به علاوه (۱ + [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) را [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بنامیم، به رابطه زیر می‌رسیم:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اگر با دنباله معروف فیبوناتچی آشنا باشید می‌دانید که در آن‌جا نیز هر جمله دنباله برابر جمع دو جمله قبلی است. تفاوت دنباله Pn و دنباله فیبوناتچی ناشی از تفاوت در دو جمله اول است؛ ۰P برابر ۲، و ۱P برابر ۳ است، در حالی که ۰F و ۱F هر دو برابر ۱ اند. پس آیا ارتباطی بین جمله‌های دنباله Pn و جمله‌های دنباله فیبوناتچی وجود ندارد؟ اجازه دهید نگاهی به چند جمله اول هر دو دنباله بیندازیم.
۸ ۷ ۶ ۵ ۴ ۳ ۲ ۱ ۰ n
۸۹ ۵۵ ۳۴ ۲۱ ۱۳ ۸ ۵ ۳ ۲ Pn
۳۴ ۲۱ ۱۳ ۸ ۵ ۳ ۲ ۱ ۱ Fn
اکنون به سادگی می‌توان دید که Pn در واقع همان دنباله فیبوناتچی است که دو جمله اول آن حذف شده است، یعنی
Pn = Fn+۲
و در نتیجه
Sn = Fn+۲ - ۱
تا این‌جا توانستیم تعداد افراد آلوده در مرحله n را به دست آوریم. اکنون سؤال این است که در هر مرحله وضعیت تعادل افراد (یعنی مینیمم تعداد زیردست‌های راست و تعداد زیردست‌های چپ) چگونه است؟
جواب این سؤال در مورد شروع‌کننده درخت تلویحاً داده شده است. دو بازوی این فرد شامل ۱Sn- نفر و ۲Sn- نفر است و در نتیجه تعادلش ۲Sn- است که طبق محاسبات انجام شده برابر است با ۱ - Fn.
با توجه به این که هر عضو دیگر درخت نیز وضعیتی شبیه نفر اول در چند مرحله قبل دارد، تعادل وی نیز به شکل ۱ – Fk است که در آن k برابر تعداد مراحلی است که پس از اتصال وی به درخت طی شده است. حال می‌خواهیم بفهمیم در مرحله n ام چند نفر چنین تعادلی دارند؟
در لحظه ورودِ آن عضو نوعی، n – k مرحله درخت رشد کرده است و در نتیجه، در آن مقطع، تعداد افراد آلوده از Sn-k-۱ به Sn-k رسیده است و لذا Sn-k-۱ - Sn-k نفر به درخت اضافه شده‌اند. با در نظر گرفتن مطالب بالا این مقدار برابر است با
(Fn-k+۲ - ۱) - (Fn-k+۱ - ۱)
و به عبارت دیگر Fn-k.
پس تا اینجا نشان دادیم که در مدل ارایه شده در مرحله n ام Fn-k نفر تعادلشان برابر ۱ – Fk است. البته عبارت اخیر در یک مورد درست نیست؛ به این نکته توجه کنید که تعادل هر فرد در ابتدای ورود به بازی و هم‌چنین پس از گذشت یک مرحله صفر است (F۰ - ۱ = F۱ - ۱ = ۰) و لذا تعداد کسانی که تعادلشان صفر است برابر است با Fn + Fn-۱ که همان Fn+۱ است. در مراحل بعدی، پس از گذشت هر مرحله، تعادل افزایش پیدا خواهد کرد. در نتیجه عبارت مورد بحث برای k های بزرگ‌تر از یک، صادق است.
به بیان دیگر در مرحله n ام نسبت کسانی که تعادلشان صفر است برابر است با
(Fn+۲ - ۱)/ Fn+۱
و نسبت کسانی که تعادلشان ۱ – Fk است (۱ < k)، برابر است با
(Fn+۲ - ۱)/ Fn-k
این نسبت‌ها هنوز توصیف روشنی از وضعیت بازی ارایه نمی‌کنند. گزاره زیر به ما کمک خواهد کرد که به مدل مورد بحث را بهتر تحلیل کنیم.
گزاره: وقتی n به بی‌نهایت میل کند، Fn/ Fn+۱ به φمیل می‌کند که φ، “عدد طلایی”، یعنی ریشه مثبت معادله درجه دو زیر است.
φ۲ – φ – ۱ = ۰
۶۲ ۱/ ۵)/۲ ۱+) = φ
اثبات این گزاره چندان مشکل نیست. اگر هم ایده‌ای برای اثباتش ندارید بد نیست نسبت جمله‌های متوالی دنباله فیبوناتچی را محاسبه کنید و “ببینید” که آیا به φ میل می‌کند یا خیر!
گزاره مذکور نتیجه‌ای دارد که به کار می‌آید.
نتیجه: برای هر k، وقتی n به بی‌نهایت میل کند، Fn/ Fn+k به φKمیل می‌کند.
برای اثبات این موضوع کافی است توجه کنید که کسر مذکور با عبارت زیر برابر است.
Fn/ Fn+۱ … F n+k-۲ / Fn+k-۱ Fn+k-۱/ Fn+k
اکنون می‌توانیم توصیف بهتری از وضعیت مشتریان گلدکویست ارایه دهیم. برای n های به اندازه کافی بزرگ، φ-۱ نسبت افرادی است که تعادلشان صفر است و نسبت کسانی که تعادلشان ۱ – Fk است (۱ < k)، برابر است با φ-K-۲. جدول زیر که در آن از مقدار تقریبی φ استفاده شده است گویاتر است.
تعادل نسبت افرادی که تعادلشان برابر این مقدار است نسبت افرادی که تعادلشان کم‌تر یا مساوی این مقدار است
۰ ۶۸.۱درصد ۶۸.۱درصد
۱ ۱۴.۶درصد ۷۶.۴درصد
۲ ۹.۰درصد ۸۵.۴درصد
۴ ۵.۶درصد ۹۱.۰درصد
۷ ۳.۴درصد ۹۴.۴درصد
۱۲ ۲.۱درصد ۹۶.۶درصد
۲۰ ۱.۳درصد ۹۷.۹درصد
۳۳ ۰.۸درصد ۹۸.۷درصد
۵۴ ۰.۵درصد ۹۹.۲درصد
۸۸ ۰.۳درصد ۹۹.۵درصد
۱۴۳ ۰.۲درصد ۹۹.۷درصد
۲۳۲ ۰.۱درصد ۹۹.۸درصد
اولین پورسانت هنگامی داده می‌شود که تعادل فرد به ۳ برسد. پس طبق محاسبات انجام شده همیشه در حدود ۵/۴۸ درصد از کسانی که وارد این بازی شده‌اند هیچ پورسانتی دریافت نکرده‌اند!
در این حالت که درخت اعضاء کم و بیش منظم رشد کند. با توجه به پیچیدگی محاسبات تحلیلی، باید به سراغ شبیه‌سازی کامپیوتری رفت.نتایج حاصل از یک شبیه‌سازی نسبتاً خوب، در زیر آمده است:
کسانی که ۵۶۰ دلار ضرر کرده‌اند تقریباً ۶/۶۶ درصد
کسانی که ۵۱۰ دلار ضرر کرده‌اند تقریباً ۴/۱۷ درصد
کسانی که ۲۶۰ دلار ضرر کرده‌اند تقریباً ۷/۷ درصد
کسانی که ۱۰ دلار ضرر کرده‌اند تقریباً ۶/۲
کسانی که سود کرده‌اند تقریباً ۷/۵
در این حالت هر مال‌باخته، به طور متوسط، بیش از ۹/۴۸۱ دلار از دست داده است و در مجموع بیش از ۲۴۰ میلیون دلار وارد جیب کلاه‌برداران شده است!
البته توجه کنید که این اعداد و ارقام در حالتی به دست آمد که درخت افراد آلوده کاملاً منظم رشد کرد. در حالت واقعی، که رشد درخت منظم نیست، وضع بسیار وخیم‌تر از این خواهد شد.

sajadhoosein
19-02-2011, 11:28
گشتی در ریاضیات



تاریخ پیدایش ریاضیات
سه قرن اول ریاضیات یونانی که با تلاشهای اولیه در هندسه برهانی بوسیله تالس در حدود ۶۰۰ سال قبل از میلاد شروع شده و با کتاب برجسته اصول اقلیدس در حدود ۳۰۰ سال قبل از میلاد به اوج رسید، دوره‌ای از دستاوردهای خارق العاده را تشکیل می‌دهد.
در حدود ۱۲۰۰ سال قبل از میلاد بود که قبایل بدوی “دوریایی” با ترک دژهای کوهستانی شمال برای دستیابی به قلمروهای مساعدتر در امتداد جنوب راهی شبه جزیره یونان شدند و متعاقب آن قبیله بزرگ آنها یعنی اسپارت را بنا کردند. بخش مهمی از سکنه قبلی برای حفظ جان خود ، به آسیای صغیر و زایر یونانی و جزایر یونانی دریای اژه گریختند و بعدها در آنجا مهاجرنشنهای تجاری یونانی را برپا کردند. در این مهاجرنشینها بود که در قرن ششم (ق.م) اساس مکتب یونانی نهاده شد و فلسفه یونانی شکوفا شد و هندسه برهانی تولد یافت. در این ضمن ایران بدل به امپراطوری بزگ نظامی شده بود و به پیروزی از یک برنامه توسعه طلبانه در سال ۵۴۶ (ق.م) شهر یونیا و مهاجرنشینهای یونانی آسیای صغیر را تسخیر نمود. در نتیجه عده‌ای از فیلسوفان یونانی مانند فیثاغورث موطن خود را ترک و به مهاجرنشینهای در حال رونق جنوب ایتالیا کوچ کردند. مدارس فلسفه و ریاضیات در “کروتونا” زیر نظر فیثاغورث در “الیا” زیر نظر کسنوفانس ، زنون و پارمیندس پدید آمدند.
در حدود۴۸۰ سال قبل از میلاد آرامش پنجاه ساله برای آتنیها پیش آمد که دوره درخشانی برای آنان بود و ریاضیدانان زیادی به آتن جذب شدند. در سال ۴۳۱ (ق.م) با آغاز جنگ “پلوپونزی” بین آتنیهای و آسپارتها ، صلح به پایان رسید و با شکست آتنیها دوباره رکورد حاصل شد.
ظهور افلاطون و نقش وی در تولید دانش ریاضی
اگرچه با پایان جنگ پلوپرنزی مبادله قدرت سیاسی کم اهمیت تر شد، اما رهبری فرهنگی خود را دوباره بدست آورد. افلاطون در آتن یا حوالی آن و در سال ۴۲۷ (ق.م) که در همان سال نیز طاعون بزرگی شیوع یافت و یک چهارم جمعیت آتن را هلاک رد و موجب شکست آنها شد، به دنیا آمد، وی فلسفه را در آنجا زیر نظر سقراط خواند و سپس در پی کسب حکم عازم سیر و سفرهای طولانی شد. وی بدین ترتیب ریاضیات را زیر نظر تیودوروس در ساحل آفریقا تحصیل کرد. در بازگشت به آتن در حدود سال ۳۸۷ (ق.م) آکادمی معروف خود را تاسیس کرد.
تقریبا تمام کارهای مهم ریاضی قرن چهارم (ق.م) بوسیله دوستان یا شاگردان افلاطون انجام شده بود. آکادمی افلاطون به عنوان حلقه ارتباط ریاضیات فیثاغورثیان اولیه و ریاضیات اسکندریه در آمد. تاثیر افلاطون بر ریاضیات ، معلول هیچ یک از کشفیات ریاضی وی نبود، بلکه به خاطر این اعتقاد شورانگیز وی بود که مطالعه ریاضیات عالیترین زمینه را برای تعلیم ذهن فراهم می‌آورد و از اینرو در پرورش فیلسوفان و کسانی که می‌بایست دولت آرمانی را اداره کنند، نقش اساسی داشت. این اعتقاد ، شعار معروف او را بر سر در آکادمی وی توجیه می‌کند: “کسی که هندسه نمی‌داند، داخل نشود.” بنابراین به دلیل رکن منطقی و نحوه برخورد ذهنی نابی که تصور می‌کرد مطالعه ریاضیات در شخص ایجاد می‌کند، ریاضیات به نظر افلاطون از بیشترین اهمیت برخوردار بود، و به همین جهت بود که جای پر ارزش را در برنامه درس آکادمی اشغال می‌کرد. در بیان افلاطون اولین توضیحات درباره فلسفه ریاضی موجود هست.
ادامه دهندگان مسیر افلاطون
* ایودوکسوس که هم نزد آرخوتاس و هم نزد افلاطون درس خوانده بود، مدرسه‌ای در سینویکوس در آسیای صغیر تاسیس کرد.
* منایخموس از معاشرین افلاطون و یکی از شاگردان ایودوکسوس ، مقاطع مخروطی را ابداع کرد.
* دینوستراتوس ، برادر منایخموس، هندسه دانی ماهر و از شاگردان افلاطون بود.
* تیاتیتوس ، مردی با استعدادهای خیلی عادی که احتمالا قسمت اعظم مطالب مقاله‌های دهم و یازدهم اقلیدس را نیز به او مدیونیم، یکی از شاگردان تیودوروس بود.
* ارسطو گرچه ادعای ریاضیدانی نداشت ولی سازمان دهنده منطقی قیاسی و نویسنده آثاری در باب موضوعات فیزیکی بود. وی تسلط خارق العاده‌ای بر روشهای ریاضی داشت.
مسیرهای تکامل ریاضیات در یونان
در تکامل ریاضیات طی ۳۰۰ سال اول ، سه خط سیر مهم و متمایز را می‌توان تشخیص داد.
* ابتدا ، بسط مطالبی است که در اصول مدون شد، که با توانایی توسط فیثاغورثیان شروع شد و بعدها بقرط ، ایودوروس ، تیاتیتوس ، دیگران مطالبی به آن اضافه کردند.
* خط سیر دوم شامل بسط مفاهیمی است در رابطه با بینهایت کوچکها و روندهای حدی و مجموع یابی که تا بعد از اختراع حساب دیفرانسیل و انتگرال در دوارن معاصر به وضوح نهایی دست نیافتند. پارادوکسهای زنون؛ روش افنای آنتیخوان و ایودوکسوس و نظر اتمی بودن جهان که به نام دموکریتوس مربوط است، به مسیر رشد دوم تعلق دارند.
* سومین مسیر تکاملی مربوط به هندسه عالی یا هندسه منحنیهایی بجز دایره و خط مستقیم و سطوحی غیر از کره و صفحه است. شگفت آنکه قسمت عمده این هندسه عالی در تلاشهای مستمر برای حل سه مساله ترسیم که امروزه هم مشهورند عبارتند از: تضعیف مکعب ، تثلیث زاویه و تربیع دایره اختصاص دارد.

sajadhoosein
19-02-2011, 11:35
ادب ریاضی



مثال اول
حساب احتمالات در واقع چیزی جز عقل سلیم نیست که به محاسبه درآمده است. این حساب چیزی را که صاحبان فکر بدون آن که متوجه باشند به غریزه در می‌یابند، با دقت و صحت بیان می‌دارد. این علم که با ملاحظات مربوط به زبانهای شانسی وتصادف بوجود آمد، امروزه آنچنان اهمیتی یافته است که از مهمترین مسایل معرفت آدمی به شمار می‌آید.

بی‌یر سیمون لاپلاس
مثال دوم
قبل از اقلیدس هندسه عبارت بود از مجموعه قواعدی که ماحصل تجارب و ادراکات متفرق بوده‌اند و هیچ ارتباطی با یکدیگر نداشته‌اند و هیچ کس حتی حدس نمی‌زد که مجموعه این قواعد را ممکن است از عده بسیار کمی اصول نتیجه گرفت. امروزه استدلال ریاضی تا آن حد جزء اساس و مبنای این علم به شمار می‌رود که حتی تصور این موضوع نیز برای ما ممکن نیست که ریاضیات بدون استدلال چه وضع و حالی داشته است.

ای. تی. بل
مثال سوم
اگر اکتشافهای گاوس در موقع خود ، به اطلاع مردم رسیده بود، مانع می‌گردید که کوشی ، آبل ، ژاکوبی و بسیاری ریاضیدانان دیگر ، وقت خود را در مسایلی تلف کنند که وی قبلا آنها را حل کرده بود و نیز موجب پیشرفت عظیمی در علوم ریاضی می‌شد. متاسفانه گاوس که شخصی تندخو و ترشرو بود و لجاجتی بی‌مانند داشت، فقط وقتی اکتشافهای خود را انتشار می‌داد که کاملا تمام و از قید طرح و چوب بستی که برای ساختن آن ایجاد گردیده بود، فارغ شده باشد.
دوستانش میل داشتند که وی متون واضحتری برای ایشان بنویسد یا روش خود را در حصول نتیجه به آنان بگوید. اما گاوس جواب داد که فقط برای تبعیت از طبع خود کار می‌کند، نه برای آموختن به دیگران. بنابراین ، همواره اکتشافهای خود را به صورت معماهایی از این قبیل یادداشت می‌کرد: یافتم: عدد= ∆+∆+∆ (یعنی هر عدد صحیح مثبت ، مساوی با مجموع سه عدد مثلث شکل است، از قبیل اعداد ۱ ، ۳ ، ۶ و غیره. این اعداد را از آن جهت مثلث شکل می‌گویند که عبارت‌اند از مجموع اعداد متوالی ابتدا از واحد که می‌توانند به صورت مثلثی نوشته شوند.

پی‌یر روسو
مثال چهارم
اولین شاخه و انشعاب علمی ، آن شعبه‌ای بود که مطلقا احتیاج به تجربه نداشت و برای پیدایش آن حداقل توجه و علاقمندی لازم بود. اما چه کسی برای این کار علاقمندتر از چوپانی است که چون گله خود را به چراگاه می‌برد، شبانگاه هنگام مراجعت می‌خواهد بداند که همه آنها به جای خود هستند یا نه؟ خواهید گفت که برای اطمینان از این مطلب کافی بود که چوپان گوسفندان خود را بشمارد، اما چوپان عهد حجر هنوز شمردن نمی‌دانست و با این حال طبعا جهل او مانع آن نمی‌گردید که وی تعداد واقعی آنها را معین نکند.
مرغ خانگی نیز که حساب و حساب کردن نمی‌داند هنگامی که یکی از جوجگان او غایب باشند ناله و فریاد می‌کند و او را می‌طلبد. اما به زودی چه چپان و چه آن کشاورزی که احتیاج داشت تا وسعت مزرعه خود را تعیین کند و چه بسیار کسان دیگر در نتیجه احتیاج مجبور شدند نوعی وسیله شمارش دقیق‌تر ، غیر از غریزه طبیعی خود ، بوجود آورند و برای این کار انگشتان دست ، دستگاه حساب کردن آماده و مهیایی بود.

پی‌یر روسو
مثال پنجم
این قدر می‌دانم که در حدود سال ۴۵۰ قبل از میلاد مسیح یونانیان دارای هندسه‌ای بدوی و مقدماتی بوده‌اند: موضوع این هندسه فقط طریقه‌های عملی و دستورهای قابل استفاده در اندازه‌گیری طول پارچه یا میزان محصول زیتون نبوده است، بلکه استدلالها وبراهین منطقی متصل به یکدیگر دیده می‌شد که در حدود هندسه مقدماتی ما بوده‌اند. بدون شک این استدلالها آنقدرها دقیق نبوده است و بیشتر از الهام و مکاشفه استفاده می‌کردند تا از منطق و بیشتر آنها مربوط به ساختمانهای هندسی بوده است.

پی‌یر روسو

sajadhoosein
19-02-2011, 11:41
هندسه



هِندِسه مطالعه انواع روابط طولی و اشکال و خصوصیات آن‌ها است. این دانش همراه با حساب یکی از دو شاخه‌ قدیمی ریاضیات است.
واژه هندسه عربی شده واژه «اندازه» در فارسی است. در زبان انگلیسی به آن geometry و در زبان فرانسه به آن géométrie می‌گویند که هردو از γεωμετρία (گیومتریا) در زبان یونانی آمده که به معنای اندازه‌گیری زمین است.
تاریخچه هندسه
احتمالا بابلیان و مصریان کهن نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. در مصر هر سال رودخانه نیل طغیان می‌کرد و نواحی اطراف رودخانه را سیل فرا می‌گرفت. این رویداد تمام علایم مرزی میان املاک را از بین می‌‌برد و لازم می‌‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی کند. مصریان روش علامت‌گذاری زمین‌ها با تیرک و طناب‌ را ابداع کردند. آنها تیرکی را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌‌کردند و تیرک دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو تیرک با طنابی که مرز را مشخص می‌‌ساخت به یکدیگر متصل می‌شدند. با دو تیرک دیگر زمین محصور شده و محلی برای کشت یا ساختمان سازی مشخص می‌شد.
در آغاز هندسه برپایه دانسته‌های تجربی پراکنده‌ای در مورد طول و زاویه و مساحت و حجم قرار داشت که برای مساحی و ساختمان و نجوم و برخی صنایع دستی لازم می‌شد. بعضی از این دانسته‌ها بسیار پیشرفته بودند مثلا هم مصریان و هم بابلیان قضیه فیثاغورث را ۱۵۰۰ سال قبل از فیثاغورث می‌شناختند.
یونانیان دانسته‌های هندسی را مدون کردند و بر پایه‌ای استدلالی قراردادند. برای آنان هندسه مهم‌ترین دانش‌ها بود و موضوع آن را مفاهیم مجردی می‌دانستند که اشکال مادی فقط تقریبی از آن مفاهیم مجرد بود. در سال ۶۰۰ قبل از میلاد مسیح، یک آموزگار اهل ایونیا (که در روزگار ما بخشی از ترکیه به‌شمار می‌رود) به نام طالس، چند گزاره یا قضیه هندسی را به صورت استدلالی ثابت کرد. او آغازگر هندسه ترسیمی بود. فیثاغورث که او نیز اهل ایونیا و احتمالا از شاگردان طالس بود توانست قضیه‌ای را که به‌نام او مشهور است اثبات کند. البته او واضع این قضیه نبود.
اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی می‌‌کرد، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود. وی حدود سال ۳۰۰ پیش از میلاد مسیح، تمام نتایج هندسی را که تا آن زمان شناخته بود، گرد آورد و آنها را به طور منظم، در یک مجموعه ۱۳ جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند، به مدت ۲ هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می‌‌رفتند.
براساس این قوانین، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می‌‌گذشت، شاخه‌های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف، توسعه می‌‌یافت. امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسه تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می‌‌کنیم.
خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند. قبل از اقلیدس، فیثاغورث (۵۷۲-۵۰۰ ق.م) و زنون (۴۹۰ ق.م.) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.
در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی بابلی‌ها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به ۳۶۰ درجه و درجه را به ۶۰ دقیقه و دقیقه را به ۶۰ قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوسها را به دست می‌‌داد و این قدیمی‌ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.
بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در سده پنجم میلادی آپاستامبا، در سده ششم، آریابهاتا، در سده هفتم، براهماگوپتا و در سده نهم، بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.
تقسیم بندی هندسه
هنـدسه مقـدماتی به دو قسمت تقسیـم می‌گردد:
* هنـدسه مسطحه
* هندسه فضایی.
* هندسه خطی.
در هندسه مسطح، اشکالی مورد مطالعه قرار می‌‌گیرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضایی، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعب‌ها ،استوانه ها، مخروط ها، کره‌ها و غیره است.

sajadhoosein
19-02-2011, 12:44
تقارن محوری



تعریف

تقارن محوری تبدیلی است که با خطی راست که محور تقارن نامیده می شود مشخص می شود . قرینه نقطه[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نسبت به خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نقطه[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است در صورتی که، خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] عمود منصف پاره خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد .
هرگاه نقطه[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] قرینه نقطه[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نسبت به خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد آن را با نماد[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نشان می دهیم .هر نقطه که روی خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد قرینه اش نسبت به خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بر خودش منطبق است . در این تقارن خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را محور تقارن می نامیم و قرینه ، قرینه محوری است . ار تعریف بالا به سادگی نتیجه می شود که قرینه قرینه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]نسبت به خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بر خود[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] منطبق است ، یعنی :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
خواص تقارن محوری

خاصیت اول.

در تقارن محوری قرینه هر خط راست که با محور تقارن متقاطع باشد خطی است راست که از نقطه تقاطع آن خط با محور تقارن می گذرد و زاویه ان با محور برابر است با زاویه همان خط با محور. اگر خط با محور موازی باشد قرینه آن نیز با محور موازی و خط و قرینه اش از محور به یک فاصله می باشند . ( به شکل های الف و ب توجه کنید)

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
(الف)


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
(ب)

اثبات.
اگر[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] قرینه[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نسبت به[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد و از [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]به محل تلاقی خط [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]با خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] وصل کنیم ، خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] قرینه خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نسبت به خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است .

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اگر[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نقطه ی دلخواهی از خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد و از [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]بر خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] عمود کنیم تا امتداد آن خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را در[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] قطع کند، از تساوی دو مثلث[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ( ز-ض-ز) نتیجه می شود که :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
یعنی[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ، پس قرینه ی هر نقطه دلخواه خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نسبت به خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روی[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] می افتد و هم چنین بر عکس ، ثابت می شود که هر نقطه خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] قرینه یک نقطه خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نسبت به خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است ، یعنی : [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نتیجه ۱.

قرینه محوری هر پاره خط با ان مساوی است .

نتیجه ۲.

قرینه محوری هر زاویه زاویه ای است مساوی با آن .

نتیجه ۳.

تبدیل یافته هر شکل در تقارن محوری با آن شکل برابر است .
اما تساوی ، تساوی معکوس است . زیرا طرز قرار گرفتن زاویه ها و راس های نظیر در دو شکل هندسی در دو جهت مختلف است .

خاصیت دوم.

نتیجه ترکیب دو تقارن با محورهای موازی یک انتقال است .
اثبات.
با توجه به شکل داریم[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ، بنابراین :

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
پس می توان نوشت :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] یا [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
خاصیت سوم.

نتیجه ترکیب دو تقارن محوری با محورهای متقاطع یک دوران است که مرکز دوران همان محل برخورد محورها و زاویه ی دوران دو برابر زاویه ی بین دو محور می باشد .
اثبات.

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
نتیجه ۱.

اگر دو محور بر هم عمود باشند[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] آنگاه زاویه ی دوران ۱۸۰ است یعنی نتیجه ترکیب دو تقارن محوری با محورهای عمود بر هم یک تقارن مرکز است .
محور تقارن

تعریف.

هر گاه قرینه هر نقطه از شکل[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نسبت به خط ثابت[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بر روی خود شکل قرار گیرد خط [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]را محور تقارن شکل گوییم . یک شکل ممکن است چندین محور تقارن داشته باشد .
خاصیت چهارم. بنا به نتیجه (۱) و تعریف بالا هر گاه شکلی دارای دو محور تقارن عمود بر هم باشد، دارای مرکزتقارن است و محل تلاقی دو محور تقارن خواهد بود . مانند بیضی ، دایره، مربع و …

خاصیت پنجم.

هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]ضلعی منتظم دارای[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] محور تقارن است . اگر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]فرد باشد این محورهای تقارن از یک راس و وسط یک ضلع می گذرند مانند مثلث متساوی الاضلاع ، پنج ضلعی منتظم و … و اگر[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] زوج باشد نصف محورهای تقارن از وسط های اضلاع و نصف دیگر از راس ها می گذرند مانند مربع ، شش ضلعی منتظم و … هم چنین دایره بی شمار محور تقارن دارد .

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
(الف)

(ب)

خاصیت ششم.

دو دایره با شعاع های مساوی و مرکز های متمایز دارای دو محور تقارن عمود بر هم می باشد و دو دایره با شعاع های نامساوی و مرکز های متمایز دارای یک محور تقارن می باشند که این محور تقارن امتداد خط المرکزین آن هااست و مماس مشترک های دو دایره نسبت به آن قرینه اند . هم چنین دو دایره متحد المرکز دارای بی‌شمار محورتقارن هستند.

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
(الف)

(ب)

خاصیت هفتم.

هر خط راست بی شمار محور تقارن دارد . نیم خط محور تقارن ندارد و پاره خط یک محور تقارن دارد که عمودمنصف آن است .
مساله‌ ۱.

بین تمام مثلث هایی که قاعدهو مساحت برابر دارند محیط مثلثی مینیمم است که متساوی الساقین باشد .
حل. فرض کنید مثلث[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد، که ارتفاع آن[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است ، حال اگر قاعده مشترک را[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بنامیم و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]مساحت باشد؛ چون[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] پس ارتفاع ثابت است و مکان هندسی راس[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] دو خط موازی[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] می باشد .
حال برای آن که [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]مینیمم باشد ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]ثابت است ) قرینه ی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]را نسبت به خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] پیدا می کنیم و آن را[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] می نامیم . از[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] وصل می کنیم تا[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را قطع کند . محل تقاطع را[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] می نامیم . چون[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موازیند، پس[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]و[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مساوی و مثلث[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] متساوی الساقین است .

مساله‌ ۲.

مثلث[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و نقطه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]روی ضلع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]مفروض است ، نقاط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]را روی[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]طوری بیابید که محیط مثلث[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] کمترین مقدار ممکن را داشته باشد .
حل. فرض کنید[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] قرینه های[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نسبت به [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]و[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشند . اگر[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]،[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]را در[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]و[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] قطع کند ادعا می کنیم مثلث[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مثلث مطلوب است وتوجه کنید که[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] . پس محیط مثلث[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برابر طول پاره خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است . مشابهاً اگر[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نقاط دیگری روی[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشند محیط مثلث [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]برابر طول پاره خط شکسته[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است که به وضوح از طول پاره خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] که برابر محیط مثلث[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بود، بیشتر است . پس مثلث [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]کمترین محیط را دارد .

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مساله ۳.

تمام [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]هایی را پیدا کنید که بتوان [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]مربع یکسان را طوری در صفحه قرار داد که اضلاع آنها افقی و عمودی باشد و شکل حاصل حداقل سه محور تقارن داشته باشد .

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
حل. فرض کنید[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]یکی از مربع های مذکور باشد و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]یکی از محورهای تقارن و[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] خطی موازی خطی افق و[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] قرینه ی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]نسبت به [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]باشد . داریم :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
که[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ( مطابق شکل ) . حال از آنجا که[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] یکی از اضلاع مربع های موجود در صفحه است دو حالت داریم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
پس محورهای تقارن با یکدیگر و سطح افق زاویه ۴۵ یا ۹۰ درجه می سازند . زیرا اضلاع مربع[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ، یا موازی محور یا عمود بر آن می باشند . از طرف دیگر ممکن است[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ، [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را قطع نکند و داشته باشیم[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] . پس چهار نوع تقارن داریم ، که در شکل شماره گذاری شده اند :

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
دو حالت داریم :
الف.فرض می کنیم هیچ دو محور تقارنی موازی نباشند پس یا محور تقارن های ۱و۳ با هم وجود دارند، یا محور تقارن های ۲و۴ با هم وجود دارند .
زیرا طبق اصلا لانه کبوتری اگر دو دسته (۳و۱) و (۴و۲) را در نظر بگیریم ، از یک دسته حتماً دو عضوآن انتخاب می شود؛ چون حداقل ۳ محور تقارن داشتیم .
بدون کم شدن از عمومیت مسیله فرض می کنیم دو محور از انواع ۳و۱ داریم :
حالت دوم از دوارن ۹۰ این دو محور نسبت به محل برخورد آنها حاصل می شود (دقت کنید که قرینه و یا دوران ۹۰ درجه محورها و شکل مربع ها ، تنها اضلاع افقی را به عمودی و عمودی را به افقی تبدیل می‌کند و یا تغییر در آنها نمی دهد.) حال فرض کنید محل برخورد دو محور[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مبدا مختصات باشد و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]مرکز یکی از مربع ها باشد . (واضح است که با توجه به یکسان بودن مربع ها و مختصات مرکز آنها و مربع ها به طور یکتا تعیین می شوند)

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
پس اگر[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجود باشد آنگاه[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجود است پس خط[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نیز یک محور تقارن است و شکل حاصل ۳ محور تقارن دارد .
حال اگر[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] آنگاه از هر مربع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]مربع ( با خود مربع) حاصل می شود .
•اگر[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] آنگاه از هر مربع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]مربع ( با خود مربع) حاصل می شود .
•اگر[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] آنگاه از هر مربع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]مربع ( با خود مربع) حاصل می شود .
•اگر[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] آنگاه از هر مربع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]مربع ( با خود مربع) حاصل می شود .
•اگر[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] آنگاه از هر مربع یک و فقط یک مربع ( یعنی خود مربع ) حاصل می شود . از حالات فوق نتیجه می شود که تعداد مربع ها به شکل[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] می باشد .
ب‌.فرض کنید حداقل دو محور تقارن موازی باشند . بدون این که خللی به فرض مسیله وارد شود فرض کنیم ازنوع ۱ باشند و یکی[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به معادله ی[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و دیگری[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به معادله[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد و[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مرکز یکی از مربع ها باشد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
و چون[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بی نهایت نقطه به شکل[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] داریم : پس بی نهایت مربع داریم ( تناقض).

sajadhoosein
19-02-2011, 12:50
پیر فرما - pierre de fermat



پیر فرما یکی از بزرگترین ریاضیدانهای بود که در صده هفدهم زندگی میکرد.بیشتر کارهای او در زمینه نظریه اعداد بود.
خیلی از استدلالهای واثباتها فرما بوسیله ریاضیدانهای بعد از او مثل اویلر تنظیم شد.
جالبترین وبی همتاترین گزاره فرما قضیه بزرگ فرما است.
قضیه:وقتی n عدد درستی بزرگتر از ۲ باشد معادله xn+yn=zn جواب درستی برای x,y,z بجز صفر داشته باشند.تنها اثبات کاملی که از فرما باقی مانده اثبات این قضیه برای حالت n=۴ است.
قضیه فرما به قول دیکسون در تاریخ نظریه اعداد بیش از سیصد سال ریاضیدانها را به خود مشغول کرده تا اینکه خیلی ها در صحت این قضیه شک کردند.
در سال ۱۹۰۸ ولف سکل (wolfskehl) آلمانی ۱۰۰۰۰۰ مارک جایزه برای کسی تعیین کرد که این قضیه را حل کند.فقط در گوتینگن آلمان طی ۳ سال بیش از هزاران راه حل به جامعه ریاضی فرستاده شد.خیلی از این راه حل ها خنده دار بودند.بعد از جنگ جهانی اول این جایزه ارزش خودشو بدلیل تورم از دست داد.
در مسیر حل این قضیه نظریه عددهای جبری یشرفت زیادی میکرد واین موضوع حل آنرا خیلی با اهمیت می کرد.اثبات آن نیاز به مسیرهای تازه ای در ریاضی داشت.سفارش شده ریاضیدانهای جوان وارد حل مقدماتی این قضیه نشوند.
تا اینکه بعد از سیصدو پنجاه سال این قضیه در سال ۱۹۹۵ بوسیله آندرو وایلز وبا استفاده از نتایج بسیاری از ریاضیدانها اثبات شددر این اثبات روشهای هندسی وجبری به نحو پیچیدهای مخلوط شده اند.
در سال ۱۹۵۵ یک ریاضیدان به نام یوتاکا تانیاما یک حدس عجیب و شجاعانه ای رو مطرح کرد که بعدها بوسیله گوروشیمورا دقیق تر شد این حدس به حدس تانیاماـ شیمورا ـ وایل معروف است البته نقش وایل بسیار ناچیزه .اگر این حدس درست باشد منجر به اثبات قضیه فرما میشود که این حدس توسط اندرو وایلز برای خم های نیم پایدار اثبات شد و در سال ۱۹۹۹ برویل و دیاموند و تیلور و کنراد برای همه خم های بیضوی ثابت کردند.

sajadhoosein
19-02-2011, 12:55
رمزنگاری



رمزنگاری دانش تغییر دادن متن پیام به کمک یک کلید رمزنگاری و یک الگوریتم رمزنگاری است. به صورتی که تنها شخصی که از کلید و الگوریتم مطلع است قادر به استخراج متن اصلی از متن رمزشده باشد و شخصی که از یکی یا هردوی آن‌ها اطلاعی ندارد، نتواند به محتوای پیام دسترسی پیدا کند. رمزنگاری از طریق پنهان نگاه داشتن الگوریتم منسوخ است. در روشهای جدید رمزنگاری فرض بر آن است که همگان الگوریتم را می‌دانند. آنچه پنهان است فقط کلید است.
رمزنگاری علمی است که به وسیله آن می‌توان اطلاعات را بصورتی امن منتقل کرد حتی اگر مسیر انتقال اطلاعات (کانالهای ارتباطی) ناامن باشد. دریافت‌کننده اطلاعات آنها را از حالت رمز خارج می‌کند (decrypting). به این عمل در واقع رمزگشایی گفته می‌شود .
توجه داشته باشید که رمزنگاری به تغییر ساده محتویات یک متن گفته می‌شود با کدگذاری (coding) تفاوت دارد. در این صورت تنها هر کاراکتر با یک نماد تغییر می‌کند. کلمه Cryptography بر گرفته لغات یونانی‘kryptos’ به مفهوم ” محرمانه ” و grapheinبه معنای نوشتن ” است. قبل از هر چیز لازم است بین رمز و کد تفاوت قایل شویم. رمز به مفهوم تبدیل کاراکتر به کاراکتر یا بیت به بیت ؛ بدون تغییر محتویات زبان شناختی آن است. در مقابل ” کد ” تبدیلی است که کلمه‌ای را با یک کلمه یا نماد دیگر جایگزین می‌کند . در بررسی نخستین استفاده کنندگان از رمزنگاری به ” سزار ” امپراتور روم و نیز ” الکندی ” که یک مسلمان است برمیخوریم از عمده ترین شیوه‌های رمزنگاریهای ابتدایی پیچیدن نسخه اصلی پیام بر روی استوانه‌ای با قطر مشخص و نوشتن پیام بر روی متن استوانه‌ای است. بدیهی است بدون درک میزان قطر، خواندن پیام کار بسیار دشواری بود بعدها از این روش به همراه موتورهای الکتریکی برای رمزنگاری استفاده شد. در ادامه تصاویری از این رمزنگاری را مشاهده میکنید .
رمزنگاری امروزه به طور خاص در علم مخابرات مورد استفاده قرار می‌گیرد. از رمزنگاری می‌توان برای تأمین امنیت و تأمین اعتبار پیام به صورت جداگانه یا توامان استفاده کرد. منظور از تأمین امنیت پیام این است که به غیر از گیرنده مجاز، شخص دیگر قادر به فهمیدن متن پیام نباشد. همچنین منظور از اعتبار پیام این است که فرستنده واقعی پیام مشخص باشد. دانش رمزنگاری بر پایه مقدمات بسیاری از قبیل تیوری اطلاعات، نظریه اعداد و آمار بنا شده‌است.
الگوریتمهای مختلفی (مانند md۵ و RSA) برای رمز کردن اطلاعات وجود دارد.
۱ - معرفی رمزگذاری
رمزگذاری یعنی تبدیل اطلاعات به یک شکل غیر قابل فهم و انتقال آن و سپس برگرداندن اطلاعات رمز شده به حالت اولیه و قابل خواندن. عناصر مهمی که در رمزگذاری مورد استفاده قرار می‌گیرند به شرح زیر می‌باشد:
۱.۱ Public Key یا کلید عمومی اعداد یا کلماتی که با یک شخص یا سازمان در ارتباط می‌باشد. کلید عمومی جزیی از جفت کلید عمومی/خصوصی می‌باشد وبه صورت عمومی در دسترس کسانی که قصد انتقال اطلاعات رمز شده را دارند، می‌باشد.
۱.۲ Private Key یا کلید خصوصی اعداد یا کلماتی که با یک شخص یا سازمان در ارتباط می‌باشد. کلید خصوصی جزیی از جفت کلید عمومی/خصوصی می‌باشد. کلید خصوصی فقط در دسترس مالک جفت کلید عمومی/خصوصی می‌باشد و برای بازگشایی اطلاعاتی که توسط کلید عمومی رمزگذاری شده استفاده می‌شود.
۱.۳ ایجادکننده‌های جفت کلید برای ایجاد یک جفت کلید عمومی و خصوصی طبق یک الگوریتم رمزگذاری مشخص استفاده می‌شود.
۱.۴ Key Factories برای تبدیل کلیدهای نامشخص به کلیدهای مشخص به کار می‌رود.
۱.۵ Keystores بانکی که برای مدیریت تعدادی از کلیدها به کار می‌رود.
۱.۶ الگوریتمهای رمزگذاری الگوریتم‌ها و روشهایی که برای رمزگذاری اطلاعات به کار می‌رود. RSA و DES نام دو تا از معروفترین الگوریتم‌ها می‌باشد.
۲ - روشهای رمزگذاری
۲.۱ - روش متقارن Symmetric در این روش هر دو طرفی که قصد رد و بدل اطلاعات را دارند از یک کلید مشترک برای رمزگذاری و نیز بازگشایی رمز استفاده می‌کنند.در این حالت بازگشایی و رمزگذاری اطلاعات دو فرآیند معکوس یکدیگر می‌باشند. مشکل اصلی این روش این است که کلید مربوط به رمزگذاری باید بین دو طرف به اشتراک گذاشته شود و این سوال پیش می‌آید که دو طرف چگونه می‌توانند این کلید را به طور امن بین یکدیگر رد و بدل کنند. انتقال از طریق انترانت و یا به صورت فیزیکی تا حدی امن می‌باشد اما در انتقال آن در اینترنت به هیچ وجه درست نیست.در این قبیل سیستم‌ها، کلیدهای رمزنگاری و رمزگشایی یکسان هستند و یا رابطه‌ای بسیار ساده با هم دارند .این سیستم‌ها را سیستم‌های متقارن یا ” تک کلیدی ” مینامیم. به دلیل ویژگی ذاتی تقارن کلید رمزنگاری و رمزگشایی، مراقبت و جلوگیری از افشای این سیستم‌ها یا تلاش در جهت امن ساخت آنها لازم است در بر گیرنده ” جلوگیری از استراق سمع ” و ” ممانعت از دستکاری اطلاعات ” باشد .
۲.۲ - روش نامتقارن Asymmetric این روش برای حل مشکل انتقال کلید در روش متقارن ایجاد شد. در این روش به جای یک کلید مشترک از یک جفت کلید به نامهای کلید عمومی و خصوصی استفاده می‌شود. در این روش از کلید عمومی برای رمزگذاری اطلاعات استفاده می‌شود. طرفی که قصد انتقال اطلاعات را به صورت رمزگذاری شده دارد اطلاعات را رمزگذاری کرده و برای طرفی که مالک این جفت کلید است استفاده می‌شود. مالک کلید، کلید خصوصی را پیش خود به صورت محرمانه حفظ می‌کند. در این دسته، کلیدهای رمزنگاری و رمزگشایی متمایزند و یا اینکه چنان رابطه پیچیده‌ای بین آنها حکم فرماست که کشف کلید رمزگشایی با در اختیار داشتن کلید رمزنگاری، عملا ناممکن است.
۲.۳ -مقایسه رمزنگاری الگوریتمهای متقارن و الگوریتمهای کلید عمومی‌: ‏ ‏بحثهای زیادی شده که کدام یک از این الگوریتم‌ها بهترند اما جواب مشخصی‌ ندارد. البته بررسی‌ هایی‌ روی این ‏سوال شده به طور مثال Needham و Schroeder بعد از تحقیق به این نتیجه رسیدند که طول پیغامی‌ که با الگوریتمهای متقارن ‏میتواند رمزنگاری شود از الگوریتمهای کلید عمومی‌ کمتر است. و با تحقیق به این نتیجه ریسیدند که الگوریتمهای ‏متقارن الگوریتمهای بهینه تری هستند. اما وقتی‌ که بحث امنیت پیش می‌ آید الگوریتمهای کلید عمومی‌ کارایی‌ بیشتری‏دارند. و بطور خلاصه می‌توان گفت که الگوریتمهای متقارن دارای سرعت بالاتر و الگوریتمهای کلید عمومی‌ دارای ‏امنیت بهتری هستند. در ضمن گاهی‌ از سیستم ترکیبی‌ از هردو الگوریتم استفاده می‌کنند که به این الگوریتم‌ها الگوریتم ‏های ترکیبی‌ (hybrid)گفته می‌شود. اما اگر به طور دقیق تر به این دو نگاه کنیم آنگاه متوجه خواهیم شد که الگوریتمهای کلید عمومی‌ و الگوریتمهای ‏کلید متقارن دارای دو ماهیت کاملاً متفاوت هستند و کار بردهای متفاوتی‌ دارند به طور مثال در رمزنگاریهای ساده که ‏حجم داده‌ها بسیار زیاد است از الگوریتم متقارن استفاده می‌شود زیرا داده‌ها با سرعت بالاتری رمزنگاری و ‏رمزگشایی‌ شوند. اما در پروتکل هایی‌ که در اینترنت استفاده می‌شود، برای رمز نگری کلید هایی‌ که نیاز به مدیریت ‏دارند از الگوریتمهای کلید عمومی‌ استفاده می‌شود.
۲.۶ – Key Agreement همانطور که در بالا گفته شد به علت کند بودن و محدودیت رمزگذاری با روش نامتقارن از این روش فقط برای رمزگذاری کلید مشترک استفاده می‌شود. اما این روش نیز یک مشکل دارد و آن اینست که هر شخص نیاز به کلید عمومی و خصوصی مربوط به خود را دارد و باید برای انتقال اطلاعات آن را برای طرف مقابل بفرستد. یک راه برای حل مشکل استفاده از کلید عمومی و یک مکانیزم به نام Key Agreement می‌باشد که به طبق آن یک توافق بر روی کلید مخفی بین طرفین به وجود می‌آید و به این ترتیب نیازی به انتقال کلید نیست. وقتی که یک بار بر روی یک کلید مشترک توافق حاصل شد از آن می‌توان برای رمزگذاری و رمزگشایی اطلاعات مربوطه استفاده کرد. معمولاً در این روش از الگوریتم Diffie-Hellman استفاده می‌شود. مراحل انتقال اطلاعات از این روش به صورت زیر می‌باشد: - آغازگر ابتدا یک جفت کلید عمومی و خصوصی ایجاد کرده و کلید عمومی را همراه با مشخصات الگوریتم (Algorithm Specification) به سمت طرف مقابل می‌فرستد. - طرف مقابل نیز یک جفت کلید عمومی و خصوصی همراه با مشخصات الگوریتم آغازگر ساخته و کلید عمومی را برای آغازگر می‌فرستد. - آغازگر یک کلید مخفی بر اساس کلید خصوصی خود و کلید عمومی طرف مقابل ایجاد می‌کند. - طرف مقابل نیز با استفاده از کلید خصوصی خود و کلید عمومی آغازگر یک کلید مخفی می‌سازد. الگوریتم Diffie-Hellman تضمین می‌کند که کلید مخفی هر دو طرف یکسان می‌باشد.
۳ - انواع روشهای رمزگذاری اسناد
۳.۱ - رمزگذاری همه اطلاعات یک سند xml سند زیر را در نظر بگیرید:

<?xml version=’۱.۰′?> <PaymentInfo xmlns=’[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]۲′>
<Name>John Smith</Name>
<CreditCard Limit=’۵,۰۰۰′ Currency=’USD’>
<Number>۴۰۱۹ ۲۴۴۵ ۰۲۷۷ ۵۵۶۷</Number>
<Issuer>Example Bank</Issuer> <Expiration>۰۴/۰۲</Expiration> </CreditCard> </PaymentInfo>
این سند پس از رمزگذاری بر اساس استانداردهای W۳C به شکل زیر در می‌آید:

<?xml version=’۱.۰′?> <EncryptedData xmlns=’
برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید MimeType=’text/xml’>
<CipherData>
<CipherValue>A۲۳B۴۵C۵۶</CipherValue>
</CipherData>
</EncryptedData>
۳.۲ - رمزگذاری یک element مشخص از یک سند xml
رمزگذاری یک element مشخص بصورت زیر می‌باشد. در این حالت <CreaditCard> رمزگذاری شده و به شکل زیر در آمده‌است:

<?xml version=’۱.۰′?> <PaymentInfo xmlns=’[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]۲′>
<Name>John Smith</Name>
<EncryptedData Type=’
برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید
xmlns=’[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]۳.org/۲۰۰۱/۰۴/xmlenc#’>
<CipherData>
<CipherValue>A۲۳B۴۵C۵۶</CipherValue>
</CipherData>
</EncryptedData>
</PaymentInfo>
۳.۳ - رمزگذاری محتویات یک element مشخص در این حالت فقط محتویات و اطلاعات درون یک element رمزگذاری شده و خود element ثابت باقی خواهد ماند:

<?xml version=’۱.۰′?>
<PaymentInfo xmlns=’[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]۲′>
<Name>John Smith</Name>
<CreditCard Limit=’۵,۰۰۰′ Currency=’USD’>
<EncryptedData xmlns=’
برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید
Type=’[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]۳.org/۲۰۰۱/۰۴/xmlenc#Content’>
<CipherData>
<CipherValue>A۲۳B۴۵C۵۶</CipherValue>
</CipherData>
</EncryptedData>
</CreditCard>
</PaymentInfo>
در این حالتelement <CreditCard> ثابت مانده ولی محتویات آن رمزگذاری شده‌است.
اطلاعات پس از رمزگذاری طبق استاندارد W۳C درون عنصر <ChipherData> قرار می‌گیرند. همچنین در این قسمت یک عنصر <EncryptedData> دیده می‌شود که شامل اطلاعاتی از قبیل نوع رمزگذاری و یا الگوریتم مورد استفاده برای رمزگذاری می‌باشد.
۳.۴ – کلیدهای مورد استفاده در رمزگذاری وقتی یک سند XML یا بخشی از آن رمزگذاری می‌شود آن قسمت با عنصر <EncryptedData> تعویض می‌شود. این عنصر ممکن است شامل نوع رمزگذاری باشد که گیرنده از این اطلاعات استفاده می‌کند، مثلاً اطلاعاتی شامل اینکه آیا کل سند رمزگذاری شده یا قسمتی از آن و همچنین اینکه نوع اطلاعات رمزگذاری شده متن است یا تصویر و غیره.
می‌توان مشخصات کلید مشترک را درون خود سند درون عنصر <EncryptedKey> قرار داد. اطلاعات واقعی که رمزگذاری شده‌اند درون عنصر <CipherData> قرار می‌گیرند. در داخل این قسمت نیز یک عنصر <CipherValue> قرار دارد که شامل اطلاعات واقعی رمزگذاری شده می‌باشد.
۳.۵ – روشهای انتقال کلید طبق استاندارد W۳C سه روش برای انتقال کلید موجود می‌باشد:
۱. می‌توان کلید را درون همان سند قرار داد، عناصر <EncryptedData> و یا <EncryptedKey> می‌توانند یک عنصر <ds:KeyInfo> داشته باشند که مشخص کننده جزییات کلید می‌باشد. خود این عنصر شامل عناصر زیر می‌باشد: - عنصر <ds:KeyValue> که مقدار آن همان کلید عمومی یا کلید رمزگذاری شده می‌باشد. - عنصر <ds:KeyName> که به یک عنصر <EncryptedKey> اشاره می‌کند. - عنصر <ds:RetrievalMethod> که متد بازیابی کلید را مشخص می‌کند.
۲. می‌توان یک فایل دیگر که شامل عنصر <EncryptedKey> می‌باشد ضمیمه سند کرد که در این حالت درون سند xml عنصر <DataReference> یا <KeyReference> قرار می‌گیرد که به آن ضمیمه اشاره می‌کند. ۳. در روش سوم در هیچ قسمت از سند XML به کلید اشاره‌ای نمی‌شود و مسیر کلید از قبل مشخص می‌باشد.
۴ – امضای دیجیتالی ۴.۱ – معرفی امضای دیجیتالی برای اینکه هویت فرستنده سند تایید شود و نیز برای اطمینان از اینکه سند در طول مدت انتقال به گیرنده دستکاری نشده‌است از امضای دیجیتالی استفاده می‌شود. می‌توان کل یک سند و یا قسمتی از آن را امضا کرد. به طور کلی سه دلیل برای استفاده از امضای دیجیتالی وجود دارد که شامل: ۱. استفاده از کلید عمومی این اجازه را به هر شخصی می‌دهد که کلید خود را به سمت فرستنده اطلاعات بفرستد و سپس گیرنده پس از دریافت اطلاعات آن را توسط کلید خصوصی خود بازگشایی می‌کند، بنابراین امضای دیجیتالی این امکان را می‌دهد که فرستنده یا گیرنده مطمین شوند که اطلاعات از محل یا شخص مورد نظر دریافت می‌شود. ۲. اطلاعات در طول مدت انتقال ممکن است توسط دیگران دستکاری شود برای اینکه از صحت اطلاعات رسیده مطمین شویم نیاز به یک امضای دیجیتالی در این حالت احساس می‌شود. ۳. رد کردن اطلاعات فرستاده شده. گیرنده اطلاعات برای اینکه مطمین شود فرستنده بعدا از اطلاعاتی که فرستاده اعلام بی خبری نکند و آنها را رد نکند از فرستنده یک امضا درخواست می‌کند تا شاهدی بر این ادعا باشد.
برای پیاده سازی یک امضای دیجیتالی نیاز به سه الگورتم داریم: - یک الگوریتم برای ایجاد کلید - الگوریتم برای ایجاد امضا - الگوریتم برای تایید امضا
برای ایجاد یک امضای دیجیتالی باید یک عدد checksum برای سند مورد نظر محاسبه شود. فرض کنید Bob قصد ارسال یک پیام به Alice را دارد، Bob پیام خود را همراه با امضای دیجیتالی برای Alice می‌فرستد. این امضای دیجیتالی توسط کلید خصوصی که مالک آن Bob می‌باشد ایجاد شده‌است. در سمت دیگر Alice با استفاده از الگوریتم تایید امضا و کلید عمومی که از Bob دریافت کرده صحت امضا و اینکه امضا از طرف Bob می‌باشد را تایید می‌کند.
۴.۲ – عناصر موجود در یک امضا در شکل زیر عناصر تشکیل دهنده یک امضای دیجیتالی را می‌بینید:
برای ایجاد یک امضای دیجیتالی باید طبق استاندارد W۳C به صورت زیر عمل کرد:
۱. ابتدا باید منبعی را که قصد امضای آن را دارید مشخص کنید. عنصر <Reference> که در شکل دیده می‌شود مشخص می‌کند که چه چیزی در این قسمت امضا و علامت گذاری شده‌است. این منبع به صورت یک آدرس URI می‌باشد:
برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید به یک منبع از نوع فایل HTML اشاره می‌کند.
برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید به یک فایل تصویری اشاره می‌کند.
برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید به یک فایل از نوع XML اشاره می‌کند.
برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید به یک عنصر درون فایل XML به نام main اشاره می‌کند.
۱. testInfo: به یک عنصر درون فایل XML فعلی اشاره می‌کند.
۲. محاسبه مقدار digest به ازای هر منبع مشخص شده در <Reference>، که این مقدار در <DigestValue> قرار می‌گیرد. همچنین عنصر <Reference> شامل عنصر <DigestMethod> می‌باشد که الگوریتم مورد استفاده در محاسبه digest را معرفی می‌کند.
۳. همه منابع که باید امضا شوند جمع آوری می‌شود:

SignedInfo Id="foobar">
<CanonicalizationMethod
Algorithm="[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]۳.org/TR/۲۰۰۱/REC-xml-c۱۴n-۲۰۰۱۰۳۱۵"/>
<SignatureMethod Algorithm="[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]۳.org/۲۰۰۰/۰۹/xmldsig#dsa-sha۱" />
<Reference URI="[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]۲۰۰۰/۰۳_۲۷_۰۰.htm">
<DigestMethod Algorithm="[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]۳.org/۲۰۰۰/۰۹/xmldsig#sha۱" />
<DigestValue>j۶lwx۳rvEPO۰vKtMup۴NbeVu۸nk=</DigestValue>
</Reference>
<Reference
URI="[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]۳.org/TR/۲۰۰۰/WD-xmldsig-core-۲۰۰۰۰۲۲۸/signature-example.xml">
<DigestMethod Algorithm="[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]۳.org/۲۰۰۰/۰۹/xmldsig#sha۱"/>
<DigestValue>UrXLDLBIta۶skoV۵/A۸Q۳۸GEw۴۴=</DigestValue>
</Reference>
</SignedInfo>
عنصر <CanonicalizationMethod> مشخص می‌کند که چه الگوریتمی برای قانونی کردن (canonize) عنصر <SignedInfo> استفاده شده‌است.
۴. علامت گذاری امضا: در این قسمت مقدار digest برای عنصر <SignedInfo> محاسبه شده و درون عنصر <SignatureValue> قرار می‌گیرد. ۵. اضافه کردن مشخصات کلید: می‌توانید مشخصات کلید خود را درون عنصر <KeyInfo> قرار دهید ولی این قسمت الزامی نیست و ممکن است شما نخواهید که این مشخصات معلوم گردد.
۴.۳ – تایید یک امضای دیجیتالی مراحل تایید Verify یک امضای دیجیتالی به صورت خلاصی در زیر آورده شده‌است: - تایید امضای عنصر <SignedInfo>. برای این منظور ابتدا دوباره مقدار digest برای این عنصر را طبق الگوریتم مشخص شده در عنصر <SignatureMethod> محاسبه نموده و از کلید عمومی برای این کار استفاده می‌شود و برای تایید آن مقدار محاسبه شده را با مقدار معرفی شده در عنصر <SignatureValue> مقایسه می‌کنیم. - اگر مرحله قبل بدون مشکل تایید شد حالا به ازای هر منبع معرفی شده در عنصر <Reference> مقدار digest آن را محاسبه نموده و با مقدار مشخص شده در عنصر <DigestValue> مقایسه می‌کنیم.

sajadhoosein
19-02-2011, 13:02
ترکیبیات



شمارش و شمردن حالات انجام یک کار از زمانهای دور مورد بررسی بوده است. گویا این کار بیش از همه در جنگها برای شمارش سربازان به کار می‌‌رفته است. در این قسمت روشهایی را برای شمردن بدون شمارش دانه به دانه معرفی می‌‌کنیم.البته باید یاد آوری کنیم که مبحث شمارش همهٔ ترکیبیات را در بر نمی‌گیرد بلکه ترکیبیات یکی از شاخه‌های بسیار وسیع عالم ریاضی است و شمارش بخشی از آن است. ابتدا از دو اصل پر کاربرد شروع می‌‌کنیم: ۱)اصل ضرب:اصل ضرب می‌‌گوید که “اگر ما k شی داشته و هر یک را به m شی قسمت کنیم آنگاه mk شی خواهیم داشت”.این اصل بسیار بدیهی است.حال ما آن را به صورتی پر کاربرد تر بیان می‌‌کنیم: “اگر پیشامدی به ۲ پیشامد پشت سر هم تقسیم گردد و پیشامد اول به k حالت و پیشامد دوم به m حالت واقع شود آنگاه کل پیشامد به mk حالت واقع می‌شود.” مثال:شخصی قصد سفر از شهر A به شهر B و سپس شهر C را دارد.از شهر A به شهر B,پنج جاده و از B به C چهار راه وجود دارد.اگر از A به C جادهٔ مستقل وجود نداشته باشد به چند طریق می‌‌توان از A به C رفت؟جواب:واضح است که بنا بر اصل ضرب پاسخ برابر ۲۰ می‌‌باشد. این ساده‌ترین نوع سوال ترکیبیات است. در اصل شمارش اگر کاری را بتوان به m طریق وکار دیگری را بتوان به nطریق انجام داد واگر این دو کار را نتوان هم‌زمان انجام داد آنگاه این یا آن کار را می‌‌توان به m+nطریق انجام داد.



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

bahar1996
31-03-2011, 12:55
شايد خيلي مهم نباشه اما معلم گاوس همه رو مجبور به جمع اعداد نكرد و فقط به گاوس كه بچه شلوغ وغير قابل كنترلي بود گفت كه تا وقتي اين كارو تموم نكرده حق اظهار نظر(ايراد گرفتن از معلم!)رو نداره:31:

136275
07-04-2011, 00:28
[QUOTE=Babak_King;201213]
بلیبلبیلیبلیبلبیلبلبلیبلل یبل لل ل ل ل ل ل فل ل ل ل لسال ها پيش در يكي از كلاس هاي رياضيات مدارس آلمان، آموزگار براي اينكه مدتي بچه

selcuksahin
13-06-2011, 15:08
ضرب ماتریس 4در4 به روش استراسن رو یکی برام کامل توضیح بده

soheil_sg
10-12-2011, 14:32
سلام . فوري فوري: من يه مقاله ي معتبر رياضي به زبان انگليسي در مورد مشتق يا كابردهاي مشتق يا نامساوي ها ميخوام كه مربوط به سال 2009 به اينور باشه . و نهايتا 5 يا 6 صفحه باشه . مرسي :40:

hesameshg
03-02-2012, 18:16
با سلام و خسته نباشید به شما من یک مقاله در مورد جذر ریاضی میخواستم ممنون میشم اگه کمکم کنید